Теорема Куна-Таккера для общей задачи нелинейного программирования

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования

где  – произвольная функция,

не пустое ограниченное замкнутое множество.

Нам понадобятся далее понятия множителей Лагранжа и функции Лагранжа для общей задачи нелинейного программирования. Функция Лагранжа для задачи (1) с ограничениями (2) определяется формулой

где ,  - -и - векторы множителей Лагранжа, соответственно.

Нам понадобится также понятие условий регулярности для общей задачи нелинейного программирования. Если точка  и ограничения  являются активными ограничениями, то условие линейной независимости векторов , а также условие линейной независимости векторов  называются условиями регулярности ограничивающих функций в точке . Смысл условий регулярности раскрыт в предыдущих параграфах.

Теорема 1 (теорема Куна-Таккера). Пусть функции , ,  имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки  и пусть эта точка является точкой локального минимума функции . Пусть, кроме того, выполняются условия регулярности ограничивающих функций ,  в точке . Тогда существуют такие множители Лагранжа , , не все из которых равные нулю одновременно, что для функции Лагранжа точка  является стационарной точкой функции, т.е.

Теорема 1 означает, что в ее условиях вместо задачи условной оптимизации (1), (2) можно решать задачу безусловной оптимизации 

Необходимым условием существования локального минимума этой задачи в некоторой точке является условие (см. Теорему 2.1).

Аналитическое решение многомерных задач нелинейного программирования

Ограничимся рассмотрением задачи нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств

где () – произвольная функция, 

не пустое, ограниченное замкнутое множество.

Рассмотрим прямое решение задачи ,  (без использования теоремы Куна-Таккера), а также решение этой задачи на основе использования теоремы Куна-Таккера

Прямое решение (без использования теоремы Куна-Таккера).

Общая схема прямого решения задачи нелинейного программирования:

1. Из условия  определяем все стационарные точки функции  в области ;

2. Определяем все критически точки функции (точки не дифференцируемости) функции  в области ;

3. Для каждой из границ области  (ограничивающих функций) решаем соответствующую задачу на условный минимум:

• из уравнения  выражаем  переменных через остальные  переменных и подставляем их в выражение для функции  ;

• вместо исходной задачи условной оптимизации получаем задачу безусловной оптимизации  переменными;

• решаем эту задачу – находим стационарные точки полученной функции, лежащие на соответствующей границе области ;.