- •СОДЕРЖАНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛЕКЦИЯ 1
- •1.2. Оценка погрешностей функций приближенных аргументов.
- •1.3. Распределение случайных величин. Функция распределения и плотность распределения случайной величины.
- •ЛЕКЦИЯ 2
- •2.1. Числовые характеристики случайной величины. Свойства математического ожидания и дисперсии. Нормированная случайная величина.
- •2.2. Нормальное и стандартное распределения случайной величины. Функция Лапласа. Задача об абсолютном отклонении.
- •ЛЕКЦИЯ 3
- •3.1. Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочная функция распределения. Гистограммы. Понятие об оценках параметров генерального распределения.
- •3.2. Метод максимального правдоподобия.
- •3.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Дисперсия среднего серии измерений.
- •ЛЕКЦИЯ 4
- •4.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости.
- •4.2. Проверка статистических гипотез, критерии значимости, ошибки первого и второго рода.
- •ЛЕКЦИЯ 5
- •5.1. Оценка случайной и суммарной ошибки косвенных измерений.
- •ЛЕКЦИЯ 6
- •6.3. Проверка однородности результатов измерений.
- •6.4. Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
- •ПРИЛОЖЕНИЯ
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Приложение 7
- •Приложение 8
|
|
|
|
|
|
Приложение 3 |
||
Квантили распределения Стъюдента t1−p / 2 |
(t p ( f )). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
|
|
Уровни значимости р |
|
|
|
||
степеней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы f |
0.20 |
0.10 |
0.05 |
0.02 |
0.01 |
0.005 |
0.001 |
|
1 |
3.08 |
6.31 |
12.71 |
31.82 |
63.66 |
127.32 |
636.32 |
|
2 |
1.89 |
2.92 |
4.30 |
6.97 |
9.93 |
14.09 |
31.60 |
|
3 |
1.64 |
2.35 |
3.18 |
4.54 |
5.84 |
7.45 |
12.94 |
|
4 |
1.53 |
2.13 |
2.78 |
3.75 |
4.60 |
5.60 |
8.61 |
|
5 |
1.48 |
2.02 |
2.57 |
3.37 |
4.03 |
4.77 |
6.86 |
|
6 |
1.44 |
1.94 |
2.45 |
3.14 |
3.71 |
4.32 |
5.96 |
|
7 |
1.42 |
1.90 |
2.37 |
3.00 |
3.50 |
4.03 |
5.41 |
|
8 |
1.40 |
1.86 |
2.31 |
2.90 |
3.36 |
3.83 |
5.04 |
|
9 |
1.38 |
1.83 |
2.26 |
2.82 |
3.25 |
3.69 |
4.78 |
|
10 |
1.37 |
1.81 |
2.23 |
2.76 |
3.17 |
3.58 |
4.59 |
|
11 |
1.36 |
1.80 |
2.20 |
2.72 |
3.11 |
3.50 |
4.44 |
|
12 |
1.36 |
1.78 |
2.18 |
2.68 |
3.06 |
3.43 |
4.32 |
|
13 |
1.35 |
1.77 |
2.16 |
2.65 |
3.01 |
3.37 |
4.22 |
|
14 |
1.34 |
1.76 |
2.15 |
2.62 |
2.98 |
3.33 |
4.14 |
|
15 |
1.34 |
1.75 |
2.13 |
2.60 |
2.95 |
3.29 |
4.07 |
|
16 |
1.34 |
1.75 |
2.12 |
2.58 |
2.92 |
3.25 |
4.02 |
|
17 |
1.33 |
1.74 |
2.11 |
2.57 |
2.90 |
3.22 |
3.97 |
|
18 |
1.33 |
1.73 |
2.10 |
2.55 |
2.88 |
3.20 |
3.92 |
|
19 |
1.33 |
1.73 |
2.09 |
2.54 |
2.86 |
3.17 |
3.88 |
|
20 |
1.33 |
1.73 |
2.09 |
2.53 |
2.85 |
3.15 |
3.85 |
|
22 |
1.32 |
1.72 |
2.07 |
2.51 |
2.82 |
3.12 |
3.79 |
|
24 |
1.32 |
1.71 |
2.06 |
2.49 |
2.80 |
3.09 |
3.75 |
|
26 |
1.32 |
1.71 |
2.06 |
2.48 |
2.78 |
3.07 |
3.71 |
|
28 |
1.31 |
1.70 |
2.05 |
2.47 |
2.76 |
3.05 |
3.67 |
|
30 |
1.31 |
1.70 |
2.04 |
2.46 |
2.75 |
3.03 |
3.65 |
|
40 |
1.30 |
1.68 |
2.02 |
2.42 |
2.70 |
2.97 |
3.55 |
|
60 |
1.30 |
1.67 |
2.00 |
2.39 |
2.66 |
2.91 |
3.46 |
|
120 |
1.29 |
1.66 |
1.98 |
2.36 |
2.62 |
2.86 |
3.37 |
|
∞ |
1.28 |
1.64 |
1.96 |
2.33 |
2.58 |
2.81 |
3.29 |
|
64
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 4 |
||
|
Квантили распределения Пирсона χ2 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1− p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
|
|
Уровни значимости р |
|
|
|
|||
степеней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.99 |
0.98 |
0.95 |
0.90 |
0.80 |
0.70 |
0.50 |
0.30 |
|
|
свободы f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.00016 |
0.0006 |
0.0039 |
0.016 |
0.064 |
0.148 |
0.455 |
1.07 |
|
2 |
0.020 |
0.040 |
0.103 |
0.211 |
0.446 |
0.713 |
1.386 |
2.41 |
|
3 |
0.115 |
0.185 |
0.352 |
0.584 |
1.005 |
1.424 |
2.336 |
3.66 |
|
4 |
0.30 |
0.43 |
0.71 |
1.06 |
1.65 |
2.19 |
3.36 |
4.9 |
|
5 |
0.55 |
0.75 |
1.14 |
1.61 |
2.34 |
3.00 |
4.35 |
6.1 |
|
6 |
0.87 |
1.13 |
1.63 |
2.2 |
3.07 |
3.83 |
5.35 |
7.2 |
|
7 |
1.24 |
1.56 |
2.17 |
2.83 |
3.82 |
4.67 |
6.35 |
8.4 |
|
8 |
1.65 |
2.03 |
2.73 |
3.49 |
4.59 |
5.53 |
7.34 |
9.5 |
|
9 |
2.09 |
2.53 |
3.32 |
4.17 |
5.38 |
6.39 |
8.34 |
10.7 |
|
10 |
2.56 |
3.06 |
3.94 |
4.86 |
6.18 |
7.27 |
9.34 |
11.8 |
|
11 |
3.1 |
3.6 |
4.6 |
5.6 |
7.0 |
8.1 |
10.3 |
12.9 |
|
12 |
3.6 |
4.2 |
5.2 |
6.3 |
7.8 |
9.0 |
11.3 |
14.0 |
|
13 |
4.1 |
4.8 |
5.9 |
7.0 |
8.6 |
9.9 |
12.3 |
15.1 |
|
14 |
4.7 |
5.4 |
6.6 |
7.8 |
9.5 |
10.8 |
13.3 |
16.2 |
|
15 |
5.2 |
6.0 |
7.3 |
8.5 |
10.3 |
11.7 |
14.3 |
17.3 |
|
16 |
5.8 |
6.6 |
8.0 |
9.3 |
11.2 |
12.6 |
15.3 |
18.4 |
|
17 |
6.4 |
7.3 |
8.7 |
10.1 |
12.0 |
13.5 |
16.3 |
19.5 |
|
18 |
7.0 |
7.9 |
9.4 |
10.9 |
12.9 |
14.4 |
17.3 |
20.6 |
|
19 |
7.6 |
8.6 |
10.1 |
11.7 |
13.7 |
15.4 |
18.3 |
21.7 |
|
20 |
8.3 |
9.2 |
10.9 |
12.4 |
14.6 |
16.3 |
19.3 |
22.8 |
|
21 |
8.9 |
9.9 |
11.6 |
13.2 |
15.4 |
17.2 |
20.3 |
23.9 |
|
22 |
9.5 |
10.6 |
12.3 |
14.0 |
16.3 |
18.1 |
21.3 |
24.9 |
|
23 |
10.2 |
11.3 |
13.1 |
14.8 |
17.2 |
19.0 |
22.3 |
26.0 |
|
24 |
10.9 |
12.0 |
13.8 |
15.7 |
18.1 |
19.9 |
23.3 |
27.1 |
|
25 |
11.5 |
12.7 |
14.6 |
16.5 |
18.9 |
20.9 |
24.3 |
28.2 |
|
26 |
12.2 |
13.4 |
15.4 |
17.3 |
19.8 |
21.8 |
25.3 |
29.3 |
|
27 |
12.9 |
14.1 |
16.2 |
18.1 |
20.7 |
22.7 |
26.3 |
30.3 |
|
28 |
13.6 |
14.8 |
16.9 |
18.9 |
21.6 |
23.6 |
27.3 |
31.4 |
|
29 |
14.3 |
15.6 |
17.7 |
19.8 |
22.4 |
24.6 |
28.3 |
32.5 |
|
30 |
15.0 |
16.3 |
18.5 |
20.6 |
23.4 |
25.5 |
29.3 |
33.5 |
|
65
Продолжение приложения 4
Число |
|
|
Уровни значимости р |
|
|
|||
степеней |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.20 |
0.10 |
0.05 |
0.02 |
0.01 |
0.005 |
0.002 |
0.001 |
|
свободы f |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1.64 |
2.7 |
3.8 |
5.4 |
6.6 |
7.9 |
9.5 |
10.8 |
2 |
3.22 |
4.6 |
6 |
7.8 |
9.2 |
10.6 |
12.4 |
13.8 |
3 |
4.64 |
6.3 |
7.8 |
9.8 |
11.3 |
12.8 |
14.8 |
16.3 |
4 |
6.0 |
7.8 |
9.5 |
11.7 |
13.3 |
14.9 |
16.9 |
18.5 |
5 |
7.3 |
9.2 |
11.1 |
13.4 |
15.1 |
16.3 |
18.9 |
20.5 |
6 |
8.6 |
10.6 |
12.6 |
15.0 |
16.8 |
18.6 |
20.7 |
22.5 |
7 |
9.8 |
12.0 |
14.1 |
16.6 |
18.5 |
20.3 |
22.6 |
24.3 |
8 |
11.0 |
13.4 |
15.5 |
18.2 |
20.1 |
21.9 |
24.3 |
26.1 |
9 |
12.2 |
14.7 |
16.9 |
19.7 |
21.7 |
23.6 |
26.1 |
27.9 |
10 |
13.4 |
16.0 |
18.3 |
21.2 |
23.2 |
25.2 |
27.7 |
29.6 |
11 |
14.6 |
17.3 |
19.7 |
22.6 |
24.7 |
26.8 |
29.4 |
31.3 |
12 |
15.8 |
18.5 |
21.0 |
24.1 |
26.2 |
28.3 |
31 |
32.9 |
13 |
17.0 |
19.8 |
22.4 |
25.5 |
27.7 |
29.8 |
32.5 |
34.5 |
14 |
18.2 |
21.1 |
23.7 |
26.9 |
29.1 |
31.3 |
34 |
36.1 |
15 |
19.3 |
22.3 |
25.0 |
28.3 |
30.6 |
32.8 |
35.5 |
37.7 |
16 |
20.5 |
23.5 |
26.3 |
29.6 |
32.0 |
34.3 |
37 |
39.2 |
17 |
21.6 |
24.8 |
27.6 |
31.0 |
33.4 |
35.7 |
38.5 |
40.8 |
18 |
22.8 |
26.0 |
28.9 |
32.3 |
34.8 |
37.2 |
40 |
42.3 |
19 |
23.9 |
27.2 |
30.1 |
33.7 |
36.2 |
38.6 |
41.5 |
43.8 |
20 |
25.0 |
28.4 |
31.4 |
35.0 |
37.6 |
40.0 |
43 |
45.3 |
21 |
26.2 |
29.6 |
32.7 |
36.3 |
38.9 |
41.4 |
44.5 |
46.8 |
22 |
27.3 |
30.8 |
33.9 |
37.7 |
40.3 |
42.8 |
46 |
48.3 |
23 |
28.4 |
32.0 |
35.2 |
39.0 |
41.6 |
44.2 |
47.5 |
49.7 |
24 |
29.6 |
33.2 |
36.4 |
40.3 |
43.0 |
45.6 |
48.5 |
51.2 |
25 |
30.7 |
34.4 |
37.7 |
41.6 |
44.3 |
46.9 |
50 |
52.6 |
26 |
31.8 |
35.6 |
38.9 |
42.9 |
45.6 |
48.3 |
61.5 |
54.1 |
27 |
32.9 |
36.7 |
40.1 |
44.1 |
47.0 |
49.6 |
53 |
55.5 |
28 |
34.0 |
37.9 |
41.3 |
45.4 |
48.3 |
51.0 |
54.5 |
56.9 |
29 |
35.1 |
39.1 |
42.6 |
46.7 |
49.6 |
52.3 |
56 |
58.3 |
30 |
36.3 |
40.3 |
43.8 |
48.0 |
50.9 |
53.7 |
57.5 |
59.7 |
66
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 5 |
|||
|
Квантили распределения Фишера F1− p |
для р = 0.05. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
12 |
24 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
164.4 |
199.5 |
215.7 |
224.6 |
230.2 |
234.0 |
|
244.9 |
249 |
254.3 |
|
2 |
18.5 |
19.2 |
19.2 |
19.3 |
19.3 |
19.3 |
|
19.4 |
19.5 |
19.5 |
|
3 |
10.1 |
9.6 |
9.3 |
9.1 |
9.0 |
8.9 |
|
8.7 |
8.6 |
8.5 |
|
4 |
7.7 |
6.9 |
6.6 |
6.4 |
6.3 |
6.2 |
|
5.9 |
5.8 |
5.6 |
|
5 |
6.6 |
5.8 |
5.4 |
5.2 |
5.1 |
5.0 |
|
4.7 |
4.5 |
4.4 |
|
6 |
6.0 |
5.1 |
4.8 |
4.5 |
4.4 |
4.3 |
|
4.0 |
3.8 |
3.7 |
|
7 |
5.6 |
4.7 |
4.4 |
4.1 |
4.0 |
3.9 |
|
3.6 |
3.4 |
3.2 |
|
8 |
5.3 |
4.5 |
4.1 |
3.8 |
3.7 |
3.6 |
|
3.3 |
3.1 |
2.9 |
|
9 |
5.1 |
4.3 |
3.9 |
3.6 |
3.5 |
3.4 |
|
3.1 |
2.9 |
2.7 |
|
10 |
5.0 |
4.1 |
3.7 |
3.5 |
3.3 |
3.2 |
|
2.9 |
2.7 |
2.5 |
|
11 |
4.8 |
4.0 |
3.6 |
3.4 |
3.2 |
3.1 |
|
2.8 |
2.6 |
2.4 |
|
12 |
4.8 |
3.9 |
3.5 |
3.3 |
3.1 |
3.0 |
|
2.7 |
2.5 |
2.3 |
|
13 |
4.7 |
3.8 |
3.4 |
3.2 |
3.0 |
2.9 |
|
2.6 |
2.4 |
2.2 |
|
14 |
4.6 |
3.7 |
3.3 |
3.1 |
3.0 |
2.9 |
|
2.5 |
2.3 |
2.1 |
|
15 |
4.5 |
3.7 |
3.3 |
3.1 |
2.9 |
2.8 |
|
2.5 |
2.3 |
2.1 |
|
16 |
4.5 |
3.6 |
3.2 |
3.0 |
2.9 |
2.7 |
|
2.4 |
2.2 |
2.0 |
|
17 |
4.5 |
3.6 |
3.2 |
3.0 |
2.8 |
2.7 |
|
2.4 |
2.2 |
2.0 |
|
18 |
4.4 |
3.6 |
3.2 |
2.9 |
2.8 |
2.7 |
|
2.3 |
2.1 |
1.9 |
|
19 |
4.4 |
3.5 |
3.1 |
2.9 |
2.7 |
2.6 |
|
2.3 |
2.1 |
1.8 |
|
20 |
4.4 |
3.5 |
3.1 |
2.9 |
2.7 |
2.6 |
|
2.3 |
2.1 |
1.8 |
|
22 |
4.3 |
3.4 |
3.1 |
2.8 |
2.7 |
2.6 |
|
2.2 |
2.0 |
1.8 |
|
24 |
4.3 |
3.4 |
3.0 |
2.8 |
2.6 |
2.5 |
|
2.2 |
2.0 |
1.7 |
|
26 |
4.2 |
3.4 |
3.0 |
2.7 |
2.6 |
2.4 |
|
2.1 |
1.9 |
1.7 |
|
28 |
4.2 |
3.3 |
2.9 |
2.7 |
2.6 |
2.4 |
|
2.1 |
1.9 |
1.6 |
|
30 |
4.2 |
3.3 |
2.9 |
2.7 |
2.5 |
2.4 |
|
2.1 |
1.9 |
1.6 |
|
40 |
4.1 |
3.2 |
2.9 |
2.6 |
2.5 |
2.3 |
|
2.0 |
1.8 |
1.5 |
|
60 |
4.0 |
3.2 |
2.8 |
2.5 |
2.4 |
2.3 |
|
1.9 |
1.7 |
1.4 |
|
120 |
3.9 |
3.1 |
2.7 |
2.5 |
2.3 |
2.2 |
|
1.8 |
1.6 |
1.3 |
|
∞ |
3.8 |
3.0 |
2.6 |
2.4 |
2.2 |
2.1 |
|
1.8 |
1.5 |
1.0 |
|
67