Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги2 / 166

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.02.2024

Размер:

3.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Недостаток: Метод Ньютона достаточно трудоемкий – на каждом шаге итерационного процесса необходимо найти матрицу,

обратную якобиану.

Модификации метода Ньютона:

I. Если матрицу Якоби вычислить и обратить лишь в начальной точке, то получим модифицированный метод Ньютона:

x(k 1)	x(k)	1	F(x(k) ).	(4.5)
		J(x(0) )

Плюсы: Требует меньших вычислительных затрат на 1

итерационный шаг. Минусы: Итераций требуется значительно больше для достижения заданной точности, чем основной метод Ньютона. Имеет геометрическую скорость сходимости.

II. Двухступенчатый метод Ньютона.

Идея: Вычисление и обращение матрицы Якоби не на каждой итерации, а через несколько шагов.

x(k 1) x(k) J(x(k) ) 1 F(x(k) ) J(x(k) ) 1 F(x(k) J(x(k) ) 1 F(x(k) )).

(4.6)

За x(k) принимается результат одного шага основного метода,

затем одного шага модифицированного метода – двухступенчатый

процесс.

(k)

(k) )

(k) );

(k)

(k) J(

(k) )

(k) ).

(4.7)

Такой процесс при определенных условиях дает кубическую сходимость последовательности x(k) к решению x* .

Существуют модификации метода Ньютона, в которых задача обращения матриц Якоби на каждой итерации решается не точно, а

приближенно. К таким методам относятся:

–аппроксимационный аналог метода Ньютона;

–разностный метод Ньютона.

4.1.2. Метод простой итерации

Необходимо найти решение системы (4.2). Таким образом,

рассматривается задача о нулях нелинейного отображения

F :Rn Rn .

Пусть Ф: X X , где Ф(X) – нелинейный оператор, а X –

банахово подпространство (сепарабельное, т. е. счетное, всюду плотное множество).

Определение.

Элемент пространства x* X

называется

неподвижной точкой оператора Ф, если Ф(x* ) x* .

Определение. Оператор Ф называется сжимающим на множестве

Q X , если для x'

и x''Q справедливо

Ф(x') Ф(x'')

x' x''

, q 1

– условие Липшица.

Рассмотрим наиболее простой метод – метод итерации.

Пусть система (4.1) преобразована к виду:

x							(x ,x						,...,x			)
1				1				1		2					n					(4.8)
...																				(4.8)
x			n			n		(x ,x						,...,x			)	,
			n			n		1		2					n			,
		Ф(					),													(4.9)
	x	Ф(			x		),													(4.9)
				(							)						(x ,x		,...,x	)
				(					x		)					1	(x ,x		,...,x	)
								1								1		1 2	n
где Ф(x) ...												...								.


				n (x)											n (x1,x2 ,...,xn )
Запишем итерацию
		(k 1)								(k)										(4.10)
		(k 1)								(k)
	x			Ф(x						),

которая определяет метод простой итерации для задачи (4.1).

Если отображение, задаваемое системой (4.8), является сжимающим в некоторой окрестности корня, начальное приближение x(0) (x1(0) ,x2(0) ,...,xn(0) )T лежит в той же окрестности и итерации (4.10) не

выходят за ее пределы, то последовательность x(k) сходится к

вектору решения системы (4.1) – x (x1*,x2*,...,xn*)T .

Теорема о простых итерациях. Пусть функция Ф(x) и

замкнутое множество M D(Ф) Rn :

1) Ф(x) M, x M ;

q 1:

Ф(x) Ф(x)

x x

, для x,x M ,

тогда

Ф(

) имеет в M

единственную

неподвижную точку

* ;

последовательность x(k) , определяемая методом простых итераций

по формуле (4.10), при

начальных

(0) M сходится

* и

справедливы оценки:

(k)

(k 1)

(1)

(0)

, k N

(4.11)

1 q

Для приведения системы нелинейных уравнений к виду,

пригодному для итерации, можно использовать такой способ:

умножить каждое уравнение системы (4.1) на i , где i 1,n, –

некоторый множитель, не равный нулю. Затем эти множители можно использовать для достижения условия сжимаемости.

Недостаток: необходимо прибегать к искусственным приемам при приведении системы к виду, пригодному для итерации.

4.1.3. Метод наискорейшего спуска

Общим недостатком рассмотренных ранее методов является локальный характер сходимости. Когда возникают проблемы с выбором хорошего начального приближения, применяют методы спуска.

Рассмотрим систему:

f (x, y) 0	.	(4.12)
	.	(4.12)
g(x, y) 0

Из функций f и g системы (4.12) образуем новую функцию:

Ф(x, y) f 2 (x, y) g2 (x, y).									(4.13)
Так как функция Ф(x, y) неотрицательная, то (x,y ):
Ф(x, y) Ф(x* , y* ) 0,						(x, y) R2 , т. е. (x* , y* ) argminФ(x, y).
								x,y R2
Так		как		Ф(x* , y* ) 0			f (x* , y* ) 0		решение
Так		как		Ф(x* , y* ) 0				(x, y )	решение
							g(x* , y* ) 0
системы (4.12).							xk , yk
Последовательность						точек	xk , yk	получим по рекуррентной
формуле
x		x		p		,			(4.14)
	k 1		k		k
				k
yk 1		yk		qk

где k 0,1,2,...;

(pk ,qk )T –

вектор,

определяющий направление

минимизации; k

– скалярная величина, шаговый множитель.

При этом выполняется условие релаксации: Ф(xk 1, yk 1 ) Ф(xk ,yk ).

gradФ(x

, y

Ф'

, y

)

– антиградиент Ф(x, y).

Вектор

)

(xk , yk )

Фy

Тогда градиентный метод имеет вид:

, y

)

k 1

(xk

, yk )

yk 1

Фу

где оптимальный шаг k		xk Фx' (xk , yk		)
где оптимальный шаг k	argminФ		'	.
	0		Фy (xk , yk
		yk	Фy (xk , yk	)

(4.15)

(4.16)

Формулы (4.15) и (4.16) определяют градиентный метод, который называют методом наискорейшего спуска.

Достоинство: глобальная скорость (из любой начальной точки процесс приведет к минимальной точке).

Недостаток: медленная скорость сходимости эквивалентная линейной, причем, скорость замедляется в окрестности корня. Лучше применять совместно с другими методами (сначала – спуск, затем – метод Ньютона).

4.2.Пример выполнения лабораторной работы

4.2.1.Задание к лабораторной работе

1.Локализуйте корни системы уравнений графически.

2.Найдите с точностью = 10–6 все корни системы нелинейных уравнений, используя методы Ньютона и наискорейшего спуска.

4.2.2.Решение типового примера

1.Локализуем корни системы уравнений графически.

sin(x1			1,5) x2		2,9 0		.
			2) x1	0			.
cos(x2			2) x1	0
Преобразуем систему уравнений к виду
x		sin(x 1,5) 2,9				.
	2		1	2) 2		.
x2 arccos( x1				2) 2
Построим графики полученных функций (рис. 4.1).
			5,5
			5
			4,5
			4
			3,5
			3
			2,5
			2
			1,5
			-1		-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
			-0,8		-0,6	-0,4	-0,2		0,2	0,4	0,6	0,8
			Рис. 4.1. Графическая локализация корня уравнения

Система уравнений имеет один действительный корень на отрезке единичной длины x1 0;1 и x2 3;4 .

2. Найдем с точностью = 10–6 корень системы нелинейных уравнений, используя метод Ньютона.

Построим итерационный процесс Ньютона

x(k 1) x(k) J(x(k)

Найдем якобиан

1
)	F(		x		(k) ).
		f		1		f	1
				1			1
		x1				x2
J		x1				x2		системы
	f2					f2

		x				x	2
				1			2

f		(x ,x		) sin(x		1,5) x				2,9
	1	1	2		1				2	.
f2 (x1,x2 ) cos(x2							2) x1
Получим					cos(x			1,5)		1
Получим					J		1					.
							1			sin(x2	2)
							1			sin(x2	2)

Выберем начальное приближение: x(0) 0 .

Вычисления будем выполнять до выполнения условия

xk xk 1 0,000 001.

Найдем значение якобиана в точке x(0) 0 , получим

		0,070		737	1
J(	x	0 )
			1		0,909	297	.
			1		0,909	297

			1	0,971804		1,068 743
Обратная матрица к якобиану	J(	x	0 )
Обратная матрица к якобиану					1,068 743	0,075 600	.
					1,068 743	0,075 600

0,102505

Значение функции F(x0 ) .

0,416147

Выполним первую итерацию

x	0	0,971804		1,068 743		0,102 505		0,345139
1					·		=		.
	4		1,068 743	0,075 600		0,416147		3,921909
x2	4		1,068 743	0,075 600		0,416147		3,921909

xk xk 1 0,345139.

Занесем вычисления в таблицу.

	k				x	k								x		k	x	k 1
	k				x	k								x		k	x	k 1

								0
	0
	0
								4
	1	0,345139											0,345 139
	1												0,345 139
		3,921909
	2	0,299 791											0,047 021
	2												0,047 021
		3,874888
	3	0,298 713											0,001 078
	3												0,001 078
		3,874140
	4	0,298 712											0,000 001
	4												0,000 001
		3,874139
	Поскольку								x	4	x	3			0,000 001, считаем, что корень системы
	Поскольку								x	4	x	3			0,000 001, считаем, что корень системы
				*			x1*				0,298 712								6
			x																6
уравнений			x																с точность 10 .
уравнений							*												с точность 10 .
							x2						3,874139

Найдем с точностью = 10–6 корень системы нелинейных

уравнений, используя метод наискорейшего спуска.

Построим итерационный процесс метода наискорейшего спуска

xk 1			xk		x (x1k ,x2k )
	1			1		1	k
	k 1			k	k	k	k		.
x2			x2		x2 (x1		,x2 )
Строим функцию Ф(x ,x								) f			2 (x ,x		) f 2		(x ,x		).
						1	2			1	1	2		2	1	2
Ф(x ,x			) sin2 (x 1,5) cos						2 (x	2	2) x2			x2 5,8sin(x					1,5)
	1	2			1					2			1		2			1	.
2x2 sin(x1 1,5) 8,41 5,8x2 2x2 cos(x2														2)					.
2x2 sin(x1 1,5) 8,41 5,8x2 2x2 cos(x2														2)
Найдем частные производные функции Ф(x1,x2 ):
x (x1 ,x2 ) 2 cos(x1						1,5) sin(x1 1,5) 2,9 x2										x1		cos(x2 2) ,
	1		,x2 ) 2 cos(x2
x2 (x1			,x2 ) 2 cos(x2				2)sin(x2					2) x2			sin(x1			1,5) 2,9
x1 sin(x1 1,5)																			.
x1 sin(x1 1,5)

Путем перебора выбираем наилучший шаговый множитель ,

который оставим постоянным = const = 0,3.

x		0,254039
После первой итерации получаем вектор:	1
			.
		3,711456
x2

И		только		на 25 итерации достигается необходимая точность
10 6 , и мы получаем решение:
			*		0,298 711
x	*		x1
x			*		.
			x2		3,741390

4.2.3. Варианты заданий

№Система уравнений

1	sin(x1 x2) x2 1.2 0
	2x1 cosx2 2 0
2	cos(x1 1) x2 0.5 0
	sinx1 2x2 2 0

3	sinx1 2x2 2 0
	cosx1 x2 1.5 0
4	cosx1 x2 1.5 0
	2x1 sin(x2 0.5) 1 0

5	sin(x1 1.5) x2 2.9 0
	cos(x2 2) x1 0
6	cos(x1 0.5) x2 0.8 0
	sinx2 2x1 1.6 0

7	sin(x1 1) x2 0.1 0
	x1 sin(x2 1) 0.8 0
8	cos(x1 x2) 2x2 0
	x1 sinx2 0.6 0

9cos(x1 0.5) x2 2 0 sinx2 2x1 1 0

№ Система уравнений

10sin(0.5x1 x2) 1.2x1 1 0

x12 x22 1 0

11tan(x1x2 0.3) x12 0

0.9x12 2x22 1 0

12sin(x1 x2) 1.3x1 1 0 x12 0.2x22 1 0

13tan(x1x2) x12 0

0.8x12 2x22 1 0

14sin(x1 x2) 1.5x1 0.1 0

3x12 x22 1 0

15tan(x1x2) x12 0

0.7x12 2x22 1 0

16sin(x1 x2) 1.2x1 0.1 0

x12 x22 1 0

17tan(x1x2 0.2) x12 0

0.6x12 2x22 1 0

18sin(x1 x2) x1 0.1 0 x2 cos(3x1) 0.1 0

														Окончание

№	Система уравнений											№	Система уравнений
19	sin(x x					) x		1.5 0				25	cos(x	0.5) x 1 0
	1				2	2							1	2
	x1 cos(x2 0.5) 0.5 0												sinx2 2x1 2 0
20	sin(x		1) x				1.2 0					26	cos(x	2) x 0
	2					1							2	1
	2x2 x			2	2 0								sin(x1 0.5) x2 2.9 0
	1			2
21	cos(x		1) x				0.5 0					27	sin(x 1) x 1.5 0
	2					1							1	2
	x2 cosx1 3 0												x1 sin(x2 1) 1 0
22	tan(x x				0.4) x				2		0	28	sin(x	1) x 1 0
	tan(x x				0.4) x						0		2	1
	1		2					1					2x2 cosx1 0.5 0
	0.6x12 2x22 1 0												2x2 cosx1 0.5 0
23	sin(x	x				) 1.6x				1 0		29	cos(x	1) x 0.8 0
	1				2			1					2	1
	x2 x2			1 0									x2 cosx1 2 0
	1	2
24	tan(x x				0.1) x				2		0	30	cos(x 1) x 1 0
	tan(x x				0.1) x						0		1	2
	1		2					1					sinx2 2x1 1.6 0
	x12 2x22				1 0								sinx2 2x1 1.6 0

5. Лабораторная работа №5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

5.1.Интерполяция таблично заданных функций

5.1.1.Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть в точках x0, x1,..., xn таких, что a ≤ x0 <...< xn≤ b известны значения функции y = f(x), то есть на отрезке [a; b] задана табличная

(сеточная) функция:

x	x0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

Определение. Функция φ(x) называется интерполирующей

(интерполяционной) для f(x) на [a; b], если ее значения φ(x0), φ(x1), ...,

φ(xn) в заданных точках x0, x1,..., xn, называемых узлами интерполяции,

совпадают с заданными значениями функции f(x), то есть с y0, y1,..., yn

соответственно.

Будем строить многочлен n-степени Ln(x) в виде линейной комбинации


	n
Ln (x) pi (x) f (xi ),				(5.1)
	i 0
где базисные многочлены имеют вид
pi (x)	(x x0 )(x x1)...(x xi 1)(x xi 1)(x xn )			,
	(xi x0 )(xi x1 )...(xi xi 1 )(xi xi 1 )(xi xn )

обладающий свойством: Ln (xi ) f (xi ),i			,	(5.2)
		0,n

если известны значения функции f(x) в точках xi ,i 0,n.

Теорема. Полином n-й степени, обладающий свойством (5.2),

единственный.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги2

#
24.02.2024976.12 Кб0162.pdf
#
24.02.20244.25 Mб0163.pdf
#
24.02.20242.04 Mб0164.pdf
#
24.02.20244.64 Mб0165.pdf
#
25.02.202414.32 Mб3166-1.pdf
#
24.02.20243.69 Mб2166.pdf
#
24.02.20241.68 Mб0167.pdf
#
24.02.20241.68 Mб0168.pdf
#
25.02.20241.39 Mб0169-1.pdf
#
24.02.20241.19 Mб0169.pdf
#
25.02.20245.29 Mб017-1.pdf