книги2 / 166

21

2. Лабораторная работа №2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1.Прямые методы решения

2.1.1.Постановка задачи

Будем рассматривать системы уравнений вида:

матрица коэффициентов системы (2.1).

Эффективность способов решения системы (2.1) во многом зависит от структуры и свойств матрицы А: размера,

обусловленности, симметричности, заполненности (т. е. соотношения между числом нулевых и ненулевых элементов), специфики расположения ненулевых элементов матрицы.

Теорема Кронекера–Капелли: Необходимым условием существования единственного решения системы (2.1) является:

det A 0.

Определение. Нормой называется такая величина, обладающая

свойствами:

1)||x|| > 0, ||x|| = 0 x = 0,

2)|| x|| = | |·||x||,

3)||x + y|| ||x|| + ||y||.

22

Определение. Если в пространстве векторов x (x1,x2,...,xn )T

введена норма ||x||, то согласованной с ней нормой в пространстве

Виды норм векторов и матриц

В пространстве векторов В пространстве матриц

1. Кубическая норма

2.1.2. Метод Гаусса

Один из методов решения системы (2.1) – метод Гаусса. Суть метода Гаусса заключается в приведении исходной матрицы А к

треугольному виду. Будем постоянно приводить систему (2.1) к

треугольному виду, исключая последовательно сначала х1 из второго,

третьего, …, n-го уравнений, затем x2 из третьего, четвертого, …, n-го уравнений преобразованной системы и т. д.

На первом этапе заменим второе, третье, …, n-е уравнения на уравнения, получающиеся сложением этих уравнений с первым,

Результатом этого этапа преобразований будет эквивалентная

(2.1) система

23

коэффициенты которой (с верхним индексом 1) подсчитываются по

формулам

При этом можно считать, что a11 0, так как по предположению система (2.1) однозначно разрешима, значит, все коэффициенты при

х1 не могут одновременно равняться нулю и на первое место всегда можно поставить уравнение с отличным от нуля первым коэффициентом.

На втором этапе проделываем такие же операции, как и на первом, с подсистемой (2.3). Эквивалентный (2.3) результат будет иметь вид

Продолжая этот процесс, на (n–1)-м шаге так называемого прямого хода метода Гаусса систему (2.1) приведем к треугольному виду

24

Структура полученной матрицы позволяет последовательно вычислять значения неизвестных, начиная с последнего (обратный

ход метода Гаусса).

x1 b1 a12 x2 ... a1n xn .

a112

Этот процесс можно определить одной формулой

где k полагают равным n, n – 1, …, 2,1 и сумма по определению считается равной нулю, если нижний предел суммирования имеет значение больше верхнего.

25

соответственно их абсолютные и относительные погрешности.

Тогда абсолютная погрешность решения системы (2.1) имеет оценку:

а относительная погрешность – оценку:

x AA 1 b .

2.2. Итерационные методы решения

2.2.1. Метод простой итерации (МПИ)

Система вида Ax b может быть преобразована к эквивалентной ей системе

Теорема (о простых итерациях). Необходимым и достаточным

условием сходимости МПИ (2.8) при любом начальном векторе x0 к

решению x* системы (2.2) является выполнение условия: или ||B|| < 1

(хотя бы в одной норме), или все собственные числа .

Для определения количества итераций, необходимых для достижения заданной точности ε, можно воспользоваться априорной

26

оценкой погрешности решения системы и это значение найти из неравенства:

B k

x1 x0 .

1 B

Апостериорную (уточненную) оценку погрешности решения находят по формуле

2.2.2. Метод Якоби

Для сходимости МПИ необходимо выполнение соответствующих условий. Одним достаточно эффективным способом приведения системы к виду, чтобы было выполнено условие сходимости МПИ,

является метод Якоби.

Представим А = L + D + R, где D – диагональная матрица, L, R –

левая и правая строго треугольные матрицы (с нулевыми

диагоналями).

Тогда систему (2.2) можно записать в виде Lx Dx Rx b .

Если на диагонали исходной матрицы нет 0, то эквивалентной к

формуле (2.2) задачей будет x D 1 (L R)x D 1b ,

где B D 1(L R), c D 1b – вектор свободных членов.

Тогда итерационный процесс Якоби:

Тогда (2.9) имеет вид:

27

Теорема. В случае диагонального преобладания в матрице А,

j1

2.2.3.Метод Зейделя

Метод Зейделя применяется в основном к системам, в которых преобладающими элементами являются диагональные. В противном случае скорость его сходимости практически не отличается от

Идея метода Зейделя: При проведении итераций по формуле

(2.10) используется результат предыдущих уравнений в процессе одной итерации.

28

Общая формула:

Теорема. Для того чтобы метод Зейделя сходился, достаточно

вещественная, симметричная, положительно определенная матрица.

2.2.4. Метод релаксации

Пусть имеется система линейных алгебраических уравнений. Преобразуем эту систему следующим образом.

Перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение

на ( a11), второе уравнение на ( a22 ) и т.д. Получим систему,

подготовленную к релаксации:

Пусть x0 (x10 ,...,xn0 ) – начальное приближение системы (2.12).

Подставляя эти значения в систему (2.12), получим невязки.