- •Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
- •Вычисление двойных интегралов
- •ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •Определение тройного интеграла
- •Вычисление тройных интегралов
- •КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •Основные свойства криволинейного интеграла первого типа
- •Вычисление криволинейного интеграла первого типа
- •Основные свойства криволинейного интеграла второго типа
- •Формула Грина
- •ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
- •Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского. Дивергенция.
- •Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь.
- •ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
- •ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Вычисление объема удобнее вести в цилиндрических координатах. Уравнение окружности, ограничивающей областьD , конуса и параболоида
соответственно принимают вид ρ = 2, z = ρ, z = 6 − ρ2 . С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей xOz и yOz. имеем
π |
6−ρ2 |
π |
||
2 |
2 |
|
|
|
V = 4∫2 dϕ∫ρdρ ∫dz = 4∫2 dϕ∫ρz |
|
6ρ−ρ2 dρ = |
||
|
||||
|
||||
0 0 |
ρ |
0 0 |
|
|
π
22
=4∫dϕ∫(6ρ − ρ3 − ρ2 )dρ =
00
π |
|
|
|
|
|
2 dϕ = |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
= 4∫2 (3ρ2 − |
ρ4 |
|
ρ3 |
) |
|
64 |
∫2 dϕ = |
64 |
|
|
|
32π |
. |
||||
|
|
|
|||||||||||||||
− |
|
ϕ |
2 |
= |
|||||||||||||
4 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если не учитывать симметрию, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2π |
2 |
6−ρ2 |
|
32π |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V = ∫ |
|
dϕ∫ρdρ ∫dz = |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
ρ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая кривая. Интегралы такого рода называются криволинейными. Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы по длине дуги и криволинейные интегралы по координатам.
3.1. Определение криволинейного интеграла первого типа (по длине дуги). Пусть функция f ( x, y ) определена вдоль плоской кусочно-
гладкой1 кривой L, концами которой будут точки A и B. Разобьем кривую L произвольным образом на n частей точками M 0 = A, M1,...M n = B . На
каждой из частичных дуг Mi Mi +1 выберем произвольную точку (xi , yi ) и вычислим значения функции f ( x, y )в каждой из этих точек. Сумма
1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочногладкой кривой называется кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.
23
n−1 |
|
σn = ∑ f (xi , yi )∆li , |
(3.1) |
i =0
где∆li – длина частичной дуги Mi Mi +1 , называется интегральной суммой
для функции f (x, y) по кривой L. Обозначим наибольшую из длин |
|||
частичных дуг Mi Mi +1 , i = |
|
|
|
0,n −1 черезλ, то есть λ = max ∆li . |
|
||
|
|
0≤i≤n−1 |
|
Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1) |
при |
||
стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугMi Mi +1 , |
не |
||
зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от |
выбора точек (xi , yi ) , то этот предел называется криволинейным интегралом первого типа (криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (x, y) по кривой L и обозначается символом ∫ f (x, y)dl .
Таким образом, по определению |
L |
|
|
|
|
n−1 |
|
|
I = lim ∑ f (xi , yi )∆li =∫ f (x, y)dl. |
(3.2) |
|
λ→0 i=0 |
L |
|
Функция f (x, y) называется в этом случае интегрируемой вдоль кривой L,
кривая L = AB - контуром интегрирования, А – начальной, а В- конечной точками интегрирования, dl - элементом длины дуги.
Замечание 3.1. Если в (3.2) положить f (x, y) ≡1 для (x, y) L , то
получим выражение длины дуги L в виде криволинейного интеграла первого типа
l = ∫dl.
|
|
|
L |
|
Действительно, из определения криволинейного интеграла следует, |
||||
что |
dl = lim n−1 |
|
|
|
∫ |
∆l |
= lim l = l . |
|
|
λ→0 ∑ |
i |
λ→0 |
|
|
L |
i =0 |
|
|
# |
|
|
|
|
|
3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа |
||||
аналогичны свойствам определенного интеграла: |
|
|||
1о. ∫[f1(x, y) ± f2 (x, y)]dl = ∫ f1(x, y)dl ± ∫ f2 (x, y)dl. |
|
|||
L |
|
L |
L |
|
2о. ∫cf (x, y)dl = c∫ f (x, y)dl , где с- константа. |
|
|||
L |
L |
|
|
и L , не |
3о. Если контур интегрирования L разбит на две части L |
||||
|
|
|
1 |
2 |
имеющие общих внутренних точек, то
24
∫ f ( x, y )dl = ∫ f ( x, y )dl + ∫ f ( x, y )dl.
L |
L1 |
L2 |
4о.Отметим особо, что величина криволинейного интеграла первого типа не зависит от направления интегрирования, так как в формировании интегральной суммы (3.1) участвуют значения функции f (x, y) в
произвольных точках и длины частичных дуг ∆li , которые положительны,
независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую – конечной, то есть
∫ |
f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl . |
(3.3) |
|
AB |
BA |
|
|
3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа |
|||
сводится к вычислению определенных интегралов. |
|
|
|
|
x=x(t) |
. |
|
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями |
y=y(t) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Пустьα и β – значения параметра t, соответствующие началу (точка А ) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
концу (точка В) |
дуги |
L. |
|
Считаем, |
|
что |
на |
|
отрезке |
[α, β] |
функции |
||||||||||||||||||||||
x(t), y(t) и |
их |
производные |
|
x (t), y (t) |
- непрерывны, |
а |
f (x, y) - |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функций одной переменной известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
2 |
|
|
|
′ |
|
|
|
2 |
dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl = (x (t)) |
|
|
|
+( y (t)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x(t), y(t)) |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
dt. |
|
(3.4) |
|||||||||||||||||||||||
|
(x (t) |
|
|
+( y (t)) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
∫x2 dl, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 3.1. |
Вычислить |
где |
L |
– часть |
окружности |
||||||||||||||||||||||||||||
x=a cos t |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,0 ≤ t ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y=a sin t |
2 . |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Так как x (t) = −a sin t , y (t) = a cos t , то |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
dl = |
(−a sin t)2 +(a cos t)2 dt = a2 sin2 t +cos2 tdt = adt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
и по формуле (3.4) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
(1 |
+cos 2t)dt = |
(t |
+ |
sin 2t |
) |
2 |
= |
||||||||||||||
∫x2dl = ∫a2 cos2 t adt = a |
3 ∫ |
2 |
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
( |
π |
|
+ |
|
sin π |
|
− |
|
sin 0 |
) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#
25
|
Если |
кривая |
L задана |
уравнением |
|
y = y(x), |
a ≤ x ≤ b |
и |
y(x) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна вместе со своей производной y |
(x) при a ≤ x ≤ b, то |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dl = |
|
′ |
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+( y (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и формула (3.4) принимает вид |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y(x)) |
1+ |
|
|
′ |
|
dx. |
|
|
(3.5) |
||||||||
|
|
|
( y (x)) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
L |
L задана |
|
a |
|
|
x = x( y), c ≤ y ≤ d |
|
x( y) |
|||||||||
|
Если |
кривая |
|
уравнением |
|
и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна вместе со своей производной x ( y) при c ≤ y ≤ d , то |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dl = |
|
′ |
|
2 |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+(x ( y)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и формула (3.4) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x( y), y) |
|
|
|
′ |
|
|
dy. |
|
|
(3.6) |
|||||||
|
|
|
1 +(x ( y)) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
Пример 3.2. Вычислить ∫ydl, где L – дуга параболы |
= 2x от |
||||||||||||||||||
точки А(0,0) до точки В(2,2). |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. Вычислим интеграл двумя способами, применяя |
|||||||||||||||||||
формулы (3.5) и(3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
2x ( y ≥ 0), y′ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то |
y = |
= 2 x = |
|
2x , |
dl = |
|
1+ 2xdx, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / 2 2 |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (5 |
32 −1) . |
||||||
∫ydl = ∫ |
2x |
2x +1dx = ∫(2x +1)1/ 2 dx = |
1 (2x +1) |
|
|
|
|
= |
||||||||||||
L |
0 |
|
2x |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
3 / 2 |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y2 |
′ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 , x |
= y, dl |
= |
|
1+ y |
dy, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то
|
2 |
y 1 + y 2 dy = |
1 |
(1 + y |
2 |
) |
3 |
/ 2 2 |
∫ ydl = ∫ |
|
|
|
|||||
L |
0 |
|
2 |
3 / 2 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
= 13 ( 5 5 −1).
#
Замечание 3.2. Аналогично рассмотренному, можно ввести понятие криволинейного интеграла первого типа от функции f (x, y, z) по
пространственной кусочно-гладкой кривой L:
26
∫ f (x, y, z)dl = lim |
n−1 |
|
∑ f (xi , yi , zi )∆li . |
||
L |
λ→0 i =1 |
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
α ≤ t ≤ β , то
|
dl = |
′ |
2 |
+ |
|
′ |
|
2 |
+ |
|
′ |
|
2 |
dt |
|
|
|
(x (t)) |
|
( y (t)) |
|
(z (t)) |
|
|
|
||||||||
и |
|
∫ f (x, y, z)dl = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
β |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
= ∫ |
|
′ |
|
|
+ |
′ |
|
|
+ |
′ |
|
|
dt . |
|||
f (x(t), y(t), z(t)) (x (t)) |
|
( y (t)) |
|
(z (t)) |
|
α
x=x(t) ,y=y(t)
z=z(t)
(3.7)
#
Пример 3.3. Вычислить∫(2z − x2 + y2 )dl, где L – дуга кривой
|
|
L |
|
|
|
x=t cos t |
,0 ≤ t ≤ 2π. |
|
y =t sin t |
||
|
|
|
z =t |
|
|
Решение. |
Так как |
|
то |
x′ = cost −t sint, y′ = sint +t cost, z′ =1, |
|
|
|
|
|
dl = |
(cos t −t sin t )2 +(sin t +t cos t )2 +1dt = |
= cos2 t −2t sin t cos t +t2 sin2 t + sin2 t + 2t sin t cos t +t2 cos2 t +1dt =
= 2 +t2 dt .
Теперь по формуле (3.7) имеем
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(2z − |
x2 + y2 )dl = ∫(2t − |
|
|
t 2 cos2 t + t 2 sin 2 t ) |
2 + t 2 dt = |
|||||||||||||||||
L |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2π |
|
2 |
|
1 (2 |
+t2 ) |
3 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= ∫ |
t 2 +t |
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(2 |
+4π |
|
) |
|
2 |
−2 2 |
|
= |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 32 (1+2π2) 32 −1 .
#
27
Геометрический смысл криволинейного интеграла по длине дуги: если f (x, y) ≥ 0 , то криволинейный
интеграл∫ f (x, y)dl |
численно |
равен |
|||
|
L |
|
|
|
|
площади |
цилиндрической |
поверхности, |
|||
которая составлена из перпендикуляров к |
|||||
плоскости xOy, |
восстановленных в точках |
||||
(x, y) |
кривой |
L = AB |
и имеющих |
|
переменную длину, |
равную |
f ( x, y ) |
|
(рис. 3. 1). |
|
|
Рис. 3.1 |
Физический |
смысл |
криволиней- |
ного интеграла по |
длине дуги: криволинейный |
интеграл |
∫ρ(x, y)dl |
|
|
|
L |
представляет собой массу кривой L, имеющей переменную линейную плотность ρ(x, y)
m = ∫ρ(x, y)dl . |
|
(3.8) |
|
L |
x=t |
||
|
|||
Пример 3.4. Найти массу дуги AB |
|
t 2 , 0 ≤ t ≤1, |
|
линии |
|||
|
y= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
линейная плотность которой меняется по закону ρ(x, y) = 2 y.
Решение. Для вычисления массы дуги AB воспользуемся формулой (3.8). Дуга AB задана параметрически, поэтому для вычисления интеграла (3.8) применяем формулу (3.4). Так как
|
|
′ |
|
′ |
|
|
1+t |
2 |
dt , |
|
|
|
|
|
то |
|
x (t) =1, y (t) = t , dl = |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ 2 1 |
||
|
1 |
2 t |
2 |
|
|
1 |
|
|
1 (1+t |
2 |
) |
|||
m = ∫ 2 ydl = ∫ |
|
12 +t2 dt = ∫t 1+t2 dt = |
|
|
= |
|||||||||
AB |
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
3 / 2 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
1 |
(23 / 2 − |
1) = |
2 2 −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по |
||||||||||||||
координатам). Пусть функция |
f (x, y) определена вдоль плоской |
|||||||||||||
кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В. Опять |
||||||||||||||
произвольным |
образом |
разобьем |
кривую L |
на |
|
n |
частей |
точками |
||||||
M 0 = A, M1,...M n = B Так же выберем в пределах |
каждой частичной |
|||||||||||||
дуги Mi Mi +1 |
произвольную точку |
( xi , yi ) |
и вычислим |
|
значения |
28