13. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Вид ai (const) ∈ R или C

ОДНОРОДНЫЕ f(x)=0

Общ решение: Лин Комби с постоянными коэф-ми фундам сист решений

Поиск решения:

L(D) – лин диф-ый оператор

L(D)y(x) = 0

Составим характеристическое ур-ие след.образом

y⁽ⁿ⁾ = λ⁽ⁿ⁾ , y^(n-1) = λ^(n-1) , y = 1 =>

Находим корни λ1… λn

Случай 1) Все λ – различные действит корни. Тогда решение записывается в виде:

y(x) = C1*e^λ1x + C2*e^λ2x + …+ Cn*e^λnx

Случай 2) Корни кратные и R(действит)

λ1, λ2 … λm с кратностью k1, k2… km

Общ реш: y(x)= e^λ1x * (C1+C2x+C3x² +…. +Сk1 x^k1-1)+ …+ e^λmx *(C_n-km+C_n-km+1x+…+C_nx^km-1)

Случай 3) λ1, λ2 = α1 ± iβ1 (вещест и мнимая) α1,β1 ∈ R

λ3, λ4 = α2 ± iβ2

e^iφ = cosφ + isinφ

Формулы Эйлера sin y = cos y =

y(x) = e^α1x*(C1cosβ1x+ C2sinβ1x) + e^α2x*(C3cosβ2x+ C4sinβ2x) + …

В ходе решения применяем формулу Муавра: z=|z| *(cosφ+isinφ) => z^1/n = |z |^1/n *(cos + ) где k = 0,1,2..n-1

НЕОДНОРОДНЫЕ f(x) ≠ 0

Случай 1) Метод вариации произвольной постоянной

Сначала решаем однородное ур-ие

y_o = e^λ1xC1 …. или y_o = С1Y1(x)+ С2Y2(x)+…+ СnYn(x), где Y_1…n= e^x(C1cos_β1x+ C2sin_β2x)

Пусть С1… Cn = C1(x)…C1(n)

Составляем систему

+ далее находим все константы методом Крамера

W= | | W1= … Wn= || C1’=W1/W … Cn’=Wn/W C1= ∫(W1/W)...Cn=∫(Wn/W) Случай 2) Метод неопределенных коэф

Найти общее: y = yo + (реш однор + реш частн)

f(x) = Pn(x)*e^αx Pn – полином или f(x) = e^αx (Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx)

- решаем однородное характ-е ур-ие

- разбиваем f(x) на слагаемые и решаем каждое слаг-ое

(f(x) = f1(x) + f2(x) (x)+ (x) = + )

- = x^SAn(x) e^αx – находим общ вид постановки и находим коэф при подобных слагаемых

S – кол-во λi (кратность компл числа каждого корня хар ур-ия)

n – макс степень мн-на, т.е макс степень одного из полиномов в f(x)

λ1…n = α λ1…n = α+iβ

λk = α => резонансный случай S = кол-во λi

λk не= α => нерезонансный случай S=0

Подставляем в ур-ие и находим коэф-ты многочлена.

y = yo + Σ

13. Линейные системы д.У. Общие свойства

Система линейных дифференцируемых уравнений - система вида

В векторной форме:

X = = F(t) =

Если , то система линейная однородная, иначе - линейная неоднородная.

Линейный дифференциальный оператор:

Свойства :

1. 

2. 

Решением называется вектор-функция x = φ(t), которая дифференцируема на некотором промежутке ⟨α, β⟩ ⊆ I и при подстановке в векторное ОДУ дает тождество по t. Производная решения непрерывна.

Для любых начальных данных ∈ I, = ∈ решение задачи Коши ( ) существует и единственно на интервал I.

В общем случае все переменные Комплексная система сводится к вещественной порядка 2n

x = u + v_i , u = Rex : I → Rn, v = Im x : I → Rⁿ

= + i = (A_Re + iA_Im)(u + iv) + f_Re + if_Im ⇒

=>, общие результаты теории вещественных линейных систем ОДУ переносятся на комплекснозначный случай.

13. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Пусть A = const . Займемся вначале построением фундаментальной матрицы однородной линейной системы

x-матрица в виде одного столбца.

Пусть корни λ_j характеристического полинома χ(λ) = |λE − A| матрицы A различны. Ищем нетривиальное решение в форме:

Подставляем.

Это алгебраическая задача поиска собственных чисел и собственных векторов. Получаем

|λE − A| - мы ищем нетривиальное решение.

Чтобы - решение, то

= L( ) – характеристический полином

Получаем, что - собственное число А, а b - собственный вектор А.

- Пусть в характеристическом полиноме n различных корней

φ¹ =

При t=0 получается линейная комбинация векторов . Различным собственным числам соответствует ЛНЗ собственный вектор. - независимы и все

Общим решением является вектор-функция ( )

или для решения можно воспользоваться методом исключения:

x’(t) = AX(t) + f(t) – в матричном виде

Однород. x’(i) =AX(t)

Метод исключения:

x1, x2 – некоторые функции от t

=>

– лин ур-ие 2 порядка

x1 = 0

ур-ие высш поряд однор с постоянн коэф

λ² –()λ - ()=0

x1 = C1e ^λ1t+C2e ^λ2t => , x2-найти