Добавил:

Vor_fleshek Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

7 сем / Vse_lektsii_TAU

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

13.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Wк* (p) согласно выражению (1) (т.к. при наличии неточности равенства сокращаемых множителей появляется неустойчивость).

Следовательно, условие грубости требует, чтобы передаточная функция Wк* (p) звена

коррекции не содержала нулей и полюсов, близких к правым полюсам и нулям

передаточной функции W * (p) приведенной части системы.

Wп* (p)

А для этого, как следует из (2)

(W * (p)

Q* (p)

Kз* (p)

), необходимо и достаточно,

P* (p)

K* (p)

чтобы

заданная передаточная функция

Kз* (p)

содержала

правые нули полинома

P* (p)

(т.е. правые нули W * (p) ), а 1 K* (p)

содержала бы правые нули полинома Q* (p) (т.е.

правые полюсы W * (p) ) (чтобы они сократились. Надо так задавать K* (p) !)

В лабораторной работе W * (p) W * (p) .

4.3. Основные уравнения синтеза.

Уравнения синтеза должны

обеспечить

синтез осуществимого КЗ и

грубой

(работоспособной) ИСАУ. Для составления этих уравнений представим числитель P* (p)

и знаменатель			Q* (p) передаточной функции W* (p)	P* (p)	приведенной части системы
и знаменатель			Q* (p) передаточной функции W* (p)		приведенной части системы
			п	Q* (p)
(= неизменяемой части) в виде:
P* (p) P*		(p) P* (p) ,

Q* (p) Q*		(p) Q* (p) ,

где P* (p) и Q*			(p) – многочлены переменной e pT , содержащие левые («хорошие») корни

полиномов P* (p) и Q* (p) ,
P* (p)	и Q* (p)		– --//-- правые и нулевые корни полиномов P* (p) и Q* (p)

(при наличии запаздывания в приведенной части системы – P* (p) P* (p) P* (p) e ps0T )

Такое разбиение полиномов P* (p) и Q* (p) называется факторизацией.
Согласно условиям осуществимости и грубости, задаваемая передаточная функция					K* (p)
					з
синтезируемой системы, а также многочлен 1 K* (p) должны иметь вид:
			з
только когда есть запаздывание в привед. части ИСАУ
*	*	ps T		M * (p)	(4)
Kз	(p) P (p) e	0		G* (p)	(4)
		0
					6

1 K* (p) Q*		(p)	N* (p)	,	(5)
1 K* (p) Q*		(p)	G* (p)	,	(5)
з			G* (p)
где M * (p) , N* (p) , и G* (p) – многочлены по e pT				степеней nM , nN	и n соответственно,
которые при синтезе подлежат	определению. Очевидно, полином G* (p) является
знаменателем передаточной функции K*		(p) .
	з

Сложив правые и левые части выражений (4) и (5), получаем первое полиномиальное уравнение синтеза:

P* (p) M * (p) Q* (p) e ps0T N* (p) G* (p) e ps0T ,

которое позволяет определить неизвестные многочлены M * (p) и N* (p) .

Если наряду с осуществимостью КЗ и грубостью ИСАУ (должны обеспечиваться всегда) требуется улучшить переходный процесс по управляющему воздействию (сигнал U на входе непрерывной части) ( hU [ mT ] ), то задаваемая передаточная функция Kз* (p) должна

содержать весь полином P* (p) , а 1 Kз* (p) – весь полином Q* (p) . При выполнении

этого условия и отсутствии запаздывания в исходной системе (для простоты предполагаем это) имеем второе полиномиальное уравнение синтеза:

P* (p) M * (p) Q* (p) N* (p) G* (p)

Если к ИСАУ предъявляется еще и требование астатизма -го порядка (нулевой ошибки в установившемся режиме), то полином Q* (p) должен содержать в качестве сомножителя двучлен (e pT 1) , где – порядок астатизма:

Q* (p) Q* (p)(e pT 1)

получаем третье полиномиальное уравнение синтеза:

P* (p) M * (p) Q* (p)(e pT 1) N* (p) G* (p)

Все три уравнения синтеза или их комбинации могут служить для синтеза системы с конечной длительностью переходного процесса, если положить G* (p) e pnT (условие получения процесса конечной длительности: знаменатель Kз* (p) состоит только из

одного слагаемого). Для этого случая сформируем четвертое полиномиальное уравнение синтеза:

P* (p) M * (p) Q* (p) N* (p) e pnT ,

где n – степень ХУ заданной системы – не должна быть меньше, чем степень ХУ исходной (Wп* (p) Wр* (p) ).

Во всех уравнениях синтеза неизвестными являются коэффициенты полиномов M * (p) и

N* (p) :

*	(p) m0		m1e	pT	mnM e		pnM T
M
	*	(p) n0	n1e	pT	nnN e	pnNT
N

Эти коэффициенты определяются из системы алгебраических уравнений, которую можно составить на основании выбранного уравнения синтеза, приравнивая сумму

коэффициентов правой и левой части его при одинаковых степенях e pT . При этом степени ( nM и nN ) этих многочленов должны выбираться из условия разрешимости

полученной системы алгебраических уравнений и условия физической реализуемости передаточных функций.

Для разрешимости уравнения синтеза нужно, чтобы число получаемых из него уравнений

для определения коэффициентов mi				и nj		(этих уравнения на 1 больше степени полинома
*	ps0T	, т.е. имеем	n 1 s			уравнение) было	бы не	больше числа этих
G (p) e		, т.е. имеем	n 1 s			уравнение) было	бы не	больше числа этих
				0
коэффициентов, т.е.
			должно быть
			n 1			(nM 1) (nN 1)
(для простоты считаем, что запаздывания нет;
(n 1)	– число неизвестных коэффициентов полинома						M * (p)	с учетом свободного
M
члена;
(n 1) – --//-- N* (p) --//--)
N


					n nM nN 1			(6)

– условие разрешимости четвертого уравнение синтеза:

Из условия осуществимости Kз* (p) для четвёртого уравнения синтеза (в 4-м уравнении

синтеза предполагается, что		*	(p)		P* (p) M * (p)		(см. (4)), состоящего в том,	что
		Kз
		Kз			*
					G (p)
порядок знаменателя	K* (p) должен быть порядка числителя, имеем:
	з

				nР nM n		.		(7)
								8

Q* (p)

N* (p)

Кроме того, т.к. (см. (5))

1 K

(p) Q

(p)

, то

G* (p)

(8)

(Действительно, если K* (p)

B* (p)

, то

1 K* (p)

A* (p) B* (p)

(p) N* (p)

A* (p)

порядок равен n)

Подставив в соотношения (7) и (8) n из (6), получим:

нетрудно определить

n n

1; n

допустимые степени многочленов M * (p) и N* (p) .

Для четвёртого уравнения синтеза корректирующее звено имеет передаточную функцию

Wк ( p ) Q* (p) Q* (p)

P* (p)

P* (p) M * (p)

G* (p)N* (p) G* (p)

Q*	(p) M * (p)
		(10)
	N* (p)	(10)
	N* (p)

Пример. Рассмотрим синтез процесса конечной длительности. Задана передаточная функция разомкнутой ИСАУ:

W ( p)	P ( p)	1,84(e pT 0,718)	.

	Q ( p)	(e pT 1)(e pT 0,368)

Q* (p) Q* (p)

Принимаем показатель степени характеристического уравнения Kз ( p) синтезируемой системы n nQ 2 . Составляем уравнение синтеза на основании четвёртого уравнения:

1,84(e pT 0,718)M ( p) (e pT 1)N ( p) e2 pT .

Используя соотношения (7)			и (8), задаём nM 0, nN 1 (из (7) ->	n	n n	1 , из
				M	Р
(8) -> n	n	n 1;	при этом смотрим, чтобы W * (p) была		осуществима: в
N		Q	к
			к

выражении (10) степень числителя не должна превышать степень знаменателя). Тогда M ( p ) m0

N ( p ) n1e pT n0

Подставляем многочлены M ( p) и N ( p) в уравнение синтеза, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях e pT и определяем неизвестные коэффициенты

m0,n0	и n1:
e0 pT	1,84 0,718m			n	0;
		0		0
e pT	1,84m n n 0;
	0	0	1
e2 pT	n 1.
	1
Из данной системы находим: m0 0,316,						n0 0,418.

Теперь на основании (10) можно записать передаточную функцию корректирующего звена:

	Q* (p) M * (p)	0,316( e pT 0,368 )
W ( p )			.
W ( p )		e pT 0,418	.
к	N* (p)	e pT 0,418

Оптимальная передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Kз	( p ) P ( p ) M		( p )		0,582( e pT 0,718 )	0,582e pT	0,582 0,718e 2 pT

	опт	G ( p )			e2 pT

Из выражения для Kз				( p) следует, что переходная функция h lT имеет
		опт
конечное время установления, равное 2T nT :
h 0 0;		h T 0,582;		h 2T 1.
(Т.е. переходная функция h lT обращается в 1 за 2 такта.)

Лекция № 11 (15 ноября 2021)

Продолжение п. 3.3. Частотные критерии устойчивости.

Было ранее:

В основе частотных критериев устойчивости лежит принцип аргумента. Принцип

аргумента

позволяет

выяснить,

каким будет

приращение аргумента

характеристического вектора A* j

исследуемой (замкнутой или разомк.) ИСАУ

при изменении частоты от 0 до

. Его формулировка:

если все

arg A*

если есть k корней

а (n k) :

0 0

2(n k)

(n k) ,

Критерий Найквиста

Этот частотный критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой ИСАУ по виду АФХ разомкнутой ИСАУ Wр* (j ) .

Пусть ККУ разомкнутой ИСАУ имеет вид:


W * (j )	B* (j )
W * (j )	A* (j )
р	A* (j )
W * (j )		Y* (j )	– это коэффициент пропорциональности, показывающий связь
W * (j )		X * (j )	– это коэффициент пропорциональности, показывающий связь
р		X * (j )

между спектрами Y* (j ) и X * (j ) .

Как и для непрерывных систем, рассматривается 3 случая:

а) разомкнутая ИСАУ устойчива; б) разомкнутая ИСАУ неустойчива;

в) разомкнутая ИСАУ находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчива).

а) ИСАУ в разомкнутом состоянии устойчива (~ все n корней характеристического уравнения A* (z) 0 расположены внутри единичной окружности)

По аналогии с критерием Найквиста для непрерывных систем сформируем функцию

F* (j ) 1 W* (j )=		B* (j )+A* (j )	D* (j )	,
		A* (j )	A* (j )
р
где A* (j )	– характеристический вектор разомкнутой ИСАУ, D* (j ) –

характеристический вектор замкнутой ИСАУ.

Определим, чему должно равняться argF* (j )		0
	при 0		, чтобы гарантировать
		2

устойчивость замкнутой ИСАУ (в смысле необходимого и достаточного условия).

Из принципа аргумента следует, что приращение аргумента характеристического вектора

разомкнутой ИСАУ при изменении частоты от 0 до 20 равно:

arg A* j n


0 0
2
(т.к. все n корней характеристического уравнения		A* (z) 0 расположены внутри
единичной окружности на Z-плоскости корней, т.е. все	z	1 , 1,n ).

Если потребовать, чтобы замкнутая система была устойчива, то должно выполняться

arg D* (j ) n


0	0
0
2
										1 )
(т.к. необходимое и достаточное условие устойчивости ИСАУ – все корни ХУ:									z	1 )
							0
Тогда приращение аргумента функции F* (j ) при 0							0	равняется:
Тогда приращение аргумента функции F* (j ) при 0							2	равняется:
							2
arg F * (j ) arg D* (j ) arg A* j n n 0

0		0	0	0	0	0
0			0		0
2			2		2

Отсюда следует, что для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы

приращение аргумента вектора F

(j ) при изменении частоты от 0 до

равнялось

нулю.

Рассмотрим плоскость F:

Суммарный поворот вокруг начала координат конца вектора			F* (j )		при изменении
			1
частоты от 0 до	0		*	(j ) равен 2 .
частоты от 0 до	2	равен нулю. Суммарный поворот конца вектора F2		(j ) равен 2 .
	2
					2

Для устойчивости замкнутой ИСАУ годограф F* (j ) не должен охватывать начало

координат (точку (0, j0) ).

Поскольку F* (j ) 1 Wр* (j ) , то годограф разомкнутой ИСАУ получается смещением годографа F* (j ) на единицу влево:

Следовательно, формулировка критерия Найквиста для случая устойчивой разомкнутой ИСАУ такова:

Если разомкнутая ИСАУ устойчива, то для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку ( 1, j0) .

б) Разомкнутая ИСАУ неустойчива (~ ее характеристическое уравнение A* (z) 0 имеет k

корней:

1 , остальные (n k ) корней:

1 )

Определим, чему должно равняться argF* (j ) при 0

, чтобы замкнутая ИСАУ

была устойчива.

arg F* (j ) arg D* (j ) arg A* j

(n k ) k 2

требуем

по принципу

аргумента

Для

устойчивости замкнутой ИСАУ годограф

F* (j )

должен охватывать начало

координат k раз в положительном направлении.

переходим к Wр* (j ) смещением годографа F* (j ) на единицу влево.

Критерий Найквиста для случая неустойчивой разомкнутой ИСАУ такова:

Для того чтобы замкнутая ИСАУ была устойчива, если она неустойчива в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала точку

( 1, j0)			k	раз в положительном направлении (против часовой стрелки),			где k – число
( 1, j0)			2	раз в положительном направлении (против часовой стрелки),			где k – число
			2
корней ХУ, лежащих вне окружности единичного радиуса.

						1 (остальные корни:
Пример.			Пусть ХУ разомкнутой системы имеет k 2 корня:		z	1 (остальные корни:
	z	1 )
	z	1 )
1)
				замкнутая ИСАУ устойчива, т.к. АФХ разомкнутой
				системы охватывает точку		( 1, j0)	1 раз (=	k	) в
				системы охватывает точку		( 1, j0)	1 раз (=		) в
							2

положительном направлении

замкнутая ИСАУ неустойчива, т.к. АФХ разомкнутой системы охватывает точку ( 1, j0) в отрицательном направлении

в) Разомкнутая ИСАУ нейтрально-устойчива (т.е. ее	ХУ A* (z) 0	имеет ν корней,
		Rep 0 ) (пусть
расположенных на единичной окружности / A* (p) 0	имеет ν корней	Rep 0 ) (пусть
		i
для простоты они вещественны, т.е. pi 0 ).
В этом случае ККУ разомкнутой системы имеет вид:

Wр* (j )		B* (j )
Wр* (j )		(e j T -1) (e j T - e p1T )	(e j T - e pn T )
		(e j T -1) (e j T - e p1T )	(e j T - e pn T )
Амплитудно-фазовая характеристика W * (j )				при малых начинается в бесконечности,
			р
поэтому	неясно, охватывает		ли она точку ( 1, j0)		или нет воспользоваться

приведенными в п. а) и б) формулировками критерия Найквиста нельзя. В рассматриваемом случае нулевые корни искусственно сдвигают в левую (правую) полуплоскость на малую величину, что позволяет получить устойчивую (неустойчивую) разомкнутую систему и применить критерий Найквиста для устойчивой (неустойчивой) разомкнутой системы.

Так, в случае сдвига влево будем иметь:

Wр* (j )	B* (j )	, где 0 , 0
Wр* (j )	(e j T -1 ) A* (j )	, где 0 , 0
	(e j T -1 ) A* (j )
	1

Например, для ν = 1:

Годографы Wр* (j )

Wр* (j )	1			B* (j )
Wр* (j )			e j T -1			*
			e j T -1			*
		(			1)	A (j )
		(			1)	A (j )
						1
						1

и Wр* (j ) близки на высоких частотах и отличаются на низких: у

годографа Wр* (j ) имеется дуга бесконечно большого радиуса, начинающаяся при 0 на действительной положительной полуоси и с увеличением частоты описывающая угол

		(по часовой стрелке) вокруг начала координат. Данная дуга называется
	2

«дополнением в бесконечности».

Формулировка критерия устойчивости Найквиста для данного случая следующая:

Если разомкнутая ИСАУ нейтральна, то для того чтобы замкнутая ИСАУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой ИСАУ с «дополнением в бесконечности» не охватывала точку ( 1, j0) .

Следствие из критерия Найквиста.

В сложных случаях, когда неясно, охватывает ли АФХ Wр* (j ) точку ( 1, j0) , удобно пользоваться еще одной формулировкой критерия Найквиста.

Если АФХ Wр* (j ) охватывает точку ( 1, j0) , то она пересекает луч действительной оси ( , 1) . Будем считать такой переход положительным, если при возрастании частоты АФХ пересекает луч ( , 1) сверху вниз и отрицательным – если снизу вверх.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 7 сем

#
26.01.202413.15 Mб0Vse_lektsii_TAU.pdf
#
26.01.202470.66 Кб1Вопросы к экзамену по ТАУ2 (2023).doc