7 сем / Vse_lektsii_TAU

Добавил:

Vor_fleshek Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

Если x(t) e t , то

если x(t) a1 (t) , то

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

13.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Пример 2:

Найдем передаточную функцию формирующего звена, вырабатывающего импульс треугольной формы (с единичной амплитудой):

Аналитическое выражение импульса:

s(t)=s1 (t) s2 (t) s3 (t) ,

где		s (t)=kt1 (t) , s (t)=-2k(t													T	)1		(t		T		) ,			s (t)=k(t T )1 (t T ) , k tg =								1	2	.
		1				0		2							2	0			2						3					0			T	T
															2				2														T	T
																																	2
В этом случае передаточная функция формирователя будет равна
				L s(t) L									2	t10 (t)			4		(t					T		)10	(t	T	)+		2	(t T )10 (t T )
Wф (p)													2				4							T				T			2
Wф (p)
												T					T				2						2			T
												T					T				2						2			T
																							pT			2
																										2
								p	T				pT			2	1 e				2
	2		1		2				T	1
	2		1		2		e		2	1		e

	T			2	p	2				p	2					T			p		2
	T	p			p					p						T			p

При проведении исследований обычно два непрерывных звена системы Wф (p) и Wн (p)

заменяют одним Wп (p) и называют его приведённой непрерывной частью:

Wп (p)=Wф (p) Wн (p)

В действительности элемента, преобразующего входной сигнал в последовательность δ– функций, не существует. Поэтому представление импульсного элемента в виде ИИЭ и формирующего звена является просто математическим приемом.

Наличие ИИЭ отличает структурные схемы ИСАУ от структурных схем непрерывных систем. ИЭ нельзя перемещать через непрерывное звено (исключение – безынерционное звено), т.к. изменятся свойства цепи.

Учитывая, что x(t) 0 при t 0 , выходной сигнал ИИЭ x* (t) представляет собой последовательность модулированных сигналом x(t) и смещенных δ–функций:



x* (t)=x(t)	(t lT ) x[lT ] (t	lT ) x(t) T (t)			(1)
l 0	l 0
– уравнение ИИЭ,

где T (t)= (t lT ) , (t lT ) – смещенная δ–функция , T – период квантования.
l 0
В теории ИСАУ условно принимают T			(t)= 1,	t lT
			0,	t lT

Глава 2. Способы математического описания ИСАУ

2.1.Решетчатая функция, дискретное преобразование Лапласа.

ВИСАУ сигнал x* (t) (управляющее воздействие), как следует из (1), содержит только дискретные значения сигнала рассогласования x(t) , взятые в моменты времени,

отдаленные друг от друга на время квантования T , и представляющие собой модулированную сигналом x(t) последовательность (t lT ) функций.

x* (t) x(t) T (t)

t lT

где T	(t)= 1,	t lT .
	0,	t lT

Т.е. сигнал x* (t) отличен от нуля только в моменты времени t lT .

Опр. 1. Функции, которые определены только в дискретные равноотстоящие моменты времени, называют решетчатыми.

Решетчатые функции (РФ) обозначают: x lT		x l ,

где l – любое целое число.

Следовательно, сигнал x* (t) на выходе ИИЭ представляет собой решетчатую функцию:

x* (t)=x lT

График решетчатой функции может иметь, например, следующий вид.

Одной и той же решетчатой функции могут соответствовать различные непрерывные или разрывные функции, если только их ординаты в дискретные моменты времени равны дискретам решетчатой функции:

Для того чтобы получить решетчатую функцию по заданной непрерывной, нужно в ней заменить t на lT .

Решетчатые функции (РФ) необязательно образуются из соответствующих непрерывных функций времени. В общем случае:

Опр. 2. РФ – это числовая последовательность, полученная в результате измерительной или вычислительной процедуры, в которой аргумент (необязательно время) изменяется через равные интервалы.

Смещенная РФ – это такая РФ, которая рассматривается в моменты времени t lT t ,

(обозначается: x lT , t ).

Лекция № 3 (20 сентября 2021)

Было на прошлой лекции:


		(t lT )
x* (t)=x(t)		(t lT )		x[lT ] (t lT ) x(t) (t)		,	(1)
	l 0		l 0		T
	l 0		l 0
(где T		(t lT ) , T		– период квантования, (t lT ) – смещенная δ–функция)
(где T	(t)=	(t lT ) , T		– период квантования, (t lT ) – смещенная δ–функция)
	l 0

– сигнал на выходе ИИЭ (~ уравнение ИИЭ) – представляет собой решетчатую функцию (функции, которые определены только в дискретные равноотстоящие моменты времени, называют решетчатыми).

Продолжение п. 2.1 Решетчатая функция, дискретное преобразование Лапласа.

Для математического описания ИСАУ вводится функциональное преобразование решетчатой функции. Оно называется дискретным преобразованием Лапласа или D- преобразованием. Это преобразование позволяет получить изображение решетчатой функции.

Обозначается: D x lT X * (p)

Для непрерывных линейных систем преобразование Лапласа существенно упрощает как процедуры структурного анализа, так и определение временных и частотных характеристик, поскольку позволяет заменить решение дифференциальных уравнений решением алгебраических.

D-преобразование вводится на основе преобразования Лапласа для непрерывных функций

( X (p) L x(t) x(t)e pt dt ):

с _ учетом _ (1) _и

x* (t)e pt dt

X * (p) D x lT L x* (t)

при _ усл и _что_ x(t) 0 _при_t

помен _ местами

(t lT )e pt dt

x(t) (t lT )e pt dt

x(t)

l 0

теорема :

= x lT e plT

(t)

(t )dt ( )

l 0

0 непрер .функ .

e plT

X * (p)= x lT

(2)

l 0

–это выражение называется дискретным преобразованием Лапласа или D-

преобразованием ( X * (p)=D x lT ).

D-преобразование является функцией epT , а не p.

Для того чтобы изображение решетчатой функции существовало, ряд должен сходиться. Для этого необходимо, чтобы были выполнены условия:


x lT e plT

l 0

1)x lT 0 при l 0 ,

2)| e ( 0 j T )l x lT | M l , где M – ограниченное число

e 0l

x lT

M l

Величина 0 Re p , при которой ряд сходится, называется абсциссой сходимости.

x lT

, то

x lT

Если для данной функции

абсцисса сходимости

называется

преобразуемой или оригиналом (обознач. строчной буквой),

а X * (p) – ее изображением

(обознач. прописной буквой со звездочкой).

Представление

X ( p)

виде

бесконечного ряда

неудобно

для

проведения

вычислительных процедур. Однако здесь можно воспользоваться формулой представления ряда экспоненциальной функции:

	1	e	pT
e plT				(*)
	1 e pT	epT 1
l 0

Рассмотрим примеры определения D-преобразования (дискретного изображения по Лапласу).

Пример 1. Пусть имеем непрерывный сигнал x(t) e t . Найдем изображение X * (p)

соответствующей решетчатой функции x[lT ] e lT .

Решение. Применяем дискретное преобразование Лапласа:

X * (p) D{e lT } e lT e plT e lT ( +p )					1
			см .(*)
l 0	l 0				1 e T ( +p )

Второй способ (не по (*), а с выводом):		X * (p)		... e lT ( +p)
					l 0
					l 0


e pT	e	pT
			.
	epT e T

1 e T ( +p) e 2T ( +p ) ...

по формуле геом.прогрессии

(a aq aq2 ...)

1 e T ( +p)

epT e T

При 0

x(t) 10 (t) (экспоненциальная функция стремится к единичной функции),

тогда X * (p) D{1

(t)}

epT

epT 1

Можно показать это по-другому:

для x(t) 10 (t) и соответствующей РФ x[lT ] 10[lT ]

по _ форм.

e pT

X * (p) 10[lT ]e plT

e pT e 2 pT ...

1 e pT

epT 1

l 0

геом.прогр.

Пример

Непрерывный

сигнал

x(t) t .

Найти

изображение

X * (p)

соответствующей решетчатой функции x[lT ] lT .

Решение.

T (e pT 2e 2 pT

3e 3 pT

)

X * (p) D{x[lT ]} lTe plT

l 0

выносим

e pT

(1 e pT e 2 pT

)

e 2 pT (1 e pT e 2 pT

)

T e pT

общий _ множитель( см.выше _ сумму _ ряда )

epT

TepT

Te pT

epT 1

Если в (2)

заменить

epT на z, то

получим так называемое

z-преобразование для

дискретных значений сигнала x :

X * (z)= x lT z l

(2*)

l 0

Часто в ИСАУ решетчатая функция получается из непрерывной (для которой, как правило, известно изображение Лапласа). Поэтому желательно иметь соотношение, позволяющее получать изображение дискретного сигнала X ( p) по изображению непрерывного сигнала X ( p) .

Опр. Операция нахождения (или само соотношение) X (p) по

X ( p) называется D -

преобразованием и имеет вид:

X (p)

X (p) D

X (p j 0l)

(3)

2 l

где 0 2T – частота квантования (дискретизации), X ( p) L x(t) .

Выражение (3) устанавливает связь между X (p) и X ( p) .

В (3) предполагается, что x( t ) 0 при t 0 .

Если x(0) 0 , то X (p) D X (p)	0	X (p j 0l) x(0)


	2	l	2

Доказательство:

Для получения выражения (3) представим периодическую функцию T t рядом Фурье:

T t

e j 0lt

(**)

2 l

Тогда с учётом того,

что

x* (t) x(t) (t) ,

преобразование Лапласа функции x* (t)

можно получить следующим образом:

L x* (t)

j lt

t p j 0l

x* (t) e pt dt

x(t)e

e pt dt

x(t)e

X (p j 0l)

2 l

t (

j l )

2 l

0 x(t ) T (t )

Т.е. X * (p)

X (p j 0l)

2 l

ч.т.д.

Пример.

X (p)

1 pT

X * (p) 0

2 l 1 (p j 0l)T

Способы определения F* (p)

Предполагается, что имеется сигнал f ( t ) F (p) B(p)

A(p)

1)Непосредственно по (3).

2)По таблицам D -преобразований.

3)Разложение F (p) на простые составляющие (например, сомножители или сумму),

далее – по таблицам.

4) По формуле разложения:

B(p )

epT

F (p)

(4)

A(p )

epT epiT

i 1

где

– корни характеристического уравнения A(p)=0 (простые, действительные), A

Пример.

F (p)

p 1 pT

F (p) ?

Воспользуемся формулой разложения.

A(p) p 1 pT1
A	dA		1 2 pT

	dp			1

		по _ формуле _( 4 ) K
F (p)
				1

Корни ХУ

A(p)=0 : p 0 ,

KepT epT

e T T1 epT

K 1 e T T1

epT

epT 1

T T1

1 e

Лекция № 4 (27 сентября 2021)

2.2. Свойства дискретного преобразования Лапласа. Свойства D -преобразования.

Было на прошлой лекции:

Дискретное преобразование Лапласа (или D-преобразование).

e plT

X * (p)=D x lT = x lT

l 0

D -преобразование:

X (p)

X (p) D

X (p j 0l)

2 l

Вначале рассмотрим свойства D-преобразования.

(2)

(3)

10. Свойство линейности.
Если решетчатые функции f1 lT , ...,	fk lT – оригиналы, а F1* (p) , ..., Fk* (p) – их

изображения, то дискретное преобразование Лапласа суммы РФ-ий равно:

D{ k	C f	lT } F* (p) k		C F* (p)

1			1

где C – произвольные const.

Это утверждение легко обосновать, если подставить сумму решетчатых функций в формулу D-преобразования (2).

20. Сдвиг [аргумента РФ] во временной области.

Для смещенной во времени решетчатой функции D-преобразование определяется следующими соотношениями:

D{f l m T } e pmT F* (p)

Доказательство:

T ]e plT

f [kT ]e p ( k m )T

e pmT

f [kT ]e pkT e pmT F* (p)

l m

f [

l m

D{f

T }

l 0

l k m

k m

k 0

т .к . f [kT ] 0

при k 0

ч.т.д.

m 1

T }

D{f

l m

f [ l m T ]e

f [kT ]e

plT

p( k m)T

pkT

pmT

pkT

l 0

k l k m

k m

k 0

m 1

epmT F*

(p) epmT f [kT ]e pkT

k 0

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 7 сем

#
26.01.202413.15 Mб0Vse_lektsii_TAU.pdf
#
26.01.202470.66 Кб1Вопросы к экзамену по ТАУ2 (2023).doc