6.8.2.1. Способ секущих плоскостей

Обычно в качестве секущих плоскостей используются плоскости уровня, т.к. линии пересечения их с заданными поверхностями проецируются на плоскость проекций без искажения. Также в некоторых случаях используются и проецирующие плоскости.

Этот способ применяют тогда, когда дополнительные плоскости рассекают заданные поверхности по окружностям-параллелям или прямым-образующим.

Пример: Построить линию пересечения кругового конуса и сферы.

Рис. 6.23

Конус и сфера имеют общую плоскость симметрии , параллельную фронтальной плоскости проекций, с помощью которой находятся высшая и низшая точки линии сеченияА и В. Эта плоскость пересекает конус по очерковым образующим l, а сферу – по главному меридиану m.

Обе поверхности содержат семейство параллелей, параллельных горизонтальной плоскости проекций, поэтому остальные точки линии сечения необходимо находить с помощью горизонтальных плоскостей уровня.

Точки C и D, лежащие на границе видимости, находятся с помощью плоскости , проходящей через экватор сферы. Эта плоскость, в свою очередь, пересекает конус по параллелиn радиуса r.

6.8.2.2. Способ секущих концентрических сфер

Применение сфер в качестве поверхностей-посредников основано на теореме о двух соосных поверхностях вращения.

Следствиеэтой теоремы:

Сфера, центр которой лежит на оси поверхности вращения, пересекается с последней по окружностям.

Линия пересечения сферы с поверхностью проецируется на одну из плоскостей проекций в виде отрезков, а на другую – в виде окружности.

Рис. 6.24.

Этот способ может быть использован лишь при одновременном выполнении трех условий:

1. Пересекающиеся поверхности – поверхности вращения.

2. Оси поверхностей пересекаются.

3. Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Пример:Построить линию пересечения конуса и цилиндра.

При решении этой задачи сначала строится фронтальная проекция линии пересечения, т.к. общая плоскость симметрии поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

«Крайние» точки сечения – высшая и низшая, ближайшая и наиболее удаленная точки (точки, лежащие на границе видимости относительно горизонтальной плоскости проекций) определяются с помощью плоскостей уровня.

Промежуточные точки сечения находятся с помощью секущих сфер, центр которых располагается в точке пересечения осей вращения поверхностей. Сфера минимального радиуса проводится так, чтобы она касалась одной поверхности, а вторую пересекала. Секущие сферы соосны с поверхностями конуса и цилиндра, а следовательно, пересекают их по параллелям.

Рис. 6.25

6.8.2.2. Способ секущих эксцентрических сфер

Метод секущих эксцентрических сфер может быть применен при соблюдении следующих условий:

1. Одна из пересекающихся поверхностей циклическая, вторая – поверхность вращения.

2. Поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Сущность метода заключается в следующем: подбирается сфера, пересекающая обе заданные поверхности по окружностям. Точки пересечения этих окружностей будут являться искомыми точками линии сечения.

Пример: Построить линию пересечения закрытого тора с открытым тором.

Заданные поверхности располагаются так, что их оси ,, а фронтальная плоскостьявляется плоскостью симметрии. С помощью этой плоскости находятся высшая и низшая точки сечения.

Рис. 6.26

Для построения промежуточных точек необходимо через ось тора провести фронтально-проецирующую плоскость, пересекающую тор по окружности 1-1.

,

.

О – центр сечения тора, из которого строится перпендикуляр к плоскости . На пересечении этого перпендикуляра с осью второго тораi находится центр первой секущей сферы. Радиус сферы подбирается таким образом, чтобы она пересекла тор по окружности 1-1.

Полученная сфера пересекает тор по параллели 2-2. На пересечении двух окружностей находятся искомые точки С и С.

Остальные точки находятся аналогично.