- •1.Понятие случайного события.
- •2.Статистическое определение вер-ти.
- •3.Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.
- •4. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.
- •5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры.
- •6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- •7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
- •8. Локальная теорема Муавра—Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции f(X). Пример.
- •9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
- •10. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.
- •11. Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа (с выводом). Примеры.
- •12. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
- •14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
- •15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (с выводом). Примеры.
- •16. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
- •17. Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
- •18. Функция распределения случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •19. Непрерывная случайная величина (нсв). Вероятность отдельно взятого значения нсв. Математическое ожидание и дисперсия нсв.
- •20. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
- •25. Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Примеры. Таблица ее распределения. Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения
- •26. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
- •28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.
- •29. Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
- •30. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).
- •31. Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
- •32. Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.
- •33. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.
- •35. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
- •36. Оценка генеральной доли по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.
- •37. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность выборочной средней.
- •38. Оценка генеральной дисперсии по собственно-случайной выборке. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.
- •39. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).
- •41. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.
- •42. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней и доли.
- •43. Статистическая гипотеза и статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости и мощность критерия. Принцип практической уверенности.
- •44. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
- •45. Критерий согласия- Пирсона и схема его применения.
- •46. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи теории корреляции.
3.Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.
Операция сложения событий. Опр.: Суммой А+В событий А и В назыв. такое со-бытие, которое считается наступившим, если наступило или событие А или В или вместе. Пр.: Извлечение карты: А- извлечен туз; В- извлечены бубны. а)Пусть рез-т: извлечена 7-ка бубен. А+В –наступило. б)Пусть рез-т: извлечен король крестей => А+В –не наступило.А+А = Е Теоремы сложения вероятностей. Общая формула: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).; В частности: Пусть А и В не совместимы, тогда АВ= ; P(AB)=P()=0 ,т.е. имеем: Теорема: Вероятность суммы двух несовместимых событий = сумме их вероятно-стей., т.е. P(A+B)=P(A)+P(B). 1)Следствие: Пусть события А1,А2,…Ак образуют полную систему, тогда Р(А1)+…+Р(Ак)=1. Док-во: В частности события А1,А2,…Ак –единственно возможны (т.к.)полная сист.), т.е. А1+…+Аn=Е => Р(А1+…+Ак)=Р(Е). По теор. слож. вер-тей: Р(А1)+…+Р(Ак)=1.II.Следствие: Если А и А –пара противоположных событий, то Р(А)+Р(А )=1.
Событие наз-ся несовместным, если наступ-ие одного из них исключает наступление какого любого другого.совместные- наоборот.
4. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.
Несколько соб-й образуют полную группу, если она явл.единственно возможными и несовместимыми исходами испытаний . Т.е.в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.
Частым случаем соб-й, образующих полную группу, явл.противоположные события. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположные.
Например. «выпадение герба» «решки».
Сумма ве-й противопол.событий равна 1.следует из того что противополож.соб-я образуют полную группу.
5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры.
Два соб-я называются незавсисимыми, если появление одного изних не меняет вер-ти появление другого.
Теорема Умножения вероятностей.
Т. ~Р(АВ)=Р(А)Ра(В) ~Р(АВС)=Р(А)Ра(В)Рав(С). Следствие. А и В независимы
Р(АВ)=Р(А)Р(В), т.е. в частности вер-ть произведений 2-х независимых событий равна произведению их вер-стей. Теорема для независимых вер-тей.=> Р(В1)Р(В2)+Р(В1)Р(В2). Пр.: Два стрелка одновременно выстреливают в мишень.Вер-ть попадания для 1-го =0,6; для 2-го 0,8.; Найти: А)Вер-ть того что в мишени будет 1 пробоина. В)будет хотя бы одна пробоина. Реш.: В мишени будет 1 пробо-ина т.ит.т.к. 1-ый попал и 2-ой промахнулся, 1-ый промахнулся и 2-ой попал. А=(В1В2+В1В2)=Р(В1В2)+Р(В1В2). Используем терему для независ. вер-тей. Р(В1)=0,6; Р(В1)=1-0,6=0,4; Р(В2)=0,8; Р(В2)=0,2.; Р(А)=0,60,2+0,40,8=0,44. ХОТЯБЫ 1 => Р(с)=Р(А+D) {D-2-е попадание} P(D)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)==0,60,8=0,48.; P(c)=0,92.
6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
Т.Пусть соб-я А1,А2..Аn образ-т полную группу соб-й, тогда вер-ть события F равна сумме произведений вер-ти каждого из этих событий на сообтветствующую условную вероятность F.
Док-во.
F=A1F+A2F+A3F+…+AnF
Соб-е AiF и AjF несовм. (i≠j)
По теор.+вер-ей
P(F)=P(A1F+..+AnF)=P(A1F)+..+P(AnF)=PA1)PA1(F)+..P(An)PAn(F)=Σni=1P(Ai)PAi(F) (т.к.P(AjF)=P(Ai)PAi(F))
Следствие.
Т.(ф-ла Байеса)
Пусть А1,,Аn обр-ют полную группу событий и P(F)≠0
Тогда
P(AkF)=P(Ak)Pak(F)=P(F)Pf(Ak)
Пр.Имеются 10 карточек
-
О
4
В
2
Л
3
Наудачу выбираем карточки
Р(ВОЛ)=2/10*4/9*3/8=1/30