Уравнения (14.7) или (14.8) справедливы во всех точках ден формируемого тела, включая и области, где при первом нагруже нии не возникали цластические деформации. В этих областях
Oij = Aeftft6ij + 2Ge,ij.
При этом уравнения (14.7) переходят в уравнения обобщенного закона Гука.
Воспользуемся теперь уравнениями (14.7) и докажем теорему, которая позволит определить напряжения и деформации после значительного числа циклических нагружений в случае указан ного выше предельного состояния, если известны соответствующие напряжения и деформации, возникающие при первом нагружении.
Пусть при первом нагружении внешними силами Ft, Дг в рас
сматриваемом теле возникли напряжения aij п деформации
при этом будем считать, что некоторые области тела деформиру ются пластически. Предположим, что исследуемое тело испытало значительное число нагружений силами, изменяющимися по за кону симметричных циклов или близких к симметричным, с амп литудными значениями Fu Ru Пусть при этом в точках тела возникло рассмотренное выше предельное состояние, и амплитуд
ным значениям |
Д, соответствуют напряжения |
Оц и деформа |
|
ции Ец. |
|
|
|
Введем обозначения |
|
|
|
(1 — Р) |
= &{j Р°Ч.Ь (1 Р) = ®ij |
P^ij |
(14.9) |
и докажем, что величины, отмеченные индексом «е», суть напря жения и деформации, которые возникают в рассматриваемом теле при его нагружении силами F{, R{ при условии, что материал де формируется в соответствии с обобщенным законом Гука.
С учетом (14.9) уравнения (14.7) принимают вид
|
cjij = Л |
+ 2Gefj. |
|
|
|
(14.10) |
|
Должны выполняться следующие дифференциальные уравне |
|||||||
ния равновесия и граничные условия: |
|
|
|
|
|||
<*ii,3 + |
Fi = |
0, |
Gijl5= |
Ri |
на |
S, |
(14.11) |
°ijtj + |
Ft = |
0, |
o'ijlj = |
Ri |
на |
5. |
(14.12) |
Умножая каждое слагаемое в соотношениях (14.12) на р и |
|||||||
вычитая почленно из (14.11), получим с учетом (14.9) |
|
||||||
a*jtj + |
Fi = |
0, |
Oijlj = |
Ri |
на |
S. |
(14.13) |
Поскольку компоненты |
деформаций |
|
и |
удовлетворяют |
|||
уравнениям совместности |
(4.2), |
этим уравнениям будут |
удовлет |
ворять и компоненты (14.9) |
|
|
“Ь &kl,ij = £ihtjl "Ь |
(14.14) |
|
причем |
|
|
2eh = uh + |
(1 + Р) и\ = щ — $и\. |
(14.15) |
Уравнения (14.10), (14.13) и (14.14) доказывают наше ут |
||
верждение. |
|
|
Из (14.9) следует |
|
|
Oij = P<rlj + (1 — Р) o\h |
8ij = Pe-j + (1 — P) efj. |
(14.16) |
Таким образом, напряжения o,-j, деформации e# и перемеще
ния Hi в предельном |
состоянии, согласно (14.16), определяются |
|
/ |
/ |
/ |
соответствующими ст^-, e*j, |
Hi, существовавшими при первом на |
гружении, и некоторыми фиктивными afj, efj, uf, причем эти по следние есть решение задачи для линейного упругого тела, нахо дящегося под действием внешних сил Ftj Ri.
Формулы (14.16) могут быть представлены в несколько ином виде
Gij = Gij |
(1 |
Р) Qij, &ij = 6|j |
(1 |
P) 6ij, |
гдо a?j, e?j — остаточные напряжения и деформации, сохранив шиеся в теле после первой разгрузки и подсчитанные по теореме об упругой разгрузке. Из этих соотношений, в частности, следует, что в тех точках деформируемого тела, где остаточные напряже ния имеют обратный знак по отношению к соответствующему напряжению при первом нагружении, предельные напряжения превышают соответствующие величины при первом нагружении.
Заметим еще, что возникновение в циклически деформируемых телах рассмотренного здесь предельного состояния имеет суще ственное значение при оценке малоцикловой усталости (§ 52).
Примеры определения напряжений и деформаций в предель ном состоянии приведены в приложении (§ 18).
§ 15. Учет влияния гидростатического напряжения
Различие между собой соотношений о ~ а, построенных из опытов на растяжение и на сжатие, влияние величины давления на зависимости а ^ а, найденные из экспериментов на растяже ние образцов в камере с давлением, и тому подобные эффекты, если они проявляются для данного материала, могут быть учтены путем введения в универсальные функции о ~ э в качестве одного из аргументов среднего напряжения а«/3 пли средней деформа ции е,*/3.
В этом случае соотношения для девиаторных величин сохра няются, и согласно теории малых упругопластических деформа ций
|
*и = |
- Г * « - |
|
(15Л> |
|
Инвариантные величины о и э связаны одним из двух соот |
|||||
ношений |
|
|
|
|
|
о = |
/(э, е**), |
а = |
ф(о, о**). |
(15.2) |
|
В свою очередь, в |
соотношение |
Он ~ е« |
вводится |
в качестве |
|
одного из аргументов о или э: |
|
|
|
|
|
а и = ЗЯ\|з |
э) ен, |
еи = % |
а) |
(15.3) |
Функции /, <р, ф и % должны удовлетворять следующим очевид ным условиям:
|
/(э, 0) Ф 0, |
ср(а, 0) Ф 0, |
i<ehh, 0) Ф 0, |
%(окк, 0) Ф 0. |
(15.4) |
|||||
Кроме того, предполагается, что [26] |
|
|
|
|
|
|||||
до |
dGhk ^ |
1 / g |
до |
, д а кку |
дэ |
д г кк |
I |
дэ |
дък к \ |
|
дэ |
dej} |
12 |
dEhh |
дэ ) |
до |
дои ^> 12 |
^ |
dohh |
до |
) * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.5) |
Примеры построения функций, удовлетворяющих указанным ус ловиям, приведены, например, в [1].
До появления пластических деформаций |
|
о = 2бэ, Оц = ЗКъц. |
(15.6) |
Поэтому на границе областей упругих и пластических деформа ций
/ (э„ ehk) = |
2Go,, |
ф (crs, a*fc) = |
Ф(екл,эд) = |
1, |
x(^fcfc,a*) = l. |
Отсюда следует, что величины з , и о ‘ - значения предела текуче сти по деформациям и напряжениям — для рассматриваемых ма териалов могут зависеть от е*л и ohh соответственно.
Приведем теперь постановку задачи о переменном нагружении тел, для которых существенно влияние гидростатического напря жения на упругопластические характеристики материала.
При первом нагружении внешними силами F*, Я* возникаю щие напряжения Оц и деформации 8jj удовлетворяют уравнениям состояния (15.1), (15.2) и (15.3), уравнениям равновесия и гра ничным условиям (12.1) и соотношениям Коши (12.2).
П у с т ь п осле разгрузки |
в процессе |
послед ую щ его |
знакопере |
|||||
м енного н агр уж ен и я |
силам и F j , |
R{ при граничном |
перем ещ ении |
|||||
п |
|
/ |
деформации |
п |
и |
перемещения |
||
uoi возникают напряжения |
а*;, |
8i;* |
||||||
Щ. Учитывая (10.10), запишем |
|
|
|
|
|
|
||
o*jj + f'i — F ” ---=0, |
о*7j |
R'i — R'l |
на Sa, |
|
|
|
||
|
|
|
и* =- u'oi — Uoi |
на |
Su, (15.7) |
|||
|
2e*j == u*j + u* {. |
|
|
|
(15.8) |
|||
Уравнения, связывающие напряжения o*j |
и деформации e*j, |
в рамках теории малых упругопластических деформаций могут
быть введены аналогично (15.1)— (15.3). Девиаторы Sjj и |
эц свя |
|
заны соотношением |
а* * |
|
* |
(15.9) |
|
sij — “J*" 3ij |
и, в свою очередь, инвариантные величины а* и э* — одним из двух соотношений
о* = /* (а*, e*ft), |
э* = <р* (о*, o*ft). |
(15.10) |
Кроме того, в соотношения o*h ~ |
е*/г должны входить о* |
или э*: |
о*и — ЗАГ-ф»* (е*и э*) е*,„ |
в*/, = у* (о*{, о *) о^. |
(15.11) |
Универсальные функции /*, <р*, *ф* и %* должны удовлетво рять условиям (15.4) и (15.5).
Если при переменном нагружении пластические деформации
остаются неизменными, имеют место соотношения |
|
||
o* = 2Gs*, |
o*kk = 3KE*khl |
|
(15.12) |
поэтому при Э* = э8 |
|
|
|
/* (з«, e*ft) = 2Ghs, |
ф* (<т„ <x*ft) = |
•§-, |
(15.13) |
Ф* (елл, э8) = 1, |
%* (a**, as) = |
1. |
|
Соотношения (15.7)— (15.11) являются замкнутой системой для определения величин o*j: e*j, и*. После их определения текущие
величины (*ij И 6ij находятся из соотношений (10.10). Рассмотрим теперь вопрос о возможности существования про
стых нагружений в рамках приведенной выше постановки задачи при первом и последующем переменном нагружениях.
Будем искать решение при первом нагружении в виде
o’ij (х, I') = Ъ'Ъц(х), e'ij (х, 1]') = т|'е{, (х), |
(15.14) |
где |
|' > |
0, т\'> 0 — параметры нагружения. При этом |
o' = |
|'о, |
|||||||||
_/ |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
т] э. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать, что /, <р, |
и х |
являются |
однородными функ |
||||||||||
циями соответственно порядка а, |
р, |
б: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
/(тр, П6аа) = ЛаМ |
8**), |
ф(£а, la*fc) = |
afcfc)f |
_ |
|||||||
|
|
~ |
~ |
|
~ |
~ |
|
~ |
~ |
= |
~ ~ |
(15.15) |
|
|
|
ф(леАА, |
цз) = |
л тг|)(еАА, |
a), |
xU<b*, |
|
a), |
|
||||
причем |
константы |
а, |
р, у, |
б — произвольные |
действительные |
||||||||
числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как обычно, в случае простых нагружений внешние силы |
||||||||||||
должны |
изменяться |
пропорционально одному |
общему |
иарамет- |
|||||||||
ру |
I ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F'i (l',x ) |
= |
V F i (x)% |
R'i {t’,x) |
= |
t'R i(x). |
(15.16) |
При условиях (15.14), (15.15) н (15.16) будут удовлетворены
все исходные уравнения и граничные условия. Величины a.j и е# удовлетворяют следующим уравнениям равновесия и граничным условиям:
Oijt j + Fi = 0, |
Gijlj = Ri на S |
(15.17) |
и соотношениям Коши:
2гц = uit j + ujt |
(15.18) |
а уравнения состояния приводятся к виду
Зц = |
= / (а, ем ), Oft/t = |
(б t/i7 а). |
(15.19) |
|
э |
|
|
Альтернативой двум последним уравнениям, согласно (15.2) и (15.3), являются соотношения
а = |
qp(a, |
ОаД |
ekk = |
%(akkl о). |
|
При этом параметры |
и rj' связаны |
между собой |
альтернатив |
||
ными соотношениями |
|
|
|
|
|
|
Г = |
(тГ)а, |
т1/= |
( Г ) р, |
(15.20) |
причем требуется, чтобы константы были между собой связаны соотношениями 1 + ^ = аи 1 + 6 = р. Заметим, что условие (15.15) для функций -ф и % может быть заменено условием несжимаемо сти е*А= 0 (К = °о), тогда эти соотношения для констант не име ют места.
Таким образом, если выполнены приведенные выше условия, решение задачи представляется в виде (15.14).
Рассмотрим теперь вопрос о возможности представления реше ния задачи о переменном нагружении в виде
cr*j (i*, X) = t*Oij (X), е,* (т]*, т) = rfeij (ж), |
(15.21) |
предположив, что внешние силы изменяются в процессе перемен ного нагружения пропорционально одному параметру
F* = F [ - Fl = t*F u R* = R[ - R l = t*R. |
(15.22) |
При этом уравнения равновесия, граничные условия (15.7) и со отношения Коши (15.8) будут удовлетворены, поскольку они при водятся к виду
5lifj + Fi = 0, Oijlj = на S, 2 = uitj + щл. (15.23)
При условии (15.21) соотношения (15.9) приводятся к тензор
ному соотношению |
|
= |
(15.24) |
|
д |
Что же касается универсальных функций (15.10) и (15.11), потребуем, чтобы выполнялись условия, аналогичные (15.15),
/* (ч*в, Л*ём) = |
(э, fifth), |
||
Ф * |
l*<Jkk) |
= |
(Ъ * )Ь Ф * (ё , о кк) , |
Ф* (r\*4h, |
= |
(П*)СФ* (fifth, э), |
|
X* (1*окк, £*<т) = |
(£*)d X* (crftft. |
где а, Ь, c, d — константы.
При этом соотношения (15.10) и (15.11) для скалярных вели
чин примут вид |
|
|
|
|
о |
= 1* (э, ёкк) , |
акк = |
3Яф* (in, э) ekh |
(15.25) |
или |
|
|
|
|
* = |
Ф* (ё, ohk), |
i hk = |
х* (ёи, о). |
|
Параметры 1* и ц* будут связаны между собой одним из следую щих соотношений:
|
|
£* = (л * )а, л* = |
(|*)ь, |
(15.26) |
причем константы |
должны удовлетворять равенствам |
1 + с = а, |
||
1 + d *=Ъ. |
Здесь |
Также допускается |
несжимаемость |
материала |
ей = tl*e« = |
0; при этом функции |
и %* исключаются из рас |
смотрения, поэтому в случае несжимаемости отпадает необходи мость удовлетворения этим равенствам.
Таким образом, и в случае переменного нагружения справед ливо представление (15.21), если выполнены приведенные выше условия. При этом параметр определяется законом изменения внешних сил (15.22) в процессе нагружения; параметр ц*, харак теризующий степень деформации при переменном на£ружении, связан с |* одним из соотношений (15.26). Величины а«, е«, оп
ределяющие напряжения оц и деформации Sij при некотором фиксированном значении = 1, находятся решением задачи (15.23)— (15.25).
Заметим при этом следующее: если с помощью (15.14) и (15.21) определить компоненты векторов напряжений о', а* и де формаций э', э* и по ним найти соответствующие траектории деформаций и напряжений, то окажется, что, в отличие от пер вого нагружения, когда траектории в пространстве деформаций и напряжений есть лучи, исходящие из начала координат, при переменном нагружении траектории деформаций и напряжений есть прямые линии, не проходящие, вообще говоря, через начало координат. В этом последнем случае внешние нагрузки изменя ются с параметром по закону (15.22)
Fl = F \ ^ F u П\ = Н \ - \ * Ё К.
Рассмотрим еще вопрос о возможности построения аналога теоремы о переменных нагружениях в случае уравнений состоя ния, учитывающих влияние гидростатического напряжения, огра ничившись первым знакопеременным нагружением. С этой целью
представим функции а ' - о ' и э * ^ о* при для несжимае мых материалов в одной аналитической форме
э' = ф (o', o'kk, а'и а'2, |
.), |
з* = ф(<т*,сГйй, а*, 4 , ... ), (15.27) |
но с различными константами, что может быть сделано за счет выбора произвольного числа 2т констант a2f и ах, a2. При а ' < з 4 и з * ^ эа справедливы соотношения
а = 2Gd\ o* = 2Ga*. |
(15.28) |
Выписав аналогичным образом уравнения равновесия, гранич ные условия и соотношения Коши для Oij, е^-, UiH соответственно для величина^*, щ и присоединив к ним соотношения (15.27) и (15.28), можем заключить, что если решение задачи при пер вом нагружении есть
Oij — fij (х, о , Fij Ri, |
, &ij — |
(x, э8уFiy Riy flft), |
* |
* |
то для величин о^ |
и ei;- в случае, если при нагружениях сохра- |