книги / Строительная механика.-1

<р(х)= -4 • 8,68 • 10"3-1,06-0,0360 - 2,5 • 10"4• 0,9784 =

= -15,7-10-4рад; ДГ(х) = 4 • 1,06 • 3,71 • 10б[8,68 • 10“3 • 1,06•0,1797 - 2,5• 10-4 • 0,0360|=

= 25,867кН-м;

Q(x) = 4 1 ,Об2 3,71-Ю6 •[8,68• ДО-3 -1,06-0,5974 - 2,5• 10-4-0,1797]= = 90,90кН.

Участок И. Сечение 2', х = 0.54 м.

у(х) = 8,68-Ю"3 -0,9784+ -^ --^ * 0,5974 = 1,06

= 8,352-10-3м; <р(х)= -4 ■8,68 • 10'3 • 1,06• 0,0360 - 2,5-10-4 • 0,9784 =

= —15,7 • 10~4рад; М(х) = 4 • 1,06 • 3,71 • 106[8,68 • 10~3 • 1,06 •0,1797 - 2,5 • 10“4 •0,0360]=

= 25,867кН • м; д(х) = 4 1 ,Об2-3,71-106 [8,68 10-3 -1,06-0,5974- 2,5-НГ4-0,1797]-

—210-103 *1,0000 = —119,10кН.

Сечение 3, * = 0.81 м.

у(х) = 8,68• IQ'3 • 0,8908 + • 2^ - ^- • 0,8803 + 210-103-0,0045 1,063-З,71106

=7,738-10"3м;

(х)= -4-8,68 10~3 • 1,06-0,1211 - 2 ,5-10-4 -0,8908+ 2101Q3 -0’045.- =

1,062 3,71-106

= -24,13 1 0 - ^ ;

М[х) = 4 • 1,06 • 3,71 • 106[в,68 • 10~3 • 1,06• 0,4020 - 2,5♦Ю-4 •0,1211]- = 1,708кНм;

Q(x) =4-1,Об2 -3,71 • 10б [8,68-10-3-1,06-0,8803-2,5-10"4 -0,4020]-

- 210-103 -0,9986 = -76,ЗЗкН.

161

= 5,110_7рад; М(х) = 4 -1,06 • 3,71 • 10б[8,68 -10_3 -1,06 •1,0620 - 2,5 • 10-4 • 0,5490] -

210 • 103 -0,8803

= -22,85кН ■м;

1,06 (?(*) = 4-1,Об2 -3,71-Ю6 .[8,68-10_3.1,06-1,2485-2,5-Ю -4 -1,0620]-

- 210 • 103 •0,8908 = -0,045кН * 0.

Результаты расчетов внесены в таблицу 3.8 и по этим значениям построены эпюры прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил (см. рис. 3.9, б, в, г).

162

3 .8. Изгиб прямоугольной пластинки на упругом основании

Прямоугольная плита на упругом основании является важней­ шим конструктивным элементом промышленного, гидротехни­ ческого и аэродромно-дорожного строительства. На возведение

163

фундаментов и полов промышленных зданий и гидротехнических сооружений, адродромов и дорог расходуется значительная часть общего объема железобетона в стране.

Задача проектирования плитных конструкций, удовлетворяю ­ щих экономическим и эксплуатационным условиям, не может быть решена без выполнения строгих теоретических расчетов конструкций.

Рассмотрим расчет прямоугольной упругой изотропной пла­ стинки постоянной толщины Л, с размерами в плане Lx, Ly (рис. 3.10), свободно опертой по контуру и лежащей на поверхности упругого полупространства Z ^O .

Дифференциальное уравнение изгиба плиты на упругом ос­ новании записывается в виде

жительная, если направлена в положительном направлении оси z;

Заметим, что при решении практических задач важное значе­ ние имеет достоверная оценка жесткости основания к. Здесь мы представим выражения для определения значения к как резуль­ тата решения соответствующей задачи.

Жесткость упругого основания при действии равномерно рас­ пределенной нагрузки на единичной площади в форме квадрата на

L,

х

A J

ьх 1

164

поверхности упругого изотропного полупространства, вычислен­ ная как результат решения задачи в объемной постановке, имеет вид

2(1 -IX2)

Жесткость упругого основания при действии равномерно рас­ пределенной нагрузки на единичной площади в форме сплошного круга на поверхности упругого изотропного полупространства, вычисленная как результат решения задачи в осесимметричной постановке, имеет вид

к= ------------.

яО - ji2)

Ввыбранной системе координат граничные условия для сво­ бодно опертых краев требуют, чтобы

w=Mx= 0 при х = 0 и при х=а;

(3.57)

w=My= 0 при у = 0 и при у —Ь.

В системе координат х, у выражения изгибающих моментов и поперечных усилий, вывод которых приводится в п. 7.5, име­ ю т вид:

(3.58)

165

Здесь принято следующ ее правило знаков. П олож ительны й прогиб соответствует перемещению по полож ительной оси z, положительные изгибаю щ ие м ом енты вы зы ваю т растяж е­ ние в нижних волокнах плиты, полож ительные поперечные силы вызы ваю т повороты выделенного элем ента по часовой стрелке.

Сучетом (3.58), граничные услвия (3.57) можем представить

вследующем виде

82w

w= — = 0 при х = 0 и при х=а; дх*

(3.59)

d2w

w= —- = 0 при у = 0 и при у=Ъ. ду2

При произвольном характере нагружения плиты разложим функцию внешней нагрузки в виде двойного ряда:

Соответственно решение уравнения (3.56), удовлетворяющего граничным условиям (3.59), записывается в виде

®® . тпх . т у

Подставляя решение (3.61) в левую часть, а (3.60) в правую часть уравнения (3.56), получаем

В качестве примера рассмотрим изгиб пластинки, вызванный сосредоточенной силой Р, приложенной в произвольной точке (£, г}) на поверхности конструкции. В данном случае получим

166

Подставляя последнее в (3.62), а выражение Атп в (3.61), окончательно получаем

. таг

Последнее выражение является основополагающим. Так, зная прогиб пластинки под действием сосредоточенной силы, мы пу­ тем интегрирования можем получить выражение прогиба при действии произвольной поперечной нагрузки. Например, рассмот­ рим случай равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q. В выражение (3.64) вместо Р подставим произведение qd£dq и, интегрируя от 0 до а по f и от 0 до b по tj, получим

В результате сопоставления выражений коэффициентов раз­ ложения прогибов плиты на упругом основании (3.62) и без упругого основания (7.46) можно отметить следующее. В отличие от плиты без упругого основания, в выражениях коэффициентов разложения для прогибов плиты на упругом основании в знамена­ теле в форме дополнительного слагаемого присутствует коэф­ фициент жесткости основания. Учитывая, что теория расчета плит без упругого основания наиболее полно разработана, после соот­ ветствующих корректировок этими результатами можно восполь­ зоваться для решения широкого круга задач по расчету плит на упругом основании.21

1.Раскройте суть гипотезы Винклеровского основания.

2.Поясните физический смысл коэффициента постели.

167

3.Дайте определение относительно коротких балок и балок бесконечной длины.

4.Подчеркните отличительные особенности между дифференциальными

Г Л А В А 4

У С Т О Й Ч И В О С Т Ь С О О РУ Ж Е Н И Й

4 .1 . П редмет и задачи устойчивости

Устойчивостью называется способность сооружений сохранять свое первоначальное положение или первоначальную форму равновесия в

деформированном состоянии при действии внешних сил.

В соответствии с этим надо различать устойчивость поло­ жения сооружения и устойчивость форм равновесия в

нагруженном состоянии.

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считается устойчивым, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, СОфргужение отклоняется от исследуемого положения или равновесного состояния, однако после исчезновения дополнительного возмущения полностью возвращает­ ся в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тен­ денцию к возвращению в исходное состояние (для упругопла­ стических систем).

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считается неустойчивым, если при каком-либо сколь угодно малом отклонении от исследуемого равновесного состояния и после исчезновения возмущения сооружение не проявляет тен­ денцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоня­ ется еще далее — до нового положения или новой формы равновес­ ного состояния.

Переход сооружения из одного равновесного состояния к дру­ гому равновесному состоянию называется потерей устойчи­ вости системы. Состояние перехода называется критическим состоянием. При этом величины внешних сил, действующие на сооружение, называются критическими.

Как это следует из понятия устойчивости, в механике различают два вида потери устойчивости сооружения: потерю устой­ чивости положения и потерю устойчивости, вызван­ ной сменой формы равновесного состояния.

В качестве примера потери устойчивости положения сооружения рассмотрим равновесное положение жесткой пластинки, изобра­ жённой на рис. 4.1, расположенной на двух опорах при действии собственного веса величиной Gи силы Р.

169

Учитывая, что левая подвижная опора способна развить реакцию только вверх, т.е. представляет собой одностороннюю связь, следо­

вательно, при условии P h< G ^ состояние пластинки является ус­

тойчивым. В данном случае левая опорная реакция - величина ко­ нечная и направлена вверх.

ние пластины и она займет новое равновесное положение, т. е. произойдет потеря устойчивости положения пластины.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанной со сменой формы деформированного состояния, в строительной меха­ нике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы де­ формированного состояния, называют потерей устойчивости первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято называть первое предельное состояние системы по несущей способности сис­ темы, т.е. состояние системы, когда при дальнейшем увеличении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в опреде­ лении критических значений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

4.2. Критерии определения устойчивости упругих систем

Втеории устойчивости основными критериями определения критических значений внешних нагрузок являются энергетиче­ ский, динамический и статический.

Воснове энергетического критерия заложен известный прин­ цип Лагранжа-Дирихле, согласно которому, если система на-

170