книги / Строительная механика.-1
.pdfРеактивный момент R\pq, возникающий в заделке узла В от внешних нагрузок Р и д , найдем из уравнения равновесия ЪМуз = О узла В, вырезанного из эпюры Mpq (рис. 2.16, е):
R\Pq —40 + 10 = 0; R\pq = 30 кН*м.
Реактивное усилие г22, возникающее в горизонтальном опорном стержне опоры А от перемещения узлов В и С на величину Zi~ 1, найдем, проведя разрез I—I на эпюре М2 (см. рис. 2.16, в) и опреде лив действующие в местах сечения элементов горизонтальные уси лия (рис. 2.17, а), из уравнения равновесия E z = 0:
-г22 + 0.18-5 EJC+ 0.0468-5 EJC= 0, r22 = 0.02344 EJC.
Проведя разрез II—II на эпюре Mpq (рис. 2.16, д) и определив го ризонтальные усилия в рассеченных элементах, из уравнения E z= 0 найдем реактивное усилие R2pq, возникающее в дополнительно по ставленном опорном стержне опоры А от действия внешней нагруз ки (рис. 2.17, б):
-R2Pg + 10 -20 = 0; R2Pq * -10 кН.
Определяя реактивные усилия, всегда следует иметь в виду, что они считаются положительными, если направления их действия совпадают с принятым направлением действия неизвестных пере мещений Z\ и 2*
4.2. Проверка правильности вычисления коэффициентов
Проверка правильности вычисления главных и побочных коэф фициентов канонических уравнений метода перемещений выпол няется аналогично проверке коэффициентов уравнений при расчете методом сил, т.е. проверяется удовлетворение равенства
2> = г да
ш
где Е г= Гц + Г12 + Г21 + Г22 — сумма всех найденных единичных
коэффициентов; |
к h м |
м |
|
= £ |
{■ |
интеграл, определяемый по |
|
|
У -1 |
о |
" у |
правилу Верещагина, т.е. умножением суммарной единичной эпю ры М3 {Ms = Mi + Щ на себя.
Удовлетворение этого равенства свидетельствует о правильности вычисления главных и побочных коэффициентов.
Таким образом, для выполнения этой проверки, называемой универсальной, необходимо построить суммарную единичную эпю ру изгибающих моментов в основной системе метода перемещений М3 = М\ +М2 . Эта эпюра обычно строится путем сложения еди ничных эпюр М\ и м2.
Для данного примера она представлена на рис. 2.18, а.
Определив |
|
|
|
|
|
|
|
r= 4 £ 7 |
+ 0.375£У |
+ 0.375J57,+ 0.2344JET = 4.984£У |
: |
||||
S |
С |
с |
|
с |
с |
с* |
|
4l.SE/. |
|
4 |
1.875£У |
2 |
|
||
|
|
£ — •2-1.5EJ |
+ — |
с |
1875Е/с + |
||
Е/л |
|
|
Т |
||||
|
3 |
* |
& |
|
|
|
|
+^ | { |
2 (J1375JEAC]2 ^[°875£/с ]2 - 2 |
1.375 £ /с |
0.875£/с) = |
||||
= 3EIС+0.0469Е/С+ 1.93752УС= 4.9844ЯГС’,
видим, что равенство удовлетворяется. Таким образом, коэффици
ен т вычислены верно.
4.3.Проверка правильности вычисления грузовых
коэффициентов
Проверка правильности вычисления грузовых коэф ф ициентов заключается в определении суммы всех найденных грузовых коэф
112
фициентов ЕЛ = RlPq + R1Pq и величины RsPq = £ J —-- |
Pq dz, |
y=i 0 ^ |
j |
определяемой по правилу Верещагина, т.е. сопряжением суммарной единичной эпюры М5 = М\ + Mj с эпюрой изгибающих моментов
MPq, построенной в основной статически определимой системе метода сил от действия только внешних нагрузок Р и q. При пра вильном определении грузовых коэффициентов величины ЕЛ и RsPq должны быть равны, т.е. ЕЛ = RsPq.
Построив эпюру МРд (рис. 2.18, б), определяем величины ЕЛ и
|
|
ЕЛ = RXPq+ R1Pq = 30 -1 0 = 20. |
|
Сопрягая |
эпюру М5 с эпюрой |
MPq по правилу Верещагина и |
|
взяв полученное выражение со знаком «минус», определяем |
|||
■ |
Д |
Г |
1 2 ^ - 1 |
* * |
[ ~ w f - d z - \ - T r r ^ |
||
£УС |
2 |
о0.,875 ЛУ,, - -j • 0.25 EJ(,) = -(-40 + 20) = 20. |
|
13 |
|
||
Равенство ЕЛ = RsPq свидетельствует об отсутствии ошибок при вычислении фузовых коэффициентов. Здесь же следует еще раз от метить, что при сопряжении эпюр всегда надо помнить, что эле менты рамы имеют различные жесткости (Jp = 2 / с).
5.Решение системы канонических уравнений
ипроверка правильности вычисления неизвестных
Подставив найденные значения коэффициентов в канонические уравнения, получим
4 EJC■Z j |
+ 0 |
.3 7 5 EJC■Z 2 |
+ 3 0 |
= |
0 ;1 |
|
0 . 3 7 5 EJC• Z\ + 0 |
. 2 3 4 Л У С • Z 2 |
- 1 0 |
= |
0 .J |
||
Решив эту систему уравнений, находим |
|
|
|
|||
7 |
13.53 „ |
64.31 |
|
|
||
Z I = ' £ / 7 ’ Z j= В Т ' |
|
|
||||
Проверку правильности решения системы уравнений произведем путем подстановки найденных значений Z\ и Zi в оба уравнения. В результате оба уравнения должны обратиться в тождества. Это будет
из
свидетельствовать о правильности решения системы канонических уравнений:
4Е1С |
+ 0375 |
Е!с • |
+ 30 = -54.12 + 24.12 + 30 = 0; |
0.375£ДС • [ - ^ ] + |
0234£/с • |
- Ю » -5.074 + 15.074 -1 0 = 0 |
|
Оба уравнения обратились в тождества. Следовательно, система решена верно.
6.Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок для заданной системы
Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М ^ для заданной системы производим на основании принципа незави симости действия сил по формуле
Мок = M\Z[ + Mi Zi + Mpq,
т.е. путем сложения «исправленных» единичных эпюр М\> Mi и гру зовой эпюры Mpq, построенных в основной системе метода пере мещений.
Значения ординат «исправленных» эпюр MZ\ и MZi получим путем умножения ординат единичных эпюр М\ и Mi соответственно на значения Z\ и 2&, найденные в результате решения системы ка нонических уравнений метода перемещений, с учетом их знака. Исправленные эпюры M\Z\ и MiZi, полученные таким образом, представлены на рис. 2.19, а и 2.19, б.
Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов Мок определяем по вышеуказанной формуле в табличной форме (см. табл. 2.5), предварительно приняв для этого нумерацию харак терных сечений рамы и правило знаков для ординат эпю р изги бающих моментов (рис. 2.18, в). В ригеле 0—2 эпю ра изгибаю щих моментов изменяется по закону квадратной параболы, так как действует равномерно распределенная нагрузка. Поэтому в ригеле может иметь место экстремальное значение изгибающего момента. Для выяснения этого рассмотрим ригель 0—2, вырезан ный из статически неопределимой рамы, на который действуют
равномерно распределенная нагрузка q - |
20 кН /м |
и опорные |
моменты в сечении 0 Af0 = 0 и в сечении |
2 Mi - |
-19.71 кН м |
(рис. 2.19, в). |
|
|
114
|
|
|
|
Таблица 2 .5 |
Номер сечения |
MyZ\ ,кН м |
M-rZa, кН м |
М„, кН м |
Мок, кН м |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
10.14 |
0 |
20.0 |
30.14 |
2 |
20.29 |
0 |
-40.0 |
-19.71 |
3 |
-13.53 |
24.12 |
-10.0 |
0.59 |
4 |
-3.38 |
0 |
10.0 |
6.62 |
4' |
-3.38 |
0 |
10.0 |
6.62 |
5 |
6.76 |
-24.12 |
-10.0 |
-27.36 |
6 |
-20.29 |
0 |
0 |
-20.29 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
12.06 |
0 |
12.06 |
Аналитическое выражение изменения изгибающего момента в зависимости от текущей абсциссы 1 для рассматриваемого элемента имеет вид
M (Z ) = Q0(Z) + M0 - 2 J -. |
(2.30) |
Для нахождения положения сечения, в котором может возник нуть экстремальное значение изгибающего момента, приравняем первую производную изгибающего момента нулю
= & - 9*0 = 0. |
(2.31) |
Определив из уравнения равновесия £Л/г =0 величину опорной реакции QQ и решив (2.31), найдем 2о, т.е. абсциссу сечения, где возникает экстремальное значение момента:
Q(I I\ + MD- ^ Y ~-M 2 = 0 ;
<1 + М г-М ^ . |
20^ + г Ш 1 - 0 |
= 3507 Л |
|||
^ |
2 |
1\ |
2 |
4 |
|
Таким образом, zext = |
Qo/q —35.07/20 = 1.75 м. |
|
|||
Подставив найденное значение Zo - |
1.75 м в аналитическое вы |
||||
ражение изменения момента (2.30), определяем величину: |
|||||
i /п ш |
= 35.07 • 1.75 + 0 - |
2° -' ^ |
- = 30.75 |
кН м. |
|
По найденным значениям ординат строим окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной системы (рис. 2.19, г).
115
7. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов Мок
Для того чтобы убедиться в правильности построения эпюры Мок, производим статическую и деформационную проверки.
Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаем неза крепленный жесткий узел В из этбры Мок, прикладываем действу ющие в нем изгибающие моменты и проверяем удовлетворение уравнения равновесия 1>Муз= 0 (рис. 2.19, д):
Шуз = 0, 20.29 - 19.71 - 0.59 = 0, |
20.29 - 20.3 = 0. |
Следовательно, узел В находится в равновесии, что свидетель ствует о правильности построения эпюры Мок. Однако, как и в ме тоде сил, уравнения равновесия жестких незакрепленных узлов сис темы иногда удовлетворяются и при неправильно построенных в основной системе единичных и грузовых эпюрах, а также непра вильном вычислении величин неизвестных перемещений. Поэтому для полной гарантии правильности построения эпюры Мок сделаем деформационную проверку, физический смысл которой состоит в проверке отсутствия перемещений в сечениях заданной системы, в которых заведомо они отсутствуют.
Проверим отсутствие перемещений по направлению опорного стержня опоры А заданной системы. Выбрав основную систему ме тода сил и приложив единичную сосредоточенную силу Х= 1 в сечении Л по направлению опорного стержня, строим единичную 11б
эпюру изгибающих моментов Jl/^i (рис. 2.19, е), после чего вычис ляем интеграл Мора по правилу Верещагина. Сопрягая эту эпюру с эпюрой Мок, получим
*верт _ |
1 |
Г 19.71-4 |
2 |
20-42 |
. 1 |
А) |
|
' |
2ЁГС\ |
~ |
- 4 + |
|
|
|
|
г |
— |
4 т |
у |
|
|||
1 f O.59 + 6.62 |
27.355 - 6.618 |
Л |
54.11 54.11 |
0. |
|||
EJC { |
2 |
|
|
|
Г |
EJc~ EJC |
|
|
|
|
|
||||
Вертикальное перемещение сечения А отсутствует, следователь но, эпюра Мок построена верно.
8.Построение эпюры Q по эпюре Мж
Эпюру Q для заданной системе по эпюре Мок строим, как и в методе сил, используя для определения ее ординат формулу (2.31).
Учитывая принятое правило знаков при построении эпюры Мж, обход рамы производим слева направо, начиная с опоры А и нахо дясь все время лицом к оси каждого участка рамы. Последова тельность обхода показана на рис. 2.18, в пунктиром со стрелками.
Участок 0—2. На этом участке действует распределенная внешняя нагрузка <7= 20кН/м и опорные моменты Мщ,= Мг= - -19.71 кН-м и Ммв = М) = 0
QO-2 = |
|
|
|
j |
»гас 0 s Z s 1\ - 4 м. |
||
Откуда, при Z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
а _2 |
= ^ |
- |
2 |
0 |
0 + ~ 1->^ ~ ° |
= 35.07кН, |
|
а при Z - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
СЬ-2 |
= |
^ |
|
- |
2 0 . |
= |
-44.93 кН. |
Участок 3—4. На этом участке нагрузка отсутствует, поэтому
Участок 4'—5. Аналогично:
ЛМ5 -М 4 -27.355 - 6.618
'« -5 я ~h/2 ~ ~ |
= -16.986 кН. |
2 |
Участок 6—7. Аналогично:
117
л |
Мт-М6 |
0-(-20.29) |
= 5.072 кН. |
Qi-1 * — ---------------- |
4------- |
||
Участок 8—9. На этом участке нагрузка также отсутствует, по этому
|
= М}.~ м » = 12М Г.Ч= 3.015 кН. |
|
8 9 |
Л |
4 |
По найденным ординатам строим эпюру Q для заданной рамы (рис. 2.20, а).
9.Построение эпюры N для заданной рамы
Ординаты эпюры # определяем из уравнений равновесия Ez = 0 и Ну = 0 вырезанных из эпюры Q узлов рамы. К вырезан ным узлам прикладываем действующие в них поперечные силы Q и искомые продольные силы # , составляем уравнения равновесия уз лов и решив их, вычисляем ординаты эпюры # . При этом нор мальные силы направляем от узла, предполагая, что все элементы рамы растянуты, а направление поперечных сил принимаем соглас но следующему правилу: если поперечная сила положительная, то она должна вращать узел по ходу часовой стрелки, а если отрица тельная - то против хода часовой стрелки.
Узел D (рис. 2.20, а):
Hz = - # 7-6 + 3.015 = 0; # 7_б = 3.015 кН (растяжение);
Ну = Ag-j + 5.0 2 = 0; # 8-9 = -5.072 кН (сжатие).
Узел А
Hz = 3.015 - 3.014 - # 2_о = 0; # 2Ч) = 0;
Ну = -5.072 - 44.93 - #*-5 = 0; # з_5 = 50.02 кН (сжатие).
118
По найденным ординатам строим эпюру N (рис. 2.20, б).
10. Статическая проверка рамы в целом
Для выполнения этой проверки необходимо убедиться в спра ведливости трех уравнений равновесия Ez = 0; Ъу = 0; ЪМ= 0 для любой отсеченной части рамы. Отсечем заданную раму от всех опор и приложим в местах сечений действующие в них силовые факторы,
величины и направления которых берем из эпюр Мок, Q и N (рис. 2.20, в).
Составив уравнения равновесия, проверяем их удовлетворение, т.е. обращение их в тождество:
£ z = |
3.015 + 16.986 - |
20 = 0, |
0 = 0; |
£ у = |
50.002 + 35.07 - |
5.072 - |
20-4 = 0, 0 = 0; |
ЪМС= 35.07 4 - 20-4 2 + 27.355 - 20-2 - 12.06 + 3.015-8 + 5-2-4 = 0,
0 = 0.
Все уравнения обратились в тождества, следовательно, рама на ходится в равновесии и эпюры Q, N и Мокпостроены верно.
2.9. Расчет неразрезной балки методом сил. Уравнение трех моментов
Неразрезной балкой называется статически неопределимая балка, в пролете опирающаяся в пролете на конечное число шар нирных опор. Крайние сечения неразрезной балки могут быть сво бодны, заделаны или шарнирно оперты. Одна из опор неразрезной балки имеет связь, препятствующую смещению балки вдоль ее оси.
Расчет неразрезной балки (рис. 2.21, а) можно выполнить, как и любой статически неопределимой системы, методом сил. Основную систему для расчета неразрезной балки получим, удалив из нее свя зи, препятствующие взаимному повороту смежных сечений балки над ее опорами, т.е. поместив шарниры в опорных сечениях балки (рис. 2.21, 6).
Неизвестными являются изгибающие моменты, возникающие в сечении нераэрезной балки над опорами.
Выделим из основной системы четыре примыкающих друг к другу пролета со средней опорой номером п и построим единичные и грузовые эпюры (рис. 2.22). Из анализа единичных эпюр видно, что в любом каноническом уравнении только три единичных коэф фициента будут отличны от нуля. Напишем одно из канонических уравнений в общем виде
119
Рис. 2.21
8ц ,л -1 * ы + 8 Я>Я Хп + 5 я я + 1 Хп+х + Д п р — 0 . |
(2 - 3 2 ) |
Подсчитаем единичные и грузовые коэффициенты, применяя прзвило Верещагина «перемножения» эпюр:
6я,л-1
& н 2 з 6EJn '
120