![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Сопротивление материалов.-1
.pdfг) вогнутость на криволинейных участках эпюры θ направлена в сторону эпюры Qy (рис. 7.4, в, д). Вогнутость на криволинейных участках эпюры v направлена в сторону изгибающего момента Mx (рис. 7.4, г, е);
д) в тех сечениях, где θ = 0, на эпюре v наблюдается аналитический максимум или минимум;
е) в сечениях балки, где есть промежуточные шарниры, на эпюре θ будут скачки, на эпюре v – изломы.
7.3. Определение перемещений методом Мора
Практическое применение метода начальных параметров, также как и непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии для некоторых систем имеет сложности. В практике обычно возникает необходимость оценки перемещений в конкретных сечениях конструктивных элементов. Эту задачу успешно решил немецкий ученый Отто Христиан Мор в 1874 г. Метод Мора является универсальным методом определения линейных и угловых перемещений, возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.
В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах, в арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций и деформаций от сдвига, учитывая лишь перемещения, вызываемые только изгибом и кручением. В этом случае для плоской системы интеграл Мора имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Mi |
|
M Fi dz |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ = ∑∫ |
. |
|
|
|
|
(7.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 l |
|
|
|
|
EJi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае пространственного нагружения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
M xi |
Mx |
|
dz |
M yi |
M y |
dz |
|
|
|
|
||||||||||||
|
M i M |
dz |
|
|||||||||||||||||||
∆ = ∑∫ |
|
Fi |
+∑∫ |
|
+∑∫ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fi |
|
|
|
|
ki |
|
. (7.11) |
||||
|
|
|
EJ |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
G J |
|
||||
i=1 l |
|
|
|
|
|
i=1 l |
|
|
|
|
yi |
|
|
i=1 l |
|
i ki |
|
|
||||
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
В случае растяжения или сжатия сохраняется лишь член, содержащий продольную силу:
121
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl122x1.jpg)
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ni NFi |
dz |
|
|
|
||||||||
∆ = ∑∫ |
|
. |
|
(7.12) |
||||||||
|
|
|
EA |
|
|
|
||||||
i=1 l |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для системы, испытывающей только кручение, |
||||||||||||
n |
|
ki M |
|
|
dz |
|
|
|||||
M |
kFi |
|
|
|||||||||
∆ = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(7.13) |
||
|
|
|
GJki |
|
|
|
||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В формулах (7.10)–(7.13) |
M Fi , NFi , MkFi |
– грузовые внут- |
ренние силовые факторы на i-м участке: соответственно изгибающий момент, продольная сила и крутящий момент от внеш-
ней нагрузки; M i , N i , M ki – единичные силовые факторы – соответственно изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент на i-м участке от силы, равной единице, приложенной в том сечении, где необходимо найти линейное перемещение, или от момента, равного единице, приложенного в сечении
определения углового перемещения; li – длина i-го участка; |
G |
– |
|
модуль сдвига, E – модуль продольной упругости, Ai , |
Jki , |
Ji |
– |
площадь, момент инерции (при круглом сечении Jki = |
J p , |
где |
|
|
i |
|
|
J pi – полярный момент инерции), Ji – осевой момент инерции
сечения на i-м участке.
Методика определения перемещений методом Мора может быть сведена к следующим пунктам.
1. Определяют реакции на опорах, разбивают систему на участки, выбирают направление обхода участков, записывают выражения для грузовых силовых факторов на i-х участках:
M Fi , NFi , MkFi .
2. Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где необходимо определить перемещение. При определении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают единичную силу, при определении углового перемещения – единичный момент.
122
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl123x1.jpg)
3. Определяют реакции на опорах для вспомогательной системы и, соблюдая тот же обход участков, что и в грузовом
состоянии, записывают на i-х участках M i , N i , M ki .
4.Вычисляют интегралы Мора по участкам в пределах всей системы. В соответствии с вышеуказанным при расчете плоских балок, рам и арок исходят из зависимости (7.10), при расчете ферм – из (7.12), при кручении – из (7.13).
5.Если искомое перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы; если отрицательный знак – действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.
7.4. Определение перемещений способом Верещагина
Для конструкций, состоящих из прямолинейных стержней с постоянным поперечным участком на i-м участке, интегралы Мора удобно вычислять по формуле Верещагина:
n |
ω |
M |
сi |
|
|
∆ = ∑ |
i |
. |
(7.14) |
||
EJxi |
|
||||
i=1 |
|
|
|
Рассматриваемый подход представляет собою графоаналитический способ. В формуле (7.14) ωi – площадь эпюры грузо-
вого силового фактора; M сi – значение ординаты единичного силового фактора под центром тяжести площади ωi ; n – число
площадей. Перемещения по способу Верещагина определяют следующим образом.
1. Строят эпюру изгибающих моментов M F для заданной системы от внешней нагрузки.
2.Составляют схему единичного загружения и строят эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки M .
3.Разбивают эпюры M F и M на n одинаковых участков так, чтобы выполнялись следующие условия:
a) под каждым участком эпюры M Fi лежал линейный (без
изломов и скачков) участок эпюры M ;
123
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl124x1.jpg)
б) можно было применить известные формулы для вычисления площадей ωi участков эпюры M F и положение центров тяжести этих площадей;
|
в) изгибнаяжесткостьEJх накаждомучасткебылапостоянной. |
||||||||
|
4. Вычисляют площади ωi и ординаты |
M |
сi эпюры |
M |
, рас- |
||||
положенных под центрами тяжести площадей ωi. |
|||||||||
|
5. Применяют формулу Верещагина, суммируя произведе- |
||||||||
ния |
ωi |
|
|
сi . Эту операцию называют перемножением эпюр |
|||||
M |
|||||||||
M F |
и |
|
. Действительное направление искомого перемещения |
||||||
M |
определяется так же, как в методе Мора.
а |
б |
Рис. 7.5.
Для того чтобы пользоваться формулой Верещагина, надо знать площадь ω и положение центра тяжести для характерных фигур. На рис. 7.5 приводятся необходимые справочные данные.
124
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl125x1.jpg)
7.5. Примеры определения перемещений методом Мора и способом Верещагина
Пример
Для заданной стальной балки (рис.7.6, а) подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Определить прогиб и угол поворота сечения С, [σ] = 160 МПа, Е = 2 105 МПа.
Решение
Рис. 7.6.
1. Составить уравнения поперечных сил Qy и изгибающих моментов МF от внешней нагрузки и построить их эпюры.
125
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl126x1.jpg)
Для консольных балок эпюрыQ и Мможно строитьбезопределения реакций в заделке, если анализ на участках проводить со стороны свободного конца балки в направлении защемления. Выделим балки и участки балки (см. рис. 7.6, а), запишем выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.
0 ≤ z1 ≤ 2,0 м; Q =0;
MF (z1) = M = 20 кН м; 0 ≤ z2 ≤ 4,0 м;
Qy =q z2; Qy (0) =0; Qy (4) =10 4 = 40 кН;
|
|
|
|
z2 |
−5z2 |
|
||
M |
F |
(z ) = M |
−q |
|
2 |
= 20 |
; |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
MF (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
=20 |
кН м; |
|
MF (4) = 20 −10 42 =−60 кН м. 2
Строим эпюру Qy (рис. 7.6, б) и МF (рис. 7.6, в).
2. Подобратьдвутавровоесечениеизусловияпрочностипоσmax. Определяем требуемый момент сопротивления изгибу:
|
W |
≥ |
M Fmax |
= |
60 10−3 |
106 = 375 см3. |
|
|
|
||||
|
x |
|
[σ] |
160 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Подбираем по ГОСТ 8239–72 двутавр № 27а, у которого |
|||||
W |
= 407,0 см3, момент инерции J = 5500 см4. |
|||||
|
х |
|
|
|
х |
|
|
3. Определить прогиб сечения С методом Мора. |
|||||
|
Составляем |
схему |
единичного нагружения, прикладывая |
к заданной балке безразмерную силу, равную единице в точке С (рис.7.6, г). Разбиваем схему единичного нагружения на такие же участки, что и на схеме грузового нагружения (см. рис. 7.6, а). Записываем для каждого участка выражения изгибающих момен-
тов M1 от единичной нагрузки M .
0 ≤ z1 ≤ 2,0 м;
M1(z1) = −1 z1; 0 ≤ z2 ≤ 4;
M1(z2 ) = −1 (2 + z2 ).
126
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl127x1.jpg)
Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ xvC = ∫M F (z1 ) |
|
1 (z1 )dz1 + ∫M F (z2 ) |
|
1 (z2 )dz2 = |
||||||||||||||
M |
M |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ∫20( |
−z1 )dz1 + ∫(20 −5z22 )(−2 − z2 )dz 2 = |
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫−20zdz + ∫(−40 −20z +10z2 +5z3 )dz = |
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
−40z −20 |
z2 |
|
z3 |
|
|
z4 |
|
4 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= −20 |
|
|
0 |
+ |
|
+10 |
|
+5 |
|
|
|
|
|
0 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −20 |
22 |
−40 4 −20 |
42 |
+10 |
43 |
+5 |
44 |
=173,3 кН м3. |
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
v |
|
|
73,3 кН м3 |
173,3 10−3 |
|
|
|
= |
|
= |
|
= 0,0158 м =1,58 см. |
|
|
|
|
||||
С |
|
EJ x |
2 105 5500 10−8 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
4. Определить прогиб сечения С способом Верещагина. |
|||||
|
Строим |
эпюру |
моментов от единичного нагружения |
(рис. 7.6, д), определив ординаты этой эпюры на границах участков.
M1 (0)= 0; M1 (2)= −2 м; M1 (4)= −6 м.
Определяем площади ωi участков эпюры МF и ордина-
ты M Ci эпюры M1 , расположенные под центрами тяжести площадей ωi . На первом участке площадь прямоугольника
ω1 = 20 2 = 40 кН м2. Центр тяжести прямоугольника ω1 имеет
координату z1 = 1 м. Вычисляем ординату M c1 эпюры
M c1 = M1(1) = −1 м.
Второй участок эпюры МF разбиваем на две фигуры: а) выпуклый треугольник с основанием b = 4 м и высотой 80 кНм, располо-
женный выше оси отсчета. Его площадь ω2 = 23 4 80 кН м2 =
127
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl128x1.jpg)
= 213,3 кН м2 , центр тяжести |
z2 |
= |
3 |
4 =1,5 м, поэтому |
||||
8 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C2 = |
|
2 (1,5) = −(2 +1,5) = −3,5 |
м; б) прямоугольник с основа- |
||||
M |
M |
нием b = 4 м, высотой 60 кН м, расположенный ниже оси отсчета.
ω3 = −4 60 = −240 кН м2 ; z3 = 2 м; M c3 = M3(2) = −(2 +2) = −4,0 м
Определяем прогиб сечения С по формуле Верещагина.
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ωi |
|
ci |
|
|
|
|
|||
|
M |
= − −40 1 −213,3 3,5 +240 4 = |
||||||||
v = j=1 |
|
|
|
|
||||||
c |
|
EJ x |
|
|
EJ x |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
173,3 10−3 102 |
|
||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,0158м |
=1,58 см. |
|
2 |
10 |
5 |
5500 10 |
−8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
5. Определить угол поворота сечения С способомВерещагина. Составляем схему единичного нагружения, прикладывая к заданной балке безразмерный момент, равный единице в точке
С (рис. 7.6, ж). Строим эпюру моментов M 2 от этого нагруже-
ния. Все ординаты M эпюры M 2 равны 1. Площади участков
эпюры МF уже определены. Вычисляем угол поворота сечения С по формуле Верещагина.
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ωi |
|
ci |
|
|
|
|
|
|
M |
|
40 1+213,3 1−240 1 |
|
13,3 1−3 |
|
|||
θ |
= |
j=1 |
= |
= |
=0,00121 рад. |
||||
|
|
|
|||||||
c |
|
EJx |
|
EJx |
2 105 5500 10−8 |
|
|||
|
|
|
|
Пример
Для заданной рамы (рис.7.7, а) подобрать номер двутавра из условия прочности. Определить горизонтальное перемещение сечения А, вертикальное перемещение сечения С и угол поворота сечения В. Принять [σ] = 160 МПа, Е = 2 105 МПа.
128
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl129x1.jpg)
Решение
Определяем реакции опор Аи Визусловийравновесия рамы:
∑Fx =0; q b−HB =15 2−HB =0; HB =30 кН.
∑MB =0; F(a+l)−q b a+b−b +M −RA l =20 4−15 2 2+10−RA 3=0;2
RA =10 кН;
∑Fy =0; −F+RA+RB =−20+10+RB =0; RB =10 кН.
Для контроля правильности найденных реакций на опорах составим сумму моментов всех сил относительно точки С:
∑Mc = q b b2 + RA a + M − HB (a +b) + RB (a +l) = =15 2 22 +10 1 +10 −30 3 +10 4 = 90 −90 = 0,
т.е. реакции RA, RB и МВ найдены верно.
2. Выделяем 4 силовых участка (см. рис. 7.7, а), составляем уравнения внутренних усилий и находим их значения на границах участков.
0 |
≤ z1 ≤1,0 |
|
м, NF = 0, QF = −20 кН, MF = −20z1, |
||||
MF (0) = 0, |
|
MF (1,0) = −20 |
кН м. |
|
|||
0 |
≤ z2 ≤ 2,0 |
м, NF = −10 |
кН, QF = −15z, QF (0) = 0, QF (2,0) = −30 кН, |
||||
|
|
z2 |
|
|
|||
MF = −15 |
|
|
2 |
, MF (0) = 0, MF (2,0) = −30 кН м. |
|||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
≤ z3 ≤ 3,0 |
м, NF = −30 кН, QF = −10 |
кН, |
||||
M F =10 −30 3 +10 z3, M F (0) = −80 |
кН м, M F (3,0) = −50 кН м, |
0 ≤ z4 ≤ 3,0 м, NF = −10 кН, QF = 30 кН,
M F = −30z4 , M F (0) = 0, M F (3,0) = −90 кН м.
Строим эпюры NF (рис. 7.7, б), QF (рис. 7.7, в), МF (рис. 7.7, г). Эпюра изгибающих моментов построена со стороны сжатых волокон рамы.
129
![](/html/65386/197/html_ZGWalurgTr.km03/htmlconvd-Jvg3Fl130x1.jpg)
3. Подбираем стандартный двутавр из условия прочности
с учетом напряжений |
только от изгибающего |
момента: |
|||||||
σmax = |
Mmax |
≤[σ], отсюда для опасного сечения D, |
где Мmax = |
||||||
|
|||||||||
|
Wx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 90 кН м, W |
x |
= |
Mmax |
= |
90 10−3 |
106 = 562,5 см3. |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
[σ] |
160 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Подбираем по ГОСТ 8239–72 двутавр № 33 (Wx = 597 см3, Jх = 9840 см4, A = 53,8 см2). Проверим прочность подобранного двутавра с учетом напряжений от продольной силы N = 30 кН, действующей в сечении D, т.е. там же, где и Мmax:
σmax = |
M |
max |
+ |
N |
= |
90 10−3 |
+ |
30 |
10−3 |
= |
|
|
A |
597 10−6 |
53,8 |
10−4 |
|||||
|
Wx |
|
|
|
=150,8 +5,6 =156,4 МПа <[σ] =160 МПа.
Условие прочности выполняется. Следовательно, двутавр
№33 может быть использован для изготовления этой рамы.
4.Определяем горизонтальное перемещение сечения А способом Верещагина. К раме, освобожденной от заданных нагрузок, прикладываем в сечении А горизонтальную безразмерную единичную силу и, определив опорные реакции от нее, строим
эпюру изгибающих моментов M1 (рис. 7.7, д). Перемещение сечения А в горизонтальном направлении находим перемноже-
нием эпюр МF и M1 по формуле Верещагина.
На участке левой стойки используем формулы, приведенные на рис. 7.5, б. Для ригеля трапецию разбиваем на два тре-
угольника и используем формулы на рис. 7.5, а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
г |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
EJxδA = |
|
|
2 30 |
|
|
2 |
+ |
|
3 50 |
|
|
2 |
+ |
|
3 + |
|
|
3 |
80 |
|
|
2 |
+ |
|
3 |
|
+ |
|||||||
3 |
4 |
2 |
3 |
3 |
2 |
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
3 90 |
2 |
3 |
= 795 кН м3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
δгА = |
|
795 |
= |
|
|
|
|
795 10−3 |
|
|
|
|
= 0,0404 м = 40,4 мм. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 105 9840 10−8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130