книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

Напряжённое состояние такого КЭ описывается из- ги-бающими моментами Мх, Му и поперечными силами Qx, Qy. Изгибаемые плитные КЭ не воспринимают продольные силы [23].

Тонкая пластина, у которой максимальный прогиб под действием поперечной нагрузки превышает четверть её толщины, называется гибкой пластиной. В ней нужно учитывать напряжения, равномерно распределенные по толщине пластинки (мембранные). Такие пластинчатые КЭ имеют в каждом узле по три осевых и два угловых перемещения относительно осей X и Y (рис. 9.20). В расчётах пластинчатых систем кроме моментов и поперечных сил определяются нормальные и касательные напряжения σx, σy, τxy в плоскости XOY.

Рис. 9.20. Четырёхугольный изгибаемый пластинчатый КЭ с пятью степенями свободы в узле

к существенному искажению нормалей к срединной поверхности при деформировании плиты. Поэтому толстые плиты рассчитываются уточнёнными методами без использования гипотез технической теории изгиба пластин.

Наиболее надежным условием того, что строительный объект может рассматриваться как пластина, является сравнение результатов расчета двумя методами: как пластины и как плоского трехмерного тела.

91

9.2.7. Некоторые рекомендации по выбору конечного элемента

При решении практических задач для исследователя важен вопрос выбора типа конечного элемента.

К сожалению, нет четких правил выбора лучшего элемента, так как это зависит от многих факторов: типа зада-

чи, геометрии границ, граничных условий, требуемой точ-

ности и др. Тем не менее можно сформулировать несколько рекомендаций, помогающих выбору конечного элемента.

Прежде всего, для аппроксимирующей функции должны существовать все производные, появляющиеся в функционале. Поэтому в строительных конструкциях лагранжевы элементы обычно применяют при расчетах плоских и пространственных ферм, плоских задач теории упругости. При расчете изгибаемых конструкций типа рам, плит перекрытий рекомендуется использовать эрмитовы элементы либо лагранжевы элементы, но более мелких размеров.

Предпочтительнее выбирать элементы, у которых уз-

ловые параметры концентрируются в вершинах.

При расчете областей, имеющих криволинейные границы, для удовлетворительного геометрического представления этих границ требуется большое количество граничных элементов с прямыми сторонами (гранями). Если использовать криволинейные элементы, то их число может быть сокращено и в результате уменьшится общее число переменных в системе. Для трехмерных задач, которым присуще большое число переменных, такое сокращение может быть очень полезным.

При создании расчетной модели реальной конструкции необходимо тщательно следить за тем, какие внутренние усилия могут возникать в используемых конечных

92

элементах и как эти усилия согласуются друг с другом в общих узлах. Это относится к местам сопряжения конструктивных элементов, имеющим разную размерность, например, сопряжение одномерных стержней с двумерными пластинами или с трехмерными массивами.

9.2.8. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ

При решении любой достаточно ответственной задачи нельзя обойтись без анализа качества полученного решения. В теории МКЭ большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. оценке точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Строгое доказательство таких важных свойств,

как сходимость, устойчивость и точность метода, прово-

дится в соответствующих разделах математики [16, 3, 15] и часто представляетсобой непростуюпроблему.

Практического расчетчика обычно интересует сте-

пень близости приближенного решения, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов. Причем под «практической сходимостью» мы будем понимать возможность получения приемлемой точности при сравнительно грубом разбиении. Поэтому на практике качество полученного решения обычно проверяют путем повторного рассмотрения задачи на другой, более мелкой сетке элементов. Конечно, большую задачу вряд ли стоит решать целиком на сгущающихся сетках, но очевидно, что выполнение такого анализа для характерных фрагментов расчетной схемы является рациональным. Эмпирически установленный факт устойчивости результата при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в пользу правильности выбранного подхода к решению.

Однако при проведении такого анализа расчетчик должен учитывать некоторые серьезные проблемы.

93

При удовлетворительной практической сходимости по перемещениям могут не так хорошо сходиться внутренние усилия или напряжения. Они определяются диффе-

ренцированием перемещений, а операция дифференцирования является некорректной в том смысле, что незначительному изменению функции может отвечать значительное изменение производной. Таким образом, проверки практической сходимости должны быть ориентированы на исследование тех результатов, которые требуются в решаемой задаче.

9.2.9.Пример расчета плоской рамы на статические нагрузки

Последовательность практической реализации МКЭ рассмотрим на примере статического расчета плоской рамы в программном комплексе «Лира» – Windows [17].

Схема рамы и принятое закрепление стоек показаны на рис. 9.21. Материал рамы – железобетон ВЗ0.

Рис. 9.21. Расчетная схема и сечения элементов рамы

94

Заданы нагрузки (рис. 9.22):

Рис. 9.22. Схемы загружений и нумерация узлов и КЭ рамы

95

постояннаяравномернораспределенная(рис. 9.22, а): q1 = 2,0 т/м; q2 = 1,5 т/м; q3 = 3,0 т/м;

временная длительная равномерно распределен-

ная (рис. 9.22, б): q4 = 4,67 т/м; q5 = 2,0 т/м;ветровая (рис. 9.22, в):

Р1 = –1,0 т; Р2 = –1,5 т; Р3 = –0,75 т; Р4 = –1,125 т.

Выполнив расчет рамы, требуется вывести на экран деформированную схему и эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q.

Порядок практической реализации расчета в про-

граммном комплексе «Лира» – Windows [17].

96

97

6.Задание нагрузок

Выведите на экран номера элементов.

Вдиалоговом окне «Показать» (Флаги рисования) активизируйте закладку «Элементы». После этого выберите команду Номера элементов и щелкните по кнопке

[Применить].

(На расчетной схеме отобразятся номера элементов.)

6.1.Формирование загружения №1 (Первое загружение принимается по умолчанию.)

Выделите горизонтальные элементы № 7 и 8.

Задание нагрузки q1 на выделенных элементах:

Вдиалоговом окне «Задание нагрузок» активизируйте закладку «Нагрузки на стержни». Затем радиокнопками укажите систему координат «Глобальная», направление – вдоль оси «Z». Щелчком по кнопке равномерно распределенной нагрузки вызовите диалоговое окно «Па-

раметры местной нагрузки». В этом окне введите ин-

тенсивность q1 = 2,0 т/м и подтвердите ввод. После этого

вдиалоговом окне «Задание нагрузок» щелкните по кнопке [Применить].

Выделите элемент № 9.

Задание нагрузки q2 на выделенный элемент:

В диалоговом окне «Задание нагрузок» щелчком по кнопке равномерно распределенной нагрузки вызовите диалоговое окно «Параметры местной нагрузки». Вэтомокне введите интенсивность q2 = 1,5 т/м и подтвердите ввод. После этого

вдиалоговом окне «Задание нагрузок» щелкните по кнопке

[Применить].

Выделите элемент № 10.

Задание нагрузки q3 на выделенный элемент:

Вдиалоговом окне «Задание нагрузок» щечком по кнопке равномерно распределенной нагрузки вызовите диалого-

вое окно «Параметры местной нагрузки». В этом окне

введите интенсивность q3 = 3,0 т/м и подтвердите ввод. После этого в диалоговом окне «Задание нагрузок» щелкните по кнопке[Применить].

98

6.2.Формирование загружения № 2

Смените номер текущего загружения . В диалоговом окне«Активноезагружение» задайтеномер загружения 2.

(При необходимости можно задать другое имя загружения.)

Выделите элемент № 7.

Задание трапециевидной нагрузки с интенсивностями

q4 и q5:

В диалоговом окне «Задание нагрузок» щелчком по кнопке трапециевидной нагрузки вызовите диалоговое ок-

но «Параметры местной нагрузки». В этом окне введите

параметры: Р1 = 4,67 т, А1 = 0,5 м, Р2 = 2,0 т, А2 = 3,5 м и подтвердите ввод. После этого в диалоговом окне «Зада-

ние нагрузок» щелкните по кнопке [Применить].

6.3.Формирование загружения № 3

Смените номер текщего загружения. В диалоговом окне

«Активное загружение» задайте номер загружения 3.

Выделите узел № 4.

Задание узловой нагрузки Р1:

Вдиалоговом окне «Задание нагрузок» активизируйте закладку «Нагрузки в узлах». Затем радио-кнопками укажите систему координат «Глобальная», направление – вдоль оси «Х». Щелчком по кнопке сосредоточенной силы вызовите диалоговое окно «Параметры нагрузки». В этом окне введите значение Р = –1 т и подтвердите ввод. После этого в диалоговом окне «Задание нагрузок» щелкните по кнопке [Применить].

Выделите узел № 7.

Задание узловой нагрузки Р2:

Вдиалоговом окне «Задание нагрузок» щелчком по кнопке сосредоточенной силы вызовите диалоговое окно «Параметры нагрузки». В этом окне введите значение Р = –1,5 т и подтвердите ввод. После этого в диалоговом окне «Задание нагрузок» щелкните по кнопке

[Применить].

99

9.2.10.Пример статического расчета железобетонной плиты

Рассмотрим последовательность выполнения статического расчета изгибаемой плиты размером 3×6 м, толщи-

ной 150 мм (рис. 9.23).

Рис. 9.23. Расчетная схема плиты

100