книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdfПервоначально конденсатор не был заряжен. В момент времени И ключ К замыкают и в цепи начинает протекать ток зарядки конденсатора. Накапливающиеся на обкладках конденсатора заряды будут со временем все больше препятствовать прохож дению тока, уменьшая его. Мгновенное значение силы тока свя зано с увеличивающимся зарядом на положительно заряженной обкладке конденсатора следующим образом:
1 ш * . |
(2.69) |
dt |
|
Применяя к замкнутой цепи второе правило Кирхгофа, за |
|
пишем: |
|
IR + U = е, |
(2.70) |
где Ш. - мгновенное значение напряжения на сопротивлении R, U - мгновенное значение напряжения на конденсаторе С. Подставляя в (2.70) соотношения (2.62) и (2.69), получим
dU 1 |
U = — |
. |
(2.71) |
dt + RC |
RC |
|
|
Уравнение (2.71) |
является линейным неоднородным диф |
ференциальным уравнением первого порядка. Общее решение этого уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению (2.65) соответствующего однород ного уравнения (2.64). Частным решением уравнения (2.71) яв ляется U=e. Следовательно, общим решением уравнения (2.71) будет функция
U = s + Be RC. |
(2.72) |
Постоянная интегрирования В находится из начальных ус ловий: при t=0 напряжение на конденсаторе U=0. В этом случае В--8. Таким образом, зависимость напряжения на конденсаторе отвремени имеет вид
(2.73) Зависимость (2.73) показывает, что напряжение U на кон
денсаторе увеличивается постепенно, асимптотически прибли
объему практически свободно, что позволяет создавать замет ный электрический ток в металлах с помощью относительно ма лой разности потенциалов. Свободные электроны, являющиеся носителями тока, называют также электронами проводимости.
Оценим концентрацию электронов проводимости п (число электронов в единице объема). Если каждый атом покинет один электрон, то п будет1равна количеству атомов в единице объема металла. В этом случае концентрация электронов проводимости пбудет иметь значение порядка 1028-г1029 м'3
Опираясь на представление о почти свободных электронах немецкий физик П.Друде создал классическую теорию электро проводности металлов, которая впоследствии была развита гол ландским физиком Х.Лоренцом. В этой теории электроны про водимости ведут себя подобно молекулам идеального газа, хао тически движущимся внутри кристаллической решетки, в узлах которой находятся положительные ионы металла (рис. 3.1). Но в отличие от молекул газа электроны в основном сталкиваются не другс другом, а с ионами решетки. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между “электронным га зом” и решеткой. Между соударениями молекулы “электронного газа” движутся свободно, проходя в среднем рас стояние (X), называемое средней длиной свободного пробега.
• - электроны проводимости
(+) - ионы кристаллической решетки
Рис. 3.1. “Электронный газ” внутри кристаллической решетки металла
113
Рис. 3.2. Траектория движения электрона проводимости в металле под
действием электрического поля
При появлении в металлическом проводнике электриче ского поля на хаотическое тепловое движение электронов про водимости, происходящее со средней скоростью (v), накладыва ется их упорядоченное движение вдоль проводника со средней скоростью (и), т.е. возникает электрический ток. Проведем срав нитепьную оценку величин этих скоростей. Среднюю скоросп
(v) теплового движения электронов можно вычислить по и вестной формуле из мопекулярно-кинетической теории идеаль ного газа:
(3.1)
где к-постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, nv масса электрона.
При комнатной температуре (Т=300 К):
Величину средней скорости (и) упорядоченного движения мож но найти из формулы (2.10):
(3.2)
Взяв максимально допустимое техническими нормами значений плотности тока для изолированных медных проводо5
m
А |
|
А |
|
_ ,2 |
|
и концентрацию электронов проводимости |
|
ММ |
|
|
|
п=Ю29 |
получим: |
|
|
м* |
|
|
|
(и) = |
J |
10J |
м |
|
10"3 - |
||
|
е-п 1,6 -10~19-1029 |
с |
Проведенная сравнительная оценка показала, что средняя ско
рость хаотического теплового движения электронов (v) пример-
О
но в 10 раз больше средней скорости их упорядоченного дви жения (и). Это означает, что электроны, быстро двигаясь хаоти чески, медленно смещаются по проводнику под действием элек трического поля (рис. 3.2). Такое движение электронов подобно движению молекул газа, заключенного в трубу, между концами которой поддерживается небольшая разность давлений: молеку лы газа быстро двигаясь хаотически медленно дрейфуют вдоль трубы. Поэтому скорость упорядоченного движения и называют еще скоростью дрейфа электронов проводимости. Таким обра зом, при вычислениях можно заменить модуль результирующей скорости электрона |v + u| модулем его скорости теплового
движения v
Следует обратить внимание на тот факт, что скорость рас пространения электрического тока (электрического сигнала) в цепи в результате ее замыкания определяется не относительно малой скоростью дрейфа электронов и, а скоростью распростра
нения электрического поля вдоль проводника, имеющей поря-
м
док скорости света с=3 • 10s ^Г' Электрическое поле приводит в
упорядоченное движение свободные электроны, находящиеся в металлических проводниках цепи на всем ее протяжении. По этому электрический ток в цепи возникает практически сразу после ее замыкания.
С помощью классической теории электропроводности можно получить основные законы электрического тока - законы Ома и Джоуля-Ленца, установленные опытным путем.
Закон Ома. Согласно теории П.Друде, в конце свободного пробега электрон при столкновении с ионом решетки полностью отдает ему свою, приобретенную в электрическом поле, кинети ческую энергию. В результате, сразу после столкновения, ско рость упорядоченного движения электрона становится равной и=0, а затем снова начинается его движение с ускорением.
Пусть поле с напряженностью Е, ускоряющее электроны, однородно. Тогда под действием поля электрон будет двигаться
с постоянным |
ускорением |
а * — , |
(3.3) |
те
ик концу свободного пробега будет иметь в среднем скорость
ити=а'{х>=— (т), |
(3.4) |
m ' |
|
где (т) - среднее время между двумя последовательными соуда рениями электрона с ионами решетки.
С учетом равенства (|v + u|)» (|v|) можно записать:
J X )
(Т): |
(3.5) |
<v>-
Так как скорость и изменяется за время пробега линейно, то ее среднее за пробег значение с учетом (3.5) будет равно
/ \ 1 |
еЕ(Х) |
(3.6) |
(«) = Т» n r n = r - V \ . |
||
2 |
2me(v) |
|
Подставляя (3.6) в (3.2), находим связь плотности тока j с напряженностыо электрического поля Е в проводнике:
пе
J = |
Е. |
(3.7) |
2 me (v) |
|
Поскольку все величины, стоящие перед Е в правой частя (3.7), не зависят от Е и постоянны, то плотность тока j оказалась
пропорциональной напряженности поля Е, т.е. мы получили за кон Ома в дифференциальной форме (2.14). Коэффициент про порциональности между j и Е есть удельная электропроводность
ометалла:
пе^_(Х)
(3.8)
2me ( v ) ‘
Анализ этой формулы показывает, что отсутствие столк новений электронов с ионами кристаллической решетки эквива лентно тому, что длина свободного пробега (к), а следовательно, и удельная электропроводность а становятся бесконечно боль
шими. При этом удельное сопротивление р = — металла стано-
о
вится бесконечно малым. Это означает, что электрическое со противление металлов обусловлено столкновениями элек тронов проводимости с иопами кристаллической решетки.
Закон Джоуля-Ленца. К концу свободного пробега элек трон проводимости под действием электрического поля с на пряженностью Е приобретает дополнительную кинетическую энергию:
^ = ^ е^ шах = |
(3.9) |
Как уже говорилось, при столкновении с ионом металла эта энергия полностью передается кристаллической решетке. Со общеннаярешетке энергия идет на увеличение внутренней энер гии металла, которое проявляется в его нагревании.
За единицу времени каждый электрон испытывает с иона ми решетки в среднем <z) столкновений, равное
(3.10)
В единице объема число столкновений будет равно произведе нию концентрации электронов проводимости п на (z). Таким об разом, в единице объема металла за единицу времени выделяет сяколичество теплоты:
Величина Оуд назьтается удельной тепловой мощностью тока (см. параграф 2.7). При сравнении (3.11) и (3.8) видно, что коэффициент пропорциональности между QyAи Е2 в (3.11) явля ется удельной электропроводностью сг металла. Следовательно, согласно (2.60), выражение (3.11) является формулой закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Температурная зависимость сопротивления металлов. Опыт показывает, что в довольно широком температурном ин тервале удельное сопротивление р металлов с ростом темпера туры увеличивается по линейному закону:
p = p0(l+at), |
(3.12) |
где роудельное сопротивление при t=0 °С, р 7удельное сопро тивление при данной температуре t по шкале Цельсия, а - тем пературный коэффициент сопротивления.
График зависимости (3.12) представлен на рис. 3.3.
р, Ом-м|
о |
t,°C |
Рис. 3.3. Зависимость удельного сопротивления р металла от температурыt
Для чистых металлов температурные коэффициенты со противления мало отличаются друг от друга и примерно равны
— К'1« 0,004K "1 Температурный коэффициент сопротивле273
ния сплавов, как правило, существенно меньше, чем у чисть#
металлов. Вследствие малости коэффициента а удельное сопро тивление р металлов сравнительно слабо зависит от температу ры t. Поэтому на графике (рис. 3.3) зависимость (3.12) изобра женапрямой с относительно малым наклоном.
На основании (2.22) от Температурной зависимости (3.12) для удельного сопротивления р можно перейти к аналогичной температурной зависимости для сопротивления R металличе
ского проводтака^_ |
|
R = R 0(l + at) |
(3.13) |
где Roсопротивление проводника при t=0 °С.
Эта зависимость положена в основу работы термометров со противления. Основной их частью является металлическая проволока (обычно платиновая или медная), намотанная на кар кас из керамики. Поместив эту проволоку в среду, температуру которой хотят определить, и измерив ее сопротивление R, рас считывают по формуле (3.13) температуру среды. (Величина Ro измеряется заранее). Термометр сопротивления позволяет изме рятькак низкие, так и высокие температуры с точностью поряд канескольких тысячных долей градуса
Классическая теория электропроводности объясняет тем пературную зависимость удельного сопротивления металлов следующим образом. Концентрация электронов проводимости п и их длина свободного пробега (Я), входящие в формулу (3.8) дляудельной электропроводности а, от температуры не зависят. Но согласно (3.1) средняя скорость теплового движения этих
электронов (v)~V f Следовательно, с увеличением температу
ры Тудельное сопротивление р = — должно возрастать пропор ет
ционально л/т . Но этот вывод классической теории противоре чит опытным фактам, согласно которым с увеличением темпе ратуры р возрастает пропорционально Т.
Затруднения классической теории электропроводности ме таллов можно объяснить лишь с позиций квантовой теории твердого тела.
3.2. Элементы зонной квантовой теории твердых тел
Зонная квантовая теория позволяет объяснить с единой точки зрения механизм проводимости металлов, полупроводни ков и диэлектриков. Поскольку подробное рассмотрение кван товой теории в данной главе не входит в нашу задачу, мы сфор- мулируем два ее положения, нужные нам, в виде постулатов.
Во-первых, энергия электрона в квантовых системах (ато мах, молекулах, кристаллах и т.д.) может принимать не любые значения, а лишь дискретный ряд значений, которые называют разрешенными уровнями энергии. В качестве примера на рис. 3.4 изображена энергетическая диаграмма атома, имеющая
шесть разрешенных уровней энергии электронов. |
|
|
|||||
|
|
|
Во-вторых, |
электроны |
|||
|
|
|
подчиняются принципу запре |
||||
|
|
|
та Паули:-в любой квантовой |
||||
Еб |
|
|
системе, например, в атоме или |
||||
|
|
в кристалле, в данном кванто |
|||||
Е5 |
|
|
вом состоянии может |
нахо |
|||
Е4 |
4— |
|
диться не более одного элек |
||||
Ез |
|
трона. Обычно одному энерге |
|||||
|
тическому |
уровню |
соответст |
||||
Е2 |
f - t |
вуют два различных квантовых |
|||||
состояния |
электрона с |
проти |
|||||
|
|||||||
EI |
|
|
|||||
4 |
t |
воположно |
направленными |
||||
|
|
собственными моментами им |
|||||
Рис. 3.4. Размещение электронов |
|||||||
по энергетическим уровням Ej в |
пульсов. (Собственный момент |
||||||
|
атоме |
|
импульса элементарных частиц |
||||
|
|
|
называют |
спином). |
Поэтому |
принцип запрета Паули формулируют еще и таким образом: в квантовой системе на каждом энергетическом уровне может на ходиться не более двух электронов с противоположно направ ленными спинами. Такое попарное размещение электронов по уровням условно показано на рис. 3.4. Стрелками показано на правление спинов. (В.Паули - швейцарский физшс-теорешк).