книги / Методы электрических измерений
..pdfзом. Так, на основании понятия «гипотетическаяз трансформация погрешностей, получаем:
AM = |
|
RlK'Rib - |
RlKFRbi> |
(2-10) |
Лк*? = |
RlKBRbl ~ RlKvRht> |
(2.11) |
||
Л2*; = |
RlKBRBib ~ |
RlFRhl- |
(2-12) |
Противоположный принцип, опирающийся на неидеальную трансформацию погрешностей, приводит к соотношениям:
А,*; = |
RtKVib - |
RVCBH7/5 |
(2.13) |
AKxl = |
RlKaR\b - |
RWRlyi, |
(2.14) |
As*/* = RZKrR'm - |
WCRlii- |
(2.15) |
Оба способа разложения полной погрешности на компоненты AiXj, Лк*/ и Агх*] корректны в том смысле, что сумма компонент равна полной погрешности результата измерения в обоих слу
чаях.
Возможны промежуточные варианты разложения полной по грешности в соответствии о соотношением (2.9), например:
дх*; = Ri^RbiRsmtirt
Лк*; = RZKBRib - RBKrRib>
Л2х? = RlKrRTm - RlKrRriVf
Когда уравнение измерений включает в себя три оператора Rlt К и R2, число возможных способов разложения Ах\ на Агх],
Дк*/ и А2х/ равно 4.
По мере повышения степени детализации описания измери тельной процедуры за счет введения в уравнение измерений боль шого числа преобразований число компонент, составляющих полную погрешность результата измерения, увеличивается. На пример, если
х\ = R I K BR T R ?^
то
Axj = л„*; + Aw*; + Лк*; + л2*;.
Увеличивается, естественно, при этом и число возможных способов определения этих компонент: при четырех компонентах полной погрешности — 8 и т. д.
В общем случае, когда
х ; = я » » . . . |
« ? * * « " • • • R i \ > |
(2 .i6) |
структура полной погрешности, определенная е позиций изло-
жадного подхода, включает в |
себя п + т + 1 |
компоненту: |
|
Дх? = Д„х? + . . . + Д|„х? + |
Д«х? + |
+ - |
+ Аг” *7- (2Л7) |
Число возможных способов определения этих компонент —
2п+тф
Поскольку полная погрешность результата измерения и каж дая ее составляющая может быть представлена в виде суммы ме тодической и инструментальной погрешностей, имеем,
для полной методической погрешности и ее компонент
Lux] = Д М + A M + А .% |
|
(2.18) |
||
где |
|
|
|
|
дГх; = RlK'Rtfi - |
RUCR'm V |
|
||
V RnKRfli — R'K Rbl V "•» |
(2.19) |
|||
Ayxj = ЯУСЯг?/ - |
RlK'RM V |
|
||
V RiKR't'li — RiKTRr>yi V |
|
(2-20) |
||
Atx", = RzKRiyi - |
RlKRili V |
|
||
V RJC Rln - RUCRtft V |
|
(2-21) |
||
для полной инструментальной погрешности и ее компонент |
||||
АиХ; - |
AW + AW 4- Агxjt |
(2.22) |
||
где |
|
|
|
|
А Й - |
Я®**"?/ - |
^ 2 ^ 1 ? / V |
|
|
V RZK*Rhl - |
VI V |
|
(2-23) |
|
A jtf = я 2а яя ?V/ - |
Я***?Т/ V |
|
||
V £ 2H* H*iY/ - |
V |
|
(2.24) |
|
А Й = R$K*Rbi - |
RiKliR b i V |
|
||
\ / RlKRx^i— R^KR\yi4 |
• |
(2.25) |
||
Аналогичные обобщения для Дмх* и Аих |
/ |
иП/9°?л\ |
||
дены и для общего случая, представленного |
|
( . ) |
" (В Примере, относящемся к измерению температуры, в урав нение измерений введено пять преобразовании,следовательно, полная погрешность Да?, а также полные методическая Д„з/
и инструментальная Ansf погрешности содержат по пять ком понент:
Д Sj = |
A IHSj + |
A l а$1 " Ь |
A KS* -|- A |
-}- A211— J |
AMs/ = |
A‘i„S/ -f- AiaS/ -(- AKs/ -f- A2 a~iSj -}~ Аги-*S/> |
|||
AMS/ = |
A7.S, -f- AlaS/ -j- AKS/ -j- A^a-iS/ -f- A^H-lSy. |
|||
Здесь AlHs/, |
А“иs* и |
AfHsJ — составляющие, обусловленные |
||
различиями между реальной, |
принятой |
и гипотетической гра |
дуировочными характеристиками датчика; Alas/, Ai'fls/ и Afas* — составляющие, обусловленные различиями между реальным, при нятым и гипотетическим коэффициентами нормализации; AKS/,
A“s/ и |
А“в/ — составляющие, обусловленные реальными, при |
|
нятыми |
и |
гипотетическими характеристиками АЦП; A2a-isj, |
А“о-iS/ |
и |
Ага-iS/ — составляющие, обусловленные различием |
реального, |
принятого и гипотетического преобразований, обрат |
ных нормализации; A2Hs/, Аги-iS/ и A2H-»S/— составляющие, обусловленные различием реального, принятого и гипотетического преобразований, обратных преобразованию, выполняемому дат
чиком. |
соотношений (2.10)...(2.24) и выражений |
для |
|
С |
помощью |
||
As/, |
AMs1 и AHs/ |
можно построить системы выражений для |
ком |
понент полной, методической и инструментальной погрешностей результатов измерения температуры для данного случая, выбрав для этой цели один из возможных принципов разложения (с гипо тетической трансформацией, о неидеальной трансформацией
ит. п.).
Вкачестве иллюстраций приведем выражения для составляю
щих полной методической погрешности результата измерения при использовании разложения с гипотетической трансформа цией:
Д М = 0;
|
|
A U ] = |
о; |
|
|
|
|
Дк s/= НшГ |
"f [а(и^+«о)]д'н |
- [И ок -и |
1 |
||||
1 1 |
Mv |
Jv |
|||||
AJ{aДк и--^0*0, 1>ч» 1 |
|
кJAнцJдк5 |
|||||
—НшГ |
1 П |
|
|
I —wU |
1 ; |
||
д к“-*-°> 1 |
U |
1аК ‘ |
|
Iv |
|
к |“JV |
|
Лк«-*0, L |
L |
|
|
|
|
|
|
V"*0 |
Н т Г 1 |
[с(ы*5/ + «о)]д'ы"I |
|
||||
Д“а-‘ = |
|
||||||
|
°1лка |
JAK“ |
|
||||
|
Дк“‘*° |> ] д кИ |
|
|
|
- |
■'“1 |
1- |
|
|
[ttoU, |
|
|
|
|
|
JA KMJAKS |
|
|
u « f |
. |
|
|
_ |
«“lo0, L[Us4 |
“ 11 |
1а]лкв |
J AK“ |
|
|
|
[^о]дкыI |
1 » |
|
|
|
J V 'J V |
|
|
AM „♦ |
|
[a(usSj + Uo)]A'Kl( |
||
|
|
l°hKa |
|
|
Д 2И—iS/ — |
1A „tt |
|
||
K |
V |
|||
|
|
|
|
X
—
1I—
— [^о]дни
[ а (ussj
miU 1
> |
— |
lim |
X |
||
1дк“ |
|
дк“-° |
l “ e]AK« |
||
я |
|
||||
+ “о)]*:, „ |
|
|
|
||
|
< 1 |
|
[и о1д„« |
||
ъ |
|
|
|||
1 |
д к“ |
д ки _ V |
|||
|
Вданном случае первые две составляющие равны нулю в связи
стем, что принятые и гипотетические аналоговые преобразования совпадают — вид градуировочной характеристики датчика и зна чения коэффициента нормализации одинаковы. Следовательно, методическая погрешность обусловлена квантованием при ана лого-цифровом преобразовании и округлением результатов число вых измерительных преобразований — деления на а и учета вида градуировочной характеристики датчика. .При определении ком
понент А“д-iS/ и Дги-'S/ учтено округление значений а, и3 и и0 при введении их в память процессора, т. е. использование соот ветственно значений [ а ] д ка, [м01дки и [W JAKU- Влияние этих округлений может быть пренебрежимо малым или совсем отсут ствовать, но в общем случае оно имеет место.
По мере развития методологии описания измерительных про цедур и характеристик результатов измерения при классифика ции погрешностей используются все новые признаки. Так, при классификации методических погрешностей все шире -исполь зуется признак адекватности алгоритма (иногда в качестве ана лога этого признака применяется адекватность модели объекта измерений).
Адекватным [84] называется алгоритм, обеспечивающий по лучение результата измерения в виде несмещенной состоятельной
оценки. Именно, если La [у^] = |
х] — адекватный алгоритм изме |
|
рений, то |
|
|
м [£.„ а д = |
м [*;] = м |
(2.26) |
|
|
lim (La а д ] = L F а д = Х у
|
Здесь |
Lr Iv j] — гипотетический алгоритм; d |
параметр |
|
(в |
общем |
случае многомерный); dnpeK — предельное |
значение |
|
параметра. |
|
|
|
|
|
Пример 2.1. Квантование [х^]д ж — Е [ ^ с ] — является неадекватным, |
|||
так |
как |
|
|
|
|
|
м [*;] = м [[*,]v ] = М[*,) + |
, |
|
КОТЯ
Нш
Дк*->0
Если же
Г х] "Ь АкХ/2 ~|
L у
то квантование будет адекватным, поскольку условие (2.26) выполняется полно- стью.
Сопоставляя результаты, получаемые с помощью адекватных и неадекватных алгоритмов, можно представить полную методи ческую погрешность в виде суммы двух компонент:
где |
Аых[ = АМ + Дм*?» |
(2-27) |
|
|
|
|
|
Д"*/ = RlK'Riyj - |
RVCRiVfi |
(2.28) |
|
A W = RiKRib - |
Rl^Rlyj- |
(2.29) |
|
Если RzKRiyj = |
RlK*Riyj — адекватный алгоритм, |
то со |
|
ставляющая Дна*/ |
отсутствует. |
|
|
Важным свойством адекватного алгоритма является отсутствие систематической погрешности, что вытекает из равенства мате матического ожидания результата измерения истинному значению.
Пользуясь понятием адекватного алгоритма, можно наметить следующий путь повышения точности измерений за счет умень шения методических погрешностей: сначала синтезируется адек ватный алгоритм, а затем устанавливаются значения управляе мых параметров (координаты многомерного параметра d), обеспе чивающие максимальную точность измерений.
Рассмотрим в качестве примера прямые измерения с нормали зацией и масштабированием. Принят алгоритм измерений
*/ — [фГ11ф (*/)]днф] дн*.
Гипотетический алгоритм имеет вид
*/ = [ф-1 [ф (*/)]о1о*
Принятый алгоритм неадекватен, и, следовательно,
Дм*/‘ = Да*/ + Дна*/»
причем, учитывая вид адекватного алгоритма, имеем:
Да*/ = [ф_1 [Ф (*/)]дк<р]лк* — [ф~Г[ф (^)]о]о*
Дна*/ = [ф1 [ф (•^;')]лкф]л1(х |
[ф [ф (^‘)]дкф]дкх* |
Заметим, что на практике задача выбора между адекватным и неадекватным алгоритмом возникает в том случае, когда неадек ватный проще в реализации.
П р и фГ1 I • ] = Ф-1 [ • ] п о г р е ш н о с т ь Д “аЯ/ = 0 .
На интервалы квантования наложены следующие ограничения:
Дкф > |
фтах |
i |
И Дц* |
■^тпах |
|
2пАЦП _ |
2”п— 1 |
||||
|
|
||||
(пАцп и Па — соответственно |
|
разрядность АЦП и процессора). |
Поскольку погрешность квантования (округления) является монотонной функцией от интервала квантования, то точность бу дет максимальной при
ДКФ = min Дкф = |
фтах |
и Акх = min Дих = |
Lmax |
2пАЦП_1 |
2V |
В общем случае, учитывая, что зависимость точности от управ ляемого параметра d может носить немонотонный характер, при
ходится искать |
оптимальное |
значение |
d в области d £ Dnon |
(Dnon — область |
допустимых |
значений |
D). |
При анализе погрешностей результатов измерения необходимо учитывать их связь с динамическими характеристиками средств измерений и динамическими свойствами входных воздействий.
Рассмотрим обыкновенные измерения, ограничившись для простоты одномерным входным воздействием у (t). При мгновен ной реализации всех составляющих измерительную процедуру
преобразований |
(безынерционные |
преобразования) |
уравнение |
|
измерений имеет |
вид |
|
|
|
|
|
х] = RtK6R b (t,), |
(2.30) |
|
т. е. имеем |
последовательность результатов преобразований |
|||
? (tj) |
Rty (it}) -v [* fT (^)]дкФ |
[^ 2 l^RiT (^)]дкФ]дкх (2.31) |
||
(напомним, |
что |
Rl М Д ж — lim |
£ ,[•])• |
|
кдк^°
На рис. 2.2 эта последовательность представлена соответ ствующими графиками при t = t}.
Полученный при сделанных предположениях результат имеет погрешность, которую принято называть статической:
Д?т*/' = RtK'Riy (tj) - RlK'Rly (t,). |
(2.32) |
С учетом инерционности блоков измерительной цепи и из менения входного воздействия за время, измерений приведен-
иую последовательность преобразований можно записать так:
|
|
t |
|
|
|
У(*)-»- f |
ht (?, t) У (t') dt' = Rty (t) -4- |
||||
|
|
| |
Лн (^» |
— Аи^ 4* h + tK) X |
|
|
- |
|
|
|
|
X |
J |
Ax (Г, |
О V (О df d f |
КRtf (t) |
|
<r-V |
|
|
|
л кф |
|
|
|
f |
hK(t\ |
t j - |
AJ + ti + t j x |
|
t” |
/d (Г, /') v (?) d? dt |
X |
||
X |
( |
||||
|
#r - V |
|
|
Дкф - дк* |
|
|
|
хб[(п — my — т сд)Дм*] = xj. |
|||
Здесь hi |
(t”, |
t') — переходная |
характеристика измеритель |
ного преобразователя, реализующего оператор Rx; hK (?, t) — переходная характеристи ка аналого-цифрового пре
образователя; tj — Aat — момент времени, соответ ствующий началу измере ний, когда входное воз действие скачком прини мает значение у (tj— Ди/); Дat — время, затрачивае мое на одно измерение; tj — Ди? + — момент вре мени, соответствующий на чалу аналого-цифрового преобразования (tx— вре мя, затрачиваемое на вы полнение преобразований в аналоговой форме); tj —
— Дat -ф tx + tK— момент времени, соответствующий началу выполнения пре образований в числовой
Рис. 2.2. График, иллюстрирую щий последовательность измери тельных преобразований без учета инерционности звеньев измерительной цепи
Рис. |
2.3. |
График, |
иллюстрирующий |
|||||
последовательность |
|
измерительных |
||||||
преобразований |
с учетом |
инерционно* |
||||||
сти звеньев измерительной цепи |
||||||||
форме (tK— время, |
затрачивае |
|||||||
мое на аналого-цифровое пре |
||||||||
образование); |
т сдАм/ — время, |
|||||||
затрачиваемое |
на |
выполнение |
||||||
преобразований в числовой фор |
||||||||
ме (AMrf— длительность |
машин |
|||||||
ного такта); |
|
|
|
|
— Aat-\- |
|||
-Ь |
~Ь tK) AMtf. |
|
представлена |
|||||
На |
рис. |
2.3 |
||||||
последовательность результатов |
||||||||
соответствующих |
преобразова |
|||||||
ний с учетом временных сдви |
||||||||
гов, |
обусловленных |
инерцион |
||||||
ностью |
блоков. |
|
|
|
|
|||
Вводя |
в рассмотрение дина |
|||||||
мическую |
погрешность |
ДдИНх* |
||||||
и полагая, что Ащтх) и АСТх} |
||||||||
образуют полную |
группу ком |
|||||||
понент, |
получим |
|
|
|
А дин** = R2KRiy (t) — |
|
- HlK^Rb (tj), |
(2.33) |
что обеспечивает равенство |
|
Дм*/’ = й“Тх' + А"„х]. |
(2. 34) |
Соотношения (2.32) и (2.33) определяют методические стати ческую и динамическую погрешности. Для инструментальных погрешностей соответственно имеем
Дет*/* |
= |
Rt нКбnRt‘ *у (tj) - RtK6Rh (tj); |
(2.35) |
|
Аднн*/ |
= |
R2KHRiy (/) - |
R2 nK6, ”R t Hy (tj); |
(2.36) |
|
|
Ди* / = A CT* / + |
Адин*/- |
(2.37) |
Приведенные |
результаты говорят о существенном |
различии |
в воздействии на погрешность инерционности процессора и инер ционности аналогового измерительного преобразователя и ана лого-цифрового преобразователя. Последняя порождает погреш ность с учетом зависимости входного воздействия от времени, а процессор только сдвигает получаемый результат во времени на величину /псд AKt, не учитывая характера изменения вход ного воздействия на этом интервале времени.
Анализ процесса формирования динамических погрешностей показывает, что важное значение имеет определение момента
времени, к которому относится полученный результат измерения. Наиболее распространен подход, основанный на соотношении результата измерения с тем моментом времени tj, в который за вершается его формирование (см. оис. 2.3). Этот подход оправдан, когда время измерений Ди/ определяется аналоговыми преобра зованиями, так как при этом все изменения входного воздействия оказывают влияние на получаемый результат. Включение в изме рительную процедуру числовых преобразований приводит, как было показано, к тому, что на интервале (tj — т сд Ам/] ха рактер изменений входного воздействия при формировании ре зультата измерения не учитывается. Таким образом, эти измене ния входного воздействия влияют только на динамическую по грешность. Это означает, что полученный результат измерения следует соотносить с моментом tj — т сд Дм t, исключая этим со ставляющую динамической погрешности, обусловленную конеч ностью быстродействия (инерционностью) процессора. К сожале нию, не всегда удается установить значение этого интервала, но в тех случаях, когда такая возможность имеется или известны ха рактеристики интервала т сдДм£ (среднее значение), эту информа цию следует использовать для уменьшения полной динамической погрешности за счет правильного датирования результата.
Рассмотрим динамические погрешности результатов измерения
температуры при уравнении |
измерений |
|
1 |
|
л. |
|
|
|
S/ = |
|
|
_ [“8]дк« |
■ w v |
Аки |
fit “
— [«о]д„и
дк“- Дк*
s (£) = 1 (t — tj + АдОs,
где
|
|
|
ч |
при |
х ^ |
0; |
|
|
|
|
1 |
(*) |
1 |
|
|
|
|||
|
0 |
при |
х < 0 , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
* |
ивз(?)ае-а 1*-*Г)(Н' ==u6s |
; |
|
|
||||
a[s(0] = M 0 = |
f |
J |
cura |
d/'; |
|||||
|
* /-V |
|
|
|
|
|
V "V |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
«и П(0 = |
f aU ° (O |
|
(i~ n |
dt> = |
aU*S |
X |
|
||
|
'/ - V |
|
|
|
|
|
|
|
|
X [ 1 - e~* |
V ) - |
j L f e~a |
|
|
|
e~* |
V ) ] . |