книги / Проектирование бесконтактных управляющих логических устройств промышленной автоматики
..pdfФункции двух переменных
Функции двух переменных f(a , Ь) являются основными функциями алгебры логики. Четырем наборам двух входных переменных соответ ствует 16 возможных логических функций, которые приведены в табл. 1-4. Можно заметить, что шесть из них встречались среди функ ций одной переменной. Функции /0 и f 15 являются соответственно нулевой и единичной функциями.
Функции ;/1о и f 12 являются функциями повторения и зависят каж дая только от одной из двух входных переменных.
Функции /з и /5 есть инверсии одной из входных переменных, т. е. являются фактически функциями только одной переменной.
Из остающихся десяти функций две (f2 и /13) не являются единст
венными, так как они отличаются от соответствующих им функций /4 |
|
и fn лишь порядком расположения входных переменных. |
|
Для оставшихся теперь |
восьми оригинальных функций двух пере |
менных (fi, / 4, / 6, / 7. fa, / 9. fu , |
f и) можно указать некоторые их свойства, |
а также встречающиеся в литературе их названия и обозначения, вы брав для дальнейшего изложения те, которые наиболее соответствуют смыслу и содержанию логической функции и являются наиболее упо
требительными в технических приложениях алгебры логики. |
|
|
Функция fi= a \ b называется стрелкой Пирса. Ее еще |
называют |
|
инверсией суммы, функцией ИЛИ— НЕ, функцией НИ . . . НИ . . . , |
функ |
|
цией Даггера, функцией Вебба. Иногда ее обозначают как |
aO b, |
a \Jb. |
Для этой функции имеют место следующие соотношения: |
|
|
a J О = а\ a J 1 = 0; a J а = а; а | а = 0.
Функцию fi= a -^ b в технических приложениях называют запретом. Иногда ее называют инверсией импликации. Встречаются еще ее обо значения в виде azt b, а^+Ь. Для нее справедливы следующие соотно шения:
а~*—0 = ц ; йн—1 = 0; о к -а = 0 ; й н -а = а ; 1-«-а=а.
Функция /6= а ® 6 называется неэквивалентностью. Еще ее называют исключающим ИЛИ, неравнозначностью, альтернативой, сло
жением по модулю |
2, разноименностью и обозначают посредством |
символов Ф , V , Д, |
Для этой функции имеют место соотношения |
а 0 0 |
= |
а; |
а 0 1 = |
а; |
а 0 а |
= |
О; |
а 0 а = |
1. |
Функция f7= a /b называется |
штрихом |
Шеффера, & также инвер |
сией произведения, функцией И— НЕ, несовместностью. Для нее справедливы следующие соотношения:
о/0 = 1; |
а/1 = а; |
а/ а= а; |
а /а — 1. |
Функция fs= a - b называется |
конъюнкцией. Ее еще называют |
произведением, логическим умножением, функцией И, пересечением и обозначают с помощью символов Д , П* &. Для этой функции справед ливы следующие соотношения:
а - 0 = 0 ; а-1 = а;
а -а= а\ а - а — 0;
п
|
|
|
|
|
|
о<и |
|
|
Т а б л и ц а |
истинности |
|
§ а> |
|
|
|
|
|
|
|
С13 |
|
а |
1 |
1 |
0 |
|
£ и |
Ф ункция |
О 5 2? |
|||||
|
|
|
|
|
|
a ет |
|
ъ |
1 |
0 |
1 |
0 |
а о |
|
S'S |
|||||
Нулевая |
/о |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Стрелка |
и |
0 |
0 |
0 |
1 |
a [ b |
Пирса (функ
ция ИЛИ-НЕ)
Запрет а и 0 0 1 О b<r-a
Инверсия а |
/. |
0 |
0 |
1 |
1 |
а |
(функция |
|
|
|
|
|
|
НЕ а) |
|
|
|
|
|
|
Запрет 6 |
f 4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
a-t-b |
Функции
С од ер ж ан и е логи ческой ф ункции
Функция никогда не име ет значения 1, какими бы ни были значения перемен ных
Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда обе переменные име ют значение 0
Функция имеет значение 0, если переменная а име ет значение 1, каким бы при этом ни было значение переменной 6.
Значения функции сов падают со значениями пе ременной 6, если пере менная а имеет значение 0
Функция имеет значение, обратное значению пере менной а, и не зависит от значения переменной b
Функция имеет значение 0, если переменная b име ет значение 1, каким бы при этом ни было значение переменной а.
Значения функции сов падают со значениями пе ременной а, если перемен ная 6 имеет значение 0
переменных
Структурная
формула
Ш) = _
=аа + bb
fr(Z)=ab; fi(Z) = а + 6;
fs(Z) = ab
fs{Z) = а
h(Z) — ab
Таблица 1-4
Совершенные нормальные формы
Контактная |
Условное обо- |
схема |
значение |
дизъюнк тивная конъюнктивная
дг а
• "W 'Q *
2 ч н ь а—| 1 |—2
—(* + 6 )(я + Ь )Х
Х{а+Ь)(а + Ь
ab |
(к+6)(аЧ-6)Х |
|
Х(«+ь) |
ab |
(й+6)(й+&)(а+ |
|
+6) |
ab -\-аЪ (о + Ь)(а+ Ь
ab (й+&)(я-Ь6)Х
Х(«+Ь)
V
|
|
Таблица истинности |
|
gS |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Функция |
а |
|
|
|
0 |
ЕГЖ |
|
1 |
1 |
0 |
О g |
||||
|
|
|
|
|
|
СО |
Я |
|
ь |
1 |
0 |
I |
0 |
S |
о |
|
б'ё |
||||||
Инверсия 6 |
и |
0 |
1 |
0 |
1 |
ъ |
|
(функция |
|
|
|
|
|
|
|
НЕ 6) |
|
|
|
|
|
|
|
Неэквива |
h |
0 |
1 |
1 |
0 |
« 0 6 |
|
лентность |
|
|
|
|
|
|
|
(исключаю |
|
|
|
|
|
|
|
щая |
|
|
|
|
|
|
|
ИЛИ) |
|
|
|
|
|
|
|
Штрих |
и |
0 |
1 |
1 |
1 |
а/Ь |
|
Шеффера |
|
|
|
|
|
|
|
(функция |
|
|
|
|
|
|
|
И — НЕ) |
|
|
|
|
|
|
|
Конъюнкция |
h |
1 |
0 |
0 |
0 |
ab |
|
(функция И) |
|
|
|
|
|
|
|
Содержание логической функции
Функция имеет значе ние, обратное значению переменной Ь, и не зави сит от значения перемен-
Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда либо переменная а , либо переменная 6 имеет значение 1 (но не обе вме сте)
Функция имеет значение 0 тогда, и только тогда, когда обе переменные име ют значение 1
Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда и переменная а, и переменная 6 имеют зна чение 1
Структурная
формула
Ш ) = 1
h (z ) = z fF + + ab
fi(z ) = a + b\ M z ) = a b
fs(Z) = ab
Эквивалент и |
1 0 |
0 1 а^Ъ |
Функция |
имеет значение |
f9(Z) = «& + |
||
ность (рав |
|
1 |
тогда |
и |
только |
тогда, |
+ ab |
нозначность) |
|
когда обе переменные име |
|||||
|
|
||||||
|
|
ют одинаковое значение, и |
|
||||
|
|
значение |
0, когда |
пере |
|
||
|
|
менные |
имеют разное зна |
|
|||
|
|
чение |
|
|
|
|
|
|
П родолж ение т абл. |
1-4 |
||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
Совершенные нормальные |
|||||
Контактная |
Условное обо- |
|
|
формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
схема |
значение |
дизъюнк- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
тивная |
|
|
|
|
|
|
|
ab + |
с& |
( a + b ) X |
|
||
— ^ |
^ |
|
|
X (a + b) . |
|||
|
|
ab + |
ab |
( я + й ) Х |
|
||
|
|
|
|
Х ( в + 6) |
|
||
|
|
ab+ ab+ |
|
(a + |
b) |
|
|
|
|
+ ab |
|
|
|
|
|
|
|
ah |
|
(a + |
b )X |
|
|
|
|
|
|
X |
(a + |
b) X |
|
|
|
|
|
X |
(a + Щ |
||
CLb Д |
CLr—i |
ab+ab |
( a + b ) (a + |
b) |
|||
|
|
Функция
Повторение
Ь
Импликация
Ь
Повторение
а
Импликация
а
Дизъюнкция
(функция
ИЛИ)
' Единичная
|
Таблица истинности |
|
s v |
||||
|
|
|
|
|
s s |
||
а |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 g |
||
s |
i |
||||||
|
|
|
|
|
|||
ь |
1 |
0 |
1 |
0 |
J |
l |
|
О о |
|||||||
ho |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
b |
Содержание логической функции
Функция повторяет зна чение переменной Ь неза висимо от значения пере менной а
fn |
1 |
0 |
1 |
1 |
a-*b |
Функция имеет значение |
|||||
|
|
|
|
|
0 тогда и только тогда, |
||||||
|
|
|
|
|
когда переменная а |
имеет |
|||||
|
|
|
|
|
значение |
1, |
а |
переменная |
|||
|
|
|
|
|
b имеет значение 0 |
|
|
||||
ft» |
1 |
1 |
0 |
0 |
a |
Функция повторяет |
зна |
||||
|
|
|
|
|
чение переменной |
а, |
не |
||||
|
|
|
|
|
зависимо от значения пере |
||||||
|
|
|
|
|
менной Ь |
|
|
|
|
|
|
f 18 |
1 |
1 |
0 |
1 |
b-*a |
Функция имеет значение |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
тогда |
и |
только |
тогда, |
||
|
|
|
|
|
когда переменная Ь |
имеет |
|||||
|
|
|
|
|
значение |
1, а |
переменная |
||||
|
|
|
|
|
а |
имеет значение 0 |
|
|
|||
fl* |
1 |
1 |
1 |
0 |
a-\-b |
Функция имеет значение |
|||||
|
|
|
|
|
0 тогда и только тогда, |
||||||
|
|
|
|
|
когда обе переменные име |
||||||
|
|
|
|
|
ют значение 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Функция имеет значение |
|||||
|
|
|
|
|
1, когда или переменная а, |
||||||
|
|
|
|
|
или переменная Ь, или обе |
||||||
|
|
|
|
|
вместе имеют значение 1 |
||||||
fib |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Функция |
всегда |
имеет |
|||
|
|
|
|
|
значение |
1, |
какими |
бы ни |
были значения переменных
Структурная
формула
fn (Z )= b
fu (z ) = a + b
fiz(Z) = а
fu { Z ) ^ a + b’
f 14(Z) = а + Ь
f, 5 (^ 1 = (а ±
+ й)(й + й)
Контактная Условное схема обозначение
- + Й - ' - 0 -
т ^ н з * С Н
а 2*, й г п
Продолжение табл. 1-4
Совершенные нормальные формы
дизъюнк- тавная конъюнктивная
ab + ab
ab + йй+
+ йй
ab + ab
ab+aй+
+ йй
«6+ДЙ+
+ йй
(а + й)(оЦ- Ь)
(й + Й)
(й+ й) (а+й)
(й + Й)
(й + Й)
ab-\-ab-\- -\-ub-{-
+ йй
Функция fs= a ^ b называется эквивалентностью, а также равно значностью. Для ее обозначения употребляют также символы Д ля нее-имеют место соотношения
а ~ 0 = а ; а ~ 1 = а ; а ~ а = 1 ; а ~ а — 0.
Функция f n = a -> b называется импликацией (иногда включением). Д л я нее справедливы соотношения
а-*-0= й; а-+ 1 = 1; а -н г = 1 ;
а-+ а= а\ 0-*-а= .1; 1-^а— а.
Функция /14= а + 6 называется дизъюнкцией, а также суммой, логи- •ческим сложением, функцией ИЛИ, объединением. Для ее обозначения применяются также символы \Л U- Для дизъюнкции справедливы сле дующие равенства:
а + 0 = а ; а + 1 = 1; а + 'а = а ; а + а = 1 .
Логические функции и реализующие их схемы
Логические функции подразделяются на два класса: комбинаци онные и последовательностные. Комбинационными называются логиче ские функции, значения которых определяются только комбинациями значений входных переменных вне зависимости от последовательности
..появления этих комбинаций.
Последовательностными называются логические функции, значения
-которых зависят не только от комбинаций входных переменных, но и от последовательности появления этих комбинаций, т. е. содержат эле
мент ПАМЯТЬ.
Комбинационные и последовательностные функции реализуются со ответственно однотактными и многотактными схемами релейного дей ствия.
Многотактные схемы, или схемы с обратными связями, являются основными схемами промышленной автоматики.
Условия работы однотактных схем могут быть заданы таблицами истинности. Условия работы многотактных схем, записанные в виде такой таблицы, будут содержать противоречивые строки и называться нереализуемыми. Нереализуемые условия работы схемы можно пере вести в реализуемые, вводя дополнительные переменные с таким рас четом, чтобы различным комбинациям значений выходных переменных -соответствовали различные комбинации значений входных и дополни тельных входных переменных. Дополнительные входные переменные
.носят название промежуточных переменных. Они могут быть получены за счет образования обратных связей, посредством которых сигналы -с выходов схемы или от промежуточных элементов подаются на входы соответствующих элементов схемы. Если использование имеющихся в схеме промежуточных и выходных сигналов не позволяет сделать ее реализуемой, следует вводить дополнительные промежуточные элемен ты, с выходов которых будут вводиться в схему необходимые промежу точные переменные. В качестве промежуточных переменных в первую «очередь используются выходные переменные.
;15
1-4. ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Алгеброй принято называть любое множество (совокупность) эле ментов, на котором заданы некоторые операции над элементами мно жества и аксиомы (правила), которым подчиняются эти операции.
Элементы алгебры могут быть произвольной природы: числа, буквы, высказывания,"функции-некоторого класса, матрицы, векторы и т. д.
Операции представляют собой действия, с помощью которых из конечного числа некоторых заданных элементов алгебры строятся новые элементы той же алгебры.
Аксиомы определяют свойства операций и отношения операций между собой.
В современной математике изучается много различных алгебр: алгебра чисел, алгебра поля, алгебра колец, алгебра групп, алгебра векторных пространств, алгебра матриц, алгебра логики и т. д.
Но, как это следует из самого определения понятия алгебры, все эти алгебры строятся исходя из трех основных принципов:
задание множества элементов, на которых строится алгебра; задание операций над элементами множества; задание аксиом, которым подчиняются операции.
Алгебра логики также построена на основе этих принципов. Множеством элементов алгебры логики является множество всех
логических функций. При этом константы 0, 1 и просто логические переменные (рассматриваемые как функции одной переменной, равные
самим |
себе) входят сюда |
как частные |
случаи логической |
функции. |
|||
В алгебре логики имеется множество операций. Наиболее употре |
|||||||
бительными операциями являются инверсия, конъюнкция |
и |
дизъюнк |
|||||
ция. Они позволяют построить любую |
логическую |
функцию. |
|
||||
В |
алгебре |
логики |
введена |
следующая |
система |
аксиом, |
|
определяющая свойства и отношения основных операций: |
|
|
|||||
|
|
|
а+Ь=Ъ-\-а\ |
|
|
0 -2) |
|
|
|
а - (6 + с) = а - 6 + а * с ; |
|
|
<1-3> |
||
|
|
a + b - c = ( a + b ) |
•(а + с ); |
|
|
(1-3') |
|
|
|
|
а + а * а = а ; |
|
|
(1-4) |
|
|
|
|
а + а = й + 5; |
|
|
(1-5)- |
|
|
|
|
а -а = Ь -Б . |
|
|
(1-50 |
|
Применение |
алгебры |
логики для |
математического исследования- |
релейных устройств [51, 98]., основывается на следующей системе ак
сиом, |
отражающих упоминавшиеся |
ранее (см. § 1-2) основные идеи- |
теории |
релейных устройств, когда |
любая переменная величина (а,. |
Ь . . . ) |
представляет собой или условие работы, или состояние' релей |
|
ного элемента или схемы. |
|
|
1. |
Существуют такие 0 и 1, что |
|
|
0 = |
1; |
|
1= |
0. |
16
2. Переменная может принимать лишь одно из двух возможных значений:
а = 0 , если аф\;
а = 1, если а ф 0.
со |
о |
о |
|
О |
||
|
II |
|||||
|
1 + |
1 |
= |
1. |
||
4. |
1-1 = |
1; |
||||
|
0 + 0 |
= 0 . |
||||
|
О |
II |
|
|
оГ |
|
|
|
о |
|
0 + 1 = 1 + 0 = 1 .
(1-6)
d -6')
(1-7)
(1-7')
(1-8)
(1-8')
Каждая из аксиом (1-6) — (1-8) состоит из двух частей, что соот ветствует правилу инверсии, которое заключается в том, что любая аксиома может быть преобразована в другую аксиому одновременной заменой цифры 0 на цифру 1 и операции конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот..
На основе этих аксиом выводятся все теоремы, выражающие основные законы алгебры логики. Их еще называют системой равно сильных преобразований функций или просто равносильностями.
Во избежание многократного применения скобок для записи формул и выражений алгебры логики условимся, что знак инверсии (— ) свя зывает более тесно, чем все другие знаки; знак конъюнкции (•) связы вает более тесно, чем знак дизъюнкции ( + ); последний же связывает теснее всех оставшихся знаков; все знаки связывают теснее, чем знак равенство ( = ) . Условимся также, что наряду с круглыми скобками при написании формул могут использоваться квадратные и фигурные скоб ки; внешние скобки в формуле могут опускаться.
Тогда, например, выражение
[{a-d)-\ -(p-c)}-*e
можно записать в виде |
|
||
|
|
ad-j-ftc—-е, |
|
предусматривающем |
следующий порядок выполнения |
операций: |
|
1) операция инверсии над а; 2) операция инверсии над Ь; 3) |
операция |
||
конъюнкции над а и d; 4) |
операция конъюнкции над б и с; 5) |
операция |
|
дизъюнкции над ad |
и Бс; |
6) операция импликации над a d +Бс и е. |
|
|
Законы алгебры логики |
|
|
1. Законы нулевого множества: |
|
||
|
|
0 + a = a ; |
(1-9) |
|
|
0 - a = 0 ; |
(1-9') |
|
|
0 -a-b -с- . . . -ш = 0 , |
|
т. е. конъюнкция любого числа переменных обращается в нуль, если какая-либо одна переменная имеет значение 0, независимо от значений других переменных.
2. Законы универсального множества:
1 ■а=а\ |
(1-10) |
1 + а = 1 ; |
(1-Ю') |
1 + а + Ь + с + . . . + w = i , |
|
17
т. е. дизъюнкция любого числа переменных обращается в единицу* если хотя бы одна из ее переменных имеет значение 1, независимо от значе ний других переменных.
3. Законы идемпотентности (повторения, тавтологии):
аа=±а; |
(1-11) |
аа . . . а = а п= |
а; |
а + а — щ |
(1-11') |
а+ а + . . . + а = п а = а .
4.Закон двойной инверсии:
а ^ а , |
(Ы 2 ) |
т. е. двойную инверсию можно снять.
5.Законы дополнительности:
логическое противоречие:
аа = О, |
(1-13) |
т. е. конъюнкция любой переменной и ее инверсии есть 0; закон исключенного третьего:
а + а = 1 , |
(1-13') |
т.е. дизъюнкция любой переменной и ее инверсии есть 1.
6.Коммутативные (переместительные) законы:
ab = ba-, |
(1-14) |
а + Ь — Ъ +а, |
(1-14') |
т. е. результаты выполнения операций конъюнкции и дизъюнкции не зависят от того, в каком порядке следуют переменные.
7. АссоциативньНе (сочетательные) законы:
a(bc) = (ab )c— abc; |
(1-15) |
fl+ (b + с) = (с + b) + c=o+i& + c, |
(1 -IS') |
T . e. для записи конъюнкции или дизъюнкции скобки можно опустить. 8. Дистрибутивные (распределительные) законы:
конъюнкции относительно дизъюнкции:
a(b + c ) — a b + ac; |
(1-16) |
дизъюнкции относительно конъюнкции: |
|
а + Ь с = (а + Ь ) ( а + с ). |
(1-16') |
9. Законы поглощения: |
|
а (а+ Ь ) = а , |
|
а {а + Ь) {а + с) . . . ( a + w ) = a ; |
(Ы 7 ) |
a + a b = a, |
|
a + ab + a c+ . . . + aw = a. |
(1-17') |
10. |
|
a (a + b) = a b ; |
(1-18) |
a + a b = a+ b . |
(1-18') |
11. |
Законы склеивания |
(распространения): |
|
||
|
|
|
аЬ + аЪ=а; |
(1-19) |
|
|
(а+1Ь) (а + 5 )= а . |
(1-19') |
|||
12. |
Законы обобщенного склеивания: |
|
|||
|
ab + a c+Ь c—ab + ас, |
( 1- 20) |
|||
|
( ц + й ) ( а + с ) ( й + с ) = ( й + й ) ( а + с ) . |
( 1- 20' ) |
|||
13. |
(a + b) ( a + c ) = a c + ab. |
( 1-21) |
|||
|
|||||
14. |
Законы де М органа |
(законы инверсии) : |
|
||
|
для |
двух |
переменных: |
|
|
|
|
|
ой = |
а + й , |
(1-22) |
т. е, инверсия конъюнкции есть дизъюнкция инверсий; |
|
||||
|
|
|
a - { - b = ab, |
(1-23) |
|
т. е. инверсия дизъюнкции есть конъюнкция инверсий; |
|
||||
|
для |
п переменных: |
|
||
|
abc...w = |
a-\-b-\-c~\-:..-\-w; |
(1-24) |
||
|
а-\-Ь-{-с-\- ...-\ -w ~ a b c ...w , |
(1-25) |
|||
обобщение законов де Моргана, предложенное Шенноном, |
|
||||
|
/{а, й, с, |
|
• ,+ ) = /(а, Ь,... ,ш, + ,• ) ,' |
(1-26) |
т. е. инверсия любой функции получается заменой каждой' переменной ее инверсией и одновременно взаимной заменой символов конъюнкции
идизъюнкции.
15.Теорема разложения
f (а, Ь, ..., а») = а/ (1, |
й,..., а>) + а/ (О, Ъ, ..., ш); |
(1-27) |
f(a, b, ... ,tw) = [ a - f f (0, |
b, ..., ш )]-[а'+/(1, b....... ву)]. |
(1-28) |
Доказательство этих равенств состоит в приведении их к тождест |
||
вам путем подстановки в каждое из выражений вначале о = 1 |
и а = 0, |
а затем а = 0 и а = 1 . Функции, содержащиеся в членах правой части, в свою очередь могут быть разложены по любой из оставшихся пере менных. Продолжение процесса разложения последовательно по каж дой из первоначальных п переменных приведет к полному разложению в ряд. Если функция разложена на основе теоремы (1-27), то получен ное выражение, называемое совершенной дизъюнктивной нормальной’ формой (СДНФ), имеет вид дизъюнкции конъюнкций, каждый член которой содержит каждую из п переменных или ее инверсию. При; использовании теоремы (1-28) полное разложение приводит к совер шенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ) в виде конъюнкциидизъюнкций, каждая из которых содержит каждую из п переменных или ее инверсию. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нор
мальные формы будут рассмотрены ниже (см. § |
1-6). |
2* |
1» |
Пример 1-1. Разложить функцию f(a, |
b, |
с) |
по переменным а и Ь. В соответствии |
|||||||||
= (1-27) |
1, |
с)-)-аЩ1, |
0, |
c)-\-.ab\f(0, |
1, |
c)-|-ab/(0, 0, е), |
|
|||||
f(a, Ь, c)= a b f(l, |
|
|||||||||||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
af(a, а, |
Ь, |
с, ..., w) = |
af (1, |
0, |
b, |
|
|
|
(1-29) |
|||
a f ( a , a , |
b, |
с, |
... ,w) = |
af (О, |
1, |
b, |
c,...,w)\ |
(1-30) |
||||
a - { - f ( a , a , |
b, |
c , ... ,w) = |
a-\ -f (0, |
1, |
b ,c, ...,w)\ |
(1-31) |
||||||
a-{- f(a, |
a, |
b, c, ..., |
w) = |
a-\ -f {1, |
0, b, c , ... ,w). |
(1-32) |
||||||
Таковы основные законы (равносильности) алгебры логики. Сле |
||||||||||||
дует подчеркнуть, что |
все |
эти законы |
остаются |
справедливыми |
при |
замене фигурирующих в них переменных а, Ь, с любыми формулами (функциями) алгебры логики.
Справедливость любого закона алгебры логики можно доказать разными методами.
Законы 1—5 доказываются путем прямой подстановки вместо двоичной переменной а значений 0 или 1, что непосредственно приводит к принятым аксиомам.
Формальный (аналитический) метод доказательства законов со стоит в том, что справедливость каждого доказывается на основе аксиом и ранее доказанных законов. Доказательство заключается в приведении обеих частей выражения к одному виду с помощью после довательных преобразований.
Приведенные ниже доказательства некоторых законов можно рассматривать также как примеры равносильных преобразований функций.
Закон поглощения |
(1-17). Для левой части на основании |
(1-16) мбжно записать: |
||
Затем на основании |
(1-11) |
a (a-\-b)=aa-{-ab. |
|
|
aa-\-ab=a~\-ab\ |
|
|
||
на основании (1-10) |
|
|
|
|
|
“ |
|
|
|
на основании (1-16) |
|
a-\~ab=a-\-\-ab\ |
|
|
|
аЛ-\-аЬ==а{\^\-Ь)‘, |
|
|
|
на основании (1-10) |
|
|
|
|
|
сс(1—[-6)=а •1==а. |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
а(а~\-Ь)=а.. |
|
|
|
Закон 10 (1-180- |
|
|
|
|
|
(1-10) |
|
|
|
На основании (1-160> (1-130, |
|
|
||
а + ab — (а + о) (а + Ь). = 1 (а + Ь) = |
а + |
Ь. |
||
Закон 13 (1-21) |
|
|
(1-13), (1-19), (1-13), (1-10), |
|
На основании последовательного применения (1-16), |
||||
(1-16), (1-14), (1-16), (1-10), (1-14) |
получим: |
|
|
(d—|—7?) (л—j—с)== (И—J—& )—|—-(й:—J—&)с^=аа-\-аЬ-}-ас-]-bc==z0-f-ab4-ас-\-bc=
=ab-\-ac-\-bc=ab-\-ac-\-bc (a-j-a)~ a b + a c+ ab c+ a b c= ab + ab c+ a c+ acb — = ab (l-\~c)Jr ac(l-\-b)=ab-\-ac=ac-\-ab.
Ряд законов доказывается методом перебора всех значений, кото рый состоит в том, что составляются все возможные комбинации (наборы) значений переменных и для них проверяется справедливость закона. Доказательство ведется обычно в табличной форме путем построения и сравнения таблиц истинности. Для доказательства за-
20