книги / Механика горных ударов и выбросов
..pdfпадающем участке может происходить только при выполнении не равенства p-j-i44<Cp"b^5» которое с учетом (1-37) может быть за писано в виде
|
(1—Л2) сг0< (1—Л2) ог*. |
(1.38) |
Поскольку |
< (То, для выполнения неравенства |
(1.38) необ |
ходимо, чтобы величина Л2 превышала единицу. В противном слу чае, когда Л2<1, деформация на падающем участке не реализует ся, и происходит скачок от упругого состояния кольца [первая строка в (1.36)] к состоянию, отвечающему остаточной прочности о* [последняя, строка в (1.35)]. Принимая во внимание положи тельность выражения (1.36) для Л2, получаем, что условие скачка может быть представлено в виде 1/А2^ 1 . Как и следовало ожи дать, оно совпадает с (1.34).
Очевидно, что остаточная прочность не влияет на возможностьпотери устойчивости в форме скачка. Это составляет дополнитель ное отличие от случая однородной среды, для которой наличиег остаточной прочности исключает потерю устойчивости математиче ского решения задачи.
Скачок происходит при предельной нагрузке q», определяемой знаком равенства в первом из условий (1.35),
Р + Л, |
_ |
(1.39> |
Яп = 2(1 - V . ) |
|
|
|
|
|
Подстановка (1.39) и (1.35) в |
(1.29) дает давления р'* и р"*. |
|
на кольцо соответственно до и после скачка: |
|
|
р'*=р+0оа/Я; |
|
(1.40) |
Подсчитаем, используя полученные выражения, энергию, выде ляющуюся при скачке. Приток энергии —ДЭ из пород, окружаю щих кольцо, равен
р л*
2т,R Г р.,; (u)d(—u).
Учитывая, что согласно (1.29) при фиксированной нагрузке
(q = q n) du=dpie{\-\-v\)R/E\, в результате интегрирования |
с ис |
пользованием значений р'* и р"* (1.40) получаем |
|
—АЭ = ла2(02о—о2*) (l+vi)/£i. |
(1.41) |
Энергия, которая затрачена на деформацию единичного объема пород в кольце от предела прочности 0о до остаточной прочности о*, определяется площадью под падающим участком диаграммы одноосного сжатия. Из рис. 7 нетрудно заключить, что она равна 1/2 (02о—02*)/Л4. На единице поверхности кольца поглощается; энергия
а общее количество поглощенной при разрушении энергии равно 2nRg. Вычитая это выражение из (1.41), получаем избыток Д/С
энергии |
|
|
|
ЛК= - ДЭ - 2*R g= % a R (o\ - |
£_ |
1 |
|
Л "" (4-v,)iW |
’ |
||
|
который переходит в кинетическую энергию породы, разрушаемой в кольце. Ее масса тк равна 2naRp\ (pi — плотность материала
в кольце), и по известной формуле^ — \/г2&К(тк получаем ско рость разлета
»p= l / ( l + v , ) |
Сгс -- 0„ |
I* |
Вх |
(1.42) |
|
р,£ |
(1+v,) А« ! • |
||||
|
|
Неотрицательность величины Д/С, выражаемая соотношением
—ДЭ>2 |
(1.43) |
эквивалентна условию скачка (1.34). Соотношения (1.34) и (1.43) получаются одно из другого тождественными преобразованиями. При нарушении (1.34) подкоренное выражение в (1.42) становится отрицательным, а величина цр— мнимой. Согласие (1.43) с (1.34) отражает внутреннюю связь между потерей устойчивости и изме нением энергии в системе. Более подробно этот вопрос изучается в разделе 3. Здесь же отметим, что в силу эквивалентности усло вия (1.43) с (1.34) оно может рассматриваться и вне связи с его физическим смыслом, как следствие чисто математического ана лиза.
Для хрупкого материала кольца с относительной толщиной a/R=0,25 при М/Е|=5, Е=2-\0* МПа, оь—cr.^<io=102 МПа, v= 0 ,l, pi = 2,5 г/см3 скорость разлета составляет 4 м/с. Разлет с такой скоростью воспринимается как дина мическое явление. Это горный удар. Согласно (1.34), (1.42) опасность горного удара растет с увеличением относительной толщины разрушаемой зоны aJR, отношения М/Е{ и податливости вмещающих пород 1fE\. Скорость разлета, кроме того, при ст*<СОо прямо пропорциональна прочности на сжатие сто-
Итак, установлено, во-первых, что в неоднородном массиве воз можен скачок из одного состояния в другое и, во-вторых, что при скачке избыток энергии может оказаться достаточным, чтобы раз рушение происходило в форме динамического явления. Перейдем теперь к более общему и сложному случаю, когда породы вне кольца испытывают необратимые деформации (в том числе за предельные). Кольцо можно при этом рассматривать как своеоб разную крепь, характеристика которой получается в результате решения задачи для кольцеобразной области при условиях ог{ Я) ~ = —р, cr3(/?i) = —Р*к- Получаемая при решении зависимость р*к(—и) давления на кольцо р*к от перемещения его внешней гра ницы и имеет восходящую и падающую ветви.
К породам вне кольца применимы все результаты, полученные выше для выработки в однородной среде, с очевидной заменой R на Я1 и р на некоторое давление рп(д, —и), которое должно быть
равно р*к(—и) , т. е. |
|
p*u{—u)=pn(q, —и). |
(1-44) |
Скачок происходит, когда duldq=-±oo. Рассматривая |
(1.44) |
как неявную зависимость и от q и вычисляя производную du/dq, имеем
d u ____ д£п_ Г |
др*к |
дрп |
I - 1 |
|
dq |
dq [ |
д( — и) |
д( — и) |
J |
Эта производная обращается в бесконечность, меняя знак, при др*к1д(—и)—дрп1д(—и). Из соображений, касающихся знака dufdq, следует, что скачок имеет место и при более общем условии др*к/д(—и )^ др п/д(—и), которое можно записать в виде
др*к |
дрп |
(1.45) |
да |
да |
|
При заданной нагрузке q на бесконечности возможны следую щие случаи, показанные на рис. 13. В случае а нагрузка на беско нечности меньше предельной нагрузки qn, и кольцо обладает ре зервом несущей способности. С дальнейшим ростом q давление на
а |
3 |
8 |
Р*к’ Рр |
Р*к' Рп |
’ Рп |
РИС. 13. Различные |
случаи взаимного расположения кривых р .к(—и) для |
кольца (!) и рп(—и) |
для пород вне кольца (2) |
кольцо достигает максимальной величины qn (рис. 13,6, в). При этом может произойти проскок к полному разрушению кольца (см. рис. 13,6), если его «жесткость» |/?*к/дм| больше или равна «же сткости» пород \dpjdu\. Энергия, переходящая в кинетическую энергию кольца, равна площади, заштрихованной на рис. 13,6, умноженной на длину окружности кольца 2nRi. Нагружение по добно процессу на мягком прессе, причем роль пресса играет внеш няя область, а роль образца — кольцо.
В противоположном случае (рис. 13,в), когда [д/7*к/ды|< '<С||дрп/дм|, достижение предельного давления на кольцо не со провождается потерей устойчивости. Кольцо деформируется в жестком режиме. Снижая сопротивление, оно постепенно умень шает сопротивление с дальнейшим ростом нагрузки на бесконеч ности (рис. 13,г). Динамических эффектов не наблюдается.
Случай д, которому отвечает выполнение (1.45) при нагруз ках, превышающих предельное значение qn, практически не реа лизуется, подобно тому, как не реализуется превышение предель ной нагрузки при сжатии образца или превышение критического значения qK для неподкрепленной выработки в однородных поро дах. Реальные нагрузки возрастают монотонно, и до того, как воз никает ситуация схемы д, произойдет бурное разрушение при q— = q n в соответствии со схемой на рис. 13,6. Эта схема ясно пока зывает важность диаграмм типа тех, которые изображены на рис. 12, не только для определения нагрузок на крепи, но и для оценки опасности горных ударов и интенсивности их проявлений.
Конечно, под кольцом можно понимать и реальную крепь, а па дающий участок ее характеристики получать теоретически или в экспериментах при разрушении крепи на жестком прессе. Тогда описанные схемы дают возможность судить как о смещениях кон тура и давлении на крепь, так и о характере разрушения, если давление превысит предельное значение. В случае б (см. рис. 13) крепь разрушается неожиданно и с динамическим эффектом, а в случаях в (см. рис. 13), и г процесс развивается спокойно и тре буется обычное перекрепление выработки. Схемы рис. 13 поясняют связь и различие между проблемами динамических явлений и рас чета крепей, каждая из которых требует учета запредельных де формаций пород.
Реальный массив всегда в той или иной степени неоднороден. Зачастую его неоднородность имеет случайный характер. Понятно поэтому, что, -как правило, горные удары проявляются статистиче ски и при одинаковых «в среднем» условиях случайным образом распределяются во времени и в пространстве. Теория позволяет сравнивать эти одинаковые «в среднем» ситуации, оценивая их по* степени опасности, и делать выводы о целесообразных мероприя тиях по предотвращению динамических явлений. В ряде же случа ев, когда неоднородность детерминирована — например, представ ляет собой прочный однородный целик, — удается достаточно точ но предсказывать и возникновение горного удара.
2. ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
2.1. РОЛЬ СТРУКТУРЫ И РОСТА ТРЕЩИН
Макроскопические свойства образцов, проявляемые при меха нических испытаниях, отражают процессы, происходящие на ми кроуровне и связанные с особенностями структуры материала. Изучение этих процессов в горных породах необходимо прежде всего для понимания закономерностей, определяющих эффекты, которые сопровождают добычу полезных ископаемых. На этом пути удается находить качественные зависимости, намечать рацио нальные пути выбора коэффициентов, теоретический подсчет кото рых невозможен, предсказывать результаты одних макроскопиче ских экспериментов по данным других опытов и так далее. Конеч но, помимо этих целей, можно ставить и более сложные задачи. Так, идеальным результатом было бы теоретическое предсказание всех макроскопических свойств только на основе данных о строе нии горной породы и свойствах ее микроструктурных элементов. Однако достижение такого результата невозможно из-за сложности реальных тел. Кроме того, несмотря на эвристическое значение, такое описание, в общем-то, малопрактично. Ведь вычисление, на пример, модуля упругости или предела прочности горной породы (даже если предположить, что такая возможность имеется) тре бует гораздо большей и труднодоступной информации, чем непо средственное определение этих величин.
Итак, перебросить мост между структурой и количественным предсказанием макроскопических свойств затруднительно. Однако качественные связи несомненны, .легко, обнаруживаются и. полезны для практики. Эти связи, в сущности, систематически используются в металловедении: по составу металла и описанию шлифа опытный специалист уверенно оценивает качества сплава (пластичность, прочность, износостойкость и так далее). Аналогичное положение имеет место и для горных пород. Петрографическое описание по роды, входящее составной частью в геологическое исследование, помогает оценивать механические свойства и эффекты, которых следует ожидать при нагружении. Так, хорошо известно, что хруп кость, например, песчаников увеличивается, а прочность на отрыв понижается с ростом размеров зерен и трещин. Хотя эту связь трудно выразить аналитически, она служит непосредственно для оценки опасности выбросов по геологическим признакам. Геолог замечает ее по сопоставлению результатов структурных исследова ний со статистикой выбросов, а механик — на основе анализа рос та трещин и его роли в процессе отделения частиц на обнаженной поверхности при совместном действии газового и горного давле ний (см. 2.5).. Для обоих специалистов зависимость между струк-
3* |
35 |
турой и проявлением выброса носит характер корреляции, но ее характер для них различен.
В цепочке структура — механические свойства — выброс геолог корреляционно связывает крайние звенья, в то время как для ме ханика связь второго и третьего звена представляет не корреляци онную, а функциональную зависимость, устанавливаемую строги ми методами. Кроме того, простейшие механические модели обна руживают вид связи первого звена со вторым. Это не только спо собствует пониманию внутренних причин макроскопических эффек тов, но и облегчает разработку методов прогноза динамических яв
лений, основанных на |
использовании |
геологических |
показателей. |
|
I I I |
{ |
{ |
i l |
l |
f |
t |
t |
t |
v t |
Î f |
t |
I |
I |
I |
1 1 |
1 |
I |
I |
t |
f |
t |
t |
t |
t |
t |
f |
РИС. 14. Различные схемы роста трещин при сжатии
Главной общей особенностью структуры горных пород является преимущественное положение трещин по отношению к другим де фектам. Такое положение обусловлено, с одной стороны, сравни тельно большими размерами трещин, а с другой — малой подвиж ностью других дефектов структуры (дислокаций и точечных дефек тов) в горных породах, по сравнению с металлами. Поэтому макро скопические необратимые деформации определяются прежде всего развитием трещин. Движение же дислокаций происходит, как пра вило, лишь в малых зонах высоких концентраций напряжений, ло кализованных около краев трещин, и само по себе не дает суще ственного вклада в наблюдаемые деформации образца. Тем не ме нее оно косвенно влияет на макроскопические эффекты, так как от развития малых пластических зон у краев трещин зависит энер гия, которую необходимо подвести, чтобы продвинуть трещины, рост которых обеспечивает наблюдаемую деформацию.
Распространение трещин является принципиальным моментом, влекущим за собой теоретические и практические следствия. Яр ким свидетельством их роста, наблюдаемым в обычных опытах с горными породами, служит заметное увеличение объема при испытании на сжатие — так называемая дилатансия [22, 79]. Этот эффект, хотя и не может считаться решающим аргументом, даег направление исследованиям. В итоге разнообразными опытами с достоверностью установлен преобладающий вклад развития тре щин в необратимые деформации и, в частности, в необратимое увеличение объема. Меньше известно о том, как именно растут трещины при сжатии. Рис. 14 а—е иллюстрирует различные меха низмы. Из них первые два (а и б) после снятия нагрузки не дают необратимых деформаций, что делает их маловероятными. Они становятся более правдоподобными, если учесть шероховатость берегов и взаимное зацепление берегов трещин. При этом схемы а и б становятся разновидностями схем в и г .
<5г 1 1 1 7
ГП
$
РИС. |
15. |
Возможная |
РИС. 16. Схема к выводу формулы для |
|
ориентация |
магистраль |
притока энергии в вершину трещины |
||
ной трещины (7) |
и на |
|
||
правление |
роста |
обра |
|
|
зующих |
ее микротрещин |
|
||
(2) |
|
|
|
|
Условия роста трещин различны внутри зерна, при выходе на его границу и распространении вдоль границ. Эти условия иссле дованы мало, но определенно установлено, что при сжатии разви тие трещин происходит преимущественно в плоскости, на которой сжимающее напряжение минимально, в направлении наибольшего сжатия. Даже в тех случаях, когда макроскопическая трещина на блюдается под углом к этому направлению, более детальное ис следование показывает [91]. что она образуется массивом мелких трещин, растущих указанным образом (рис. 15). То обстоятель ство, что необратимые дёформации и разрушение горных пород обусловлены ростом определенным образом ориентированных тре щин, позволяет опираться на хорошо разработанную теорию, изве стную под названием линейной механики разрушения [24, 53, 69].
Это дает возможность получить целый ряд общих заключений, по лезных для приложений.
2.2.РОСТ ТРЕЩИН
ИЭФФЕКТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ЭНЕРГИЯ
Суть линейной механики разрушения, основанной Гриффитсом и испытавшей бурное развитие благодаря глубокой интерпретации, данной Ирвином и Орованом, изложим на примере изолированной трещины. Рассмотрим для наглядности плоскую деформацию тела, когда трещина изображается разрезом на плоскости (рис. 16). Бо лее общий пространственный случай отличается только усложне ниями в чертеже и выкладках, не затрагивая существа дела, по скольку ситуация около края трещины в горной породе отвечает условиям плоской деформации. Обозначим внешний контур тела LB, а контур трещины LT. Будем его пока , считать свободным от нагрузки. Пусть у вершины трещины происходят пластические де формации (заштрихованная область на рис. 16), а основная часть материала вокруг нее деформируется упруго. После продвижения трещины на величину Аа пластическая зона перемещается в новый конец. Внешние силы совершают при этом работу ДА, часть кото рой AU идет на изменение энергии упругих деформаций тела. Раз ность
—ДЭ=ДД—ДU |
(2.1) |
представляет энергию, которая выделилась бы при. продвижении трещины, если бы оно не сопровохсдалось затратами на пластиче ские деформации в вершине и разрыв связей в материале. Однако распространение трещины требует таких затрат. Обозначив их в расчете на единицу поверхности g , получаем, что при продвиже нии трещины на Да поверхность каждого из берегов возрастает на ASi и поглощение энергии, равно 2gAS\ *. Условием продвижения является равенство или превышение притока энергии (2.1) над ее поглощением:
—ДЭ^ 2 g A S {. |
(2.2) |
Это условие, постулируемое в теории трещин, по смыслу входя щих в него величин совершенно аналогично условию неустойчиво сти (1.43), полученному в предыдущем разделе при решении за дачи, о выработке. Критерий начала движения
- ^ - = 2S |
(2. 3) |
был впервые предложен Гиффитсом. Он полагал, что величина g равна поверхностной энергии glu необходимой для образования единицы поверхности при разведении двух рядов атомов в упругом теле. Это допущение обычно не выполняется и вовсе не является
* Множитель 2 учитывает, что при разделении материала образуется по верхность 2ASt. Расчет ведется на единицу площади в поперечнсЩ к плоскости направлении (см. рис. 16).
необходимым для использования (2.2). Как отметили Ирвин и Орован, возможна гораздо более широкая трактовка величины g как характеристики поглощения энергии в локализованных у кра ев трещины зонах необратимых деформаций независимо от меха низма этого поглощения. В частном случае он может быть обус ловлен поверхностными силами, как предполагал Гриффитс, но в подавляющем большинстве представляющих практический инте рес случаев величина g значительно превышает gnt так как вклю чает затраты на пластические деформации и образование микротрещии, пор и других дефектов в малой концевой зоне. Условие (2.2) многократно проверялось на самых различных материалах при разных механизмах поглощения энергии и очень широкой ва риации значений величины g. Установлено хорошее согласие его с данными опытов. Величина g прочно вошла в механику разру шения как экспериментально определяемая характеристика мате риала. Она называется эффективной поверхностной энергией, вяз костью разрушения или трещиностойкостью. Для многих горных пород g имеет порядок 10-4 Дж/см2, что хотя и больше истинной поверхностной энергии glu но значительно меньше трещиностойкости металлов. Сравнительно небольшие значения g объясняются малой подвижностью дислокаций й соответственно малыми пла стическими деформациями у краев трещин в горных породах — не обратимые затраты энергии у краев трещин оказываются невели ки, а распространение трещин облегчается и становится основным процессом, определяющим макроскопические эффекты за пределом упругости.
Использование условия (2.3) предполагает определение величин —ДЭ и g. Нахождение первой из них осуществляется достаточно просто с помощью ко эффициентов интенсивности напряжений. Приведем вывод этой зависимости, поскольку он, будучи в известной степени универсальным, имеет самостоятель ное значение и применяется в дальнейшем при изучении устойчивости очистных выработок.
Подставим в (2.1) выражения для АД и AU:
где Ont— проекции действующих на Lb нагрузок на оси декартовой системы координат хОу, ось Ох которой направлена вдоль касательной к трещине в ее конце; Дн,- — проекции приращеяий смещений на те же оси; i—x, у\ по повто
ряющемуся индексу i здесь и ниже |
предполагается суммирование; А& — изме |
нение внутренней энергии единицы |
объема; 2 — область, занимаемая телом. |
В результате получим |
(2, 1) |
|
Окружим вершину трещины произвольным контуром Lc, не проходящим через пластическую зону. Вне его имеется потенциал и выполняется принцип возможных перемещений, из которого следует тождество
где Lb—Le — контур, представляющий собой совокупность внешнего контура Lb и контура, совпадающего с Lc, но проходимого в противоположном направ лении (нормаль к контуру интегрирования считается направленной вправо от направления обхода); 2 С— часть тела внутри контура Lc; 2 —2 С— часть тела вне Le.
Тождество (2.5) можно записать в виде
I* oniLuids— сniAtiids— jA<?d2-{- J A £ d 2 = Q . |
( 2. 6) |
h |
K |
z |
|
Вычитая (2.6) из правой части |
(2.4), получим |
|
|
|
—£Э= j* 3ni&Uids— J ASdE, |
(2.7) |
т. e. —ДЭ можно вычислить, используя любой контур Lc, охватывающий вер шину разреза вне зоны необратимых деформаций. Рассмотрим в качестве Lc такой контур вблизи от этой зоны в предположении, что она мала. При этом на Le имеем [24, 53, 69]
_d____А |
д |
V |
|
I |
|
|
ds, ~Аа |
дх |
’ Иш т— JГ |
A£d2 = |
|
S cos (п, х) ds. |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
( 2. 8) |
|
|
~~dst = |
/, |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
= |
J [г cos(п,«>—«,„• ^1 ds. |
(2.9) |
Нетрудно доказать, что величина /, называемая инвариантным интегралом Райса, не зависит от выбора контура интегрирования Lc Г53]. Поэтому в (2.9) уже не обязательно считать, что контур Lc расположен близко от конца тре щины.
Использование инвариантного интеграла чрезвычайно упрощает вычисление притока энергии. Действительно, наряду с исходной
.задачей, в которой у вершины трещины имеются необратимые де формации, рассмотрим аналогичную задачу линейной теории упру гости. Все рассуждений, касавшиеся вывода формулы (2.8), ко нечно, справедливы и для нее. Обозначая индексом «е» величины, отвечающие решению в линейной постановке, имеем
lÊ r = Je = J [& cos (fl> х) - °« /е ^ г ] ds• |
(2.10) |
Всочетании с (2.8) получаем
иочевидно, что учет влияния нелинейности и сложных процессов, происходящих в концевой зоне, сводится к сравнению —dd/dSi и
—d$e/dSj. Разница между этими величинами дается интегралом
40