книги / Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов
..pdfI Ьшденпые но результатам опытов Коэффициенты bx и Ь2
Определяют направление градиента для данной аппроксимирую щей плоскости, т. е. направление изменения содержания алюми ния и тантала в сплаве, приводящее к возможно более быстрому повышению прочности сплава. Сделав несколько опытов в этом направлении, т. е. осуществив крутое восхождение по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения (от сюда название метода), исследователь выбирает новую исходную точку s7> возле которой вновь проводит аналогичную серию из четырех опытов, рассчитывает коэффициенты нового линейного приближения теперь уже вблизи точки s7:
У= Ьо+ Ь\хх+ Ь2х2
и осуществляет движение по градиенту этого уравнения. Дви жение по градиенту производят до попадания в область оптимума, после чего строят и анализируют нелинейную модель этой области. На рис. 1 градиент совпадает с прямой, перпендикулярной изо линиям, т. е. с самым крутым склоном, ведущим от данной точки к вершине. Для поверхности отклика, показанной на рис. 1, ока залось достаточно двух серий опытов, чтобы при крутом восхож дении найти состав наиболее прочного сплава.
Даже рассмотренный пример показывает, что планирование эксперимента принципиально отличается от традиционного экс периментирования. При планировании используется многофактор ная схема эксперимента, когда эффект влияния какого-либо фактора оценивается по результатам всех опытов. При традицион ном экспериментировании (изменении одного фактора при осталь ных постоянных) используется однофакторная схема, при которой эффект влияния фактора оценивается лишь по некоторой части опытов. Многофакторная схема существенно эффективней. По кажем это на простом примере 175].
Предположим, что необходимо определить массу трех образ цов Л, Б и С. Рассмотрим два способа проведения эксперимента.
Ипервом случае схема взвешивания будет такой, как показано
мтабл. 1. Здесь первый опыт представляет собой холостое взвеши вание, т. е. по сути дела, определение нулевого положения весов.
Следующие опыты — поочередное взвешивание каждого из
образцов. В данном случае масса образца оценивается по результа там только двух опытов: того опыта, в котором взвешивается обра- в’И, и холостого. Например, масса А у2 — ух.
Схема взвешивания во втором случае показана в табл. 2. Здесь в первом опыте взвешивают все три образца вместе (хо
лостое взвешивание не производится), а в следующих — каждый
иоIдельности. В этом случае массу образца оценивают по резуль
та т всех опытов. Действительно, например, масса А равна
У1 + У2 — У3 — У4
Т а б л и ц а |
1. Схема однофакторного |
Т а б л и ц а |
2. Схема многофакторного |
||||||
эксперимента по взвешиванию |
эксперимента по взвешиванию |
||||||||
|
образцов А, |
В и С |
|
|
образцов А, |
В и С |
|
||
Номер |
|
|
|
Резуль |
Помер |
|
|
|
Резуль |
А |
В |
С |
тат |
/1 |
в |
с |
тат |
||
опыта |
взвеш и- |
опыта |
взвеш н- |
||||||
|
|
|
|
вания |
|
|
|
|
вамия |
1 |
_ |
__ |
_ |
У\ |
I |
+ |
. + |
+ |
У1 |
+ |
|
— |
|||||||
2 |
— |
lh |
2 |
+ |
— |
— |
У2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
— |
+ |
— |
Уз |
3 |
— |
+ |
— |
Уз |
4 |
" |
— |
+ |
У4 |
4 |
|
|
+ |
Уа |
Какой же из способов взвешивания лучше? Будем считать луч шим тот, который дает более высокую точность. Точность оценим дисперсией результатов взвешивания S2, которую подсчитаем для каждого способа. Предварительно вспомним, что по закону сло
жения дисперсий, если А а ± ft, то S \ = SI + S l‘, и если А =
а-\-Ь = ——, где п — константа, то
Si ч- si пл
С учетом этого для первого способа взвешивания
-2SI
где Su — среднеквадратичная ошибка взвешивания;
для второго способа
^ А — 4 = Ь у *
Оказывается, второй способ обеспечивает точность вдвое выше по сравнению с первым, хотя общее число опытов в обоих случаях одинаково. Произошло это по вполне понятной причине. Первый способ взвешивания является традиционной схемой экспери мента— типичной одиофакторной. Несмотря на то, что здесь всего было сделано четыре опыта, массу каждого образца опреде ляли только но результатам двух. Второй же способ представляет собой схему многофакторного эксперимента. Здесь массу образца определяли по результатам всех опытов, а это и дает выигрыш в точ ности. Чтобы получить результаты с той же точностью при тради ционном экспериментировании, в данном случае придется повто рить все опыты, т. е. проделать по сути дела вдвое большую ра боту. Легко показать, что с увеличением числа факторов эффектив ность многофакторного эксперимента растет.
Рассмотрим теперь последовательно вопросы постановки за дач при планировании эксперимента, выбора зависимых и независисых переменных, способы построения и анализа планов экспери мента, интерпретации полученных моделей.
1
Г Л А В А
ПРЕДПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Этап предпланирования эксперимента предполагает решение вопросов, связанных с постановкой задач. Термин «предпланироиппие» был предложен Ю. П. Адлером [3].
Решение экспериментальной задачи всегда оказывается тем более эффективным, чем более определенно задача поставлена. Хотя в ряде случаев этап предпланирования имеет самостоятель ное значение (см. примеры в данной главе), основной его целью является выбор зависимых и независимых переменных.
При формулировке задачи исследователь должен иметь ясное, четкое, однозначное представление о цели работы. Объект иссле дования должен быть управляемым. В ряде задач технологии ме таллов на это требование'следует обращать особое внимание. На пример, ставя задачу поиска оптимального в каком-то смысле сплава, необходимо отдавать себе отчет в том, что придется гото вить сплавы строго определенного химического состава. Если спла вы многокомпонентные, очевидно, потребуется принять специаль ные меры для того, чтобы точно попадать в заданный состав. Если по каким-либо причинам сделать это трудно, методы планиро
вания, возможно, вообще не стоит |
применять. |
1.1. ВЫБОР ЗАВИСИМЫХ |
ПЕРЕМЕННЫХ |
Зависимая переменная (отклик, выход, целевая функция, параметр оптимизации) должна удовлетворять ряду требований. Желательно, чтобы она была единственной, однозначной, в экстре мальных задачах действительно определяла экстремум, характери зовалась числом (при этом допустимы ранговые оценки типа сорт, балл, класс и др.), имела ясный физический смысл, отличалась статистической эффективностью, была однозначной в статистиче ском смысле, имела экономическую природу (в экстремальных и компромиссных задачах).
Большинство из этих требований ясны и очевидны. Все же отметим, что статистическая эффективность требует выбора за висимой переменной, определяемой с наибольшей точностью. Например, в качестве характеристики пластичности для хрупких
13
материалов следует выбирать относительное удлинение, а для пластичных — относительное сужение.
Однозначность в статистическом смысле означает, что задан ному набору значений независимых переменных должно соответ ствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение за висимой.
Множество значений, которые может принимать зависимая переменная, называют областью ее определения. Эти области мо гут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неогра ниченными. Исследователь должен уметь измерять зависимую переменную при любых возможных комбинациях выбранных уров ней независимых.
В технологии металлов редко решаются задачи с одной зависи мой переменной. Параметров оптимизации, как правило, имеется много, особенно в экстремальных задачах. Действительно, напри мер, при разработке литейных сплавов обычно недостаточно, чтобы они имели только высокую жидкотекучесть. Они должны также не растрескиваться при литье, иметь определенные усадоч ные свойства и, разумеется, отвечать заданным требованиям по механическим свойствам, герметичности, коррозионной стойкости
ит. д.
Вэтих ситуациях прежде всего необходимо попытаться умень шить число определяемых экспериментально параметров оптими зации, лучше всего до одного. Если же это не удается, приходится решать задачи с несколькими параметрами.
Известно довольно много попыток разработать способы умень шения числа параметров.
Прежде всего следует оценить уровень априорной информации об изучаемом явлении (процессе). Лучше всего для этого исполь зовать метод априорного ранжирования, который подробно будет
рассмотрен ниже, в разделе, посвященном выбору факторов, там же он будет проиллюстрирован примером выбора единственного пара метра оптимизации из многих при решении одной из задач из об ласти технологии металлов.
Далее можно рассмотреть возможность переформулировки задачи, или сведения ее к последовательности задач. Другими словами, вместо решения сразу большой задачи, требующей опти мизации по многим параметрам, можно попытаться решать ряд более простых задач с одним конкретным параметром оптимиза ции. Предположим, требуется разработать сплав возможно более жаропрочный, но в то же время технологичный при обработке давлением и обязательно сваривающийся.
Решение задачи можно представить себе в следующей последо вательности. Прежде всего, выбирают состав и режим термической обработки, обеспечивающие возможно более высокий уровень жаропрочности сплава. Далее факторы уточняют с тем, чтобы обес печить возможность деформирования сплава. Имея жаропрочный и деформируемый сплав, можно теперь искать оптимальные
14
условия его сварки. Так, одна задача сводится к последователь пости задач, каждая из которых имеет четко определенный пара метр оптимизации: вначале жаропрочность, далее деформируе мость и затем свариваемость.
1.1.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Значительную помощь в ситуациях со многими параметрами оптимизации может оказать установление статистических связей между параметрами с помощью корреляционного анализа [81]. ('уть этого приема заключается в определении коэффициентов парной корреляции между каждыми двумя параметрами на осно вании имеющихся экспериментальных данных. При наличии вы сокой корреляции между параметрами любой из них можно исклю чить из рассмотрения, так как он не содержит какой-либо допол нительной информации об объекте исследования, кроме получен ной с помощью другого. Исключать, естественно, надо те параметры, которые методически труднее определять экспериментально или физический смысл которых менее ясен.
Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина может меняться от 0 до ± 1 . Если коэффи циент корреляции равен 0, связь либо вообще отсутствует, либо отлична от линейной. Если он равен ± 1, связь является линейной— функциональной. Наиболее важны случаи, промежуточные между полной корреляцией и отсутствием корреляции. Здесь коэффи циент корреляции выражает ту долю вариации одной из перемен ных, которая связана с изменением значений другой. Естест венно, чем ближе величина коэффициента корреляции к 1, тем ('вязь сильнее; чем ближе к 0, тем связь слабее. Знак коэффи циента корреляции указывает на направление связи: увеличение одной из переменных при положительной корреляции влечет за гобой увеличение, а при отрицательной корреляции — уменьше
ние другой. |
случайную величину через у х (один |
Если обозначить одну |
|
на параметров), а другую |
через у 2 (другой параметр), то одна из |
возможных формул для расчета коэффициента парной корреля-
цпи (гУхУг) между ух и у2 будет иметь вид |
1108] |
|
N |
|
|
X (.'/!„ - Si) (У-2и ~ |
У*) |
(1.1) |
Г |
> |
16
где N — число опытов; |
и — номер опыта; |
|
|||
|
Л/ |
|
N |
|
|
Уа— |
iL У1и |
|
£ |
У%и |
|
yv |
’ |
£/2 — |
Л/ |
|
|
Л/ |
_ |
|
|
N |
|
Y (У1и - |
&) (Уч - |
&) = I |
- |
||
и—1 |
|
|
«=1 |
|
|
|
Л/ |
|
Л/ |
|
|
|
и=1 |
^/Хй J j У%и |
|
|
|
|
|
й—I |
|
|
|
|
|
|
лг |
|
|
|
|
|
|
/V |
\2 |
/V |
|
Л/ |
|
2 й . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
.N |
|
,N |
|
(V2J Уг„V |
|
У |
-л 42 |
У , 2 |
\« = 1 |
/ |
|
ц= ] (& « — У у - и = I У 2“ |
N |
• |
|||
Таким образом, для расчета коэффициента корреляции по фор |
|||||
муле (1.1), необходимо |
предварительно |
подсчитать суммы: |
N N N N N
Y У1и' Y Уги'■> Y У1иУги5 Y У ?’ Г 1/1,/
После расчета коэффициентов парной корреляции устанавли вают их статистическую значимость (точнее, проверяют гипотезу об отличии вычисленного значения коэффициента от нуля). С этой целью по таблицам распределения коэффициентов корреляции (см. приложение 1) находят при выбранном уровне значимости а (вероятности практически невозможных событий, обычно прини
маемой 0,001; 0,01; 0,05 или 0,10) |
и числе степеней свободы / = |
= N — 2 критическое значение |
коэффициента корреляции гкр. |
Линейная «связь считается статистически значимой в случае |
если | ГраСч | 5* Гкр.
Существуют и более простые способы расчета коэффициента корреляции. Один из них [1201 требует небольшой вычислитель ной работы и дает результаты близкие или, по крайней мере, ле жащие в доверительных интервалах коэффициента корреляции, вычисленного стандартным способом по формуле (1.1).
Методика основана |
на |
предварительном подсчете размахов: |
||
R y t == Ulmax |
У lminl |
|
|
|
Ry* “ i/2max — |
У ‘2т\т |
|
|
|
$(Ух-У2 ) “ {У\ |
У?) max |
{У\ |
У2)т\п\ |
|
К(Ух+У*) — |
{У\ + |
i/2)max — |
{У\ + |
^ rn in - |
16
При подсчете размахов следует учитывать знаки получающихся величин.
Формулы для расчета коэффициента парной корреляции в этом случае имеют следующий вид:
ГУхУ2 — |
^У\ |
^0/!-//«) |
|
^Ух^У2 |
|
Г9\У% --- |
2Ry «y > |
|
|
||
ry%tf2 — |
D2 |
_ D2 |
A(VI+;/2) |
^(j/i-Уа) |
^Ух^У*
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Можно пользоваться любой из этих формул, но формула (1.5) предпочтительней, так как она требует знания размахов и сумм, и разностей.
После установления статистически значимых корреляцион ных связей между парой параметров оптимизации можно построить уравнение регрессии, позволяющее предсказывать один из пара метров по другому. Если, например, предполагается предсказы вать у%по значениям экспериментально определенного y lf то строят
следующее линейное уравнение регрессии:
|
Уч — Ь0 -| |
|
|
|
(1.6) |
|||
коэффициенты которого, при |
расчете |
коэффициента корреляции |
||||||
по формуле (1.1) находят |
из |
выражений |
|
|
||||
/V |
|
|
М |
|
М |
|
N |
|
£ |
|
Уги £ У\а - |
£ |
'/la £ У ^ и |
|
|||
и=\ |
|
и~\ |
и—I |
|
1 |
(1.7) |
||
Ь0 = |
|
|
N |
|
/ |
N |
\ 2 |
|
|
|
" |
£ |
у1 ~ ( £ |
1 |
|
||
|
|
|
1 |
|
\и=1 |
|
||
|
|
N |
|
|
N |
|
/V |
|
|
N £ |
У1иу*и — £ |
г/1„ |
£ |
|
|||
Ьг |
|
и~\ |
и— \ |
и= 1 |
( 1.8) |
|||
|
|
N |
( |
N |
|
|
||
|
|
N X - »?. - ( Е л . |
|
|
||||
|
|
|
u= 1 |
\ и = \ |
|
|
||
Если коэффициент |
|
корреляции |
считают методом |
размахов, |
то формулы для расчета коэффициентов модели (1.6) следующие:
fc, — |
|
2RI |
^0/1-уа) 9 |
(1.9) |
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
N |
|
|
|
£ |
у*и |
£ * . |
|
|
Ь0 = |
«=1 |
h |
ы=1 |
(1.10) |
|
N |
N |
||||
|
|
|
17
Рассмотрим несколько примеров применения корреляционного анализа для поиска статистических связей между параметрами оптимизации.
В одной из задач 110, 142] изучали литейные свойства сталей 25Л и 45Л. Для стали каждой плавки определяли эксперимен тально жидкотекучесть (Ж), объем (Кур) и высоту (Яур) усадочной раковины, усадочную микропористость (ф/х). Кроме того, значе ния последнего свойства оценивали расчетом (ф/л;р) [10]. По дан-* ным имевшихся плавок по формуле (1.1) рассчитали коэффициенты корреляции между каждой парой свойств. Результаты расчетов сведены в табл. 1.1 (эта таблица симметрична, так как rytyf = = гyjyt). Анализ был проведен по 17 плавкам (N = 17). Следова тельно, f = 17—2 = 15, и при а = 0,05 гкр = 0,482. Все стати
стически значимые коэффициенты (т. е. равные 0,482 или большие) отмечены в табл. 1.1 звездочкой.
Т а б л и ц а 1.1. Коэффициенты парной корреляции между свойствами углеродистых сталей 25J1 и 45Л
|
Ж |
^УР |
/УУР |
4V* |
+/*„ |
ж |
1 |
—0,81* |
0,82* |
0,36 |
0,70* |
Vyp |
|
1 |
—0,82* |
—0,46 |
—0,94* |
|
|
|
1 |
0,38 |
0,69* |
iI n |
|
|
|
1 |
0,49* |
■ф/*р |
|
|
|
|
1 |
Выявленные с помощью корреляционного анализа линейные связи между свойствами можно теперь графически интерпретиро вать в виде графа (рис. 1.1), представляющего собой фигуру, со стоящую из точек (называемых вершинами) и отрезков (прямо линейных или криволинейных, называемых ребрами), соединяю щих некоторые из вершин. Вершинами графа в данном случае яв ляются свойства, каждое ребро графа указывает на наличие ста тистически значимой линейной связи между двумя вершинами.
Анализ полученного графа показывает, что все литейные свой ства изученных сталей статистически связаны между собой, правда, иногда не прямыми связями. В результате оказывается возможным выбрать в качестве параметра оптимизации расчетные значения микропористости, а уже по этим значениям оценивать уровень всех остальных свойств.
Следует отметить существенное свойство корреляционных свя зей: они в подавляющем большинстве случаев не являются при чинными. В этой связи, попытка найти ответ, например, на вопрос, почему жидкотекучесть связана с расчетными значениями пори стости, может оказаться бесплодной. Скорее всего, оба эти свойства
18
1'ис. |
1.1. Граф |
корреляционных |
связей |
|
при |
Р = 9 5 % |
литейных свойств |
сталей |
|
|
|
25Л |
и 45Л: |
|
Ж — жидкотекучесть; |
Кур — объем усадочной |
|||
|>пковины, Я ур — ее |
высота; ф/х и ф/лср — |
пнимения микропористости соответственно
экспериментальные и расчетные
зависят не прямо друг от друга, а через какие-то другие факторы. Нижио лишь то, что по значениям одного из этих свойств можно оценить уровень другого.
Но формулам (1.7) и (1.8) были рассчитаны коэффициенты мо дели (1.6). Оказалось, что зависимости жидкотекучести (Ж), объема (Кур) и высоты (Яуг) усадочной раковины, а также усадоч ной микропористости (ф/я) от расчетных значений микропори
стости (ф/Хр) выглядят следующим образом* |
|
|
||
[Ж] = |
197,7 + 5 1 3 ,0 [ф/хр]; |
■ |
|
|
[Кур] = |
60,8 -*35,4 |
[ф/хр]; |
|
|
[Яур] = |
23,5 + 3 2 ,2 |
[ф/*р]; |
( |
} |
1ф/х] - |
— 0,08 + 1,24[ф/хр]. |
|
|
Итак, в данном случае корреляционный анализ помог упро стить задачу и выбрать всего один параметр оптимизации: расчет ные значения микропористости. Полученную возможность трудно переоценить. Оказывается, оптимизацию литейных свойств вы бранных сталей можно проводить вообще без эксперимента, только по расчетным значениям микропористости. Разумеется, оптимальные условия приготовления сталей следует в дальнейшем проверить в опыте.
И другой задаче [49] проводили оптимизацию составов и ре жимов контролируемой прокатки стали типа 14Г2ФБ. Получен ные в работе экспериментальные данные по определению различ ных механических свойств сталей подвергли корреляционному анализу.
Изучали связи между пределами прочности ав и текучести от,
их отношением сгт/схв, твердостью H R B , характеристиками |
пла |
стичности 6 и ф, критической температурой хладноломкости |
7+ |
ударной вязкостью при —40° С, определенной на образцах с круг лым ай40 и острым <Хн\1 надрезами.
Коэффициенты корреляции рассчитывали по формуле (1.5). Критические значения коэффициента корреляции при числе сте пени свободы / = 16 оказались: 0,468 для доверительной вероят-
19
Рис. |
1.2. |
Графы |
корреляционных связей при |
доверительных |
вероятностях |
||||||
95% |
(а), |
99% (б) |
и |
99,9% (в) механических |
|
свойств |
сталей типа 14Г2ФБ |
||||
|
|
|
|
|
после контролируемой прокатки |
|
|
|
|||
ности |
Р =95% ; |
(а |
= 0,05); 0,590 для |
Р = |
99% |
(а |
= 0 ,0 1 ) и |
||||
0,708 |
для Р =99,9% |
(а = 0,001). |
|
|
|
|
|
||||
|
Выявленные с помощью корреляционного анализа статисти |
||||||||||
чески значимые линейные связи между свойствами |
представлены |
||||||||||
( на |
рис. |
1.2 в виде графов для доверительных |
вероятностей 959» |
||||||||
I (рис. 1.2, а), 99% |
(рис. 1, 2, б) и 99,9% |
(рис. 1, 2, в). |
свойства, |
||||||||
|
При |
доверительных вероятностях |
95 и 99% |
все |
кроме ат/ав, образуют связный граф. При Р = 95% наибольшее число связей имеет твердость, однако при Р = 99% пропадают
корреляции, связывающие твердость с характеристиками ударной вязкости, и на первое место по числу связей выходит предел проч ности. При Р = 99,9% из графа выделяется кроме ат/(Ув еще и Тк. Тем не менее даже и при Р = 99,9% все остальные свойства нахо
дятся в связном графе. Интересно отметить, что характеристики сопротивления металла пластической деформации (ств, crT, HRB)
в целом лучше коррелируют с остальными свойствами по сравне нию с характеристиками способности металла пластически дефор
мироваться (S, |
ф). Среди последних большее число связей при |
|
Р =95% |
имеет |
относительное удлинение, но при Р =99% и |
тем более |
при |
Р = 99,9% — относительное сужение. Ударная |
вязкость при —40° С, определенная на образцах с круглым над
резом (ай40), |
коррелирует с относительным сужением вплоть до |
Р = 99,9%. |
То же свойство, определенное на образцах с острым |
надрезом (ай4?), начиная с Р = 99%, не коррелирует ни с какими
другими свойствами, кроме ан .
При графическом анализе графов можно подсчитать только число имеющихся связей, но нельзя учесть величины коэффициен тов корреляции. В то же время следующим этапом корреляцион ного анализа является установление свойства, наиболее общего из рассматриваемой группы, а это, естественно, требует учета и абсолютных значений рассчитанных коэффициентов.
20