книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос
..pdfКаждому кубику сопоставим вероятность, с которой ТОЧКИ Множества попадают в кубик с индексом i - р. Введем набор величин D , определенных формулой
|
|
|
1 |
|
>og 1 Р* |
|
|
D |
= |
11ш |
i |
(6.32) |
|
|
я |
|
F T |
е-»о |
log |
€ ’ |
где суммирование |
ведется |
по |
всем |
кубикам покрытия, или |
||
эквивалентным |
выражением |
|
|
|
||
D |
1 |
|
1i m |
log Sm B^x^dpjx) |
||
|
|
l o g e |
(6.33) |
|||
я |
F |
Tе-»о |
|
|
Здесь I4B£(X)) - вероятность попадания в шар радиуса
£с центром в точке х (она же фигурирует в определении
поточечной размерности). Величины D |
определены при |
любых |
а > 0, и можно показать, что DЯ > |
ЬЯ/, если а < а '. |
Одна- |
ко в некоторых случаях (по крайней мере для обсуждавшегося выше класса фракталей) они совпадают с известными размер
ностями. |
Сравнивая |
формулу |
(6.32) |
|
с |
соотношениями |
(6.4), |
||||||||||
(6.25), (6.26), |
нетрудно |
убедиться, |
что |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1i m |
D |
- |
d , |
|
D |
0 |
= v |
|
|
|
(6.34) |
|||
|
|
|
<^0 |
* |
|
|
c |
|
*=2 |
|
|
|
|
|
|
||
Можно |
показать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
lim |
D = dr |
|
|
|
|
|
|
(6.35) |
|||
В самом |
деле, |
представим |
D |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
£ |
р ехр(<7-.1 ) |
In |
р |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
11 m |
----------------------------------------. |
|
|||||||||
|
|
°я = F T е-»о |
|
|
log |
е |
|
|
|
|
|
||||||
При q —» 1 мы имеем |
неопределенность |
0 /0 . |
Чтобы |
||||||||||||||
раскрыть |
ее, |
|
воспользуемся |
|
правилом |
Лопиталя. |
Взяв |
||||||||||
производные |
от |
числителя |
и |
знаменателя |
по |
q |
при q |
= 1, |
|||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D. |
= |
lim |
Е р ,- ln Pj |
11ш |
|
----------------- |
|
|
(6.36) |
||||||||
|
|
£-»0 |
In е |
Е |
р. |
l |
i m |
|
Z ! , |
i |
Р ‘ |
|
|
|
|||
|
|
£-»0 |
|
|
In |
£ |
|
|
|
221
что совпадает с формулой (6.6) для информационной размер ности.
Можно убедиться, что для обсуждавшегося выше двухмас штабного канторова множества Dm = In p j/ln oij, т. e. D
характеризует здесь наиболее плотно заполненную часть мно
жества вблизи |
левого |
конца |
(см. рис. 6.11). Весь набор |
обобщенных размерностей |
более |
полно характеризует изучае |
|
мое множество, |
чем каждая |
из размерностей по отдельности. |
Существует несколько способов их вычисления. В работе [294] предлагаются два метода. Первый связан с введением обобщенного корреляционного интеграла Сп(е) и обобщенного
корреляционного показателя v : |
|
|
|
|
|
||||||
С (с) |
= |
1im |
—=— { |
число |
множеств |
из |
п точек |
( / ' . . , / |
), |
||
" |
|
ЛЛ*о» |
N2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
" |
|
|
у |
которых |
|х. - |
х. | < |
е |
для всех |
, iR }, |
(6.37) |
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
‘ а |
‘ В |
|
|
|
р |
|
|
|
|
Сп(е) |
Dn = |
рп/ ( я-1). |
|
|
||||
|
Однако |
этот |
способ |
требует |
огромного объема |
вычисле |
|||||
ний. |
При |
расчете |
обычного |
корреляционного показателя v |
|||||||
(у2 в формуле (6.37)) обрабатывается N2 расстояний, а при |
|||||||||||
вычислении |
vm - |
Nm, что |
практически |
недоступно. |
|
||||||
|
Другой подход связан с анализом соотношений, анало |
||||||||||
гичных |
формулам |
(6.29): |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Е Мэ |
pg у |
= |
1. |
|
|
(6.38) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Он очень эффективен при изучении канторовых множеств или их обобщений, обсуждавшихся выше, однако практически
неприменим для анализа странных аттракторов, так как свя зан с оценкой вероятностей р. и последующим решением урав
нения (6.38), что в большинстве случаев является достаточ
но сложной задачей.
Оригинальный подход к расчету обобщенных фрактальных размерностей, широко применяемый в настоящее время, был
222
развит в 1985 г. Р. Бадьи и А.Полити [218]. Рассмотрим его подробнее.
Возьмем некоторую точку х и л-1 других точек множест
ве. взятых наугад (по отношению к естественной мере на
аттракторе). Пусть 6(л) - расстояние между х и ближайшей ж
рей точкой среди тех л-1 точек, которые были выбраны. Оче видно, по-разному выбирая» л-1 точку, мы будем получать различные расстояния. Поэтому введем распределение вероят ностей Р(8,п), которое определяет вероятность, с которой ближайший сосед среди выбранных л-1 точек окажется на рас стоянии 5 от данной. Введем моменты этого распределения
<8V> = MJn) 5 |
| 8* Р(8,п) d8 = К n * /D™. |
(6.39) |
* |
о |
|
Правое тождество можно рассматривать как определение величины D(f), которую мы далее будем называть функцией размерности. Из этого соотношения она может быть выражена
явно:
|
D(y) = - |
1i ш |
К 1 п л |
|
|
|
(6.40) |
|
In Му(л) |
' |
|
|
|||
|
|
л-м» |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел |
в формуле" |
(6.40) связан |
с |
т^м, что |
мы |
будем |
|
рассматривать |
величину |
Z)(y) только при |
больших |
л, |
считая, |
что изучаемое множество содержит достаточно много точек.
Показатель у позволяет учитывать различные расстояния с
разным весом. Чем больше у, тем с большим весом учитывают ся большие расстояния. В работе [218] показано, что D(K)
является монотонной неубывающей функцией у.
Чтобы выяснить ее смысл, вновь рассмотрим двухмас
штабное канторово множество. Учитывая, что это множество
повторяет себя на .меньших масштабах, и пользуясь |
определе |
|||
нием, можно получить следующее выражение для P(8,n)d8, |
||||
P(8,n)d8 = PjP(a“ 1 S.PjHja'1 d8 + |
p2P(a2'8,p2n)a2' d8. |
(6.41) |
||
Множители Oj < |
1 |
и « 2 < |
1 связаны с изменением мас |
|
штабов при переходе |
к |
следующему шагу построения |
канторова |
223
множества. |
Множители |
р^ и р2 |
учитывают, что в первый и |
||
второй |
отрезок попала |
различная |
доля точек (мы здесь |
счи |
|
таем, |
что |
п достаточно |
велико, |
и поэтому ближайшие |
соседи |
точек из первого или второго отрезков принадлежат тем же
отрезкам).
Пользуясь формулой (6.39), получаем из равенства
(6 .4 1 )
Му(л) = |
Р, |
J |
р(У'р1п) аУ + |
|
||
|
|
|
|
|
|
(6 .4 2 ) |
|
+ |
р2 <4* S |
у* |
Р(у,р2п) аУ- |
|
|
Далее, подставив |
выражение для моментов, |
получим |
||||
1 |
= |
« * |
|
|
+ |
(6 .43 ) |
Рассмотрим |
теперь |
решение |
уравнения |
|
||
|
|
|
£>(у) |
= If. |
(6 .44 ) |
Обозначим его решение через у*. Но тогда, сравнивая формулу (6.44) с (6.30), мы видим, что у* = Z)Q.
Это дает |
новый способ |
вычисления емкости. В самом |
||||
деле, будем рассматривать |
одномерное |
отображение |
|
|||
V r |
D(*k> = |
- |im |
^ In |
1 п п |
(6 .45 ) |
|
Му ( п) |
||||||
|
||||||
|
|
л-»ео |
|
f k |
|
|
|
|
|
|
|
224
Задав некоторое |
значение |
будем |
строить |
у2,...,У5. |
||
Можно проверить, что |
D (у*) |
< 1, |
поэтому |
у. —> у* . |
||
|
|
|
* |
|
|
к —►со |
Типичный вид этого отображения показан на рис. 6.13. |
||||||
Йз формулы |
(6.43) |
ясно, |
что |
Щт) = In Pj/ln tty. При та |
||
ком подходе можно определить функцию D и для отрицательных |
||||||
значений у. В |
этом |
случае Щ-т) = |
In р2/1п |
Это число |
характеризует поточечную размерность двухмасштабного канторова множества вблизи правого конца отрезка.
Выясним теперь, как функция D{y) связана с обобщен
ными размерностями. Из их определения следует, что |
|
||||||||||||
exp(Zyi - <7)1пе) |
= |
|
£ \ q(c) |
= |
£ |
pq(e) |
+ |
£ pq(c). |
(6.46) |
||||
|
|
|
|
|
/=1 |
|
<1> |
<2> |
|
||||
Или, учитывая соотношение, в котором сокращаются мас |
|||||||||||||
штабы, |
и равенства £ |
Р. = pv |
£ |
Р. = р0, получим формулу |
|||||||||
|
|
|
<1> |
* |
1 |
<2> * |
г |
|
|
|
|||
exp[Z> (1 |
- |
</)lne] |
= pq £ |
|
exp[Z) (1 |
- |
</)ln(a,e)] |
+ |
|
||||
q |
|
|
|
'<i> |
|
q |
|
|
|
• |
|
||
|
|
|
|
|
+ Pq2 £ exp[Z> (l-<7)ln(a |
e)]. |
(6.47) |
||||||
|
|
|
|
|
|
^<2> |
|
|
4 |
|
* |
|
|
Откуда следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
4 |
0 - 4 ) 0 , |
4 |
(1 -4 )0 |
|
|
(6.48) |
||||
|
|
1 = Р\ а1'1 |
|
4 + |
Н «2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Или, |
сравнивая |
эту |
формулу |
с |
(6.43), |
получим |
|
||||||
|
|
|
D [У = (1 - |
q)D^ = D_ |
|
|
(6.49) |
||||||
Из |
графика |
6.13 |
ясно, |
каким |
|
образом, |
пользуясь |
одно |
мерными отображениями, аналогичными (6.45), можно получать остальные обобщенные размерности.
Численная реализация метода Бадьи и Полити может быть
следующей. |
Выборку длины N = 2к разобьем на 2к~* блоков, |
||||
каждый из |
которых |
содержит |
п - 2* точек. |
Расстояние |
5^п) |
оценивается |
после |
вычисления |
расстояния |
от точки |
х( до |
всех других |
точек |
в этом б/оке. Затем расстояния д£п) |
|||
усредняются |
по всем |
точкам множества. |
|
|
8 Т.С. А хром еева н др. |
225 |
Чтобы сократить объем |
вычислений (и при этом оценить |
5(п) для больших значений |
п), часто используют менее стро |
гий подход. Сначала выбирают случайным образом на аттрак торе т точек. Далее вычисляют расстояния от каждой следую щей точки аттрактора до этих т точек. Это позволяет рас
считать |
функции |
8t(k) (i |
= |
l,...,m ). Функция 5(л) получа |
|||||||||
ется в |
результате их усреднения. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В настоящее время метод Бадьи и Полити широко исполь |
||||||||||||
зуется |
при анализе |
странных |
аттракторов |
и |
эксперименталь |
||||||||
ных |
данных. |
В |
отличие |
от |
метода |
Грассбергера |
- Прокаччо, |
||||||
при |
котором |
оценивается |
линейный |
участок |
кривой |
In |
С - |
||||||
= |
/(In |
е), |
здесь |
решается |
уравнение |
(6.49), |
в |
котором |
|||||
функция Z)(y) |
определена формулой (6.40). В |
ряде |
случаев |
||||||||||
это |
оказывается более |
удобным. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отметим, |
что |
в |
отличие |
от емкости, |
хаусдорфовой |
раз |
мерности, информационной размерности, ряда других размер ностей, свойства которых детально исследованы [158, 159], свойства обобщенных размерностей, соотношения между ними изучены гораздо меньше. Они вводились в работе [294] для множеств, обладающих канторовой структурой. Насколько ве лик класс объектов, для описания которых они могут быть эффективно использованы, пока неясно.
226
В последние годы |
была |
предложена другая |
характеристи |
ка, более наглядная, |
чем |
набор обобщенных |
размерностей, |
которая позволяет описывать неоднородные фрактали. Она по
лучила название а-спектра |
[291]. |
Обсудим |
ее |
более |
подроб |
|
но. |
|
|
|
|
|
М раз |
Будем |
вновь полагать* |
что |
изучаемое |
множество |
||
бито на кубики с ребром |
е. Вероятность найти точку мно |
|||||
жества в 1-м |
кубике можно |
выразить как |
|
|
|
|
|
р. ~ |
с * 1. |
|
|
|
(6.50) |
Поскольку множество |
неоднородно, можно |
ожидать, что |
разные кубики будут характеризоваться различными показате
лями |
а. |
Предположим, |
что |
число кубиков, в которых показа |
||||||
тель |
а лежит в |
интервале |
между |
а7 |
и а 7 + |
da7, пропорци |
||||
онально |
величине |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
da7p(a7) е~Ка \ |
|
(6.51) |
||||
где /(а 7) |
- |
непрерывная |
функция. |
|
|
|
в соотношение |
|||
|
Подставим |
формулы |
(6.50) |
и |
(6.51) |
|||||
(6.32), определяющее обобщенные |
размерности |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
log |
Jda7 |
p (a 7) |
е- т ')Ря <*' |
||
|
D |
= 11 m |
|
|
|
|
|
(6.52) |
||
|
<7-Г |
|
|
log |
е |
|
||||
|
|
я |
е-»0 |
|
|
|
|
Поскольку € мало, основной вклад в интеграл вносят значения а 7, при которых показатель степени будет близок к нулю (рис. 6.14). Это позволяет использовать метод Лапласа [188].
В самом деле, интеграл в формуле (6.52) может быть представлен в виде
F(\) = } g(x) exp [ЛS(x)]dx,
а
где Л - большой положительный параметр, пределы интегриро вания можно заменить на xQ~n и *0+Д, ' где ц - малое фикси рованное число (см. рис.6.14),
227
Тогда в области |
интегрирования |
|
|
|
|
|||||
|
ё(х) й g (V - |
^(*) |
~ S< V |
+ |
|
2 |
^ (*о)‘ |
|
||
Следовательно |
|
|
|
|
r\S"(xQ)t2- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
ц |
dt, |
(6.53) |
|||
F(А) ~ g(xQ) exp [AS(xQ)] J expj^------2------ ] |
||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(A) * / |
|
|
|
exP(A5(V> |
|
(А —» +со). |
||||
В |
нашем |
случае |
g(x) = |
р(х), |
|
А = ln (l/e), |
S(x) = |
|||
= f(x) - |
qx, a(q) |
определяется |
условием |
экстремума |
|
|||||
|
До7- |
|
~ Ла'И |
|а/ = |
а(<7) |
~ 0 |
|
(6.54) |
||
Поскольку |
функция |
f(x)-qx |
имеет |
максимум |
в точке |
|||||
«(?). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ а .2 |
t«“') - |
|
!«'= Ц,) |
|
< 0 |
|
(6.55) |
||
|
|
|
|
|
Следовательно
Г Ш ) = я
(6.56)
Г Ш ) < о.
Подставляя асимптотическое выражение вида (6.53) в формулу (6.52), получим
Dq = |
[ q т |
~ № q)) ]■ |
(6.57) |
Таким образом, |
зная |
зависимость |
оc(q)( называемую |
а-спектром, можно вычислить все обобщенные размерности. И
наоборот, зная все обобщенные |
размерности, |
можно найти |
|
а-спектр: |
|
|
|
М я) = щ |
[(</ - |
1)^ - |
(6-58) |
Для вычисления а-спектра полезной величиной оказыва |
|||
ется так называемая функция разбиения |
|
||
Г(<7,е) = |
< р / е Г 1 >, |
(6.59) |
228
где р. - вероятность найти точку множества в i-м кубике разбиения. Сравнивая это выражение с формулой (6.32), видим, что
Г(<7,е) |
~ |
ет(<7) |
или |
|
т(<7) = Dq{q - |
1). |
(6.60) |
||
Подставляя |
формулу |
(6.57) |
в |
выражение |
(6.60), |
нетруд- |
|||
но убедиться, |
что |
a(q) |
= |
dx(q)/dq, |
|
|
|||
|
|
|
|
(661) |
|||||
|
|
|
f(q) |
= |
Т(<7) |
- |
qdT(q)/dq. |
|
|
|
|
|
|
|
Введение а-спектра оказывается очень полезным. Оно позволяет по-новому взглянуть на обобщенные размерности,
связав их с распределением показателей а ' . Кроме того,
а-спектр дает удобный способ характеризовать неоднородные фрактальные множества. Вновь рассмотрим двухмасштабное
канторово множество, |
показанное |
на рис. |
6.1 1 . Из формулы |
|||
(6.56) |
следует, что / '( <х(0)) |
= |
0. |
Подставив <7 = 0 в равен |
||
ство |
(6.57), получим, |
что |
DQ |
= |
/(ос(0)). |
Следовательно, ор |
дината максимума графика /(а) характеризует емкость этого
множества. Зависимость величины |
от <7 и а-спектр для |
двухмасштабного канторова множества |
представлены на рис. |
6.15. |
|
Рис. 6.15.а) Зависимость обобщенных размерностей D от q для двухмасштаб
ного канторова |
множества, |
показанного на |
рис. 6.11; |
б) а-спектр для |
это |
|
го множества, |
f = 0 |
соответствует значениям |
= 1п(0,4)/1п(0,4) = |
1,0 |
||
|
и |
Dm = |
1п(0,6)/1п(0,25) |
= 0,3684 |
|
|
229
|
Другой |
пример |
неоднородного |
фрактального |
множества |
|||||
дает аттрактор Фейгенбаума. В самом деле, положим |
А |
= Аю и |
||||||||
будем следить за итерациями точки х |
= |
0. Можно |
проверить, |
|||||||
что |
при увеличении |
п |
/"(0) |
не |
попадают |
в |
|
интервал |
||
(/4(0), |
/3(0)), |
они |
также |
не |
попадают |
на |
|
участок |
||
(/6(0), |
/8(0)), |
(/7(0), |
/5(0)), |
и |
т. |
д. |
(рис. |
6.16), |
это |
определяет, каким образом может быть покрыт аттрактор Фей
генбаума (сплошные |
линии на рис. 6.16). |
Видно, что |
ситуа |
ция оказывается близкой к той, которая |
наблюдается |
в слу |
|
чае двухмасштабного |
канторова множества. |
|
|
Рнс. 6.16. Аттрактор Фейгенбаума [291]: а) схема построения аттрактора.
Числа |
соответствуют числу итераций точки х =20. Такой аттрактор |
наблюда- |
|||
ется в |
одномерном отображении |
= А(1-2ДГ) при |
А = Аю = |
0,837005134... |
|
...; |
б) Обобщенные размерности для этого аттрактора; |
в) О. - |
спектр |
||
|
Теория Фейгенбаума |
предсказывает, |
в |
каком |
интервале |
лежат множители, характеризующие сокращение элементов по крытия при переходе к следующему шагу 1 /а 2 < k < 1 /а
230