книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос
..pdf(1) Область притяжения р(А), состоящая из всех точек х € М, для которых и(х) с А, должна иметь строго положи
тельную меру; |
|
|
|
|
|
||
(2) |
не |
существует |
строго меньшего |
замкнутого |
множества |
||
А' с |
А |
такого, |
что |
р(А') |
совпадает с |
р(А) с точностью до |
|
меры |
нуль. |
|
|
|
|
|
|
|
Из |
первого |
условия |
следует, что |
существует |
положи |
тельная вероятность того, что выбранная наугад точка будет притягиваться к А. Из второго условия следует, что каждая
часть А играет существенную роль.
Это определение применимо ко всем обсуждавшимся выше
примерам. Оказалось, что его можно |
использовать |
для боль |
шого класса установившихся режимов |
в различных системах. |
|
§ 4.4. Метастабильный хаос, кризисы |
|
|
При моделировании различных |
явлений могут |
возникать |
одномерные отображения, имеющие острые вершины, несколько
максимумов, |
а |
|
иногда |
не |
являющиеся |
непрерывными |
||||||||||
[19, |
373, |
382]. |
Для моделирования такой ситуации надо изу |
|||||||||||||
чать отображения, не являющиеся S-унимодальными, которые |
||||||||||||||||
могут |
иметь несколько |
аттракторов. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
В качестве простого примера рассмотрим семейство од |
||||||||||||||
номерных отображений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f(x,\) |
= |
1 |
- |
\х - |
А|1/2/[1 |
+ (х |
- А)2]. |
|
(4.17) |
||||
|
|
При Aj < |
А |
< |
А2 |
(AJ |
= |
0,432, |
А2 |
= |
0,4483) отображение |
|||||
имеет |
устойчивый |
|
цикл |
S2.B |
|
интервале |
|
А3 < А < А2 |
(А3 « |
|||||||
» 0,4444) |
с ним сосуществует |
шумящий |
цикл х4- |
Область |
при- |
|||||||||||
тяжения |
цикла |
9 |
при А = |
А3 скачком уменьшается, и появля |
||||||||||||
S |
||||||||||||||||
ется |
CTt |
астический |
аттрактор. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Чтобы объяснить наблюдаемую картину, удобно перейти к |
||||||||||||||
отображению g |
= |
/4. Рассмотрим квадрат со стороной /, |
спо |
|||||||||||||
соб |
построения |
которого показан на рис. 4.16. Для нагляд |
||||||||||||||
ности |
здесь отмечены |
цесколько |
итераций |
точки х^. |
|
131
Рис. 4.17. Отображение вида (4.17), в котором сосуществует устойчивый цикл и хаотический аттрактор; ОС—1/2
|
Пусть |
|
точка |
лежит |
внутри квадрата |
и |
Л |
> |
Л3. |
Видно, |
|||||
что функция g определяет отображение отрезка |
/ |
в себя, а |
|||||||||||||
поэтому все |
итерации |
(образы) |
х. |
будут |
лежать |
внутри |
квад- |
||||||||
рата. |
Поскольку |
de |
> |
1 |
внутри /, |
то |
устойчивых |
циклов |
|||||||
J |
|||||||||||||||
|
|
|
. |
dx |
в нем |
не |
существует, |
и |
образы |
точек, |
|||||
и неподвижных точек |
|||||||||||||||
попавших |
в |
него, |
ведут |
себя |
случайным |
образом. |
На рис. |
||||||||
4.16 |
для |
наглядности |
приведен |
только |
один |
из |
участков |
132
функции g. Если рассмотреть весь интервал (0, 1), то можно
убедиться, что |
при |
А |
= А3 одновременно |
появляются |
четыре |
||||
отрезка, каждый из которых переходит в |
себя, |
т. е. |
в си с- |
||||||
теме возникает |
цикл х4• |
|
|
|
|||||
|
Наряду со стохастическим аттрактором при А > Aj у |
||||||||
отображения g может существовать и устойчивая |
особая точка |
||||||||
(х* |
на |
рис. |
4.17). |
У |
отображения / эта |
точка |
соответствует |
||
одному |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
из элементов устойчивого цикла 5 . |
|
|
|
||||||
|
Совершенно другая картина наблюдается при А < А3. В |
||||||||
этом |
случае |
отрезок |
/ |
уже не переходит в |
себя. |
Образы точ |
ки хj покидают квадрат через |
маленький отрезок вблизи его |
|||||||
левого |
нижнего |
угла (см. рис. |
4.16, о). |
Чем |
меньше |
значение |
||
|А |
- |
А3 |, тем большее время |
|
проводят |
образы точки |
х^ внут |
||
ри |
квадрата. Таким образом, |
если х^ |
лежит |
внутри |
отрезка |
|||
/, |
то |
в течение |
длительного |
времени будет |
наблюдаться хао |
тический режим. Однако «время жизни» этого режима ограни чено. При п —* «в происходит выход на устойчивую точку или
цикл. Переходный процесс, связанный с хаотическими осцил
ляциями, |
в этом случае может быть сколь угодно длинным при |
||||
А —» А3. |
Это интересное |
явление было |
названо |
в |
работе |
Дж. Йорке |
и Е. Йорке [106] |
метастабильным |
хаосом. |
Оно |
было |
обнаружено в системе Лоренца, которая была предложена как упрощенная модель бенаровской неустойчивости. Можно ожи
дать, что метастабильный хаос и возникновение стохастичес
ких режимов описанным выше способом будут наблюдаться и в
некоторых нелинейных |
средах. |
|
|
|
|||
|
Рассмотренный пример позволяет ввести еще одно важное |
||||||
понятие, |
связанное с |
анализом нелинейных |
систем. |
При А > |
|||
> А3 |
в |
системе |
есть |
стохастический |
аттрактор и |
неустойчи |
|
вая |
неподвижная |
точка G (см. рис. 4.16), |
при А = Ад они |
||||
сталкиваются, в |
результате этого |
стохастический |
аттрактор |
исчезает. «Столкновение» аттрактора с неустойчивой непод вижной точкой или циклом получило название кризиса аттрак тора [И, 281, 282].
Кризисы характерны для большого класса нелинейных систем [282], с ними связаны скачки, быстрые качественные
133
изменения хаотических режимов. Можно выделить граничные кризисы, которые обычно приводят к внезапному исчезновению хаотического аттрактора (пример такого кризиса мы обсудили выше), и внутренние кризисы. В результате внутреннего кри зиса скачком меняются размеры и области притяжения стохас тического аттрактора. Они наблюдаются даже в простейших S-унимодальных отображениях [281].
с
2
1,6
1,2-
0,6
0,<
а
— Oftl _ i ___________ i__________— I_________ _1 ____________i____________ i____________i------------------ 1------------------1 ^ .
- 2 |
-1,5 |
-1 |
-0 ,5 |
О |
0,5 |
1 |
1,5 2 х „ |
|
|
|
|
Рис. |
4.18 |
|
|
|
|
Пример |
граничного |
кризиса, |
который |
имеет |
место в |
|||
отображении |
= |
С - |
хг, представлен |
на |
рис. |
4.18 [282]. |
На этой бифуркационной диаграмме показаны элементы после
довательности |
{хп}. |
Начальные |
значения |
|
выбирались |
на |
||||
угад, |
и |
затем |
первые |
несколько тысяч |
итераций |
отбрасыва |
||||
лись, |
чтобы исключить переходный процесс. Зависимость ко |
|||||||||
ординаты |
неустойчивой |
особой |
точки х |
= |
Ц- + С|1/2 |
от |
||||
параметра |
С показана |
на |
рисунке |
штрихпунктирнои |
линией. |
|
134
При |
С = 2 |
неустойчивая точка сталкивается с аттракто |
|||||
ром. В одномерном отображении исчезает |
интервал, |
перехо |
|||||
дивший |
в |
себя. |
Когда С > 2, почти при всех начальных |
дан |
|||
ных последовательность {хп} стремится |
к минус |
беско |
|||||
нечности. |
|
|
|
|
|
|
|
Внутренний |
кризис в том же отображении иллюстрирует |
||||||
рис. 4.19 |
[282]. |
Здесь в результате тангенциальной бифур |
|||||
кации |
рождается |
неустойчивый цикл |
S3 Положение |
его |
эле |
||
ментов |
показано |
штрихпунктирной |
линией. |
Затем этот |
цикл |
сталкивается с шумящим циклом я3При этом значенииз параметра скачком меняются размеры аттрактора и вместо х рож - дается шумящий цикл х'-
Рис. 4.19
135
Сценарий перехода к хаосу в отображениях, имеющих не сколько экстремумов, может существенно отличаться от тра
диционных. Например, в работе [239] показано, что каскад бифуркаций удвоения периода в нечетных отображениях обла
дает интересной |
особенностью. Здесь точки бифуркации при |
|
п —* со могут не |
стремиться |
к геометрической прогрессии. |
Сложными |
свойствами |
могут отличаться отображения с |
острой вершиной. В работах [41, Д5] было рассмотрено се мейство (4.17). Циклы в этом случае удобно характеризовать
индексами |
т и п S? . |
(т + |
п = р), показывающими, сколько |
|
(т,п) |
. |
г ' |
элементов лежит справа и слева от вершины (х = Л). Расчеты
показали, что возможен большой класс |
переходов с измене |
нием топологии устойчивых циклов Sp(m |
—* S^m+1 „.jy Та |
кие переходы могут сопровождаться каскадами бифуркаций,
кризисами, возникновением хаотических режимов.
В эксперименте часто приходится иметь дело с детерми
нированными процессами, на которые влияет шум малой ампли туды. В простейшем случае эта ситуация описывается отобра жением
|
|
V |
i - |
«*„> + |
(4.18) |
где |
- малая |
случайная |
функция. |
|
|
В |
работах |
[57, |
328] |
было показано, что, |
несмотря на |
влияние шума, для систем вида (4.18) характерны многие яв ления, предсказываемые теорией одномерных отображений.
Пусть |
отображение |
(4.1) отрезка в себя |
имеет один |
максимум |
в точке х£ и |
переводит интервал |
{f(xc), Ш(хс))} |
всебя. Тогда итерации отображения (4.18) будут лежать в
интервале |
/ |
= |
[/(/(*.) |
+ |
е) - е, |
/(*.) |
+ е], - е s |
^ < е. |
Границы |
этого |
интервала |
понятны |
из рис. 4.20. Из него так |
||||
же можно |
получить |
неравенство, |
при |
выполнении |
которого |
этот интервал переходит в себя. Таким образом, если в
отображении (4.1) |
удалось выделить |
интервал, переходящий в |
себя, то такой же |
интервал может |
существовать и в системе |
с шумом. |
|
|
137
Вместе с тем траектории точек могут существенно отли
чаться даже в простейших случаях. Пусть отображение имеет неподвижную точку х*. Тогда можно представить себе ситуа
цию, когда |
Ху = |
х*, |
х2 = |
х* |
+ |
е, |
je3 |
= f(x* |
+ |
с) - |
с, |
х^ |
= |
|
= f(f(х* + е) - |
е) |
+ |
е |
и |
т. |
д. |
В |
этом |
случае |
элементы |
||||
последовательности {дг^} будут удаляться от х*. |
|
|
|
|
||||||||||
Однако |
вероятность |
|
больших |
отклонений |
невелика, |
по |
||||||||
скольку величина |
|
меняется |
|
случайным |
образом. |
Если |
||||||||
охарактеризовать |
распределение |
точек |
{дг^} |
некоторой |
мерой, |
то, вероятно, она будет сосредоточена вблизи х*. Можно предположить, что если отображение (4.1) имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру, то добавление малого шума
несущественно изменит ее. Естественно ожидать, что при
е —> а> инвариантные меры отображения (4.18) в определенной
норме |
стремятся к |
инвариантной |
мере отображения (4.1). В |
||
ряде случаев это удается доказать [207]. |
|
||||
Устойчивый цикл Sp у отображения (4.1) в |
системе с |
||||
малым |
шумом |
может |
превратиться |
в аналог шумящего цикла |
|
(рис. |
4.21). На |
рис. |
4.21 видно, |
как увеличение |
амплитуды |
шума е может скачком привести к исчезновению упорядочен
ности, связанной с порядком обхода «островов» [328, Д2].
Однако возможны ситуации, когда наличие шума служит
источником |
упорядоченности. |
В самом |
деле, пусть отображе |
ние (4.1) |
имеет несколько |
интервалов, |
переходящих в себя, |
как на рис. 4.17. Тогда итерации взятой наугад точки х с
определенной вероятностью могут попасть в эти интервалы. В
этом |
случае наблюдается |
хаос. |
В |
других |
случаях |
элементы |
||
{х^} |
стремятся |
к неподвижной |
точке. Пусть |
теперь |
Ху |
лежит |
||
в «хаотическом |
интервале». |
Если в |
системе |
есть шум, |
то ра |
но или поздно хп окажется вблизи границы интервала, а до
бавка |
еп приведет |
к |
тому, что |
покинет |
интервал. |
Далее |
||
будет |
происходить |
движение |
к |
неподвижной |
точке. |
В |
ее ок |
|
рестности движение будет достаточно упорядоченным. |
|
|
||||||
|
Анализ систем |
с |
шумом |
позволил убедиться, |
что |
основ |
ные эффекты, предсказанные теорией одномерных отображений, будут наблюдаться и в системах с небольшим шумом. Это име
138
ет большое значение для исследования реальных систем, в которых обычно присутствует шум.
|
|
|
|
§ |
4.5. Систематика |
циклов |
|
|
|
|
|||||
|
Расчеты показывают, что для отображения (4.3) |
харак |
|||||||||||||
терна «оконная структура» (рис. 4.22). |
При |
увеличении |
па |
||||||||||||
раметра |
Л |
(А |
> |
могут наблюдаться |
как |
хаотические |
режи |
||||||||
мы, |
так |
и |
неустойчивые циклы |
любых |
периодов. Встает |
вопрос |
|||||||||
о закономерностях, |
определяющих порядок |
появления |
циклов |
||||||||||||
при |
изменении параметра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рассматривая сценарий |
Фейгенбаума, |
можно. убедиться, |
||||||||||||
что наряду с устойчивым циклом S?P при том же значении па- |
|||||||||||||||
раметра |
существуют |
|
неустойчивые |
циклы |
|
периодов |
|
SоР-1 |
|||||||
2 |
|
|
. |
|
|
важно |
выяснить, при |
каких |
условиях |
||||||
5 |
, .... 5 . Поэтому |
||||||||||||||
могут сосуществовать |
циклы |
различных |
периодов. |
|
|
|
|||||||||
|
Для |
большого |
|
класса |
одномерных |
отображений |
эти |
||||||||
вопросы |
были |
решены |
[200, |
201, 235, |
332], |
Обратим |
внимание |
||||||||
на |
некоторые |
результаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем говорить, что |
между |
целыми числами т и п |
су |
||
ществует отношение |
порядка т у п , .если из |
существования |
|||
цикла Sm следует, |
что у |
того |
же отображения |
есть и |
цикл |
Sn.
Как было доказано советским математиком А.Н.Шарковским в 1964 г., это отношение упорядочивает циклы непрерыв ных отображений следующим образом:
3 > 5 > 7 > 3*2 > 5*2 > 7*2 > ... >-
|
|
|
> 3 -22 > 5-22 > |
7 -22 > ... > |
23 > 22 > |
2 |
> |
1. |
|
(4.19) |
|||||||||||||
Последнее |
соотношение |
в |
этом |
ряду |
означает, |
|
что |
если |
су - |
||||||||||||||
шествует |
цикл |
л |
то |
имеется и неподвижная точка (цикл |
|||||||||||||||||||
S , |
|||||||||||||||||||||||
S 1). |
Доказать |
его очень |
просто. Поскольку есть цикл S , то |
||||||||||||||||||||
найдутся |
такие |
значения |
Oj |
и |
а2, |
что |
Oj |
= |
|
f(a2), |
а2 |
= |
|||||||||||
= f(a^), а2 > йу Теперь |
рассмотрим |
|
функцию g |
= |
х |
- |
f(x) |
в |
|||||||||||||||
точках |
Oj |
и |
а2: |
g(af) |
= |
а, - |
[(а,) |
= |
а, - |
а2 |
< |
|
0 |
и |
g(a2) |
= |
|||||||
= |
а2 - |
Oj > |
0. |
Так |
как |
f(x), |
а |
следовательно |
и |
g(x) |
непре |
||||||||||||
рывна, |
то |
существует |
|
точка |
а*, |
где |
g(a*) |
= 0, |
|
т. |
е. |
||||||||||||
{(а*) |
= |
а*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остальные |
соотношения доказываются |
сложнее. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Судя по ряду (4.19), самым сложным является цикл S3. |
|||||||||||||||||||||
Американские |
математики |
Т.Ли |
и Дж. Йорке |
доказали |
что |
|
верна |
||||||||||||||||
следующая |
теорема. |
|
|
|
Если для |
непрерывного |
отображения |
||||||||||||||||
|
|
Т е о р е м а |
4.4. |
|
|||||||||||||||||||
F |
можно |
найти |
точки a, |
b, |
с, |
d |
такие, |
что |
b |
|
= |
F(a), |
с |
= |
|||||||||
= |
F(b), |
d = F(c) |
и |
d |
* |
а |
< b < |
с, |
то это |
отображение |
имеет |
циклы любого периода и несчетное множество непериодических траекторий [320].
В теореме Шарковского рассматриваются любые непрерыв
ные отображения и все циклы, независимо от их устойчивос
ти. Однако во многих случаях основной интерес представляют устойчивые циклы. Оказалось, что для семейства гладких,
непрерывных вместе |
с |
первой |
производной |
отображений |
«оконная структура» |
не |
зависит от |
конкретного |
вида функции |
f(x, Л). При изменении параметра Л циклы появляются в
определенном |
порядке. |
|
f(x, Л) заданы на отрезке |
Будем |
считать, что |
функции |
|
[-1, 1] и имеют максимум |
при х = |
0. |
140