книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач
..pdf- D AL - DA П D i. |
Дополнительно к |
основным |
предположе |
||
ниям потребуем, чтобы область значений QA оператора А лежала |
|||||
в некотором банаховом |
пространстве |
В , вложенном в F (т.е. |
|||
QA QB С F ) , и чтобы для любого элемента / Е В |
имело место |
||||
неравенство |
|
|
|
|
|
II/II/г <к \\/\\в , |
к= const <° ° . |
|
(2) |
||
Оператор A: HAL -+В считаем ограниченным: |
|
||||
\\Аи \\в < ki | и |, |
uED, |
|
|
(3) |
|
где, как и ранее, |
|
|
|
|
|
\и |2 = \\Аи IJL + Н и |
\\2С , |
uED, |
|
|
|
Нл L ~ гильбертово пространство, построенное на элементах Д |
|||||
со скалярным произведением |
|
|
|
||
( U , V) A L = { A U , A |
V)F + |
( L U , L V) g . |
|
(4) |
Нетрудно убедиться, что из условия совокупной замкнутости операторов А и L следует полнота пространства Н AL .
Правая часть уравнения (1) предполагается из В, т.е. f Е В . Пусть в пространстве В для каждого натурального л определены линейные функционалы //( /) = / *'?) (/) (i = \ , .. . , п) , / Е В . Задача, рассматриваемая в этом параграфе, заключается в пост роении устойчивого алгоритма приближенного решения опера
торного уравнения |
( 1) при условии, что заданы значения функ |
ционалов / / = If ( / ) |
от элемента / Е В такого, что II/ —/ IIF < |
<5 . При этом знание самого элемента ]' не предполагается. Заметим, что ранее задача рассматривалась в основном при
предположении, что элемент / задан в В =F. В § 21 рассмотрен частный случай, когда H = F и оператор А равен тождествен ному оператору. Полученные там результаты здесь обобщают ся на более широкий класс задач. Кроме этого, мы получаем конечномерные аппроксимации для построения приближенно
го решения основной задачи, на наш взгляд, |
весьма удобные |
|
с точки зрения их реализации. |
|
|
Пусть H = F = G=L2[a,b ], В = С[а, Ь] и |
|
|
ь |
k(x,t)u(t)di=f(x), |
(5) |
Au = f |
||
а |
|
|
где Л: (л:, ^ ) |
- непрерывная функция своих переменных,/(х) - |
некоторая непрерывная функция. Оператор L -d^ldx^ есть
оператор |
^-кратного |
дифференцирования, |
определенный на |
|
множестве |
D функций |
иЕ С |
q - |
I-я производная |
которых абсолютно непрерывна, dqu j d x Е L 2 [а, b] (q> 1).
171
Тогда в качестве системы функционалов /,( / ) можно взять зна чения непрерывной функции / (х) в узлах некоторой упорядочен ной сетки {X/} Е [a, b] (i = 1 , . . . , п) . Предполагается, что
« / - Я , = / ( f - f ? d x < b \
а
2.Дополнительные условия и вспомогательные утверждения.
Вдальнейшем нам потребуется выполнение (ср. § 21) условия
аппроксимации: для любого / Е В
I ll/ll2- l l / I I ^ K r 2 11/ И | , |
(6) |
||
где гп ->0 при п-+°° независимо от / Е В , а выражение |
11/ 11/ оп |
||
ределено в § 22, п. 1, и условия согласования: |
|
||
Нш |
гч Ц\ \в = 0, |
£ = / - / . |
|
псоРб О
Положим для и, vED
п
(ы, и)„ = 2 к,у lj{Au) lj{Au) + (Lu, Lv)G, i,j- 1
где кц (/,/ = 1, . . . , n) образуют положительно определенную мат рицу. Справедливы следующие утверждения (предполагается, что п достаточно велико).
Л е м м а |
41. Существует постоянная к 2 > 0 такая, что |
||||||
\\ Ли II# |
|
|
Им Ии, |
и ED. |
|
(7) |
|
Действительно, используя (4) и (6) , получаем |
|||||||
M u l l ! |
< |
k ] \ \ \ A u f F |
+ | | L«| | G < |
|
|||
< k\\ \\Au\\] + r2 \\Au ||в |
+ \\Lu He ]. |
||||||
Разрешая |
это |
неравенство |
относительно |
\\AU\\Q , получаем (7). |
|||
Утверждение доказано. |
|
|
|
\и\ < Мп \\и\\п, а также |
|||
Аналогично, |
используя |
(7), |
получаем |
||||
I и | > m„ || и ||,м |
где т п, Мп |
1 при п |
<» и не зависят от и Е D. |
||||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
||
Л е м м а |
42. Гильбертово пространство Нп, порожденное ска |
||||||
лярным произведением |
( u, v) n (w, и Е |
D), и пространство HAL |
имеют асимптотически эквивалентные нормы.
3. Определение приближенных решений методом невязки. Пусть
U f= {и Е D: А и = /} непусто. Тогда, как показано в § 1, условием
WLu-gWo = inf \ \ L u - g \ \ c
и е Uf
172
однозначно определяется |
решение и € |
Uf уравнения |
( 1), т.е. |
|
L -псевдорешение основной задачи. |
|
|
||
Определим множество U Q ф о р м а л ь н ы х |
п р и б л и ж е н н ы х |
р е ш е н и й |
||
задачи ( 1) : |
|
|
|
|
Ue = {UeD: р„(и) < в}, |
|
|
||
р„(и) = \\Аи - |
/ II/, |
и е D, |
|
|
а функция 0 = 0 (и, |
б) > 0 такова, что |
|
|
|
Рп(й) < в , |
lim |
0 = 0 . |
|
|
И-* о°, |
оо |
|
|
Возможность выбора такой функции 0 следует из соотношения
Ри(м) < II/ - / IIF + т\ |Ш ||,
которое является следствием условия аппроксимации (6). Тогда
р1(й) < |
62 + r „2 II | |
||| |
-* 0 при п-+ ©о э |
5 -►0. |
В частности, при до |
статочно |
больших |
п |
можно положить |
0 ъ |
б. Таким образом, |
всегда U Q Ф ф .
Приближенным решением задачи (1) назовем любой элемент ив £ Us , для которого L -норма минимальна среди всех формаль ных решений:
\ \ Ь и в - g II G = inf \ \ L u - g \ \ c |
= me , |
(8) |
u<EU6 |
|
|
т.е. рассматриваем п о л у д и с к р е т н ы й |
м е т о д н е в я з к и . |
|
Заметим, что среди формальных решений задачи (1) могут со держаться такие элементы, которые не сходятся в HAL (и даже
в Н) к элементу |
и при п -*<», 6 -+0. |
|
||||
Т е о р е м а |
81. |
|
|
|
А |
U Q : \\Lu- g \\G = M Q ) |
Множество U Q ={ мЕ |
||||||
непусто. |
|
|
|
|
|
р = 1,2,... существует |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для любого |
|||||
элемент ир такой, что |
|
|
|
|
|
|
тв < || Lup - g || G < |
™в |
+ 1Ip. |
|
|||
Тогда, очевидно, справедливы неравенства |
|
|||||
\\L UP \\G < const, |
||А и р ||7 < |
const, |
|
|||
где const не зависит от р. |
\\ир \\п |
ограничены равномерно по р. |
||||
Следовательно, |
нормы |
В силу леммы 42 этим же свойством обладают и \ир \. Поэтому по-
173
следовательность{ир} слабо компактна в Н Пусть щ - слабый предел этой последовательности (при необходимости надо перейти к подпоследовательности). Так как операторы Л и L непрерывны в HAL >то они также и слабо непрерывны. Поэтому
РпЫв) < |
Иш р„(ир) < в , |
||
р |
-* °° |
|
|
WLue-gWc |
< |
lim |
\\LupgWc = т в ■ |
|
Р |
°° |
|
Отсюда следует, что |
UQ G |
А |
|
£/0 , т.е. является искомым приближен |
|||
ным решением. Теорема доказана. |
|||
Пусть N i = (i/G /): L u = 0} - ядро оператора L . |
|||
Т е о р е м а |
|
|
А |
82. Если и {, U2^ U Q , то их разность ux- u 2^ N L i a |
|||
I и 1 - и2 I < |
2 к к хМпв . |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как их и и2 являются решениями задачи (8), то
т.е. u\ - и2 £ NL . Далее, очевидно, что
\\Лих - Л и 2 II/ |
< |
2(9, |
тогда в силу (1), |
(4) |
и леммы 42 имеем |
\\Л(их - u2) IIF |
< |
к ||Л{их - и2) Ид < к к х | и х - и2 \ < |
< к к хМп IIи г - и 2 1я < 2 к к хМпв.
Теорема доказана.
За м е ч а н и е . Множество решений UQ может состоять и более чем из одного элемента. Однако если NL = {0}, то множество при ближенных решений состоит, очевидно, из единственного элемен
та: Ue = {ив) .
4.Сходимость приближенных решений в H ^ i . Пусть
Не = { и е и в : WLu-gWc < rn *е),
где е > 0 - некоторое число. Обозначим Д (6,и, е) = sup \и-и\. и е 0е
174
Величина Д(5, п, е) характеризует погрешность приближенного ре шения задачи ( 1).
Т е о р е м а 83. Имеет место предельное соотношение
Пт |
Д(6, п, е) = О, |
п —*°°, 6, с |
о |
т.е. метод (8) приближенного решения уравнения ( 1) сходится, причем устойчиво, относительно возмущений правой части ( 1), погрешности дискретизации и погрешности решения вариационной задачи (8).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть и - произвольный элемент
Ас |
|
|
|
из Ue . По определению |
|
|
|
\ \ L u - g W c < \ \ L u - g W c + |
P nUO < 0- |
(q ) |
|
Используя условие аппроксимации, получаем |
|
||
IIА и —/ || F < рп (и) + /*„ | М « - / |
|| я < |
0 + г„ || И ц - f |
|| в . |
Тогда |
|
|
|
\ \ A u - f \ \ F < \ \ A u - f \ \ p + 6 < 8 |
+ 0 + |
| M w - 7 1|в < |
|
< b+Q+rn(\\Au-f\\B + 1Ш1в).
Если \\Au - f\\ в равномерно по и ограничена, то из предыдущего неравенства следует, что
iim sup WAu - f Wp = 0.
И-*• 00, 6, € -* О и (=UQ
Действительно, используя леммы 41 и 42, получаем
\ \ A u - f \ \ B < ^ L ( \ \ A u ~ f \ \ F + \ \ L u - L u \ \ G). |
|
|
m n |
Но |
|
\ \ A u - f \ \ F |
< \\Au - f\\,+r„ \ \ A u - f \ \ B < |
< I\Au - f |
\\, + \ \ A u - f \\, + rn |\ A u - f ||в < |
(10)
( 11)
< 2в |
+ г „ М ы - Я 1 в . |
(12) |
Из (11) |
и (12), учитывая первое неравенство в |
(9), получаем, что |
IIИм —/ ||в при достаточно больших п равномерно по и ограниче-
175
на. Приведенные рассуждения достаточны для обоснования (10). Из (9) следует также, что
II - |
lim |
sup || L u - g W c < vL . |
(13) |
6, f - о |
u e ft* |
|
Рассматривая неравенства (10) и (13), видим, что метод, опре деляемый (8), является регулярным и, следовательно, сходится (теорема31).Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Как непосредственно следует из (11), справед ливо соотношение
|
lim |
sup |\Аи - /Н а = 0, |
n |
t Ь, e -+ 0 M G UQ |
хотя приближения к / задавались в пространстве F, причем в диск ретной форме.
З а м е ч а н и е . Условие согласования требует, чтобы
lim rn II (II в = 0.
и6 О
Подпредельная величина стремится к нулю при п -*°° и фиксирован
ном / Поэтому можно рекомендовать брать достаточно большое число функционалов л. Однако это может привести к соответст вующим вычислительным трудностям. Чтобы избежать нежелатель
ных последствий, необходимо слегка сгладить элемент / таким об разом, чтобы элемент £, малый лишь по норме Fy был ограничен достаточно разумной величиной по норме пространства В. Для этой цели можно использовать различные процедуры. В частности, алго ритмы сглаживания, рассмотренные ранее, позволяют добиться та
кого положения, когда || / сгл - / IIв 0 при 5 0. Тогда |
следует |
заменить элемент / н а /сгл. Конечно, все это существенно |
услож |
няет процедуру решения задачи, но ожидаемый вычислительный эф фект может окупить дополнительные затраты.
Изучим вопрос о нахождении приближенных решений методом регуляризации. В связи с этим определим параметрический функ ционал
Фа [w;/ ] = pl(u)+OL \\Lu-g Нс, u€D,
где а > 0 - параметр регуляризации.
Нетрудно показать, следуя схеме доказательства теоремы 81, что при любом <*>0 существует и единственно решение UQ GD
176
вариационной задачи |
|
|
inf фa [ u J ] |
= ф * К ; 7 ] , |
(14) |
«е D |
|
|
т.е. справедлива |
84. При любом а > О решение задачи (14) сущест |
|
Т е о р е м а |
вует и определяется однозначно.
Можно показать, что функция р„(а) = Рп(и%) является непре рывной, строго возрастающей. Тогда, если уравнение р„(а) = в разрешимо, то корень этого уравнения, очевидно, определяется однозначно.
Т е о р е м а |
85. Пусть уравнение р„(а) = в имеет решение а = |
|||
= ав >0. Тогда элемент ив = ив |
является решением (8). |
|||
|
|
|
|
А |
Действительно, для любого и& Ug имеем |
||||
f ] |
< |
Ф<*[и; / ] = |
|
|
= Р2п(м) + «е |
\\L u - g \\2G |
|
+ав I I —5"IIс;- |
|
Так как р„(а9) |
= в и ав > |
0, |
то из предыдущего неравенства |
|
следует, что |
|
|
|
|
WLue-gWo |
< |
||LM - ^ | | g |
, |
|
А
т.е. ив Е Ue . Утверждение доказано.
С л е д с т в и е . Если выполнены условия теоремы 85, го в силу теоремы 83 имеет место предельное соотношение
lim |
I UQ - и | = 0. |
п-* °°, 6 -►О
5.Сформулируем условия, при которых уравнение
Р„(<О = 0 |
(15) |
|
имеет корень OLQ > 0. Далее полагаем для простоты, что g = 0. |
|
|
Пусть и° |
- решение следующей задачи: и°° Е NLi |
|
0 < w = |
inf \ \ A u - f \ \ p = \\Аи° - f \ \ F . |
(16) |
|
и £ NL |
|
Решение и°° задачи (16) существует и определяется однозначно. Это следует из общих рассмотрений, проведенных ранее.
Аналогично предыдущему определим элементы щ Е NL такие, что
Рп( « а ) = inf Р„(м) = т. |
(17) |
« е NL |
|
12. В.А. Морозов |
177 |
Решение задачи (17) существует |
и определяется однозначно. |
|
Кроме того, справедливо соотношение |
iim |
т = т. |
|
п -»• 00, 6 -*■О |
|
Т е о р е м а 86. Пусть функция в = в (л, 5), кроме перечислен |
||
ных в п. 3 свойств,удовлетворяет такжеусловию |
|
|
в{п, 8) < т . |
|
(18) |
Тогда уравнение (15) имеет единственный корень OLQ > 0. Доказательство проводится в точности но схеме доказательства
теоремы о сходимости метода р (теорема 25).
З а м е ч а н и е . Если NL = { 0) и число функционалов // беско нечно, то решением задачи (16) будет UQ = 0, а (18) принимает
ВИД II/ Ilf > 5, т.е. фактически ошибка в задании правой части уравнения (5) должна быть достаточно малой по сравнению с за
данным приближением / . Таким образом, требование (18) в силу условия m > Q асимптотически выполняется всегда.
6. Численные алгоритмы определения приближенных решений. Обозначим через S линейный оператор, действующий из HAL в евклидово пространство КИв соответствии с правилом
Su = (/ (Ли), . . . , 1п(Аи))тч и Е D.
Пусть г ~ Su для некоторого и £ D. Пользуясь схемой доказатель ства теоремы 81, можно показать, что существует единственный элемент и,. Е D такой, что
WLurWo = |
II Lu\\G. |
(19) |
и (Е D : |
Su - г |
|
Л
Пусть, далее, щ Е UQ -любое решение вариационной задачи (8). Обозначим T Q =(/1 ( A U Q ) ,..., /„ ( A U Q ) ) т . На основании леммы 37
и теоремы 72 построим элемент иГв , удовлетворяющий условию
(19). Тогда,очевидно, Pn(utQ) =р„( м0),
II Liir || G < || Lue || с = inf \\LU \\g .
и G и в
Следовательно, элемент urQ является также решением задачи (8), т.е. и,-в Е UQ. Приведенные рассуждения доказывают справедли вость следующей теоремы.
Т е о р е м а 87. Решения вариационных задач (8) и (14) мож но искать в форме решения интерполяционной задачи (19).
178
Для дальнейшего потребуем выполнения некоторых дополни тельных условий. Именно, будем считать, что область определения оператора L плотна в G, а область значений оператора L*, к нему сопряженного, совпадает со всем Я, т.е. уравнение L g = и разре шимо (необязательно однозначно) при любом нЕ Я. Кроме того, мы считаем, что функционалы U{Au) представлены в виде (со гласно теореме Рисса),
П = li(Au) = (kifu)H, |
и е Df i = 1 |
где kf - некоторые элементы из Я. |
|
Определим элемент £/ |
Е G как решение уравнения |
L'gi = */■
Тогда функционалы lt(A и) , очевидно, представимы в виде li(Au) = (git LU)g , и е D.
Используя теорему об ортогональном проектировании, отсюда по
лучаем, что элемент L u r , где йг - решение задачи (19), предста
вим как линейная комбинация элементов g j (j = 1, ..., п) . Пусть
п
Si = |
2 |
/ = ! , - • п, |
|
к = |
1 |
где Ик |
- некоторые элементы изб’, у -к ( /, к = 1,..., п) - элемен |
ты квадратной матрицы Г. Заметим, что элементы hk всегда мож
но выбрать линейно независимыми. Элемент L u r ищем в виде
п
L u y = |
2 c i j h j . |
|
|
(2 0 ) |
/ |
= i |
|
|
|
Так как |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
П = (gj, LU,) G = |
2 |
у jk (hj, hk )0 я, , |
||
|
j. |
к =• |
1 |
|
то, определяя матрицу Грама Я |
с элементами hkj = ( hk , h j ) c , |
|||
получаем, что коэффициенты |
линейной комбинации (20) необ |
ходимо удовлетворяют системе уравнений Г На = г , где а = {a i ,...
..., а,,)1. При этом \\Luy ||£ = а 1 На. Отсюда, используя теоре
му 87, получаем, что элемент g e = L u e , где ив Е U 0 —множеству решений задачи (8), также представим в виде, аналогичном (20):
п
go = Lu0 = 2 7jhj.
179
вектор 7 = ( 7 1 ,..., я„ ) т является решением задачи квадратичного программирования
i n f l a T Ha: |
а |
Е |
|| Г Я я - 7 ||к < 0 |
(21) |
|
п |
|
|
|
где || г || I = |
2 |
кi/ Г/Г/ |
для любого вектора г |
G Е„ , |
|
/ = |
1 |
7 » г |
|
(/.(7), |
|
|
Решение задачи (21) определяет численный алгоритм для нахож
дения g e = L i t e , |
ив £ U Q ; при этом |
l ( A u $ ) = Г Я я. Очевидно, |
что значениями функционалов |
и элементом g o “ |
|
искомый элемент |
определяется однозначно. |
Аналогичные рассуждения справедливы и применительно к отысканию решения задачи (14). Именно, можно записать
g a = Lu% |
= |
2 afh) , |
|
|
i |
= i |
|
где вектор а а = (а?,..., а% )т является решением задачи |
|
||
/ « ( О * |
inf |
1а (а), Ш = \ \ Г Н а - 7 \ \ к2 + а а тНа. |
(22) |
« е е |
„ |
|
|
Параметр а в |
определяется из уравнения р„(а) = II - 7 ||к, |
где |
|
га = ГЯ<Л rf = h ( A u % ) . |
|
||
Решением (22) |
я1 ляется решение системы уравнений |
|
(<*Я + Н Г тк Г Н ) а = Н Г тк 7 .
Если Г = Е, то вектор а а определяется из более простой системы уравнений
( а к ' 1 + Н ) а а = 7,
при этом г а = 7 - а к ' 1а 01. Если система векторов { Л7} линейно не зависима, то, обозначая Ъа = Н а 01, имеем
( а Г 1 + Г г к Г ) 6 “ = Г тк 7 у г« = ГУ*.
В частности, при Я = Я, т.е. когда элементы hj взаимно ортонормированы, вектор а а определяется из уравнений
(а Е + Г г к Г ) д а = при этом га = Гяа .
180