книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач
..pdfимеет по крайней мере один корень ota > 0 (а= (5 ,И)). Здесь по стоянная С такова, что UCMc.
Доказательство непосредственно следует из предыдущего. Пусть параметр а а > 0 определен из уравнения (13), т.е. в со ответствии с принципом сглаживающего функционала. Обозначим
Ua = £/а<у. Тем самым определен некоторый приближенный метод
R а. Изучим его свойства. Для любого иа Е Ua имеем
II Аиа - J |
II 2F+ <*а II L ua - g 11^ = 2{hC + 6)2. |
Поэтому |
|
IIАиа - / |
11/г < II Аиа - / ll/г + h | иа | + Ь < |
^л/ 2 (А С + 5) + 5 + h | иа | .
Сдругой стороны,
2(1гС + 6)2 »Фв о [и0] <Ф а<Д «] <(1гС +5 )2 +<*„4 ,
и поэтому
°‘av) >(hC +б)2.
Так как
\\Lua - g 112с <2( йС + б)2К ,
то очевидно, что
\\Lua - g \ \ c < y f l v i \/и а € Ua.
Таким образом, мы получаем следующие соотношения (слабой
регулярности) : |
|
||
lim |
sup |
II Аи - / |
11/7= 0, |
а-»0 |
n e t / a |
|
|
___ |
sup |
II L u -g |
(14) |
lim |
llG < V 2"/,- |
||
o — 0 |
l4tEUa |
|
Покажем, что из них следует некоторое аппроксимативное свой ство множеств U0 по отношению к множеству
0 ^ = { и е и г : \ \ L u - g lG <y fl V, ).
А |
А |
Заметим, что U С |
С Uj. |
В самом деле, имеет место |
|
Т е о р е м а 55. |
Пусть Ua = Uаа, где параметр регуляризации |
OL0 определен в соответствии с (13). Тогда справедливо предельное
111
соотношение |
|
|
|
lim { |
sup A |
\\AU - A V \\F + |
|
<7->0 u & U a , v G U ^ |
|
||
+ sup |
inf |
[ \ ( u \ u - v ) H\ + l( |Zw — |
) G: I ]>= 0 (15) |
u e u a , v e u ^ |
|
|
для любых элементов и* ЕЯ, g* EG.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно показать, что |
||
lim |
inf |
[|(м*,ма - |
и)я | + \{Lua -Lv,g* ) G|] =0 |
о-* О |
и(Ь U^2 |
|
|
Vwa G Д .
Из соотношений ( 14) следует, что (при достаточно малых а)
sup sup \и |<оо ,
аи Е Uа
и, следовательно, ио СМс при некотором С. Возьмем произволь ные элементы иаЕ Д . В силу сказанного выше семейство иа слабо компактно в Я . Тогда можно выделить подсемейство u j С
|
сл Л |
сл |
сл А |
a |
# |
Сиа такое, что иа---- Аиа----------- ►/, L ua>— |
-►0. В силу со |
||||
вокупной слабой замкнутости операторов А и L из приведенных |
|||||
соотношений вытекает, что мЕ Д ДЙ=/ , L u - g , и, следовательно, |
|||||
предельный элемент ЙЕ Uf. Из (14) |
следует также, что ЙЕ |
||||
Очевидно, этого достаточно для справедливости сформулирован |
|||||
ного утверждения. |
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . В обшем случае построенное |
выше множество |
||||
Д может состоять более чем из одного элемента, в отличие от ли |
|||||
нейного случая, даже если U - { й }. т.е. одноэлементно. |
|||||
6. |
Аналогично линейному случаю можно построить детермини |
||||
рованный байесовский метод в рассматриваемом нелинейном |
|||||
случае. Пусть известны цА = 0, vA , 5, h , t , т и постоянная С такая, |
|||||
что UQMс -Определим функционал |
|
|
|
||
Ф[м] = \\Аи- / II?, + I - —- --------^ |
\\Lu-gW2 |
мЕ Д |
\vA +tC + r f
ирассмотрим задачу его минимизации, т.е. определения таких элементов иа Е Д для которых
inf Ф[и] =Ф[ма]. uGD
Из теоремы 50 вытекает разрешимость ( быть может, неоднознач ная, в отличие от линейного случая) этой задачи, так что
Д = {w<7CD: Ф[ма ] = inf Ф [и]}Фф.
112 |
иGD |
|
Т е о р е м а 56. Пусть R a - определенный выше детерминиро ванный байесовский метод. Тогда имеет место соотношение (15),
где о= (5, A, г, t, f ), |
? = vA - vA. |
Д о к а з а т е л ь с |
т в о . Пусть иа6 Ua —любой элемент. Оче- |
АЛ
видно, для всякого «G {/ имеем
|
~ |
|
/ |
hC + 8 |
\ 2 |
~ |
~ |
„ |
\\Aua - f \ \ F2 + |
\ |
*----------- |
/ |
1!1Иа-*1 |
|
|||
|
|
|
^vA +tfC+tf |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
hC+д ) H u - } i l b < 2 ( h C + S ) 2. |
||||
|
|
|
|
VA +fC+7 |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||
\\Au0 - f \ \ F <\ \Au 0 - f \ \ F + h \ u a | + 6 < |
||||||||
< \ f l ( h C + 6) + 6 + A | n a |, |
|
|
|
|||||
II Lu0 - g \\G < |
II Lu<j- i IIG |
I |
u<j I + r |
< |
||||
< \ f l ( vL + tC + r )2 + r + A | ua | . |
|
|||||||
Из полученных соотношений |
следуют соотношения (14). Далее |
|||||||
можно дословно повторить доказательство теоремы 55. Теорема |
||||||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Как и в лицейном случае, приближенный метод R 0 назовем |
|||||||
k-регулярным, если |
|
|
|
|
|
|||
lim |
sup |
|| Л и - / | | < Ра •» |
|
|
|
|||
а-* о |
и е с/а |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sup |
| | I W - £ | I G ^ |
kvL, |
£ > Т . |
|
|||
СТ-* 0 |
uG Ua |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 57. Пусть R a является произвольным к-регуляр-
ным методом. Тогда имеет место соотношение (15), в котором
А
роль множества U п играет множество
А
Uk = { u e U f : \\ Lu —g \\ G < k v L ).
Доказательство теоремы аналогично доказательству двух преды дущих теорем и поэтому не приводится.
8. В .А . Морозов |
113 |
ГЛАВА 4
ЗАДАЧА ВЫЧИСЛЕНИЯ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СПЛАЙНОВ
§ 17. Задача вычисления и проблема идентификации параметров
1. |
Устойчивое вычисление значений неограниченных операторов |
||||
является одной из важнейших задач вычислительной математики. |
|||||
Пусть L —линейный оператор с областью определения Di С U и |
|||||
областью значений Qi |
С G , где Uf G —некоторые нормированные |
||||
пространства, || L || = °о. Тогда заведомо существует последователь |
|||||
ность элементов ип £ |
DL , ||м„Нс/ = |
1 (и = 1, 2, ...) такая, что |
|||
\\Lun \\c |
00 (л |
©о). Пусть |
DL и g = L u . Обозначим и„ = |
||
= н + 6 |
где &—любое как угодно малое число. Тогда, очевидно, |
||||
\\Lun - g\\c =5 |
II |
IIG |
°°, |
w-^oo5 |
в то время как || и„ - м || ^ = б может быть как угодно мала. Таким образом, задача вычисления значений оператора в рассматриваемом случае является неустойчивой. Более того, если иметь в виду произ
вольные 5-приближения к элементу и в U, т.е. элементы и £ U:
II и - и || и < 5, то может оказаться, что значения оператора L даже
не определены на элементах и, т.е. и $ DL .
Задача заключается в эффективном построении элементов и§ (по произвольно заданным 5-приближениям к элементу DL), удовлетворяющих следующим двум соотношениям:
1) |
иь Е Di для любого |
5 > |
0; |
2) |
ton II g6 - g \ \ c = 0, |
gb |
= Lu6 . |
|
6 ^ 0 |
|
|
Нетрудно видеть, что сформулированная задача является част ным случаем рассматриваемой основной задачи. Далее считается, что U= Н и G - гильбертовы пространства, а оператор L линеен и замкнут, т.е. из одновременного выполнения соотношений
Km ип = w, |
lim Lun =g |
n -* oo |
П —* 00 |
следует, что u 6 Z)/, и Lu = g. Так как в данном случае оператор
114
А = Е на Я и, следовательно, замкнут, то условие замкнутости L является достаточным для выполнения условия совокупной замкнутости. Кроме того, так как
II к II н < \ и \ 1 = ||м II# + ||1 м Нс, u e D L ,
то автоматически выполняется и условие дополнительности. Полагая D = DLy определим на D регуляризирующий функ
ционал Фа [ы] = Н м - 1>11и + а | | £ и - £ | 1с, м е р ,
где g Е G —некоторый заданный элемент, возможно, приближаю
щий значение |
g оператора L на и, v Е |
Я —любой элемент, а |
а > 0 - параметр регуляризации. |
Е D тако.й, что |
|
Рассматривается задача: найти элемент |
||
Фа[ыа ] = |
inf фс*[и]. |
( 1) |
«6 D
Следствием общих теорем, доказанных ранее, является существо вание единственного элемента иа £ D, удовлетворяющего (1),при
всех а > 0 и любом v Е Н.
Пусть g = 0. Из предыдущего следует, что определен оператор Sa с областью определения Я и областью значений в D: Sav =на . Используя тождество Эйлера, можно легко показать, что оператор Sa линеен. Покажем, что оператор Sa ограничен, более того, \\Sa || < 1. Действительно, запишем тождество Эйлера для элемен та иа (при g = 0):
(иа - и, w)# + a(Lua, L W )G =0 |
Vw Е |
D. |
|
||
Полагая здесь w = иа , получаем |
|
|
|
||
II UQL II Я + <* |
II L U QL \ \ G |
=(и<х , ^)я ^ |
II Ы<х !1я |
II ь' II я , |
> 0. |
Следовательно, ||ма II# < Ии IIя (л > 0). Так как по определению |
|||||
иа = Sav , то |
|
|
|
|
|
Н ^ и И я < I MI я |
Vu е Я, |
|
|
|
|
и поэтому II |
II < 1. |
|
|
|
|
Итак, мы получили, что оператор Sa нерастягивающий. Из об щих теорем регуляризации следует, что
lim | U&- v I L = 0 , v E D. a -* 0
Если D =Я , то существует сопряженный к L оператор L*. Пусть g E DL *: тогда из тождества Эйлера легко выводится, что регуля-
8 * |
115 |
ризованное решение есть
иа = (E + OLL*Ly'v + ci(E + CLL*L)-lL*g. |
(2) |
Полагая здесь g = О, получаем явное выражение для Sa:
Sa - ( Е + aL*L)~l .
Формула (2) показывает, что на данных d = {v,g, L ) определен алгоритм R а , переводящий их в элемент иа £ D.
Пусть v равен элементу и £ D, на котором вычисляется значение
А Л Л Л
оператора L. Положим иа = R^d, где d = {и, g,L) —точные дан
ные задачи. Пусть элемент и задан приближенно. Именно, счи
таем, |
что задано лишь 6-приближение к нему, т.е. элемент н £ Я: |
||
II и - |
и\\н < 6. Пусть d = {и, g, L } и иа = |
Функция невяз |
|
ки р (а) |
в данном случае имеет вид |
|
|
р( а) |
= || иа - и || я , а > 0. |
|
Далее полагаем g = 0. Тогда, очевидно, цА = 0, vL = ||Z,M||G .
Элемент |
|
определяется следующим |
образом. |
Пусть |
= |
||||
= {н £ D: Lu= 0} —ядро оператора L . Тогда |
|
|
|
||||||
^ |
= |
inf |
|! и - и ||н |
= II Woo - w |
|| я , |
£ |
NL , |
|
|
|
u £ NL |
|
|
|
|
|
|
|
|
vA |
= |
inf |
| | м - н | | я |
= 1|моо- м |
||я , |
£ |
Nl . |
|
|
|
|
U ^ N L |
|
|
|
|
|
|
|
Как показано в § 10, для применимости критерия р |
выбора пара |
метра регуляризации достаточно, чтобы выполнялось неравенство
ъ > в- |
а |
(3) |
Покажем, что при условии |
|
NL неравенство ( 3) выполнено |
всегда, если 6 достаточно мало. Действительно, в этом случае заве
домо значение vA > 0. Используя экстремальное |
свойство |
элемен |
|||
тов мм’ и ижуимеем |
|
|
|
|
|
|
<\\Uoo - 5 \\ н <\\^оо - |
и \\ н |
+ \\и " и \\ н |
+ 8. |
(4) |
Аналогично, меняя ролями |
и |
, получаем |
|
|
|
^ |
^ + 5 |
|
|
|
(5) |
и, следовательно,
\vA - vA I < 6.
116
При 5 < vA /2 имеем |
|
|
|||
1 |
|
/V |
1 |
6 |
1 |
$ < 2 ("а - ^ ) + j ^ < 2 + 2 |
|||||
т.е. ^ > |
6. |
|
|
|
|
Из сказанного выше, по существу, вытекает следующая |
|||||
Т е о * р е м а |
58. |
Пусть u £ N L. Тогда при 6<v A/2 существует |
|||
единственный корень otb уравнения |
|
||||
Р ( « ) |
= 6. |
|
|
|
|
При этом |
lim |
I иь - |
и 11 = 0, |
щ = |
иаь . |
|
6 - 0 |
|
|
= £<*(6)^. |
|
З а м е ч а н и е . Очевидно, |
|||||
П р и м е р . |
Рассмотрим задачу численного дифференцирования. |
Пусть H=G = L2 [a, b]f L =dn/dxn - оператор п-кратного обобщен ного дифференцирования по Соболеву и известно, что и(х) £ D и
заданы 5-приближения к м(х) в 12[я, Ь]\
ь
II w( x) - м ( х ) ||12 = / | и ( х ) - и ( х ) \2dx < 62.
Уравнение Эйлера для определения регуляризованных решений име
ет вид |
|
п+i |
|
|
d 2n и |
|
|
а ( - 1)” |
U |
, 1= 0, |
|
■+ U= И, |
= 0 |
||
|
dx 2 п |
dx п +1 |
|
Заметим, что если априорно известны значения функции и(х) или ее производных порядка не выше 2л, их можно включить в гранич ные условия.
Значение параметра ог6 находится из уравнения |
|
||||
Р 2(а) = |
/ I Wa O ) - |
U (х) \2dx = |
62 |
|
|
где ма (х) - |
решение (6). |
u - a Q+ахх + ... + я„_1 х "'"1 } , |
|||
Заметим, что множество NL ={u\ |
|||||
где at произвольны, т.е. состоит из многочленов степени |
не выше |
||||
л - 1. Условие м(х)£ |
означает, что й(х) |
не является |
многочле |
||
ном степени не выше л - 1. Если и{х) € |
то приближения к и(х ) |
117
можно получить, взяв йб(х) = иж(х), т.е. приближая функцию и(х) полиномами степени не выше л - 1 в среднеквадратическом смысле. Это следует из (4), (5) при vA = 0.
2. Построенное в предыдущем пункте семейство операторов Sa (а > 0) обладает следующими свойствами:
1)область определения Sa совпадает с Я ;
2)Sa: Н D, т.е. образом любого элемента из Я является эле мент из области определения оператора L ;
3) |
существует |
такая |
зависимость |
а = а (6), что для любого |
ii€ D имеет место соотношение |
|
|||
lim |
| й8 - и | L |
= 0, |
|
|
б-> о |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
иъ = S<x(b)U, |
иЕН: |
II17 —й II// < |
6. |
|
Любое семейство операторов |
удовлетворяющее условиям |
1) - 3), будем называть L -сглаживающим.
Нетрудно видеть, что понятие сглаживающего семейства операто ров легко обобщается на более общий случай, когда пространства U и G могут быть метрическими, а оператор L нелинейным. В этом
случае нужно |
II • II я |
» II • II G |
заменить соответственно на ри ( •, •) и |
||
pG( • , •), |
где |
рц |
и pG |
- |
расстояния в пространствах U и G. |
Пусть в |
метрическом |
пространстве U наряду с оператором JL, |
|||
действующим |
в метрическое пространство G, заданы операторы |
Li (/ = 1,..., л) с областями определения Я/ CU и действующие также в G.
Будем говорить, что оператор L подчиняет операторы L /, если
выполнены условия: |
|
|
1) |
Di DD (/ = 1,..., л ); |
|
2) |
из соотношения |
|
lim { р и (и„, й) + pG(Lun, Lu)} =0, |
u € D, |
п0
следует, что
lim m axpG(I/M;j, L/й) = 0.
и00 /
Докажем
П р е д л о ж е н и е . Пусть для оператора L существует хотя бы одно сглаживающее семейство Sa (а > 0). Если оператор L подчи
118
няет операторы L / (/ = 1,..., п), то
lim |
[ра(щ, м) + т а х р 0 (1 ,й6, 1 ,м)] = 0, u&D, |
|
6 О |
i |
|
где |
|
|
Ub - |
*^a:(6)W> |
U^U\ Рц{и> U) ^ 5. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как семейство Sa является L -сгла
живающим, то существует такая зависимость a ( б), что для элемен-
А
тов ws = *>a(5)w имеет место предельное соотношение
lim {ра(иь, u) + pG(Lu6, L U)} = 0.
6 -> о |
|
Используя условие подчиненности операторов L, (/ = 1, |
я) |
оператору L , из полученного соотношения выводим требуемое. Предложение доказано.
Полученное утверждение позволяет решать в широком ряде слу чаев задачу устойчивого вычисления значений нелинейных операто ров, а также ’’сложно” задаваемых линейных операторов, выбирая для этого наиболее ’’простой” оператор L , для которого известно, как можно построить сглаживающее семейство операторов.
П р и м е р . Пусть оператор |
|
|
||
I 0w = w(m) + /(* , и, и \ ..., |
а < х < |
Ь, |
||
где / |
- произвольная непрерывная |
функция |
своих аргументов, |
|
Di о |
совпадает с множеством m раз обобщенно дифференцируемых |
|||
по Соболеву функций: |
L 2 [я, Ь] вместе со своей m-й производ |
|||
ной. Пусть L 1w = и, |
Ь 2и = и , ..., |
L mu = u (<m~ ^ . Тогда в силу |
известных теорем вложения любой оператор L = d njdxn ( п > т) подчиняет операторы L t (/ = 1, ..., т ) . Нетрудно видеть, что опе ратор L подчиняет также и оператор L 0.
3.В приложениях довольно часто встречаются задачи, связанные
сопределением (идентификацией) параметров, входящих в диффе ренциальное уравнение, по экспериментальной информации о реше нии последнего. Такие задачи часто называют также коэффициент ными обратными задачами.
Пр и м е р . Пусть задано уравнение
du/dx = аи, м(0) = н0, 0 < х < 1, |
(7) |
где а > 0 - искомый параметр. Для определения параметра а производятся измерения решения и(х) этого уравнения на отрез
119
ке [О, |
1]. |
Пусть результатом этих измерений будет функция |
|
и(х) |
£ |
L 2 |
[0, 1] такая, что II и - u \\i 2 < 6. Требуется по измере |
ниям |
и (х) |
идентифицировать уравнение (7), т.е. выбрать значение |
параметра я , наиболее хорошо согласующееся с экспериментальны
ми данными, т.е. функцией и О ) .
Изложим общую постановку таких коэффициентных задач и рас смотрим принципы их решения.
Пусть А = {я £ Е„: а = (я ь я 2,..., ап) т} - некоторое непустое множество векторов, U и G —метрические пространства, L [и; я] —
оператор, зависящий от я £ А как от параметра и действующий из U в G. Считаем, что область определения операторов L [ • ; я]
не зависит от я £ А и совпадает с некоторым непустым множест вом DC U.
Допустим, что при некотором я С А имеем |
|
|||||
L [ u \ a \ = I |
|
|
|
(8) |
||
где м £ |
D, g £ |
G. Пусть А*= {я £ A: L [м; я] |
=g }. Пусть заданы |
|||
приближения |
в |
U и |
G к элементам и и |
g соответственно: |
||
ри (и, |
и) < |
6 , |
pG (g, |
|
<5 . Задача состоит в построении (вос |
|
становлении) по и и 'g |
и рассматриваемой математической моде |
|||||
ли Z, [ • ; я ] векторов |
? |
из допустимого множества А , удовлетво |
||||
ряющих условию |
|
|
|
|||
Иш |
рЕ ( я, А *) = |
0. |
|
|||
6 ^ 0 |
" |
|
|
|
|
|
Трудность решения поставленной задачи заключается, в частно сти, в том, что модель (8) может неоднозначно определять искомые
значения параметра, что приводит к неустойчивости |
этой задачи да- |
|||
же при точном задании элементов и и g. При этом |
задача |
решения |
|
|
(8) может быть корректно поставленной при а С А. |
|
|
|
|
4. |
Значение оператора L[ м;я] на приближении и к |
элементу |
и |
может быть не определено, поэтому вычисление параметра я непо
средственно из уравнения L [ и\ а ] = 'g в этом случае невозможно. Требуется разработка специальной методики.
Далее модель (8) считаем линейной по параметру я, т.е.
п
L[u\a] = Z |
Я/L/M, |
(9) |
/ = |
1 |
|
120