книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfТаким образом, в теории термоупругопластической деформа ции частного вида предполагается, что тепло, выделяемое в процессе деформирования, изменяет тепловое поле, но это изменение пренебрежимо мало (несвязанная термопластич ность). Вводится важное предположение о пропорциональном нагружении: тепловые поля и механические нагрузки изме няются так, что компоненты девиаторов напряжений и дефор маций увеличиваются в постоянном отношении. Решение за дачи заключается в нахождении величин а//, гц и смещения ии причем
е// = V2{uit/ + Ujt i). |
(4.13) |
Таким образом, допускаются только малые |
деформации, а |
вращения считаются пренебрежимо малыми. |
|
Необходимые и достаточные условия для теплового и ме ханического нагружений подробно изучались советскими уче ными. П. М. Огибалов [1950 г.] установил, что условие про порционального нагружения внутри тела удовлетворяется, если температура его поверхности увеличивается пропорцио нально одному параметру. При квазистационарном состоянии теплопроводности температура поверхности может изменяться следующим образом: 0(л:, /) = р(/)0°(л;), причем 0°(я) — ис ходная температура. При нестационарном состоянии темпера тура поверхности ограничена законом 0 = 0°еа'.
Д л я с в о й с т в материала, зависящих от температуры, воп рос о пропорциональном нагружении рассматривался А. Г. Жу равлевым [304]. Дальнейшие исследования, касающиеся сов местных тепловых и механических воздействий, проводились А. А. Ильюшиным и П. М. Огибаловым [105]. В. В. Москвитин
[178] |
рассматривал температурное поле |
0(л:, ^) = р(^)0(л:) |
при |
р ^ О и внешние нагрузки Ti(x,t) = |
i(t) Ti(x). Было |
установлено, что соответствующее соотношение между р и К гарантирует выполнение требования пропорционального на гружения.
В. |
С. Ленский и В. А. Ломакин [143] рассмотрели прин |
ципы деформационной теории термопластичности и дали кри |
|
тический |
обзор ее допущений. Условия пропорционального |
нагружения были установлены для экспоненциального соот |
|
ношения |
между эквивалентным напряжением а/, эквивалент |
ной деформацией е,- и температурой 0; Ю. Н. Шевченко [264, 266, 267] рассмотрел циклическое нагружение со знакопере менной пластичностью и кинематическое упрочнение.
Если, например, заданные на поверхности внешняя нагруз ка pi и температура 0 увеличиваются следующим образом [143]:
те решение для пропорционального нагружения имеет вид
с г ^ - М /К , и£= Р 0 К . е„ = р(flej,. |
(4.15) |
Оно будет справедливо, если
= |
е^ = 3а0, Я = Р*+" |
(4.16) |
где A, N, R — постоянные. Следовательно, в этом случае соот ношение (4.11) между напряжениями и деформациями выра жается в частном виде, и материал одновременно является упруго и пластически несжимаемым, так как в выражение (4.16) входит только тепловое расширение. Вопросы, касаю щиеся пропорционального нагружения в деформационной тео рии термопластичности, рассматривались Ю. Н. Шевченко [265].
Деформационная теория термопластичности имеет опреде ленные преимущества при решении технических задач, а имен но наличие прямой зависимости напряжения от деформации и возможности развивать общие методы решения для произ вольного упрочнения. Однако при решении задач и обсужде нии полученных результатов необходимо учитывать неспособ ность этой теории описывать непропорциональное нагружение, т. е. случай, когда компоненты напряжения не подчиняются условию (4.16), а также свойственные этой теории ограниче ния, касающиеся малости перемещения. При циклических теп ловых полях и неизменных механических нагрузках требова ния (4.16), по-видимому, редко удовлетворяются.
На основе теории малых упругопластических деформаций А. А. Ильюшин и П. М. Огибалов [106] учли изменения струк туры материалов, подвергавшихся облучению нейтронами. Этот вопрос подробно рассмотрен в работе В, С. Ленского [142]. Если через N{x,t) обозначить дозу облучения, то соот ношения (4.8) и (4.11) соответственно примут вид
4k = J- r 1 *kk + |
3a0 + <p (N), |
а, = Ф (e„ |
N), |
(4.17) |
где ф(М)— распухание, |
обусловленное |
нейтронным |
облуче |
|
нием. Хотя структура этих уравнений аналогична |
структуре |
уравнений термопластичности, между ними существует важ ное различие, заключающееся в том, что изменения объема ф(АО за счет облучения являются необратимыми (распуха ние). Условие текучести (4.4) зависит в данном случае от об лучения. Следствием этого являются эффекты, аналогичные изотропному деформационному упрочнению. По данному воп росу имеются обзоры [142, 195]. В [44] опубликованы экспери ментальные результаты по текучести облученных материалов,
4.3. Методы решения
Квазистатический анализ напряжений в несвязанной тео рии термопластичности сводится по существу к решению за дач для неоднородных тел с фиктивными массовыми силами. Определяющие соотношения приводят к системе нелинейных дифференциальных уравнений, поэтому ниже уделяется вни мание технике вычислений. Хотя соответствующие процедуры обычно разрабатываются для решения отдельных частных за дач, тем не менее можно наметить некоторые общие схемы вычислений.
В деформационной теории пластичности для анализа на пряжений широко используется метод упругих решений, раз работанный А. А. Ильюшиным [103]. Названный метод в ка ждом приближении состоит в решении задачи неоднородной теории упругости. С этой целью уравнения поля для процесса нагружения выражаются «в перемещениях». В нулевом при ближении принимается решение линейной термоупругой за дачи для неоднородного тела с заданными граничными усло виями при данной интенсивности поверхностной нагрузки. Если известны деформации, согласно (4.12) можно вычислить эквивалентные деформации. Далее, когда в какой-либо точке возникает текучесть, секущий модуль в (4.9) ф-1 Ф 2р при о = со (ёу, 0)=т^ 0. Соотношение напряжения — деформации для рассматриваемого материала дается, например, выраже нием (4.16), следовательно, можно определить секущий мо дуль. Это позволяет найти из закона Гука соответствующее напряжение, скажем Ч1*//. Если нулевое приближение является точным, будет справедливо равенство оц = ЧО/. Если же это приближение не является точным, то ищется следующее при ближение, при котором значение Чг,*/ рассматривается как ис точник фиктивных массовых сил ггц и поверхностных нагрузок qly определяемых как pm* з= Чr//,/, qi = Чг///г/, где rij — внеш няя нормаль к граничной поверхности тела.
Для п-го шага получено следующее уравнение:
(Я + р) u ^ kl + рУ2ы("> — (ЗЯ + 2р) (х0 t = рmjn" 1)> (4.18)
оно отличается от соотношения термоупругости членом, содер жащим фиктивные массовые силы. Это уравнение нужно ре шить, чтобы определить модифицированные краевые условия:
[2це<"> + №$ои — (ЗА + 2ц) абсг,,] /г, = р, + qf-'K (4.19)
Модификация состоит в введении соответствующих qi, вы званных фиктивными массовыми силами, полученными, из пре дыдущего приближения. На каждом последующем шаге иепользуются методы линейной термоупругости. Предполагается,
что эта процедура является сходящейся, т. е. Чnt?~*air Если в некоторой точке происходит разгрузка, т. е. dei < 0, то ис пользуется соотношение (4.10).
Эта пошаговая процедура была вкратце представлена в [143]. Изложение, учитывающее зоны разгрузки, и примеры, показывающие сходимость метода, содержатся в [265]. При меры рассматривались в [263]. Приближенные методы для случая повторных нагружений обсуждались Ю. Н. Шевченко [268].
Известно несколько модификаций метода упругих решений. Этот метод можно сформулировать «в напряжениях». Тогда в (4.10) со = со (су//, 0). Процедура, относящаяся к такому под ходу, была разработана Шорром [269].
В теории малых упруготермопластических деформаций ис пользуется и другой метод последовательных приближений — метод переменных упругих модулей. Упругие константы ме няются на каждом этапе в соответствии с принятым соотноше нием ф(е/) в (4.11). Метод, первоначально предложенный Бир гером [10], легко распространяется на случай учета тепло вого расширения. Используя на каждом этапе соотношение е/7 = I*ijklokl + а06/у, можно решить линейную термоупругую
задачу для данных граничных условий. Изотропный тензор упругих констант находится для деформаций, определяемых из предыдущего приближения, причем считается, что значе ние ф(е,) справедливо для рассматриваемого материала. При нагружении актуальный секущий модуль Юнга и коэффи циент Пуассона выражаются, например, в виде
Е * = |
6(1 + |
V) |
* = 2|А (1 + |
у ) — (1 — 2v) |
(4 2 т |
|
4ц (1 + v) + |
1 — 2v * |
4ц (1 + |
v) + 1 — 2v |
|
Решив термоупругую задачу при значениях (4.20) и установив для полученного решения ф(е/), определяют новые «постоян ные», затем процедуру повторяют до тех пор, пока разность между двумя последовательными решениями становится столь мала, сколь это требуется.
Так как деформация редко бывает однородной, аналитиче ские решения виртуально невозможны. При анализе напряже ний элементы машины или конструкции разбиваются на ко нечное число элементов, и история деформирования каждого из них учитывается надлежащим образом. Этот метод требует значительного машинного времени, однако он прямо ведет к цели. Примеры применения этого метода даны в работах [265, 159, 4, 125].
Метод последовательных приближений для решения задач деформационной теории пластичности был разработан Мен дельсоном и Мэнсоиом [171]. Уравнения равновесия и совмест
ности и нелинейное соотношение между напряжениями и де формациями (4.9) приводят к нелинейному дифференциально му уравнению, для которого можно получить прямое решение. Вместо того чтобы решать последовательно фиктивные упру гие задачи, можно свести задачу к нелинейным интегральным уравнениям и решать их методом последовательных прибли жений. Однако этот метод является менее общим, так как ма тематически он подходит для одномерных задач. Для компо нент деформации можно затем записать явные интегральные уравнения, и задача сведется к разработке соответствующего метода интегрирования. Для малых пластических деформаций сходимость является относительно быстрой. Этот метод объяс нен в [170]. Примеры приведены в [172].
Некоторые из рассмотренных выше методов можно рас пространить на случай инкрементальных теорий. Например, можно применить метод Мендельсона, если (4.9) -заменить со ответствующим соотношением Прандтля — Рейсса.
Метод переменных упругих модулей был применен для тео рии скоростей неизотермической пластичности, предложенной Биргером [10, И] и разработанной Биргером и Демьянушко [12] как развитие теории Прагера [235]. В этой теории закон течения применяется в следующем виде:
= рр0 0V |
0) dat + |
(or,, 0) d0] s„, |
(4.21) |
где ^ и Т 0 — функции |
материала, |
которые определяются |
экспериментально; Т а означает изменение пластической де формации при изменении эквивалентного напряжения о,- при постоянной температуре, а 4х0 — изменение деформации, вы званное изменением температуры при постоянном эквивалент ном напряжении. Так как о,-= oi(oki), то, заменяя в (4.21) соответствующим образом дифференциалы, получим иную за висимость:
с1ец = AlJki daki + Bij d0, |
(4.22) |
где компоненты Ацм и Вц — соответственно переменные «уп ругие» модули и температурные модули, которые зависят от фактических значений at и 0.
Записав остальные уравнения поля в скоростях, можно решить систему определяющих соотношений относительно приращения нагрузки и затем вычислить значения Ацм, кото рые используются на следующем шаге вычислений. Следова тельно, на каждом этапе, как при нагрузке, так и при раз грузке, решается краевая задача анизотропной упругости, учитывающая предварительно накопленную пластическую де формацию. Детали процедуры вычисления и алгоритмы для модулей даны в [265]. Примеры рассматривались в [122]
Обзор методов и вопросов, относящихся к решению техниче ских задач при наличии тепловых полей и с учетом изменения деформаций был дан А. Д. Коваленко [124]. Напряжения в пластине, подвергающейся периодическому притоку тепла, рассматривались Юкселом [301].
Для численного решения частных задач несвязанной тер мопластичности была разработана соответствующая методика вычислений. Методы, относящиеся к ранним стадиям анализа термопластичности, изложены в [17]. В инкрементальных тео риях разработаны соответствующие методы для решения ак туальных задач. Так, в работах [100, 102]. разработана про грамма для изучения влияния упрочнения на переходные и остаточные напряжения в телах с осевой симметрией при ис пользовании критерия текучести Губера — Мизеса; в работе [206] сформулирована программа для изучения влияния им пульсного нагрева на рост и исчезновение пластических зон в пластинах; в работах [191—193] предложен алгоритм для анализа напряжений в дисках. Необходимо подчеркнуть важ ность вычислительных методов для решения задач термопла стичности.
4.4. Простейшие задачи термопластичности
Существенные особенности анализа термопластических на пряжений можно выявить на примере задачи об упругопласти ческой сфере. Применяя уравнения несвязанной термопла стичности, рассмотрим стационарные, а также переходные тепловые поля с учетом влияния поверхностного тепло обмена.
Рассмотрим сперва толстостенный сферический сосуд, из готовленный из упругоидеальнопластического материала с не зависящим от температуры пределом текучести У = const. Поверхностные усилия и остаточные напряжения отсутствуют.
Втакой формулировке задача изучалась Коупером [34]. Температурные напряжения возникают, если температура
0л нз 0Овнутренней поверхности радиуса А медленно и моно тонно возрастает, тогда как температура внешней поверхно сти радиуса В поддерживается постоянной, причем 0в s 0. Поэтому падение температуры по толщине стенки равно А0 = 0о. Создается стационарное состояние распределения температуры, и решение уравнения (4.2) принимает вид
где R — текущий радиус,
В систему уравнений поля рассматриваемой несвязанной термомеханической задачи входят уравнение равновесия
^ |
+ | ( а г- а ф) = 0, |
(4.24) |
|
закон, связывающий напряжения и деформации: |
|
||
гг = Е~'(аг - 2 г а ) + аб + егр, |
(4.25) |
||
4 |
ф |
|
|
еф = Е~1(1 — v) аф — vE~ laf + аб + е£, |
|
||
и кинематические соотношения |
|
|
|
ег= |
du/dR, |
еф = £///?, |
(4.26) |
где U — радиальное смещение. |
В пластической области |
на |
пряжения удовлетворяют условию текучести, которое в случае сферической симметрии как для критерия Треска, так и для критерия Губера — Мизеса принимает вид
оГ— аф = ± У0 |
(4.27) |
Кроме того, пластические деформации удовлетворяют усло
вию несжимаемости |
(4.28) |
е? + 2еР = 0.. |
Так как к поверхности не приложено давление, граничные ус ловия для напряжений будут аг{А) = аг(В) = 0.
Когда температура возрастает, внутренняя часть сферы, будучи более горячей, стремится расшириться в большей ме ре, чем внешняя часть. Поэтому внутренняя часть сферы бу дет давить на внешнюю, вызывая в йей растягивающие ок ружные напряжения a<f, при этом внутренняя часть будет сжата. Радиальные напряжения будут сжимающими по всей толщине оболочки.
Значения напряжений увеличиваются по величине с увели чением разности температур 0о, т. е. с возрастанием темпера туры на внутренней поверхности. Для описания развития про цесса деформации удобно использовать следующие безразмер ные переменные:
т = |
Е а |
00 |
р = 4 > |
г = | . |
(4.29) |
|
1 - v |
Го |
|
|
|
Из решения, относящегося к линейно-упругому поведению, следует, что текучесть возрастает сперва на внутренней по верхности r = Р*”1, когда безразмерная температура достигнет величины
2(р2 + р + |
1) |
1— р (2р + 1) |
• |
При т > Ti пластическая зона будет распространяться на ружу от внутренней поверхности. В пластической зоне задача определения напряжений является статической, так как урав нения (4.24) и (4.27) дают возможность найти ог и atp, под чиняющиеся требованию непрерывности ог на упругопласти ческой границе г = рь В упругой зоне Pi ^ г ^ 1 напряжения даются упругим решением.
Дальнейшее повышение температуры внутренней поверх ности приводит к появлению другой пластической зоны. При Р < 2е,/з эта зона возникает на внешней поверхности, так как левая часть (4.27) достигает максимума при температуре
% = 2 ( P - I ) ( l + T A |
7) , |
(431) |
Зрj In PPJ —2 (1 pi)2 = |
0. |
|
Соответствующее сочетание пластического и упругого реше ний с увеличением г для р = 2 приводит к распределению на пряжений, показанному на рис. 13.
Начальное течение материала возникает при г = |
р-1, ког |
||
да т = 1,40; вторая |
пластическая |
зона появляется |
на внеш |
ней поверхности г = |
1, когда т = |
3,78 и ширина центральной |
|
упругой зоны убывает согласно выражению |
|
||
Р2 — Pi = 2 (Р — 1)/хр -h О (1/тг3). |
(4.32) |
Следовательно, она уменьшается до нуля прит->оо, р, = р2=
Этот простой пример приведен для того, чтобы показать, как один лишь нагрев может привести к текучести и каковы особенности этого случая. Детали такого решения даны Коупером [34]. Решение относится к очень медленному нагреву,
т->0, и не зависит от типа применяемой теории пластичности,
азависит лишь от наличия необратимой деформации (см. так же [107]). Снятие внутреннего нагрева создает переходное по ле напряжений и в конечном счете приводит к возникновению остаточных напряжений. Переходим к анализу более реали стичных ситуаций переходных состояний свойств текучести, зависящих от температуры и остаточных напряжений.
Схема анализа переходных напряжений будет представ лена на примере задачи об упругопластической сфере радиуса
В.Сфера первоначально нагрета до температуры 0О, а затем охлаждается. Поле температуры определяется уравнением теплопроводности (4.1). Поэтому поле напряжений будет за висеть от времени. Напряженное состояние зависит от гранич ных и начальных условий, налагаемых на уравнение теплопро водности. Так как сфера была нагрета так, что развивались
пластические зоны, в ней образовались остаточные напряже ния. Через точки сферы проходят фронты текучести и разгружения.
Предположим для простоты изложения, что материал сфе ры идеально несжимаемый. Температура поверхности 0о мгно венно падает до 0 = 0 и сохраняет это значение. Уравнение
Рис. 13. Переходные напряжения при нагреве полой |
идеально пластиче |
||||
ской сферы [34]; T = |
EaQ0/[Y0 (1 - v)];--------- <гф; ----------- а г. |
|
|||
(4.1) при краевом условии 0(5) = |
0 для |
t > |
0 и начальном |
||
условии 0 = 0о при t = |
0 имеет решение |
|
|
|
|
|
( - 1)П+1 |
nnR |
~ |
kntrtt |
|
|
В1 |
(4.33) |
|||
|
|
В |
е |
|
л- 1
Врассматриваемом случае несжимаемости уравнения (4.25) и (4.26) дают следующее соотношение, определяющее
поле смещений:
Его интеграл зависит от среднего значения температуры 0 сферы текущего радиуса R и имеет вид
U(R, t) — aR{Q — 0О),
R |
|
(4.35) |
Q(R,t) = - ^ \ |
l20(l, |
i)d\. |
0 |
|
|
Так как U известно, то в упругой области напряжения бу |
||
дут определяться законом Гука, |
а в |
пластической области |
справедливо условие текучести (4.27); тогда (4.24) можно проинтегрировать. Учитывая, что к сфере не приложены меха нические нагрузки, разность напряжений, входящая в (4.27), равна
стф — <*/■= 6|ха (0 — 0). |
(4.36) |
Если для заданной сферы радиуса R правая часть приведен ного выше равенства с течением времени возрастает, то на этой сфере имеет место процесс нагружения. В некоторый момент времени t = t\ возникает текучесть, причем
б (Ль / 0 - о (Ль t\) = Y/Q\ia. |
(4.37) |
Частицы, расположенные на этой сфере, становятся вновь уп
ругими |
при t = |
t2 и |
д(0 — Q)/dt = 0 |
и остаются упругими |
при / > |
t2 и д (0 — 0) |
/dt < 0. |
частицы во времени» |
|
В плоскости |
«время — положение |
можно провести два семейства кривых, изображающих поло жения упругопластических границ, соответствующих возник новению текучести и упругого разгружения соответственно. Таким образом, с течением времени пластический фронт про ходит через частицу в одном направлении, а затем возвра щается в обратном направлении. На рис. 14, согласно Пар-
кусу [207], показаны положения упругопластических |
границ |
с использованием соответствующих безразмерных |
перемен |
ных. Можно видеть, что проникание пластических |
зон тем |
больше, чем выше начальная температура 0Оперед охлажде нием. Остаточные напряжения возникают вследствие прохо ждения пластического фронта.
Из рис. 14 видно, что разгрузка у поверхности начинается в тот момент, когда через нее проходит фронт текучести, т. е. при / = 0. В этом состоит особенность рассматриваемого гра ничного условия для уравнения теплопроводности: перенос теп ла через поверхность не допускается, поэтому температура по верхности равна температуре окружающей среды. В против ном случае кривая разгрузки, обозначенная на рисунке через т], проходила бы при R = В через t > 0. Форма и глубина