книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfные кривые напряжения — деформации для шести ориента ций монокристалла и аналогичные кривые для поликристаллического материала. Полученные результаты позволяют рас считать объем активации как функцию от деформации.
На рис. 11 приведены результаты для моно- и поликристаллических образцов из высокочистого алюминия. Наиболее ин тересной особенностью этих кривых является то, что для поликристаллического материала объем активации меняется в тех же пределах и близок к средним значениям данных, получен ных для монокристаллов. Это показывает, что один и тот же механизм контролирует деформации в монокристаллах и поли кристаллах и распределение активационных барьеров в обоих случаях в основном одинаково.
Таким образом, данный анализ показал, что введение в оп ределяющие уравнения (2.39) —(2.41) нелинейной функции ЗЦ/7) и способ подбора ее на основании экспериментальных результатов для области II можно считать хорошо обоснован ной гипотезой.
3. ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ НАПРЯЖЕНИЯ - ДЕФОРМАЦИИ
3.1. Бесконечно малые деформации
Чтобы обсудить допущения, приводящие к бесконечно ма лым деформациям, удобно ввести вектор смещения и:
и = х - х = х(Х, / ) - Х . |
(3.1) |
Дифференцируя выражение (3.1), получим |
|
VU = 4%(X9( ) - 1 = F - 1 9 |
(3.2) |
где 1 — единичный тензор. Эта формула дает |
возможность |
выразить градиент деформации F через градиент смещения Vu и обратно. Градиент смещения Vu можно использовать в
качестве основной меры локальной деформации |
для ча |
стицы X. |
|
Определим тензор бесконечно малой деформации в виде |
|
E = l/2(Vu + VUt) |
(3.3) |
при условии, что градиент смещения Vw в данный момент вре мени t ^ [0, оо) является малой величиной, т. е. удовлетво ряется условие
б < 1 , если 6 = |
sup \Vu(()l |
(3.4) |
t е |
[0, оо) |
|
В дальнейшем будем рассматривать временные функции, определяемые значениями Vu(t) и обладающие тем свойством, что для каждого момента времени t е [0, оо) абсолютные зна чения этих функций ограничены величиной Сб", где С — по-
стоянная; каждую из этих функций обозначим символом 0 ( 6"), который определяет ее порядок. Например, мы будем говорить, что функция ср(0> определяемая градиентом смеще ния Vu(t), является функцией порядка 0(6"):
<р = |
О (б"), |
(3.5) |
если |
для / е [О, оо). |
(3.6) |
| Ф (О I = Сб" |
Тензор бесконечно малого смещения (3.3) является тензо ром порядка 0(6). При выполнении условия (3.4) тензор на
пряжения Коши Т и тензор |
напряжения Пиолы — Кирхгофа |
|
TRдруг другу эквивалентны: |
|
|
T = 7V |
(3.7) |
3.2. Упруговязкопластическая теория
Рассмотрим теперь термодинамический процесс, при кото ром деформации удовлетворяют условию (3.4). Предположе ние (3.4) дает возможность записать тензор деформации Е в виде суммы двух тензоров:
E = V + P, |
(3.8) |
где V — тензор вязкопластической деформации, а Р — тензор неупругой деформации (пластической природы).
Локальную деформационно-температурную конфигурацию для частицы X можно описать следующим образом:
A*(X,t) = {V(X,i), 6 (X, /), V9(X,/)}. |
(3.9) |
Термомеханическое состояние частицы X в момент времени t в этом случае описывается выражением
g (X, () = (Л* (X, (); а<Л (X, (), %(X, /), Р (X, (), Г</> (X , /)} (3.10)
и задачей с начальными условиями для |
дифференциальных |
уравнений |
|
d«> (X, О = Л«> [*(*,/)], |
|
a(l)(X,to) = 4(X), |
( ' |
Р(Х, () = G[g (X, /)1, |
(3.12) |
|
P(X,t0) = Po(X), |
||
|
||
MX,t) = K[g(X, i)], |
(3.13) |
|
к(Х, (0) = щ(Х), |
||
|
||
Г</>(Х, t) = ZM[g(X,t)], |
|
|
Г(Л(X, to) = Го7' (X), |
|
|
где t0 е (tp, tk) n t 0 < t . |
|
Система определяющих уравнений для упруговязкопласти ческого материала имеет тот же вид, что и (2.42) —(2.45).
Основное неравенство для диссипации имеет вид
ре2 Q • V0 > О, |
(3.15) |
где |
|
сг = • |
т { [ | ^ |
+ у(0)<Ф(Р)>Х |
|
|
|
||
|
X tr |
+ дрЧ - <VP + £ |
J (3 . 16) |
в данном случае определяет внутреннюю диссипацию.
Теперь, чтобы получить теорию, согласующуюся с посту
латом (3.8), надо предположить, |
что |
|
Y (g* (0) = 4 i ( V , |
0, а) + Ъ (со). |
(3.17) |
3.3. Упругопластическая теория
Если предположить, что V0 = 0, и принять условие для бесконечно малых деформаций (3.4), то внутренние парамет ры х, Р, Г(/) для упругопластических материалов определяют ся задачей с начальными условиями для следующей системы дифференциальных уравнений:
%(X,t) = %{[tr (дTfT) + defQ] >tr [АШ],
Р(Х,/) = М[ ]>М,
х(Х ,/0) = х0(Х), Р(Х, t0) = Po(X),
r (i) (AT (о) = Г«ЧХ),
где
f(T, 0,P, Г‘» )= х |
(3.19) |
определяет условие текучести.
Система определяющих уравнений в этом случае имеет вид
113(0 = ^1 (F,0) + W 2 (X , Р, Г<«),
T(t) = pdv'¥l (F.0),
Л (0 — — (V, 0),
Q R ( t ) = Q ( V , 0, VO,©).
Определение устойчивого неупругого материала можно вы разить в следующем виде:
Ш |
(М • Ай) йА + |
$ р (АЬ • Ай) <иЛ dt > 0 , |
(3.23) |
|
|
Q |
/ |
|
|
’ |
|
|
где t = 0 — момент времени, в который прикладывается при ращение внешней нагрузки.
Предполагая, что рассматриваются только однородные со стояния напряжения и деформации, введя два пути нагруже ния для напряжения и скорости деформации
ДТ = Г<2) — |
Д£ = £(2) — |
(3.24) |
которые становятся различными после t = 0, и используя принцип виртуальной работы, можно записать условие (3.23) в виде
*k
J (Г<2>— Г<») (£<2>- £<*>)dt > 0. (3.25)
о
Предположим, что состояние TW является установившим ся состоянием Т* в момент времени t = 0, а состояние Т<2) яв ляется переменным во времени; обозначим его через Т. Рас смотрим следующий замкнутый цикл нагружения. При / = 0 состояние нагрузки Т совпадает со стационарным состоянием Т*. Далее, Т меняется вдоль пути М0Мi (рис. 12), достигая при t= ti точки Mi, которая представляет состояние текучести.
На пути М\М2 возникают приращения пластической де
формации. |
Состояние М2 достигается |
при t = t2. Начиная с |
||||||
момента t2 |
происходит разгрузка |
вдоль пути М2М0. При t — |
||||||
= tk состояние вновь совпадает |
с исходным состоянием, так |
|||||||
что Т = Т*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие (3.25) для замкнутого цикла М^М\М2Му в интер |
||||||||
вале времени t е |
[0, |
принимает вид |
|
|
|
|||
|
|
J |
(Т - Г) (£ - £ * ) dt > |
0, |
(3.26) |
|||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
где £(2) и £(1) заменяются на |
Ё и £* соответственно. |
(3.26) |
||||||
Учитывая, что Р* = 0 и |
Ё = |
V |
Р, |
выражение |
||||
можно записать в форме |
|
|
|
|
|
|||
|
и |
(T - r ) P d t |
+ V(T, У)1о*>0, |
(3.27) |
||||
|
\ |
|||||||
где |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
V) |'* = 5 |
(Г — Т*) (У — V*) dt. |
(3.28) |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Если предположить, что At = |
t2— ti достаточно мало (т. е. |
если ограничиться рассмотрением «устойчивости в малом»),
то первый член в выражении (3.27) |
можно разложить |
в ряд |
Тейлора относительно точки t = t\. Для О(At) получим |
|
|
[(7’- Г ) Р ] <_,,А/ + |
р |о ^ О . |
(3.29) |
Неравенство (3.29) [182] дает возможность получить важ ные выводы относительно направления вектора скорости не упругой деформации Р.
Предположим, что для изотермического процесса поверх
ность текучести |
Р, Гш) = х |
|
/(Г, |
(3.30) |
|
в пространстве напряжений является выпуклой. |
|
|
Член (1/Л/)р|^ зависит |
от эффектов вязкости |
и исчезает, |
когда тензор V является тензором чисто упругой деформации. В этом случае упругая работа на замкнутом цикле равна ну лю. Это условие удовлетворяется в случае пластических ма териалов, чувствительных к скорости, которые до возникнове ния текучести ведут себя упруго подобно упругопластическим материалам. Для таких материалов неравенство (3.29) при нимает вид
3.5. Устойчивые упруговязкопластические материалы
Рассмотрим частный случай определяющих уравнений для упруговязкопластических материалов. Предполагается, что термодинамический процесс является изотермическим. Кроме того, примем следующий частный вид функции текучести:
|
|
|
F (Т, к, Р) = 1(71 Р) |
- 1 |
(3.32) |
Мы предполагаем, что определяемый работой параметр упроч |
|||||
нения |
х |
находится при помощи дифференциальногоуравнения |
|||
отсюда |
|
x=*tr(7\P) или dx = tr(TdP), |
(3.33) |
||
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% = \ T d P . |
|
(3.34) |
|
|
|
О |
|
|
Предполагается, что поверхность текучести F = 0 являет |
|||||
ся выпуклой и гладкой. |
|
|
|||
Из неравенства (3.31) следует, что |
|
|
|||
|
|
|
E = C[t] + y(0(F))dTfy |
(3.35) |
|
где С |
— матрица упругости. В этом |
уравнениииспользуется |
|||
то обстоятельство, что для устойчивых материалов вектор ско |
|||||
рости изменения тензора неупругости Р ортогонален к поверх |
|||||
ности текучести. |
условие текучести принимает вид |
|
|||
Динамическое |
|
||||
|
|
f (Т, Р) = |
я { 1 + Ф“1 |
{tr (дтт ~ '1г } • |
(3.36) |
Если принять, что / = V^2, где — второй инвариант девиатора напряжения, то равенство (3.35) преобразуется сле дующим образом:
= С\ [fD]+ у (ф |
- |
l ) ) TD |
(3.37) |
а (3.36) принимает вид |
|
|
|
V 4 = х { i + Ф-1т |
н |
г |
(з.з8) |
где 12р — второй инвариант скорости |
пластической |
деформа |
|
ции, E D и Т0 — девиатор деформации |
и напряжения соответ |
ственно.
Более частный случай определяющих уравнений для упру говязкопластических .материалов рассмотрен в [212].
5 З а к . 1229
4.АНАЛИЗ ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
4.1.Введение
Анализ температурных напряжений для пластически де формируемых тел охватывает ряд задач, относящихся к раз личным областям техники, — от металлургической, ядерной и космической до расчета конструкций и обработки металлов. Интересным примером служит исследование поля остаточных напряжений при закалке или фазовых превращениях. В раз личных приложениях необходимо предотвратить разрыхление, так как оно нарушает допуски и таким образом влияет на кон струирование деталей машин. В другом случае необходимо знать несущую способность топливных элементов и планиров ку, обеспечивающую необходимые эксплуатационные условия работы. Разнообразие приложений требует проведения систе матического анализа влияния, которое могут оказывать на переходные и остаточные напряжения, несущую способность и пластические деформации такие специфические факторы, как упрочнение, изменение предела текучести с температурой, поверхностная теплопроводность и т. д.
Существующие решения краевых задач термопластичности можно разделить на две группы в зависимости от того, какой тип определяющих соотношений в них используется. При про ведении эффективных вычислений применяется либо инкре ментальная теория, либо теория малых упругопластических деформаций. Соотношения теории деформаций можно найти в [170, 265]. Инкрементальные теории неизотермической пла стичности кратко приведены в монографиях [17, 265].
Обычно рассматриваются несвязанные термомеханические задачи. При таком подходе температура входит в соотноше ния между напряжениями и деформациями только благодаря члену, определяющему тепловое расширение; кроме того, учи тывается влияние температуры на константы материала. По этому независимо от поведения материала решение задачи анализа температурных напряжений разбивается на два эта па [17, 188]. Сначала решается краевая задача теплопровод ности. После определения температурного поля формулирует ся и решается краевая задача механики. Если константы ма териала зависят от температуры, то при этом получается по существу неоднородное тело.
Для изотропного тела с константами материала, не зави сящими от температуры, перенос тепла за счет теплопровод ности и наличия источника тепла Q определяется уравнением
Q 00
где и = k/pc — термический коэффициент диффузии, |
р — |
плотность, С — удельная теплота, к — теплопроводность |
ма |
териала. Установившееся состояние теплового потока при от
сутствии тепловых источников описывается, таким |
образом, |
уравнением Лапласа |
(4.2) |
V20 = 0. |
Температурное поле всюду в теле зависит от начальных и граничных условий. Начальная температура обычно постоян на. Краевые условия могут иметь вид заданной температуры поверхности, заданного притока тепла (включая идеальную изоляцию) или заданной конвекции. В последнем случае пред полагается, что поток тепла через поверхность пропорциона лен разности температур поверхности и окружающей среды. Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент h поверхностного переноса тепла. Он встречается в приложе ниях в виде числа Био:
Bi = m = Lh/ky |
(4.3) |
где L — некоторая характерная длина. Число Био, очевидно, имеет значение для термопластического анализа напряжений.
Вданном разделе мы будем пока считать поле температур известным. При анализе термических напряжений в элементах конструкций граничные тепловые условия обычно задаются на фиксированных поверхностях, тогда как в таких случаях, как затвердевание или плавление, возникают задачи с движу щимися границами.
4.2.Соотношения напряжения— деформации
Вприкладной неизотермической пластичности критерий текучести включает, помимо коэффициента упрочнения с, в качестве параметра температуру 0:
/(стг/) = Уп(0, с), |
(4.4) |
где У — предел текучести, п — целое число. Определяемое экс периментально изменение предела текучести с температурой
обсуждалось в разд. 2.
Обычно предполагают, что в упругой области поведение ма териала подчиняется закону Гука. В пластической области считается, что упругая е*у, пластическая е^ и тепловая
деформации аддитивны и что пластических изменений объема нет.
Теория идеальной пластичности в скоростях, использую щая закон пластического потенциала, является в настоящее
8*