книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений
..pdfОбобщим формулу (100) на случай, когда допустимая область огра ничена с двух сторон: г»** < v (() < у*. Вместо (95) имеем следующее выражение для функции надежности
sup i'(т)<Су*~
Я(/) = Р |
тг ' , |
|
|
inf |
v(x)> vtt |
|
_0<т <t |
|
Напомним теорему о сложении вероятностей, обобщенную на слу чай совместимых событий. Пусть А и В — совместимые события. Ве роятность того, что произойдет либо событие А, либо событие В, опре деляется как Р(А + В) = Р(А)+Р(В)— Р(АВ). Отсюда следует, что Р(Л + В )< Р(Л) + Р(В). Если Л и В — редкие и слабо связанные
события, то естественно предположить, что |
Р(ЛВ)< Р(Л) + Р(В). |
Отсюда вытекает приближенная формула |
|
Р(А + В )^ Р (А ) + Р(В), |
(112) |
смысл которой сводится к тому, что при вычислении вероятности сум мы редких событий можно пренебречь вероятностью их совместного осуществления.
Применим приведенные выше соотношения для вычисления вероят ности Q(t) того, что за время 0 ^ т ^ / произойдет хотя бы один выб рос из допустимой области. Поло жительному пересечению уровням* соответствует событие Л, отрица тельному пересечению уровня у**— событие В. Обозначая соответствую щие вероятности пересечений через
Q*(t) И <?**(/), получим
<2 (*)<<?,(/)+ <?.*(')• |
|
|
Далее, используя неравенство (97), |
2 V |
|
придем к соотношению |
|
|
0 < т |
/ ) - |
Рис. 62 |
~ N - (о,*; 0 < т < / ) - |
|
|
Таким образом, мы нашли для функции надежности P(t) оценку сни зу. Если средние числа пересечений уровней у* и у** малы по сравне нию с единицей, то можно пользоваться приближенной формулой
P ( t ) ^ l - N + (vt ; 0 < |
т |
0 |
< т </ ) - |
Использование в наших рассуждениях формулы типа (112) соответствует тому, что мы пренебрегаем вероятностью появления реализаций
типа 3 и 4 на рис. 62.
и безразмерные параметры
Г0 ^S) |
у . гс I |
о\ Wа |
|
Qs |
Cfs \ |
и J |
|
приведем формулу (114) к виду |
|
|
|
у 2 |
ОО |
|
|
p (0 = 1 - 5| f ae 2 |
] “а_1 е -" а ехр^ — уги— |
du. (117) |
Интеграл, входящий в правую часть формулы (117), не выражается непосредственно через табулированные функции. Применяя прием из книги [14], можно выразить его через бесконечные ряды. Для этого следует разложить один из экспоненциальных множителей в подын тегральном выражении в степенной ряд и произвести почленное ин тегрирование. Разлагая в ряд первый экспоненциальный множитель, придем к ряду, члены которого выражаются через функции парабо лического цилиндра. Разлагая второй экспоненциальный множитель придем к двойному ряду. Воспользуемся вторым способом, более удоб ным для фактических вычислений. Произведем в подынтегральном вы ражении формулы (117) замену
ОО |
ОО |
уЩ £гп + 2п |
|
Й - 2 |
2 н ) Iт -j-n |
||
и т + 2п |
|||
т ~ 0 п =О |
2п т\ п\ |
Под знаком интеграла стоит равномерно сходящийся ряд. Интегри руя его почленно и замечая, что
= — г (i±£V
|
о |
|
« ' |
“ > |
|
|
|
|
где Г |
(х) — полная |
гамма-функция, получим окончательно |
|
|
||||
P(t)= \ — |
2 2 |
( - 1)т+пУ^ |
т+2П Г ( 1 |
а |
(118) |
|||
' |
2я |
т~ о ^ о |
2” mini |
I. |
/ ' |
’ |
Если для оценки условной надежности вместо формулы (100) при менить формулу (106), то придем к выражению
[ |
t |
(г— (S, |
Р 0 (/ И = е х Р j — ^ |
е х Р |
(119) |
2а: |
Таким образом, в этом приближении условная надежность подчиня ется экспоненциальному закону. Полная надежность (114) этому за кону, вообще говоря, не следует. Заметим, что если в формуле (119) время t рассматривать как параметр, то выражение в правой части мо жет быть истолковано как функция распределения абсолютного мак-
Вообще говоря, мера повреждения D(t) является случайной функ цией, а условная долговечность Т — случайной величиной (рис. 63). Однако чем больше число циклов до разрушения, тем меньше относи тельная изменчивость условной долговечности. Поэтому приближенно можно принять, что
p{T) = 6 { T - T J
(см. аналогичные соображения в конце § III.4).
Переходим к вычислениям. Выражение для кривой усталости возь мем в виде
N = |
(124) |
00> |
(^* ^ Г), |
где N 0 — число циклов, соответствующее перелому на кривой уста лости, m — положительный показатель степени, г — характерное зна чение параметра прочности (предел выносливости). Параметры N„ и m будем считать детерминистиче
скими, а параметр г — следующим
Плотность распределения максимумов узкополосного гауссовского процесса s{t) с математическим ожиданием, равным нулю, определяет ся согласно формуле (93) как
Рмакс (s *) — ~ ~ Г е х Р ^ — 2а^ ) I (S* > 0 ) ‘ |
(125) |
Подставляя выражения (124) и (125) в формулу (123), получим -i—i
Т* (г) |
2nN0 |
exp |
ds* |
rmCTj |
|||
|
(0е |
|
|
Интеграл в правой части выражается через функцию Х-распределе- ния Пирсона [109). Окончательно получаем
Г* |
— |
^ |
(126) |
|
Os |
т |
|
|
|
22 |
г I ~ у + 1|Prsm+2■ш |
Формула (126) дает выражение для условной долговечности. Ус ловная надежность в рамках сделанных гипотез рпределяется по фор муле типа (41).
P0( t \ r ) = l |
U |
еСЛИ |
t < T M |
I |
0, |
если |
/> Г * (г). |
Полная надежность определяется по формуле (42), где F(r) — функ ция распределения параметра г, а г*(/) — корень уравнения Т# (г) == = /. При достаточно высоком уровне напряжений в формуле (126) можно приближенно положить, что
prs"+!( iH -
Тогда для /**(/) получаем выражение
МО - |
1^2 |
Г |
J2si_ г ( — + 0 |
/ |
(127) |
|
|
|
2JIN0 \ |
2 |
|
||
Подставляя выражения (115) и (127) в формулу (42), приходим к |
||||||
выражению для полной надежности |
|
|
|
|||
Р (t) =e x p {— — b V l\ / * s L W |
- f L + O |
_ l ! L |
||||
\ щ |
I |
|
J 2nNo |
\ 2 |
I |
rc |
При малых r0 (или больших crs) эта формула может быть упрощена:
Р (/) = ехр | — — а, ”' / шТГ Г( — + 1
щг<= У 2nN0
Таким образом, мы пришли к вейбулловскому' закону надежности
Р(0 = ехр ( —с/р)
споказателем степени (5 = aim. Этот результат согласуется с общей
теорией стохастической поверхности усталости [14].
§ II 1.9. Оценка функций надежности в случае многомерного пространства качества
До сих пор предполагалось, что качество системы характеризуется одним параметром v(t) и, следовательно, пространство V является од номерным эвклидовым пространством. Обобщим результаты предыду щих параграфов на случай многомерного эвклидова пространсхВа у
Общая схема вычислений остается прежней. Вначале мы выведем фор мулу для математического ожидания числа пересечений траекторией v(t) границы Г допустимой области Q0; затем используем найденное значение для приближенной оценки функции надежности.
Пусть й 0 — односвязная область в п-мерном эвклидовом простран стве V, ограниченная замкнутой гладкой поверхностью Г Пусть, далее, в этом пространстве стохастически задана случайная траекто рия v(/) с совместной плотностью вероятности для вектора v(/) и его первой производной по времени p(v, v; t).
Найдем математическое ожидание числа пересечений траекторией v(/) поверх ности Г в направлении внешней нор мали к поверхности. В целях краткости эти пересечения будем называть поло жительными. Математическое ожидание числа пересечений в единицу времени будем обозначать через лц_(Г; t). Про ведя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе фор мулы (48), получим следующую фор мулу для v+(r; /):
v + (г ; О |
--= Пт |
Pi (Г; Д/) |
(128) |
|
д/-*о |
At |
|
Здесь Л (Г; At) — вероятность случайного события, которое заклю чается в том, что за достаточно малый интервал А/ произойдет одно по ложительное пересечение поверхности Г процессом v(/). Эту вероят ность можно записать следующим образом:
|
v (т) |
Ай; |
РХ(Г\М) = Р |
Vn (т) > |
0; |
|
t ^ т ^ t + А/ |
где Ай — некоторый тонкий слой, окружающий поверхность Г; ип — нормальная составляющая первой производной от процесса v(/), т. е.
i)n = (v, n), п — орт внешней нормали (рис. 65). Выражая вероятность Рх(Г; At) через совместную плотность вероятности p(v, v; /), получим
РХ(Г; А/)---■§ d \ |
^ |
p (v ,\-,t)d\ + o(At). |
(129) |
|
vn > о |
^ |
|
|
|
Перейдем в формуле (129) |
к |
интегрированию |
по поверхности Г |
|
Разобьем слой Ай на элементарные цилиндры, |
имеющие |
основание |
и высоту, равную нормальной составляющей Avn приращения век тора v(/) за время А/:
Дуп = упД^+ о(А0 .
Подстановка в формулу (129) дает |
|
||
P1( T ; A t ) = A t ^ d T |
^ |
p (v r ,v; t) vn dv ±o(At)- |
|
T |
v n > |
0 |
|
Отсюда, используя формулу (128), получаем |
|
||
v+ (Г; t) = J dT |
l p (v r ,v ;/)o „rfv , |
(130) |
Гl n > 0
где vr берутся на поверхности Г
Формула (130) является обобщением формулы (49) на случай много мерного пространства качества V Заметим, что некоторые ограничения, наложенные ранее на свойства поверхности Г, могут быть устранены. Например, если поверхность Г является кусочно-гладкой, то нор
мальная составляющая vn будет определена всюду, кроме некоторых линий — ребер поверхности. Можно ожидать, что для достаточно пе ремешанных многомерных случайных процессов вероятность пересе чения поверхности Г через ребра будет пренебрежимо малой. Поэтому формулу (130) можно распространить и на кусочно-гладкие поверхнос ти. Формула (130) распространяется также на случай многосвязнои области £20, а также на случай неограниченных областей (например, полупространства).
Переходим к определению функции надежности |
|
|
P(t) = Pfv(x) |
0 < т < / ] . |
(131) |
Все рассуждения из § III.7, относящиеся к приближенным оценкам для функции надежности P(t) и вероятности отказа Q(/), остаются приме нимыми и в случае многомерного пространства V Вместо формулы (100)
для функции надежности Р(/) полу чаем оценку снизу
t |
|
P { t) > 1— jjv+ (r;-r)dT. |
(132) |
Предполагая, что отказы образую* |
пуассоновский поток, получим ф0р. мулу типа (106)
Р (() •=. ех р — \>v+ (r;r)d r |
(1331 |
Рис. 66
и т. д. Как и в одномерном случае, формула (132) дает для функции иО' дежности оценку снизу; формула (133) при некоторых orpaHH4eilUJlSi
накладываемых на свойства процесса \(t), Дает асимптотическое np,i- ближение. При этом принято, что Р(0) = 1 .
Рассмотрим примеры приложения выведенных формул. Пусть про странство качества V является двухмерным, а^ область « 0 представляв
собой прямоугольник со сторонами 2гц и 2t>2 (Рис- 66). Подсчитаем
среднее число |
положительных |
пересечений границы |
прямоугольника |
|||||
1 двухмерным |
стационарным |
гауссовским |
процессом. |
|
Совместная |
|||
плотность вероятности p(v, v) имеет вид |
|
|
|
|
|
|||
|
p(v, v) = p1 (y1>y2)p2 (t)1,u 2). |
|
|
(134) |
||||
Плотность вероятности Pi(vlt v2) записывается как |
|
|
|
|||||
p(v1, t>,)=---------—-------exp j----------!---- |
x |
|
||||||
|
|
2л о 1 о 2 ]' 1 —p2 |
4 |
2(1 — p2) |
|
|
||
( V i - d i ) * |
Q p (t>t — ai) (t>a— Да) | |
( v 2 — a .) 2 |
|
(135) |
||||
X |
>1 |
|
ala2 |
|
°2 |
]' |
||
|
|
|
JI |
|
|
где a? и 02 — дисперсии процессов vx{t) и v2(t) соответственно; al wa2— математические ожидания; р — коэффициент корреляции этих процес сов в совпадающие моменты времени, т. е.
а? = <(01—'ai)2>; 02 = <(t>2—a2)2):
P = <[t>t ( Q — ° i ][P » (0 — Ог1>
Плотность вероятности p2(vb v2) записывается аналогичным образом:
Рг (ov v2) = , |
1 |
|
- exp |
_ _ i _ r ( |
4 _ |
2 r _ ^ |
z) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
2 n S i s 2 V 1— r 2 |
|
2 (1 — r 2) \ |
Sj |
S i s 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
||||
Здесь использованы |
обозначения |
|
|
|
(136) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
. -2 , . |
.2 |
|
,.-.2 ,. |
<Vi (t)v2(t)> |
|
||||
|
Si |
=--<Wl>. |
S2 = |
<^2>, |
Г - ----- — ------- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 s2 |
|
|
Запишем |
формулу |
(130) |
для области й 0, показанной на |
рис. 66: |
|||||||
|
|
|
* |
|
со |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
v + (r)= |
^ d v 2 (j |
dv2 ^ p{v*i,v2, v u v 2)vidvi + |
|
||||||||
|
V2 |
dv2 |
oo |
|
0 |
|
^ |
|
|
|
|
+ |
|
dv2 ^ |
p( —v*,v2,vu i>2)|ui \dvi + |
|
|||||||
|
_ . |
|
|
|
-CO |
|
|
|
(137) |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L' 1 |
|
°o |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
+ |
^ |
dyj |
^ |
d v ^ p(a,,U 2. vi.v*)v2dv2 + |
|
|||||
|
|
|
* |
|
— oo |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
“ L’l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 1 |
|
|
oo |
|
О |
|
ф |
v I |
I • |
|
+ |
$ |
A * |
$ d V t |
J |
p ( v u — V 2 , V l , V 2 ) \ v 2 \dV2. |
|
8 Зак. 1481
Подставляя сюда выражение (134) и используя условия согласован ности для многомерных распределений, правую часть этой формулы можно несколько упростить. В самом деле:
оо
^ Р з ( у 1 , v 2) d u 2 - p ( v 1);
— оо
оо
$ P 2 ( v l t v 2) d v i - - p { v 2).
-оо
Здесь p(vy) |
и p ( v 2) — одномерные плотности вероятности производных |
|||||
г.гг(/) и v 2(t) . |
Дальнейшие вычисления дают |
|
|
|||
|
оо |
|
|
оо |
|
|
|
(j р ( о , ) У) |
= |
|
jj р ( о 2) v 2 d v 2 -= - ^ r |
||
|
b |
|
' л |
о |
’ |
л |
В результате формула (137) принимает вид |
|
|
||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
v r (О = у 2^ |
j |
[pi |
V2) - \ - p \ ( — V i, V 2)\ |
d |
'2 Ь |
+ - = - |
\ [pi{vl,v*2) + p i(v l — v,2)]dvi. |
(138) |
у ZTl |
,/ |
|
Покажем, как вычисляются интегралы, входящие в формулу (138). Возьмем, например, интеграл*
• |
2 |
|
--------- 1 ...... |
'2 |
|
Г p ( v * v A d v r>= |
Г |
(V, — а,)2 |
|||
J |
К |
’ " |
2лах а 2 ] / 1 — р2 |
J “ Р — 5<T=W |
|
|
|
2р |
(у, — a i ) ( v 2 — a2) |
(t>2 — а2)г |
dvo. |
|
|
|
°1 °2 |
Оо |
|
Выделив в подынтегральном выражении полный квадрат линейной функции от у2, введем новую переменную
v2 — a* v \ —' а \
------- - — р ---------
| / 1 — Р2
Аналогичный интеграл рассматривался в § III.5 при выводе формулы
(63).