книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений
..pdfЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
§ 1.1. Основные понятия*
Предметом статистической динамики является поведение механи ческих, электрических, радиотехнических, биологических и тому по добных систем при случайных внешних воздействиях и (или) случай ном изменении свойств системы. Представляется возможным развить общую теорию поведения таких систем, не прибегая к конкретизации их природы и свойств. При этом на первый план выходят такие вопро сы, как формулировка основных вероятностных задач и методы их ре шения. Этот путь позволяет придать более общую форму многим резуль татам, полученным в статистической теории связи, теории систем авто матического управления и других областях прикладной математики. Эта книга посвящена исключительно механическим системам. Тем не менее при изложении статистической динамики механических систем все же предпочтительнее общая точка зрения. Дело в том, что механи ческие системы отличаются большим разнообразием как структуры, так и вероятностных свойств. Например, мы встречаем здесь системы с конечным числом степеней свободы, одномерные, двухмерные и трех мерные распределенные системы. В настоящей главе осуществлена попытка изложить постановку задач статистической динамики и методы их решения в возможно более общей форме. Однако общие соображения проиллюстрированы исключительно на примерах из строительной ме ханики.
Рассмотрим некоторую систему, находящуюся во взаимодействии с окружающей средой. Для простоты вначале предположим, что как свойства системы, так и ее взаимодействие со средой являются чисто детерминистическими. Пусть внешнее воздействие характеризуется элементами q из пространства Q, а поведение системы — элементами и из пространства (/. Математическая природа элементов обоих про странств, вообще говоря, произвольна. Это могут быть числа, векторы, тензоры, функции одной или нескольких переменных и т. п. Структура и свойства системы характеризуются оператором Я, посредством ко торого каждой реализации внешнего воздействия q 6 Q приводится в соответствие реализация поведения и в U- Таким образом,
_________ |
и = ЯЧ. |
(1) |
* Параграфы имеют двойную нумерацию, причем первая (римская) цифра обозначает номер главы. В пределах каждой главы для формул принята сплош ная нумерация; номер главы указывается лишь в ссылках на формулы из других глав.
Примером такой системы может служить любая упругая система, нагруженная внешними силами. Роль воздействия играют внешние силы, роль параметров поведения системы — перемещения, напряже ния и деформации. Оператор Н задается уравнениями теории упругос ти, строительной механики и т. п., а также соответствующими началь
ными |
и граничными |
условиями. Помимо силовых воздействий могут |
|
q |
|
и=Н(1 |
встретиться тепловые, химические, электри- |
|
ческие и тому подобные воздействия. |
||
** |
|
В статистической динамике радиотехниче |
|
|
Рис* 1 |
|
ских систем и систем автоматики внешние |
|
|
воздействия часто называются входными пара |
|
метры |
поведения |
|
метрами (переменными, процессами), а пара |
системы — выходными параметрами (переменными, |
процессами). Эту терминологию полезно сохранить и при более общем изложении. Таким образом, операторное соотношение (1) устанавли
вает связь между элементами |
q пространства входных параметров Q |
|
и элементами и пространства |
выходных параметров |
U. Указанная |
связь иллюстрируется простейшей блок-схемой (рис. |
1). |
Необходимо отметить, что выбор пространств Q и U и, следователь но, оператора Н не является единственным. Это порождается многи ми причинами. Одна из причин заключается в том, что понятия систе мы и окружающей среды являются в значительной степени условными. Это вызвано не только неодно значностью при выборе схематизации системы. Даже при заданном уровне схематизации ^ одни и те же факторы могут быть отнесены как к самой системе, так и к окружающей среде. В зависимости от того, где проходит граница между окружающей средой и системой, будет меняться содержание операторного соотношения (1).
Поясним сказанное на примере из строительной механики (рис. 2). Рассмотрим упругий прямолиней ный призматический стержень длиной /, нагружен ный осевой силой Р и распределенной поперечной нагрузкой, интенсивность которой равна q. Эти силы,
вообще говоря, являются функциями времени. Поведение стержня описывается функцией w(x, t) координаты л; и времени /, равной попе речным смещениям точек, которые лежат на оси стержня. При неко торых дополнительных предположениях функция w(x, f) удовлетво ряет уравнению
EJ д4 w |
д2 w |
+ |
т |
д2 w |
(2) |
~дх*~ f р |
дх2 |
~Ы2 |
|||
Здесь EJ — жесткость |
стержня при изгибе; т — масса |
стержня |
на единицу длины; к — коэффициент демпфирования.
Кроме того, должны быть поставлены начальные и граничные ус ловия. Например, это могут быть условия:
w = |
(/= о, 0 <*</); |
|
d2w |
(3) |
|
4 |
’ |
|
W = T T = 0 |
( 0 < < < о о , Jf=r0, l). |
|
дх2 |
|
|
Дифференциальное уравнение (2) и условия (3) представляют собой конкретную реализацию операторного соотношения (1). По физичес кому смыслу взаимодействие системы с окружающей средой характе ризуется силами P(t) и q(xyt)yкоторые играют роль входных процессов. Выходным процессом является функция перемещений w(x, t). Итак,
w = H[P,q]. |
(4) |
||
Если продольная сила Р постоянна, то целесообразно |
включить |
||
ее в систему. Другими словами, |
целесообразно трактовать |
упругий |
|
стержень, нагруженный постоянной |
силой Р, как систему, на которую |
||
действует внешняя нагрузка q(xt |
t). |
При таком подходе сила Р стано |
вится параметром системы и входит в определение конкретной реа
лизации оператора Я. Воздействие, |
которое может |
быть включено |
в свойства системы, будем называть |
параметрическим |
(рис. 3). |
Имеется еще одна важная причинЯТвызывающая неоднозначность операторного соотношения (1). Дело в том, что выходные параметры можно выбирать различными способами. В зависимости от этого вы бора будет меняться форма оператора Я. Пусть пространство U яв ляется исчерпывающим в том смысле, что при помощи его элементов можно описать любое возможное поведение системы. Очевидно, что для каждой системы, вообще говоря, существует бесконечное множест во исчерпывающих пространств. Все они эквивалентны, поскольку каж дое из них может нести полную информацию о поведении системы. Опе раторы Я, соответствующие различным исчерпывающим пространст вам, должны выражаться один через другой определенными соотноше ниями.
Пусть пространство — исчерпывающее, причем по каждому его
элементу и можно восстановить соответствующий элемент q |
6 Q- При |
этом условии существует обратный оператор L, такой, что |
|
Lu = q. |
(5) |
Заметим, кстати, что задачи строительной механики, теории упругос ти, теории колебаний и т. п. обычно ставятся именно в виде (5), т. е в форме, не разрешенной относительно элементов пространства U. Об ращение оператора L составляет одну из основных задач расчета ме ханических систем.
Далеко не всегда целью расчета или исследования служит получе ние исчерпывающей информации о поведении системы. В прикладных задачах часто бывает достаточно ограничиться сведениями о значениях
некоторых параметров в отдельных точках или звеньях системы. На пример, при статическом расчете конструкции часто ограничиваются определением напряжений лишь в наиболее ответственных элементах, перемещений лишь в тех точках, где ожидается, что они будут макси мальными, и т. д. Это вносит еще большее разнообразие в выбор про странства U и, следовательно, оператора Я. Для пространств {/, кото рые не являются исчерпывающими, операторы Я, вообще говоря, не бу дут выражаться друг через друга, хотя и могут быть выражены через один из операторов, соответствующих исчерпывающему пространству.
Хотелось бы еще на одном примере проиллюстрировать условность отделения системы от окружающей среды. Пусть тонкая упругая плас-
( ^ 4a)dx, с1хг
£
Рис. 3 |
Рис. 4 |
тинка, нагруженная нормальной нагрузкой интенсивностью q, совершает колебания в потоке газа (рис. 4). При вполне определенных пред положениях уравнение колебаний этой пластинки можно представить в виде
DAAw + m ~ - + k - ^ - = q + q a, |
(6) |
где w(xlt х 2, /) — нормальное перемещение точек, лежащих на средин ной поверхности пластинки; т — ее масса, отнесенная к единице пло
щади срединной поверхности; k — коэффициент |
демпфирования; |
Д — оператор Лапласа на плоскости переменных xlf |
х 2. Уравнение |
(6) должно решаться при некоторых'начальных и граничных условиях, например при условиях:
w = - ^ = 0 |
(t = 0, xltx2 6 Q); |
dt |
|
w___d^_ = 0 |
(0 ^ /^ о о , xlf Х2 6 Г). |
дп |
|
Здесь Q — область, занятая |
срединной поверхностью; Г — контур |
пластинки, на котором она |
предполагается защемленной; dwldn — |
производная от перемещения по нормали к контуру. Взаимодействие пластинки с газом учитывается давлением последнего qjx^x^t), кото рое входит в правую часть уравнения (6). Существенно, что это давле ние является функционалом от искомого перемещения w(xltx 2l t)> Так, в одном из простейших случаев, когда обтекание пластинки происхо-
дит с большой сверхзвуковой скоростью К, а вносимые ею возмущения достаточно малы, можно положить,
Здесь х — показатель политропы; ^иС оо — соответственно давление и скорость звука в невозмущенном потоке. Рассматриваемая система является типичной системой с обратной связью (рис. 5). Поскольку давление газа qa зависит от перемещения, то целесообразно трактовать его не как входной параметр, а как оператор от поведения системы.
Таким образом, мы |
рассматриваем невоз |
% [ |
иг |
мущенный поток газа как составную часть |
|||
системы. Операторное уравнение |
Г|______ |
|
|
Lw = q + Law |
|
|
|
приводится к виду |
(5), если принять за |
Рис- 5 |
|
оператор системы L |
— La. |
|
|
До сих пор мы полагали, что как свойства системы, так и характер внешних воздействий являются чисто детерминистическими. Пред метом статистической динамики, как уже было указано, является по ведение системы при случайных воздействиях и (или) при случайном изменении свойств системы. Введенные выше понятия о пространст вах входных и выходных параметров и об операторном задании си стемы полностью сохраняют смысл и при рассмотрении вероятностных задач. Однако изменяется способ описания указанных параметров, а в случае стохастических систем — и способ описания системы.
Пусть входной параметр q является стохастическим, т. е. представ ляет собой случайное число, случайную функцию и т. п. Тогда каждо му элементу q 6 Q приводится в соответствие некоторая вероятност ная мера. Например, если входной параметр есть случайное число, то оно характеризуется функцией распределения (плотностью вероят ности). Если входной параметр — случайный вектор, то он задается многомерным совместным распределением для компонентов. Случай ная функция времени может быть задана, например, через полную систему совместных функций распределения ее значений в произволь но выбираемые моменты времени. Вместо полного вероятностного опи сания путем задания меры в функциональных пространствах нередко используется частичное описание. При этом широко применяются ин тегралы по вероятностной мере: математические ожидания, дисперсии и другие моменты от случайных величин, моментные и корреляционные функции от случайных процессов и т. д.
На вопросе об описании стохасттеску[Х^1ЖЗШ.меобхоА1то остановитьс'я'подробногБ теорий "вероятностей и ее приложениях обычно используется статистическое истолкование вероятности. При этом ве роятность случайного события интерпретируется как объективная ме
ра, эквивалентная эмпирической частоте. В соответствии с законом больших чисел в форме Бернулли вероятность случайного события есть предел, к которому стремится (по вероятности) эмпирическая частота, когда число наблюдений неограниченно возрастает. В свою очередь, применение понятия эмпирической частоты предполагает, что случай ное событие является массовым, т. е. что оно допускает многократное воспроизведение в статистически однородных условиях. Отсюда следует, что статистическое истолкование вероятности может быть распростра нено лишь на такие системы, которые осуществляются в большом ко личестве статистически однородных, сопоставимых экземпляров. Толь ко имея достаточно представительный ансамбль систем, мы можем по лучить статистические оценки вероятностных свойств системы. С дру гой стороны, только при этих условиях можно дать статистическое истолкование вероятностным выводам, которые следуют из решения задач статистической динамики.
Такой подход чрезвычайно бы сузил область применения вероят ностных методов. Выпали бы из рассмотрения не только уникальные (и часто наиболее дорогие и ответственные) системы, но и системы, из готовляемые в относительно небольшом количестве сопоставимых эк земпляров. Как уже говорилось, вероятность есть объективная мера возможности наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет. В повседневной жизни мы постоянно (хотя и полуинтуитивно) применяем вероятностные оценки к событиям, кото рые заведомо не являются массовыми, принимаем на основе этих оце нок решения и добиваемся успеха. При этом вероятность приобретает смысл некоторой меры доверия к тем или иным утверждениям. Анализ этого вопроса является не технической, а скорее философской, логи ческой и психологической проблемой. Чтобы избежать связанных с нею затруднений, можно воспользоваться понятием мыслимого ансамбля, т. е. наряду сданной системой рассматривать множество воображаемых сопоставимых систем.
Однако при этом сохраняются существенные трудности, имеющие практический характер. Для получения вероятностных характерис тик системы необходимо иметь соответствующую статистическую ин формацию, а ее, вообще говоря, можно получить только из рассмотре ния представительного ансамбля. Этот ансамбль, разумеется, должен быть реальным, а не мыслимым. Аналогичное затруднение возникает даже в том случае, когда система является массовой. В распоряжении экспериментатора очень редко находится количество экземпляров, до статочное для того, чтобы делать надежные статистические выводы. К счастью, многие вероятностные свойства систем обладают эргодич ностью. Эти свойства проявляются не только в ансамбле реализаций, но и во времени и (или) в пространстве. Такие вероятностные свойства можно изучать, наблюдая за поведением одного экземпляра во време ни или изучая, как эти свойства меняются при переходе от одной точки к другой. Примером реализации этого подхода служит предсказание прочности крупного сооружения из бетона или железобетона на осно вании большого числа испытаний малых лабораторных образцов.
§ 1.2. Задачи статистической динамики. Классификация систем
Соотношения (1) и (5) устанавливают связь между реализациями входных и выходных параметров детерминистической систем^. Если входные параметры и (или) параметры системы являются случайны ми, то возникает вопрос о связи между соответствующими вероят ностными мерами или некоторыми характеристиками последних. Уста
новление |
этой связи |
при |
заданной |
связи |
между реализациями, |
|||
собственно, и является |
предметом статистической динамики. В зави |
|||||||
симости от того, |
какие параметры являются |
заданными, |
а какие — |
|||||
искомыми, |
будем |
различать |
четыре |
типа |
|
|
||
задач |
статистической |
динамики. |
|
|
и |
|||
Первая, основная задача состоит в |
|
|||||||
нахождении^вероятностных свойств выход |
9г |
|
||||||
ных параметров при известных вероятно |
Рис. |
6 |
||||||
стных |
свойствах |
входных |
параметров и |
параметров системы. В строительной меха нике этой задаче соответствует прямой расчет конструкции на дейст вие заданных сил.
Вторая задача является обратной по отношению к первой. Она состоитТПнахождении вероятностных свойств входных параметров поЛ известным свойствам выходных параметров. Свойства системы прис этом также предполагаются известными. Решение подобных задач тре- - буется, например, при определении статистических характеристик внешних сил по известным статистическим данным, относящимся к пе-^ ремещениям, напряжениям и другим параметрам поведения конструк-, ции. С точки зрения операторных соотношений (1) и (5) решения пря-1 мой и обратной задач аналогичны. Однако решение обратной задачи может существенно осложниться, если имеется несколько входных воз-> действий (рис. 6) и если требуется по поведению системы установить статистические характеристики каждого воздействия в отдель ности.
Третья задача заключается в огщеделечши-вероятностных-свойств. стохастической системы по известным характеристикам на ее входе и выходе. В самом общем случае может оказаться неизвестной сама структура системы. Изучение свойств неизвестной системы путем сопо ставления ее реакций с входными воздействиями составляет так назы ваемую «проблему черного ящика». Однако в столь общей форме за дачи ставится весьма редко. Обычно известна не только структура си стемы, но и информация о ее детерминистических ^свойствах. Тогда целью исследования является получение информации о стохастичес ких свойствах системы. Один из простейших путей для решения тре тьей задачи состоит в изучении реакций системы на соответствующим образом выбираемые детерминистические воздействия. Задача ослож няется, если внешнее воздействие сопровождается случайными поме хами с неизвестными свойствами. Тогда мы имеем, по существу, объе динение второй и третьей задач.
2 Зак. 1481 |
( |
17 |
Под четвертой задачей статистической динамики мы будем понимать отыскание "системыь которая при заданных внешних воздействиях об ладает заданными свойствами. Примером может служить задача о син тезе оптимальной системы, тг^- системы, которая обладает наилучши ми в некотором смысле свойствами. Обычно критерий оптимальности формулируется в виде условия максимума (или минимума)~нёкоторых функционалов от свойств системы и ее реакций на внешние воздействия при дополнительных ограничениях, накладываемых на другие функ ционалы или параметры системы. Так, при оптимальном проектиро вании конструкции ставится требование о том, чтобы стоимость конст рукции (или ее вес) была минимальна при ограничении снизу несущей способности (или надежности) конструкции.
Задачи синтеза весьма трудны, хотя имеются примеры эффектив ного решения некоторых классов. Укажем на теорию оптимальных ли нейных систем связи и управления, обеспечивающих отработку задан ного сигнала при минимальной средней квадратической ошибке [62, 97]. При расчете механических систем задачи синтеза в столь общей форме возникают очень редко. Из чисто функциональных соображе ний часто бывает задана не только структура системы, но и ряд ее па раметров. В этих случаях задача сводится к отысканию оптимальных значений остальных параметров системы.
Часто условие оптимальности заменяется более простыми требова ниями. Например, условие минимума веса конструкции заменяется более простым условием равнопрочное™ ее элементов. Поэтому в даль нейшем, говоря об оптимальных системах, критериях оптимальности ит. п., мы будем трактовать эти понятия в широком смысле. А именно, будем называть систему оптимальной, если она удовлетворяет заранее сформулированным условиям, при которых, по мнению проектиров щика, система будет «наилучшей». Подчеркнем, что выбор критерия для оптимизации не входит в задачу статистической динамики. Этот критерий выбирается на основе функциональных, экономических, тех нологических и тому подобных соображений и притом выбирается не единственным образом. Один из путей для выбора критерия оптималь ности открывает теория надежности [65, 95].
Если основная задача статистической динамики решена, то, как правило, результаты могут быть использованы для решения остальных задач. В самом деле, решение основной задачи дает соотношения между вероятностными характеристиками на входе и выходе системы, а также вероятностными характеристиками системы. В зависимости от того, какие характеристики по условиям задачи известны, мы найдем из этих соотношений решения второй и третьей задач. Пусть далее постав лена четвертая задача, причем критерий оптимальности сформули рован в виде условия минимума некоторого функционала от поведе ния системы. Тогда решение основной задачи предоставляет необхо димую информацию и для решения четвертой задачи. Таким образом, целесообразно сосредоточить внимание на решении основной задачи.
Выбор метода для решения задач статистической динамики в су щественной степени зависит от характера системы. Классификацию
систем можно провести по различным признакам. Остановимся на некоторых из них.
В зависимости от того, как ведет себя система при одновременном приложении двух или нескольких воздействий, будем различать ли нейные,и нелинейные, системы. Система, описываемая операторным уравнением (1), называется линейной, если оператор Я удовлетворяет
условиям |
|
|
Н [aq] = aHq\ |
(7) |
|
H[q1 + qi]=Hq1 + Hq2. |
||
|
Здесь а — произвольное число; qt и q2 — внешние воздействия. Если оператор Я условиям (7) не удовлетворяет, то система называется нелинейной. К линейным системам применим принцип суперпозиции: реакция системы на сумму внешних воздействий может быть най дена как сумма реакций, вычисленных от каждого воздействия в от дельности.
Необходимо указать, что из линейного характера дифференциаль ных уравнений относительно выходного параметра еще не следует ли нейность оператора Я. В качестве примера рассмотрим задачу, которая описывается уравнением (2) при дополнительных условиях (3). Диф ференциальное уравнение (2), а также начальные и краевые условия линейны относительно функции перемещений w(x, (). Соответствующий оператор Я является линейным, если входным параметром служит ин тенсивность поперечной нагрузки q(xt /), а величина продольной силы Р трактуется как параметр системы. Если же продольная сила Р от носится к числу внешних параметров, то соответствующий оператор становится нелинейным: принцип суперпозиции к операторному урав нению (4) неприменим. Таким образом, система, линейная по отноше нию к одним воздействиям, может оказаться нелинейной по отношению к другим воздействиям. В частности, по отношению к параметричес ким воздействиям любую систему следует трактовать как нелинейную.
Другой признак для классификации получим, рассматривая поведе ние свойств системы во времени. Система называется стационарной, если ее свойства неизменны во времени. Оператор Я для стационарных систем инвариантен относительно смещения начального момента вре мени. Оператор Я нестационарной системы этим свойством не облада ет. Отметим, что одна и та же физическая система в зависимости от уровня схематизации может рассматриваться как стационарная или нестационарная. Как правило, расширяя систему за счет окружающей среды, мы можем добиться того, что система станет стационарной. В самом деле, самые общие уравнения механических, физических, хи мических и тому подобных явлений инвариантны относительно *сме щения начального момента времени. Неинвар1рнтность возникает лишь из-за того, что некоторые процессы рассматривают как внешние, автономные по отношению к системе. В качестве примера рассмотрим конструкцию из бетона, в котором еще не закончился процесс времен ного упрочнения. Пусть ползучесть конструкции происходит при по
стоянных нагрузках. Поскольку свойства бетона меняются во времени, то уравнения ползучести будут явно содержать время. Дополним урав нения ползучести кинетическими уравнениями, описывающими физи ко-химические процессы в бетоне. Если температура бетона постоянна, то расширенная таким образом система уравнений уже не будет содер жать времени явно. В случае переменной температуры следует доба вить уравнение теплопроводности, учитывающее тепловыделение в бе тоне, и т. д.
Можно предложить несколько классификаций систем, основанных на рассмотрении аналитических свойств оператора Н. Эти свойства могут быть связаны со структурой пространств Q и U, а могут быть не связаны. Весьма целесообразно различать вырожденные и невырож денные операторы. Оператор Н называется вырожденным, если про странства Q и U суть конечномерные эвклидовы пространства и если соотношение между элементами этих пространств конечно.
С вырожденным оператором мы встречаемся каждый раз, когда и внешнее воздействие, и поведение системы описываются конечным чис лом параметров, причем связь между этими параметрами дается фор мулами, не содержащими ни дифференциальных, ни интегральных опе раций. В инженерных расчетах вырожденные операторы встречаются весьма часто, особенно если идет речь о неполном описании поведения системы. В качестве простого примера рассмотрим балку, которая на гружена п случайными силами Qlt Q2, Qn, которые прикладывают ся квазистатически. Предположим, что задача состоит в нахождении изгибающих моментов M lf М 2, ..., М т в т сечениях балки. При из вестных ограничениях связь между моментами и силами дается фор мулой
Mj = 2 ЛлЛ л (/= Ь2. - -т), |
(8) |
k=l |
|
где г)jh — матрица коэффициентов влияния пор'ядка т Х п , элементы которой определяются известными методами. Формуле (8) соответст вует операторное соотношение (1) с вырожденным оператором.
Очевидно, что вырожденным оператором будет обладать любая си стема с конечным числом степеней свободы, если положить временные эффекты пренебрежимо малыми. В самом деле, для этой системы мы по лучим конечную связь между входными и выходными параметрами. В работах по статистической динамике систем автоматического управле ния такие системы называют безынерционными. Этот термин неудобен в общей статистической динамике, а также в статистической динамике механических систем, где встречаются как системы с конечным числом степеней свободы, так и распределенные системы. Если в дифферен циальных уравнениях движения распределенной системы опустить все члены, содержащие производные по времени, то мы получим все же невырожденную (хотя и безынерционную) систему.
Дополнительный аргумент против термина «безынерционная систе ма» вытекает из рассмотрения следующего примера. Пусть конструкция