книги / Основы научных исследований
..pdfи n*+/=idem, то nRitA+z^idem; я/г/я«+;= 1бет; 1/я#= =idem; #яи=1бет, где R — любая постоянная вели чина.
Если уравнения процесса характеризуют его проте кание во времени и пространстве с доступной и необхо димой для данного исследования полнотой, то в этом слу чае условия (7.2) — критерии полного подобия. Если уравнения характеризуют протекание процесса или толь ко во времени, или только в пространстве, то (7.2) — критерии неполного подобия. Наконец, если исходные уравнения перед определением критериев будут упроще ны, в них будут отброшены какие-то заведомо влияющие факторы и т. д., то найденные из них критерии (7.2) бу дут называться критериями приближенного подобия.
Втабл. 7.1...7.4 приведены критерии подобия для не которых наиболее характерных процессов.
Вслучае подобных процессов, описываемых уравне ниями с неоднородными функциями (трансцендентные, сложные и т. д.), аргументы неоднородных функций дол
жны быть равны, так как они в этом случае являются критериями подобия1. Так, например, если в функциях yi=R sin аху\ <p=/?.§in Аху выполняется условие у/фу/, то подобие процессов характеризуется равенством аху— =Аху. Возможны у с л о в н о п о д о б н ы е п р о ц е с с ы , подобие которых выполняется при введении переменных масштабов (квазиподобие).
Первая теорема о подобии справедлива и в более сложных случаях, когда уравнения процессов на первый взгляд неодинаковы, но введение переменных масштабов параметров времени или пространства дает возмож ность установить соответствие между оригиналом и мо делью. Возможны, например, два случая подобия: обыч ное геометрическое, когда куб преобразуется в подобный куб (другого размера), и так называемое афинное, когда куб преобразуется в параллелепипед. Могут реализовы ваться и более сложные преобразования, например, ког да шар (глобус) представляется в виде плоскостной мо дели (карты); это — конформное преобразование.
Вторая теорема подобия. Всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной систе ме единиц, может быть представлено в виде зависимо сти между безразмерными соотношениями из входящих
1 Если аргумент неоднородной функции — сумма, то каждый из членов этой суммы представляет собой критерий подобия.
19!
Т а б л и ц а 7.1
Критерии механического и гидродинамического подобия
Критерий |
Формульное выражение |
Ньютона
Гомохронности, харак теризующей однород ность процессов во вре мени
Фруда
Эйлера
Рейнольдса, характе ризует процессы в не сжимаемой жидкости
Архимеда, характери зует процессы движения жидкости при различной ее плотности
Законы подобия гидротурбины
t— время;
М— масса;
I — геометрический раз** мер;
v — скорость;
g — ускорение силы тя жести;
р — сила, давление;
Ft?/Ml = [Ne]
vt/l = [Но]
vVql = [Fr]
plpv2.= [Eu]
Pw/Po = [Re]
*'• |
Р - |
Р -(А Г ] |
|
|||||
|
Yo |
P |
|
|
|
|
|
|
„ |
l |
Dcp |
\ |
) |
i |
/ |
l H °P Y |
|
р °р = рм ( _ г |
|
| / ( _ ) , |
||||||
«ор = |
|
/ |
|
\ |
-i Г т |
|
||
иМЫ |
|
) |
|
1/ |
' F |
* |
||
A мехi |
s мехb i |
|
- |
Mj |
S |
• |
р — плотность жидкости; р0 — вязкость;
Yo — коэффициент кинемати ческой вязкости;
Р— мощность турбины; Р — диаметр; Н — напор;
VWMex — механический момент.
в уравнение параметров, которые и есть критерии подо бия.
Теорема указывает на возможность своего рода заме ны переменных и сокращения их числа с т размерных до п безразмерных величин, с переходом к критериаль ному уравнению. Таким образом, упрощается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как связь между безразмерными критериями подобия л чаще всего проще. Но не только этим определяется зна-
192
Т а б л и ц а 7.2
Критерии электрического подобия
Общие критерии |
Формульное выражение |
Подобия электромагнит ных явлений
Гомохронности
Подобия процессов при нелинейных магнитных ма териалах (идентичность от носительных характеристик)
Подобие цепей
Подобие цепей с взаимной индукцией при одинаковом масштабе токов во взаимо связанных цепях
Электродинамическое по добие
Подобие цепей с взаимной индукцией при разном мас штабе токов во взаимосвя занных цепях
л г = — -— = |
idem; |
я 2 =* г/yt = |
idem |
[Но] = Ш = |
idem |
H-* =* MVHK = f (H/HK) = idem
Jijj, L1Q= |
La/Ra t |
|
idem |
ft* ca := |
==Idem |
||
ntab = M lb /La Lb = |
idem |
||
n = Kb/Ra Rb |
= |
' d e m |
|
|
T |
idem |
|
T*j = —jL = |
|||
T*ab = Mab/Ra * = Mem |
|||
T*ab ~ M(xb!Rb ^ = |
Mem |
Ц — коэффициент магнитной проницаемости; Y — проводимость, удельная среда;
I — геометрический размер; t — время;
е —диэлектрическая постоянная; о — угловая скорость: со = 2я/;
f — частота;
#к — напряженность поля в точке К\ L — индуктивность цепи;
R— омическое сопротивление;
С— емкость;
О — проводимость на единицу длины электрической линии;
М— взаимоиндуктивность;
Т—постоянная времени.
чение теоремы. Весьма существенно, что переход к без размерным соотношениям позволяет распространить ре зультаты исследования, проведенного применительно к конкретному явлению, на ряд подобных явлений.
Пусть, например, какой-то процесс описывается ли нейным дифференциальным уравнением третьего по рядка
193
виду
d3y
dr3
где
X ^ |
+ E - * + < p - ° . |
dx2- |
dx |
Х = (Л2М з )1 /В Д и t = (Al/A3)*V(A0/A3)*
— безразмерные коэффициенты (критерии подобия) функциональных зависимостей <р=/(т).
Третья теорема подобия. Необходимыми и достаточ ными условиями подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однознач ности, и равенство критериев подобия изучаемого явле ния.
Три общие теоремы о подобии дополняются положе ниями, оказавшимися весьма существенными при реше нии многих практических задач.
Однако к теоремам подобия имеется ряд дополни тельных положений, которыми необходимо руководство
ваться при моделировании. |
1. Подобие |
Д о п о л н и т е л ь н ы е п о л о ж е н и я : |
|
сложных систем, состоящих из нескольких |
подсистем, |
соответственно подобных в отдельности, обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющихся об щими для подсистем. Как следствие этого положения утверждается, что подобные сложные системы остаются подобными после любых упрощений,' если только эти упрощения были проведены в системах соответственно одинаково.
2. Все теоремы и условия подобия, справедливые для систем различной сложности, могут быть распределены на нелинейные системы, или системы с переменными па раметрами, если выполняются условия совпадения отно сительных характеристик, сходственных параметров, яв ляющихся нелинейными или переменными1.
3. Условия подобия, справедливые для изотропных систем, которые характеризуются одинаковостью физиче ских свойств (электропроводность, теплопроводность, упругость и т. п.) по всем координатам внутри данной
1 Возможны нелинейные пространственные преобразования, в ча стности переход от одной области пространства у ь ограниченной по верхностью пи к другой области у& ограниченной поверхностью я*. Эти области нелинейно подобны, если каждой точке xi поверхности Л| можно с помощью преобразования найти соответствующую точ ку х2 поверхности пг.
195
р изучаемым объектом или какой-либо из его сторон. В процессе изучения модель служит относительно само стоятельным «квазиобъектом», позволяющим получить при его исследовании некоторые знания о самом изучае мом объекте. Модели всех видов постепенно приобрета ют все большее значение, позволяя проводить научные исследования различных процессов, уточнять теорию ра боты различных установок, проверять выводы и получать более полное и наглядное представление, чем это можно было бы сделать только на основании расчета. Модели имеют большое значение с точки зрения обучения, поз воляя неоднократно воспроизводить аварийные режимы машин, аппаратов и систем, изучая при этом их в уско ренном времени, необходимом для получения нужного опыта. Модели обеспечивают обработку психологической совместимости новых машин, аппаратов и систем, и че ловека.
Концептуальные |
модели |
предполагают |
разработку |
и использование моделей, |
формируемых |
наблюдением |
|
в процессе обучения |
и наблюдения за объектом во вре |
мя его функционирования. Модели позволяют оценивать значимость свойств целостности, выявлять свойства си стемы и приходить в некоторое состояние, определяемое ее собственной структурой. Иногда выделяют логические модели, которые строятся с помощью аппарата матема тической логики, а формальное построение используется далее для содержательной их интерпретации.
Кибернетические модели основываются на получении соотношений между входными и выходными функциями для некоего черного или серого ящика, представляюще го изучаемое явление, без раскрытия его внутренней структуры.
Квазианалоговые модели и электронные модели за нимаются синтезом цепей, являющихся моделями раз личных объектов, имеют особенно большое значение в настоящее время при решении задач, возникающих при проектировании и эксплуатации больших систем техни ческого назначении.
Э л е к т р о н н о е м о д е л и р о в а н и е позволяет успешно решать задачи объектов и явлений путем созда ния модели из комбинированных операционных блоков и проведения синтеза моделей. Набор универсальных комбинационных операционных блоков позволяет созда вать универсальные и специализированные аналоговые
197
Роль эксперимента, а вместе с этим и моделирования, увеличивается с развитием и совершенствованием циф ровых вычислительных машин. Эксперимент является не только путем непосредственного решения тех или иных научно-технических задач, но и помогает находить наи лучшее средство аналитического решения.
Модели различных видов и различного рода (физи ческие, аналоговые и математические) должны приме няться совместно и одновременно с цифровыми вычисли тельными машинами при исследовании работы различ ных технических систем, анализе развития и управления
их функционированием, т. е. во всех |
отраслях научных |
и научно-технических знаний обращается внимание на |
|
создание физико-цифроаналоговых |
комплексов, обеспе |
чивающих единый многоаспектный подход к исследова нию. Оценку достоверности любого исследования, в том числе и с применением моделирования, дает эксперимент, проведенный по специальной программе. К р и т е р и а л ь на я п р о г р а м м а проведения экспериментов (мысленных, математических или физических) дает оцен ку результата, распространяющуюся на класс явлений (а не только на единичные явления) в виде обобщенной критериальной зависимости, и позволяет отсеять влия ние посторонних, случайных факторов. Особенно удачно решаются задачи, возникающие при изучении различ ных сложных систем и связанные с нахождением сово купности варьируемых факторов, при которых целевая функция экстремальна. Методы планирования экспери мента позволяют решить эту задачу с минимальным чис лом опытов при надежной статистической интерпретации на каждом этапе. Преимущества направленного экспе римента, обрабатываемого в критериальной форме, вооб ще велики и существенны также при квазианалоговом электронном моделировании, при всех разновидностях математического моделирования.
Следует обращать внимание на возможность отыска ния функций правдоподобия, т. е. определенной матема тической формы, помогающей характеризовать резуль таты эксперимента, проводимого как в натуре, так и на любых, в том числе квазианалоговых, моделях. Сочета ние теории планирования эксперимента и теории подо бия позволяет ввести понятие «критериальная функция отклика». Здесь, однако, в отличие от теории планирова ния эксперимента вариации выполняются не в отдель ных величинах, а в критериальных соотношениях, Тако
199
го рода соотношения позволяют сразу получать области целесообразных параметров. Эти области, представлен ные в виде пространств, будут особенно важны при ис следованиях сложных систем, проводимых на квазианалотовых электронных и других моделях. Решая задачи оптимизации, находят области, где имеются тенденции к определенному минимуму изменения целевой функции. При изучении больших систем моделирование выступа ет как мощное средство непосредственной связи теории и опыта, как инструмент проверки практикой создавае мых теорий и расчетов метода, как средство ускорения испытания надежности, проверки вновь конструируемой аппаратуры.
Для использования моделирования в технических, ин женерных задачах существенное значение имеет автома тизация получения критериев подобия с помощью вычис лительных машин. Далее моделирование должно разви ваться при сочетании методов теории подобия, планирования эксперимента, регрессионного анализа, ис следований при вероятностной и неполной информации. Критериальные зависимости в сочетании с методами планирования эксперимента и статическими методами облегчают задачи оптимизации сложных систем.
Увеличение сложности и размеров систем требует по стоянного совершенствования моделирования и провер ки полученных результатов путем эксперимента.
Четко провести любой (физический или вычислитель ный) эксперимент, объективно оценить сведения об изу чаемом процессе и распространить материал, получен ный в одном исследовании, на серию других исследова
ний можно только |
при правильной |
их постановке |
и обработке. |
|
|
Критериальная обработка результатов исследований |
||
позволяет сократить |
число необходимых |
экспериментов |
за счет уменьшения числа варьируемых факторов, рас пространить результаты каждого из этих экспериментов на неограниченно большой класс подобных процессов. Критериальную обработку экспериментальных данных при неизвестном математическом описании процесса можно показать на одном из примеров. Пусть изучается процесс в электрической цепи с активным сопротивле нием R, индуктивностью L и емкостью С при включении на источник постоянного напряжения U. Следует оце нить влияние вариаций параметров /?, L, С и 0 в задан ных диапазонах на максимальное значение тока в цепи,
200