книги / Основы метода конечных элементов
..pdfСхематично модифицированный метод сопряженных градиентов можно описать на примере решения системы (III.17) следующим обра
зом [135]. |
|
|
Для удобства изложения представим систему (II 1.17) в виде |
||
где |
Ап+Ч‘х = Ф", |
(III. 18> |
|
|
|
Лп+,/* = М + ± Кп+1/‘, |
х = сп+\ |
|
ф n = |
Kn+4t) сп + ± |
(Fn+l + F"). |
Выберем для данной системы некоторую |
вспомогательную, не зави |
сящую от п матрицу А0, которая, как и Ап+Чг, является положительно
определенной, легко обратимой (точнее, решение системы |
вида А0г = |
|||||||||
= В |
не |
представляет |
значительных |
вычислительных |
трудностей) |
|||||
и которая удовлетворяет соотношению |
|
|
|
|
||||||
|
|
Yo (А оУ> У) < |
(А 'г+'/гУ, У) < |
Yi (А оУ, У), |
|
|||||
где |
0 < |
Yo ^ Yi — известные |
постоянные, |
а у — произвольный век |
||||||
тор соответствующего |
конечномерного подпространства. В частности* |
|||||||||
в случае системы (III. 18) можно принять |
|
|
|
|||||||
|
|
А0 = М + ^ -К 1/‘ |
или |
А0 = М + \ К й. |
|
|||||
Пусть по определенному правилу выбрано начальное приближе |
||||||||||
ние х0 к искомому решению системы |
(III. 18) и |
вычислена невязка |
||||||||
|
|
|
г0 = Ап+,/'х0- Ф |
п = 8а. |
|
|
||||
Тогда последующие итерации xk, k = |
1 , 2 , |
Q, |
определяются |
|||||||
по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Xft+1 = xk + aksk, а„ |
|
|
Ио Ч , |
rk) |
|
|||
|
|
|
|
(sk, Ап+ Чч к) ' |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
rA+I = |
rk+ |
akAn+l/'sk, |
|
(III. 19) |
|||
|
|
s*_|-i = AQxrk+1 + |
$ksk> |
PA |
|
(^o |
rk+$ |
|
||
|
|
|
(A ^xrk% rk) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при реализации модифицированного метода сопряжен ных градиентов на каждом временном слое tn = пт, п = 0 , 1 , ..., mf приходится решать системы уравнений с одинаковой матрицей А 0 и раз ными правыми частями. Для вычисления решения систем вида А0р* = = rk удобно применить упоминаемый ранее прямой метод квадратных корней, так что каждый раз вектор р* = А^хгкбудут находить при ре шении двух треугольных систем
S и = гл, Spk = и, А0 = STS,
одинаковых для всех временных слоев. Подчеркнем, что на каждом временном слое tn = пт, п = 0 , 1 , ..., т , выполняется только
фиксированное количество итераций (III.19) (см. [124]), поэтому общие вычислительные затраты получаются такого же порядка, как и в случае использования соответствующих разностных схем для решения систе мы (II 1.13) с постоянными (не зависящими от времени) коэффициен тами.
Необходимо отметить [124], что упомянутый здесь итерационный подход к решению разностных систем на каждом временном слое обес печивает особенно хорошие результаты для таких схем, как обратная итерация, схема Калахана, и ряда других, основанных на аппроксима
ции экспоненты е~х рациональными |
функциями |
г (х) = |
^ |
, |
где |
||||||
Р (х) и Q (х) — взаимно |
простые |
полиномы, удовлетворяющие, в част |
|||||||||
ности, условию — 1 + |
б < |
< |
1 при |
некотором 6 > |
0 |
и всех |
|||||
х > |
0. |
Так как для схемы Кранка — Николсона |
Р (x)/Q (х) = |
(1 — |
|||||||
|
|
|
6 = 0 , то при использовании рассматриваемого |
||||||||
итерационного подхода |
хороших |
результатов (в смысле устойчивости |
|||||||||
и скорости сходимости) |
можно добиться лишь при условии т ^ |
СЛ2, |
|||||||||
где |
С ^ |
1 — некоторая |
константа, |
h = max [xt — Xi-\]. |
(В |
случае |
|||||
б > |
0 |
никаких условий |
на соотношения т и h не требуется.) |
|
|
||||||
|
3. |
|
Численный пример. Рассмотрим построение численного решения |
||||||||
МК.Э |
задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ди |
|
+ 2 /[ 1 + |
х (1 + |
я2)] и = |
|
|
|
|
|
|
|
Ж |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
[1 + |
(1 + 4/х) я2] ex+2tsin ях — 2я [1 + |
/ (1 + |
2х)] ех+2‘ cos ях, |
||||||
|
|
|
0 < х < 1 , 0 < * < 1 , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
и(х, 0) = ехsin ях, |
ы(0 , /) = 0 , |
u(l,t) = 0, |
|
|
|
|||
точное |
решение которой |
и (х, /) = ex+2i sin |
ях. |
|
|
|
|
||||
|
Вначале, как описано в п. 2 параграфа III.1, была выполнена по- |
||||||||||
лудискретизация задачи |
по пространственной переменной х, |
а затем |
по схеме Кранка — Николсона строилось решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В данном при
мере матрица К системы (III. 13) |
зависит от времени /, но ее можно |
|||||||
представить в виде К = |
К (t) = |
К0 + |
2MCi, где матрицы Kt, i = 0 , 1 , |
|||||
от t не зависят, что облегчало построение |
матрицы К (0 |
на каждом |
||||||
временном слое. Вектор |
сп+ 1 |
из |
системы |
|
|
|
||
(м + -J- tfn+1) cn+1 = |
(м |
- |
|
а:п) сп+ |
( Г +1 + |
Г ), |
||
С° = |
g, |
п = |
О, 1, |
2, . . . , т, |
|
|||
Кп — Ко + |
2тКу, |
|
т = |
1 !т, |
сп= |
с (пт), |
|
|
в данном примере вычислялся на |
каждом |
слое |
методом |
квадратных |
||||
корней. Вычисленные компоненты |
вектора сп = |
[с?, с?, .... с?]г явля |
ются значениями приближенного решения uN(х, п т) (или его произ-
ТШ= 0,25 |
Тт = 0,125 |
Тт = 0,0625 |
ч |
|
h ==0,25 |
|
|
||
0,0221 |
0,0207 |
0,0198 |
0,25 |
|
0,0335 |
0,0312 |
0,0307 |
0,50 |
|
0,0392 |
0,0378 |
0,0374 |
||
0,75 |
||||
0,0439 |
0,0425 |
0,0421 |
||
1 |
||||
h= 0,125 |
|
|||
|
|
II Л |
xm =.0,125 |
Tm= 0,062 5 |
ii |
|
|
ю |
|
|
<4 |
|
|
|
h= 0,25 |
|
0,00328 |
0,00114 |
0,80-10-3 |
0,00246 |
0,98 -10- 3 |
0,69 10- 3 |
0,00200 |
0,87 -10- 3 |
0,85-10-3 |
0,00172 |
0,81 •10- 3 |
0,63-10- 3 |
0,25 |
0,00874 |
0,00624 |
0,00539 |
водной по х) в узловых точках |
||||
0,5 |
0,0116 |
0,00923 |
0,00861 |
|||||
0,75 |
0,0132 |
0,0112 |
0,0107 |
сетки по пространственной пере |
||||
1 |
0,0145 |
0,0128 |
0,0124 |
менной х. Например, в случае |
||||
|
|
0,0625 |
|
линейных базисных |
функций |
|||
|
|
|
cpf (х) и равномерной сетки с ша |
|||||
0,25 |
0,00552 |
0,00242 |
0,00160 |
|||||
0,5 |
0,00566 |
0,00312 |
0,00247 |
гом |
h |
имеем |
с" = |
uN (х{, лт), |
0,75 |
0,00570 |
0,00363 |
0,00308 |
Х{ = |
ih, i = l , |
2, ..., s = N — 1, |
||
1 |
0,00596 |
0,00405 |
0,00356 |
h - |
1 IN. |
|
|
|
-------------------------------------------------------- |
|
|
|
При |
полудискретизации рас |
|||
|
|
|
|
сматриваемой |
задачи |
использо |
вались как линейные, так и кусочно-кубические (эрмитовы) базисные функции. Расчет выполнялся на ЭВМ МИР-2 при разрядности 10. Интегралы вычислялись по квадратурным формулам Гаусса с тремя узлами.
В случае линейных базисных функций область [0, 1] изменения х разбивалась на N, N = 4, 8, 16, равных элементарных отрезков [xt-u хс\, i = 1, 2, ..., N, т. е. к = 0,25; 0,125; 0,0625. При решении каждой из получаемых после полудискретизации систем обыкновенных диф ференциальных уравнений по схеме Кранка — Николсона выбира лись следующие шаги ттпо временной переменной t: тт= 1/т, т = = 4, 8, 16. Полученные численные результаты были оформлены в ви де таблиц. Для удобства восприятия и оценки точности большого мас сива выходных данных в таблицах представлены только максималь ные относительные погрешности вычисленных значений приближен ного решения uN{xiy t,) на некоторых временных слоях. Относитель
ная погрешность етвычисленных значений |
приближенного решения |
||
на /i-м слое tn= n tm, п = |
1, 2, ..., т , находилась |
по формуле |
|
_ |
I “ ( X {t Ю т ) — U N ( * * , П Т т ) | |
|
|
E n i ~~ |
|и ( X h Ю т ) I |
’ |
|
|
u N ( x t, П1т) = c ni, |
|
|
а затем для каждого слоя выбиралось значение е„ = |
max е„*. В табл. 9 |
||
|
|
|
i |
для случая линейных базисных функций представлены значения е„ только тех слоев, где пхт= tt = 0,25; 0,5; 0,75; 1.
По такому же принципу в табл. 10 представлены результаты, по лученные при полудискретизации исходной задачи посредством
кубических эрмитовых базисных функций. Область изменения простран ственной переменной здесь разбивалась только на N = 4 равных эле
ментарных отрезков [xi-u |
, i = 1, 2, 3, 4, а тш = 0,25, 0,125; |
0,0625. |
|
Полученные результаты свидетельствуют о достаточно хорошей точности вычисления приближенного решения по описанной методике.
Особенно высокая точность достигается при использовании |
для полу- |
|||||||||||
дискретизации по пространственной переменной базисных функций по |
||||||||||||
вышенных степеней (выше первой). |
|
|
|
|||||||||
|
4. |
|
Некоторые варианты применения МКЭ для решения параболиче |
|||||||||
ских уравнений. Упомянем |
кратко и другие, отличающиеся |
от описан |
||||||||||
ного в п. 2 данного |
параграфа |
подходы к использованию |
МКЭ для |
|||||||||
решения |
нестационарных задач. |
|
|
|
|
|||||||
|
Приближение к обобщенному решению, определяемому интеграль |
|||||||||||
ным тождеством (II 1 .8), |
(II 1.9), можно строить, например, следующим |
|||||||||||
образом. Вначале методом Бубнова — Галеркина, как и в п. 2 настоя |
||||||||||||
щего параграфа, необходимо выполнить полудискрётизацию по про |
||||||||||||
странственной |
переменной |
х, а затем полученную систему обыкновен |
||||||||||
ных дифференциальных |
уравнений (см. (III.13), (III.15)) |
i |
||||||||||
|
|
|
|
|
M |
~ |
+ Kc(t) = F(t), |
Q < t< T , |
|
(III.20) |
||
|
|
|
|
|
|
c (t) = M /) , |
c2(t)...........cs(/)f, |
|
|
|||
с |
начальным |
условием |
|
c(0) = g |
|
|
(III.2 1 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
решать |
методом |
конечных |
элементов, используя вновь метод Бубно |
|||||||||
в а — Галеркина |
для дискретизации по |
временной |
переменной. Для |
|||||||||
этого отрезок [0, Т] рассматривается как совокупность 90? одномерных |
||||||||||||
элементов [tk—u tk], Л = |
1, 2, ..., 90?, а соответствующие допустимые |
|||||||||||
кусочно-полиномиальные вектор-функции можно выбрать в виде |
||||||||||||
|
|
|
|
|
cm(t) = |
g ^ ( t ) + £ c ? ^ ( t ) , |
|
(IH.22) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
где |
|
(0)5 — базисные функции МКЭ, подробно описанные в пара |
||||||||||
графе И .4, cj1— искомые числовые векторы, компоненты которых бу- |
||||||||||||
дем обозначать через с*у, i = 1 ,2 , |
...,s, / |
= 1 , 2, |
г (см. (ШЛО)), т. е. |
|||||||||
Cj |
= |
[Ciy, С2/1 |
...» |
Csf\ |
|
|
|
|
|
|
||
|
Заметим, что размерность вектора cj1определяется размерностью |
|||||||||||
конечномерного подпространства, используемого при пространствен |
||||||||||||
ной |
полудискретизации |
исходной задачи (III.1) — |
(III.3), |
т. е. рав |
||||||||
на s. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (III.22) можно записать и в матричной форме, а именно |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
JJI/а |
^ КЯП/л\ , |
(1к |
|
|
||
где Ст |
= (сц) — прямоугольная матрица с размерами s х |
г, элемен |
||||||||||
ты которой— действительные числа с*у, i = l , 2 , ..., |
s, / =*1 , 2 , ..., г, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
JR |
|
|
w f . |
|
|
|
|
'р (0 = Н>1л (0 . № |
(0 , |
|
|
|
|
|
Для отыскания приближенного решения МКЭ задачи (III.20), (III.21) применяют обычный метод Бубнова — Галеркина, т. е. подставляют в (III.20) вектор ст (i) вместос (/) и умножают скалярно t-e уравнение
системы дифференциальных уравнений (II 1 .20) на каждую базисную функцию ф9?1 (i), j = 1 , 2 , ..., г, которая участвует в разложении ком-
поненты ci (0 вектор-функции сш (/) (111.22). В результате получают систему линейных алгебраических уравнений для вычисления элемен
тов clh i = 1 , 2 , |
s, / = 1 , 2 , ..., г: |
|
Аг = Ь. |
Здесь А — квадратная ленточная матрица порядка sr, элементы ко торой не зависят от t, искомое решение
^ = [^ц» ^21» |
CsU ^12» ^22» |
у Cs2> |
••• |
у С\г> ^2г» •••> CsA » |
Ь— известный |
вектор. |
|
|
|
Замечание. |
Компоненты cf1(/), |
i = 1, |
2, |
s, приближенного ре |
шения c®i(t) могут принадлежать разным конечномерным подпрост
ранствам Phni, т. е. с?* (0 строится |
в виде |
разложения |
|
п |
ф“ е |
£= 1 ,2, |
s. |
с? (t) = &ф«?(о + S oti^i (о. |
|||
/= 1 |
|
|
|
Процедура получения системы алгебраических уравнений для вычис
ления коэффициентов |
a jy i = |
1 , 2 , ..., |
s, |
/ = 1 , 2 , ..., rh остается |
|
прежней: t-e уравнение системы (II 1.20) |
умножается |
скалярно на |
|||
каждую функцию |
(0 , / = |
1 , 2 , |
г*; |
полученная |
система имеет |
порядок, равный £ rt- i=\
Необходимо вновь подчеркнуть, что выбор базисных функций и со ответственно гладкость приближенного решения существенно зависят от гладкости искомого решения дифференциальной задачи, а следо вательно, от гладкости ее коэффициентов и граничных условий.
Учитывая, что Сц вычисляются при решении системы уравнений
порядка sr(jii и на практике может интересовать значение искомого
решения лишь при t = Г, бывает целесообразно ограничиться в дан ном подходе небольшим числом разбиений отрезка [0, 71, используя конечные элементы высокого порядка точности. Очевидно также, что данный способ может быть действительно эффективным лишь в случае коэффициентов дифференциальной задачи, не зависящих от времени.
Наконец, упомянем еще один подход к построению приближенно го обобщенного решения задачи (III.1) — (III.3) исходя из инте грального тождества (II 1.5). В этом случае искомое решение и (х, t) можно рассматривать как функцию двух переменных, определенную на прямоугольнике QT двумерного пространства, и для дискретизации задачи использовать стандартные двумерные конечные элементы, на пример треугольники или прямоугольники.
Приближенное обобщенное решение uN (х, {) £ W\,о (QT) представ' ляется теперь в виде
uN (х, /) = |
Еt |
t), |
(III.23) |
где cpf (х, f) — соответствующие |
базисные функции множества Рнп cz |
||
с Wlo (QT), а $ — искомые |
значения |
приближенного |
решения |
uN(х, t) или некоторых его производных в узлах конечно-элементной сетки, N — количество элементов, на которые разбит прямоугольник
QT. Неизвестные числовые параметры с} определяются из условия удовлетворения функции uN(х, t) интегральному тождеству (II 1.5), где нужно положить и (х, t) = uN(х, 0 » а в качестве г| (x9t) выбрать базисные функции ф/ (х, t) некоторого конечномерного множества
Р\ с= Щ’° (QT), размерность которого совпадает с размерностью Р В частности, множества Р*1 и Phn могут совпадать.
В результате будет получена система линейных алгебраических уравнений относительно порядок которой определяется конечно элементной сеткой и количеством неизвестных фиксированных пара метров в ее узлах. (Некоторые подробности реализации алгоритма см. в [46].) Вычисленное решение с1} , i = 1, 2 , ... , г, этой системы оп ределит значения искомого приближенного решения uN(х, /) (и неко торых его производных) в узлах сетки, а согласно (II 1.23) можно по лучить и аналитическое представление uN(х, t).
III.2. Сходимость метода конечных элементов при решении параболических уравнений
Приведем некоторые результаты оценок погрешности приближенного решения, полученного посредством полудискретизации по простран ственным переменным с последующим применением разностных схем по временной переменной.
Указанным оценкам посвящено много исследований различных
авторов, в частности |
работы [40, 101, 124, 134, |
135, |
138, 159], где при |
|
водится большая библиография по данному вопросу. |
||||
Наиболее простым для рассмотрения является случай, когда ко |
||||
эффициенты k (xt |
0, |
q (ху t) и краевые условия |
задачи (III. 1) — |
|
(III.3) не зависят |
от |
времени. Тогда весьма |
успешным оказывается |
способ отыскания границ ошибок, основанный на исследовании соб ственных функций дифференциальной и дискретной задач, на разло жении искомых решений по этим собственным функциям. (Подробнее
см. |
[101].) В частности, в случае однородного уравнения вида |
(III. 1), |
f (х, 0 = 0, в [159] для схемы Кранка — Николсона получен |
следую |
|
щий |
результат. |
|
Пусть при полудискретизации по пространству использовались ба зисные функции (х), i == 1 , 2 , ...» s, конечномерного подпростран-
о.о
ства Рр a W2 (0, /), обладающего следующим свойством (см. теорему
II.4): для любой |
функции v (х) £ Wl2 П W%+' |
существует |
функция |
О. |
что |
|
|
vN(х) £ Рр такая, |
|
|
|
|
- / 1 dp+lv |
» / — о, 1 , |
|
И * ) - Л * ) 12./ < С / 1Р+' |
|
||
|
dxp+l |
|
|
где С — постоянная, не зависящая от ft и ti (JC). |
|
|
|
Предположим, что начальная функция и0 {х) |
(см. (III.2)) |
удовлет |
воряет условиям
|
u0(x)£Wr2{0, |
/), |
|
|
|
и0(0 ) = |
и0(/) = |
0 , |
(III. 24} |
Lun = L2un = |
= L[—2 |
Ju0= |
0 |
при x = 0 , x = l. |
Здесь
Lv^ - - ^ ( k ( x ) - ^ - ) + q(x)v.
Теперь, наконец, приведем упомянутый выше результат из [159].
Теорема 111.1. Пусть и0 (х) удовлетворяет соотношениям (111.24) при г = шах ((р + 3), 6). Тогда для приближений uN (х, пт), определяемых по методу конечных элементов посредством (111.10), (111.13), (111.15), (111.16), справедлива оценка
I и(х, пт) — uN (х, пт) |2.i ^ С(hv 4- т2) |и0|2,г, 0 п ^ .
В этой же работе приводится результат, относящийся к оценке по грешности схемы Кранка — Николсона на достаточно большом вре
менном отрезке, |
0 ^ п < |
оо, а именно |
|
|
||
шах |
|и(х, пт) — uN(х, пт)||^ < |
С(hp+l + |
т2) lg Д - 1|и0|2,г, |
(III.25) |
||
0^п<оо |
|
|
|
|
т |
|
если и0(х) |
удовлетворяет |
(II 1.24) |
при г = |
шах (р + 1,4). |
И хотя |
|
оценка (II 1.25) |
позволяет |
ожидать |
достаточно хорошие результаты, |
однако на практике вычисление приближенных решений при умерен ном шаге по времени и недостаточной гладкости начальной функции и0 (х) оказывается неудовлетворительным. А объясняется это тем, что схема Кранка — Николсона не обладает сильной устойчивостью на бесконечности и удовлетворительные результаты возможно получить лишь в случае, когда т стремится к нулю быстрее А, а именно если %= = А06, а ^ 1 . В связи с этим в [40] предлагается несколько других од ношаговых и многошаговых методов, позволяющих получить хорошие численные результаты без ограничений на т и А.
Остановимся теперь несколько подробнее на другом способе оцен ки погрешностей приближенного решения. Этот способ оказывается применимым и в случае, когда коэффициенты задачи (III. 1) — (III.3) являются достаточно гладкими функциями временной переменной. Од нако чтобы избежать чисто технических трудностей (см. ПОП), рас суждения и здесь будут вестись в предположении, что функции k (хг
4) = k (x), q (x, 7) == <7 (x) и подчинены прежним условиям, т. е. явля ются достаточно гладкими и удовлетворяют условиям (Ш .4а) и (III.46).
|
Оценим в норме пространства L2(0, /) |
погрешность полудискрети- |
||||||||
зации по пространственной переменной для задачи |
(III. 1 ) |
— (III.3), |
||||||||
т. е. оценим разность |
и (х, t) — uN (х, t), |
где uN(л:, t) определяется |
||||||||
соотношениями |
(ШЛО) — (III |
12). |
Заметим, |
что |
в силу |
исходных |
||||
предположений |
(см. п. |
1 параграфа |
III. 1) точное |
решение и (х, |
t) £ |
|||||
•€ |
о |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
(О, I) при каждом фиксированном t |
|
|
|
|
||||||
|
Пусть uN(х, t) для |
каждого фиксированного |
t ^ |
0 является |
про- |
|||||
|
|
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
•екцией и (х, f) £ W2 (0, I) на Рр с= W? (0, Г) в смысле энергетического скалярного произведения [•, Ла оператора Л, определяемого формулой
Ло |
(*(*)-| £-) + |
<7(*) w |
(III.26) |
|
на множестве функций v (х) £ D (А), |
удовлетворяющих |
условиям |
||
u £ C 2 [0 , 1], |
ц(0) = |
п (0 |
= 0. |
(III.27) |
Это означает, что для каждого |
t ^ 0 справедливо соотношение |
|||
[и(х, t) — uN (х, t), vN(x, t)]A= |
0 , |
V / (x, t) € kp. |
(III.28) |
{Напомним, что энергетическое пространство На описанного операто-
ра А и пространство |
W2 (0, |
/) |
состоят |
из одинаковых функций.) |
||
Из (II 1.28) следует, что |
|
|
|
|
||
[и — |
uN, и— UN\A = min [и— vN, и — vN]A. |
(III.29) |
||||
|
|
|
|
vN4Pp |
|
|
Действительно, |
пусть vN ~ |
uN-f- wN при \/ wN £ Pp. Тогда с уче |
||||
том (111.28) |
|
|
|
|
|
|
[u— V N , U — |
VN]A = |
[u — |
uN,u — |
UN]A + [ « Л WN\A ^ |
|
^[u— uN, и — UN)A
и равенство возможно лишь при wNs |
0 , т. е. справедливо равенство |
||||
(II 1.29). |
|
|
|
|
|
Таким образом, при каждом значении |
0 |
проекцию |
uN (х, i) |
||
можно рассматривать как приближенное решение некоторой |
краевой |
||||
задачи с оператором (III.26), (III.27), |
и в силу |
теоремы II.5 имеем |
|||
|и(х, i) - |
uN(х, 0 1 < |
Chp+' I и12>P+I. |
(Ш.ЗО) |
||
Искомую погрешность представим теперь в виде |
|
||||
и(х, i) — uN(x, t) = |
|
|
|
||
«= (и(х, t) - |
uN {х, 0) + (« " (х, i) - |
uN (x, 0), |
(III.31) |
где согласно (III.30) оценка в норме L2(0, Г) для и (х, О — uN (х, f) известна.
Для оценки второго слагаемого правой части (III.3I) используем лемму (см. работу [101], лемму 7.1).
Лемма. Для погрешности
г (х, t) = uN (х, t) — uN (х, t) справедливо тождество
( - з |
М + |
i |
^ |
<п1-з2) |
где (•, •) — скалярное произведение в L2(0, |
/), Г |
) |
— проекция в смыс- |
|
ди |
о ^ |
|
|
|
ле (111.28) -щ- на Рр при каждом фиксированном значении t~^s 0.
Согласно известному соотношению между энергетической нормой и
нормой гильбертова пространства L2(0, |
/), |
в котором определен опе |
ратор А, |
|
|
[г, z\A> y \ z f , |
у > |
0, |
и очевидному равенству |
|
|
( т - * ) - т т 1 * Г - М - Ч £
имеем
(JL-,z) + [z, z]A>\ z \ ^ L + y\zf .
А так как по неравенству Коши — Буняковского правая часть тож
дества (III.32) ограничена |
величиной |
— ^ .| ||г||, то, объеди |
няя указанные результаты, |
получаем " |
|
- 2 г М + ?| г | < |
ди |
|
dt |
Умножив обе части этого неравенства на е^\ а затем проинтегрировав его по /, найдем
I и* (X, 0 - uN(X, 0 1 < |
e~ytII и» (X, 0) - и* (х, 0) | + |
|
||
|
ди |
N |
|
|
_| j eV(T-l |
ди |
dx. |
(Ш.ЗЗ) |
|
dt |
~дГ |
Независимо от того, выбирается uN (х, 0) согласно (III. 12) или (III. 14), справедлива оценка
1й" (*, о) - uN (х, о) I < c2hp+[I и0|2,Р+1. |
(III.34) |
|
129 |
Так как в силу наших предположений |
£ W? (О, I) при каждом |
фиксированном значении t > О, справедлива |
оценка, аналогичная |
(III.30): |
|
|
| | ( - ж ) |
|
|
|
|
|
|
<ш -з5> |
|
Объединение |
результатов |
(III.30), |
(III.33) — (III.35) делает оче |
||||||
видным следующее утверждение. |
/) — обобщенное решение задачи |
||||||||
Теорема II1.2. |
Пусть |
и (х, |
|||||||
(III.1) — (7/7,5), удовлетворяющее соотношениям (III.8), |
(III.9), а |
||||||||
uN(х, t) — полудискретное приближение к и (х, t) в смысле |
(II 1.10), |
||||||||
(111.11) и (111.12) |
или (III .14) в подпространстве I’ { с |
(0, I) |
|||||||
кусочно-полиномиальных функций степени р. |
|
|
|||||||
|
|
0 |
l) [") |
4-1 |
(0, |
t) |
при. каждом |
значении |
|
Тогда если и {х, t) (j W2 (0, |
W2 |
|
|||||||
t 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II и(X, f) - |
uN (X, t) II < |
Chp+l |
II и|2>р+1 |
+ |
e~* I UQ|2.P+, + |
|
du |
0 |
H i |
|
Таким образом, при полудискретизации начально-краевых задач для параболических уравнений вариантом МКЭ, основанным на прог цессе Бубнова — Галеркина, порядок погрешности метода таков, как
ив краевых задачах для эллиптических уравнений.
Вряде работ, в частности перечисленных в начале данного раздела,
изучается также погрешность дискретизации по времени /, т. е. по-
грешность uN(х, пх) — uN(х, /гт), где т = Г/m, п = 0, 1, ..., т .
Для временной дискретизации используются, как отмечалось, раз личные устойчивые разностные схемы.
Например, для схемы Кранка — Николсона, кроме результата М. Зламала (см. теорему III. 1), получены аналогичные оценки в раз личных нормах для случая зависимости от t коэффициентов неодно родного уравнения (III. 1), а также при различных граничных усло виях. Ряд интересных результатов, касающихся применения для решения параболических уравнений с зависящими от времени коэффи циентами эффективных разностных схем высокого порядка точности, можно найти в работе [124].