книги / Основы метода конечных элементов
..pdfСходимость МКЭ в применении к уравнениям четвертого (и более
высокого) порядка может быть исследована так же, как в параграфе
Н.З.
Однако мы приведем здесь результаты, следующие из общей теории МКЭ [101].
Пусть методом конечных элементов решается краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2/п-го порядка
Au = f,
оператор А которой положительно определен в Н = La(0 ,I) и действу ет по формуле
Обобщенным точным решением данной задачи является функция и (х) £ Н а , доставляющая минимум функционалу
F(v) = |
[v,v]A— 2{f,v), |
V V£HA |
(отметим, что НАсостоит |
из функций, |
принадлежащих W? (0, /))- |
Приближенным решением МКЭ (вариант процесса Ритца) является функция и», доставляющая минимум функционалу F (v) на конечно
мерном подпространстве Р2 с НА.
Приведем теперь результаты, касающиеся оценки погрешности и — uN. Как уже упоминалось, для погрешности и — uNсправедливы следующие соотношения:
[и— uN, и — uNU = |
min [и— ifl,u — |
|
[u- uN, v»u = |
0, V VN e Pn. |
(II. 110) |
Соотношение (II.ПО) свидетельствует, что по отношению к энергети ческому скалярному произведению [•, ЛА погрешность и — uN ор тогональна подпространству Phn, т. е. приближенное решение uNесть проекция и (х) на Р„.
В оценке погрешности и — uNважную роль играет теорема об ап проксимации функций из пространства W* конечно-элементными под пространствами Р„ (см. теорему 3.3 из [ 101 ]). Применительно к функциям одной переменной и (х), х € [а, b], эту теорему можно сформулировать следующим образом.
Теорема II.4. Пусть Р,1 — подпространство кусочных полиномов степени п, имеющих на [а, Ь\ непрерывные производные до (q— 1)-го по рядка, а в производных q-го порядка допускаются лишь разрывы первого
рода (Р„ cr W$ (а, Ь)). Тогда для |
любой функции и (х) £ |
W%+t (а, |
Ь) и для любого целого числа s, 0 |
s ^ q, справедлива оценка |
|
|
, q ^ n , |
(II.П О |
где иЧ (х) интерполянт и (х) из Р„.
На основе теоремы аппроксимации и с использованием приема Нитше в [101] дана оценка погрешности и — uNметода конечных элементов в общем случае решения многомерной эллиптической крае вой задачи для дифференциального уравнения порядка^ 2т.
В рассматриваемом нами случае одномерной краевой задачи со
ответствующие результаты |
(с |
учетом |
Неравенства |
|и — uN||л = |
|||
= min Уи — vN IS ^ I и — и1/ fy формулируются |
следующим |
об- |
|||||
»Nepn |
|
|
|
|
|
|
|
разом. |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 11.5. Пусть |
Ph„ с |
Wl (а, |
Ь) |
конечномерное |
подпро |
||
странство кусочных полиномов степени п, |
т ^ q ^ |
п. |
|
|
|||
Если искомое обобщенное решение |
и (х) £ W7"4”' (а, b), |
то |
для |
погрешности и — uNприближенного решения uN, полученного методом конечных элементов, справедлива оценка
1 « — «"||2.*<С Л п+|- 5||и |2.п+., 0 < s < m . |
(1 1 . 1 1 2 ) |
Отметим, что в случае многомерной краевой задачи для дифферен циального уравнения 2 т -го порядка оценка (1 1 .1 1 2 ) получена в предположении выполнения условия
Сх |vЦг.т ^ I vЦл = [и, V]A ^ С21|v Цг,ш, V о £ На-
Применение теоремы II.5 к оценке погрешности МКЭ в случае кра евой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2/л-го
порядка (в частности, четвертого) при использовании |
подпространств |
|||||||||
Рп cz |
|
(0 , /), п - f |
1 > т, позволяет |
определить |
скорость |
сходи |
||||
мости |
(в |
норме пространства W? (0 , |
I)) приближенного |
решения |
||||||
uN(х) |
к |
точному |
обобщенному |
решению |
и (х) £ й7?4-' (0 . |
0 |
как |
|||
величину |
О (hn+'~m), т. е. при т = |
2 скорость сходимости |
имеет |
по |
||||||
рядок п — 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Чтобы |
не снижалась указанная |
скорость |
сходимости при |
замене |
в МКЭ точного интегрирования численным, достаточно (см. п. 2 пара
графа II.3) использовать квадратурные 4юрмулы |
степени точности |
2 (п — т) при п > т. |
|
Если это будут, например, квадратуры Гаусса, то в данном случае |
|
достаточно на каждом элементе использовать |
п + 1 — гп узлов |
интегрирования. |
|
Анализ чисел обусловленности матриц систем уравнений МКЭ, аналогичный подробно описанному в п.З параграфа II.3, показывает, что в случае уравнения 2 т -го порядка при любых элементах справед
лива оценка Я |
если используется соответствующее мас- |
° ( |
y z2m) ’ |
штабирование матрицы. Иными словами, всегда можно достаточно просто построить систему уравнений МКЭ (см. примеры в п.З парагра фа П.З), матрица которой будет иметь число обусловленности не боль-
|
“о<V- “ с)l*i> |
|
и{. и\ |
|
|
|
|
||
|
|
h =* 0,25 |
h*= 0,125 |
|
0 |
1 |
1,0007702 |
1,0007326 |
|
1 |
1,0006588 |
1,0057392 |
||
|
||||
0,25 |
1,3642770 |
1,3652687 |
1,3668287 |
|
2,0062897 |
2,0071896 |
2,0152401 |
||
|
||||
0,5 |
2,0609016 |
2,0621807 |
2,0663754 |
|
3,7096228 |
3,7106479 |
3,7248079 |
||
|
||||
0,75 |
3,3078125 |
3,3093595 |
3,3178645 |
|
6,4833125 |
6,4839164 |
6,5028619 |
||
|
Примечание . Над чертой и0 (хj) и U(, под чертой uQ(Х() и и^ соответственно.
шее, чем C/kth2"1, где А,, — наименьшее собственное число непрерыв
ной задачи, h = min hh С — положительная константа.
I
В заключение приведем пример решения методом конечных элемен тов краевой задачи
Т5Г ( е - * -g -) + 5ы = |
2 + |
5е* ( 1+ х2), |
0 < X < 1, |
||
|
d2u |
о du |
|
||
|
dx2 |
dx |
|
|
|
d*u |
2 - ^ - + |
4 «W |,=o = |
9, |
||
dx* |
|||||
|
|
|
|
du
u(l) = 2e, = 4e.
dx x=\
Эта задача эквивалентна задаче об отыскании функции, минимизи рующей функционал
1
|
F (у) = |
J \ е~х ( " ^ ' ) |
+ |
~ |
^х + |
|
|
о L |
|
|
|
|
+ 4п2 (0) + |
2 ( - £ - (О))' - |
16» (0) + |
2 -Ц - (0) |
|
в классе функций из пространства W\ (0 , 1 ), удовлетворяющих усло |
|||||
вию |
|
|
|
|
|
|
» ( 1 ) = 2 е, - £ - ( 1 ) = 4 е . |
|
|||
(Точное |
искомое решение задачи |
и0(х) = е* (1 + х2).) |
|||
Для |
дискретизации |
задачи использовались кубические полиномы |
8 8—172# |
113 |
Эрмита. Все интегралы вычислялись по квадратурным формулам Га
усса |
с двумя квадратурными узлами на каждом элементе |
х{], |
||
i = |
1, 2....... N. Расчет |
выполнялся на равномерных сетках при |
||
N = |
4,8 (т. е. при h, равном 0,25 и 0,125). Системы МКЭ решались ме |
|||
тодом квадратных корней. Вычисления велись на ЭВМ МИР-2 |
при раз |
|||
рядности |
R = 8 . Полученные результаты представлены в |
табл. 8 , |
||
где в каждом узле для |
вычисленного решения первым указывается |
|||
значение |
искомой функции, а вторым — значение ее производной в |
|||
этой |
же |
точке. |
|
|
Как видно из табл. 8 , и в данном примере приближенное решение, вычисленное при h = 0,25, R = 8 , обладает достаточно хорошей точ ностью. Однако при h = 0,125 этой разрядности оказалось недостаточ но для получения решения с большей точностью: ошибки округления перекрыли ошибки МКЭ.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ
В данной главе на конкретных примерах дается понятие о применении МКЭ для решения задач, связанных с уравнениями параболического типа Проводится сравнение результатов, полученных при различных подходах использования МКЭ в решении нестационарных задач.
111.1. Решение методом конечных элементов начально краевых задач для линейных параболических уравнений второго порядка
Особенности применения МКЭ для данного класса задач рассмотрим на следующем примере. В области QT найти функцию и (х, /), удовлет воряющую уравнению
Lus - g - |
_ |
-А - (* (*, t) |
+ |
q(x, i)u = f (x, t), |
(III. 1) |
|
|
0 < x < l , 0 < t < T , |
|
||
и начально-краевым условиям |
|
|
|
||
|
|
и(х, 0) = ы0 (*). |
* € |
[0, /], |
(III.2) |
и(0, t) = и(/, /) = |
0, *6 [0, Т\. |
(Ш.З) |
|||
Предполагается, |
что |
|
|
|
|
|
|
0 < C i< ft (x , |
0 < |
с2> |
(III.4а) |
|
0 |
q(х, t) < с3, |
С( = |
const |
(Ш.4б) |
и все известные функции удовлетворяют некоторым условиям |
глад |
||||
кости. |
|
|
|
|
|
1.Постановка задачи. При классической постановке задачи требу
ется, чтобы решение |
и (х, |
f) было непрерывным в QT, имело нелрерыв- |
||
ди |
ди |
д2и |
~ |
точках |
ные производные |
|
|
в QT а удовлетворяло во всех |
|
уравнению (III.1) и на границе условиям (III.2), (Ш .З). |
|
|||
Предположение о |
достаточной гладкости известных функций в |
|||
(III.1) — (Ш .З) обеспечивает |
существование единственного |
решения |
||
рассматриваемой задачи. |
|
|
|
Если исходные данные не являются гладкими функциями, то задача (111.1) — (III.3) в общем случае не имеет классического решения. Тог да можно расширить постановку задачи и заменить ее отысканием не
которых обобщенных решений, |
принадлежащих различным функцио |
||||||||||
нальным |
пространствам |
[54]. |
|
|
|
|
|
|
|||
Наиболее широким классом обобщенных решений задачи |
(III. 1) — |
||||||||||
(111.2) |
с |
недифференцируемой |
разрывной ограниченной функцией |
||||||||
k (х, О и весьма слабыми условиями на остальные известные |
функции |
||||||||||
является |
класс |
W 2l ° (QT)> элементы |
которого |
не обладают |
никакой |
||||||
гладкостью |
по t. |
|
|
|
|
|
|
решения |
|||
В данной главе мы ограничимся понятием обобщенного |
|||||||||||
из класса W\ (QT)• Под обобщенным решением задачи |
(И 1.1) — (II 1.3) |
||||||||||
из пространства |
W\ (QT) |
понимается функция |
и (х, f) |
из пространства |
|||||||
W\ (QT) |
(или, точнее, из |
(Qr)), |
которая |
удовлетворяет |
условию |
||||||
(111.2) |
и интегральному |
тождеству |
|
|
|
|
|
||||
L{u, г]) = |
j |
ц + k(x, |
|
+ |
q(x, f)ui\jdxdt = |
fv\dxcU |
|||||
|
|
|
QT |
|
|
|
|
|
|
QT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(HI-5) |
при произвольной функции Г| (х, О ИЗ |
0 |
(QT)- |
|
|
|
||||||
И?2 |
|
|
|
Заметим, что формально интегральное тождество (II 1.5) получено из
уравнения (III. 1) путем |
скалярного умножения (•, |
•)QT его обеих |
|
частей на функцию ц (х, |
t) £ |
0 |
интегрировани |
W 2 (QT) и последующим |
ем по частям. Очевидно, что классическое решение задачи (III. 1) —
(II 1.3) является и обобщенным решением из класса W\,о |
(QT)- |
Суще |
ствование и единственность обобщенного решения и (х, |
О б |
^ 2,о (QT) |
доказаны в [54] при выполнении условия (II 1.4) и следующих ограни чениях:
т
vrai max |
d t < 0 0 , |
(Щ.6) |
xC(Q.l\ |
|
|
(х, t) I dx^j Я j < 00, |
f (x, t) € L2(QT), «0 (*) € h |
(0, /). |
В ходе доказательства используется метод Бубнова — Галеркина, ко торый в данном случае реализуется следующим образом.
оj
Впространстве W2 (0, I) выбирается какая-нибудь фундамен
тальная система {ф* (х)}, т. е. система функций со следующими свой
ствами:
о .
все функции ф* (х), k = 1 , 2 , ..., принадлежат W2 (0 , 1)\
функции ф* (х), k = 1 , 2 , Ny линейно независимы при любом значении N < оо;
линейные комбинации 2 J |
|
|
анства |
(х) с произвольными числовш |
|||
*=1 |
|
и |
'-sS |
эффициентами а* и N образуют множество, плотное в |
^ |
||
W-> (О, I). Иными |
|||
О^ |
|
|
может |
словами, любой элемент из W2 (О, I) с любой степенью точности |
|||
быть аппроксимирован элементами указанного множества. |
|
||
Для удобства в дальнейшем будем считать систему |
(л:)} ортонор- |
||
мированной в пространстве L2(0 , /). |
|
|
Приближения uN(х, t) к искомому обобщенному решению задачи
(III. 1) — (II 1.3) будем искать в |
виде |
|
UN (х, ()= |
У, сk (i) ф* (х), |
(HI.7) |
|
*=1 |
|
где функции Ck (f), k = 1, 2, N, удовлетворяют системе N линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
("%“ ’ ^ |
W) + (k (х ’ Q |
' ~ Ч г ) |
+ |
W = (/•’I’m)' |
|
|
т = |
1 , 2 , |
, |
N, |
|
и начальному условию |
|
|
|
|
|
|
Ст(0) — (^о» ‘Фт)* |
|
|||
Здесь через (*, |
•) обозначено |
скалярное произведение в пространстве |
А2 (0, о, Т. е. {иу v) = |
uvdx. |
|
о |
Согласно (II 1.7) указанную систему можно переписать в виде
N Г |
N |
1 |
^ |
|
1 |
|
|
d |
1 |
2 |
~ЗГ J y |
|
+mс"d xw J k (*• 0 |
|
x+ (0 J 94VM* |
||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
If(x, t) ф/п (х) dx, |
т = \ , |
2, |
N, |
||
|
|
|
|
|
Ст(0) — ^ и0(х) фт (х) dx, |
|
|||
или, |
что |
то |
же, |
в |
о |
|
|
|
|
виде |
N |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
атк^ - + £ |
ЬткV)Ск (t) = |
fm(t), |
||
|
|
|
к=1 |
к=I |
|
|
|
||
где |
|
|
|
Ст (0) — (XQпи |
СП — I, 2, |
, |
N, |
||
|
|
|
/ |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
amk = |
j ф* (х) фт (х) dx, |
а0т= J ы0 (*) Фт (х) dx, |
|||||
|
|
|
|
0 |
/ |
|
11 |
|
|
|
|
|
(0 |
= |
J (* (x , |
|
|
(*• оФ*ФтJ^х. |
В силу условий (III.4) — (III.6) эта система однозначно определяет абсолютно непрерывные на отрезке 10, Т) функции ck (f), k = 1 , 2, ...
..., N, и приближенное решение uN(х, t) вида (III.7).
Доказано, что последовательность построенных таким образом ре
шений и" (х, о при N -> -0 0 слабо сходится в L2 (QT) к функции и (х, |
|
I) £ |
(QT), являющейся искомым обобщенным решением из простран |
ства |
Wifi (QT)- |
Заметим, что это обобщенное решение удовлетворяет и интеграль
ному тождеству |
|
|
|
|
|
|
( - g - , ф) + |
(к (х, О - ! - » - | г ) |
+ (<?«> *) = |
(/> t ) |
(III.8) |
||
при V ф (х) £ W2 (0, |
0, |
t > |
0, |
|
|
|
(и (*, |
0), ф) = |
(«о (X), Ф), |
V Ф € wl (0 , |
Г). |
(III.9) |
Принятые выше условия для коэффициентов и начальной функции
задачи обеспечивают свойство |
|
(х, f) € ^ 2 |
(0 . О |
при каждом t > 0 . |
|||
2. Вычисление |
приближенных |
решений. Для |
получения |
методом |
|||
конечных элементов приближенного обобщенного решения |
задачи |
||||||
(III.1) — (III.3) существуют |
различные подходы. Один |
из |
наиболее |
||||
распространенных |
основан |
на |
процессе |
Галеркина, |
используемом |
для дискретизации МКЭ исходной задачи только по пространственным переменным (называют это полудискретизацией по пространству). В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений от временной переменной t, которую затем решают какимнибудь численным методом. При осуществлении полудискретизации исходят из интегрального тождества (III.8), (III.9). Остановимся не сколько подробнее на этом подходе.
Для построения полудискретного приближения к обобщенному решению задачи (III. 1) — (II 1.3) выберем конечномерное подпростран
ство Рл с Щ (0 , [) с базисом {cpf (x)}i, отвечающим разбиению об ласти изменения пространственной переменной х, т. е. отрезка [0 , Л, на N элементарных отрезков [x*_i, xh] k = I, 2, Здесь исполь зуются те же обозначения и понятия для элементов и базисных функ ций, что и в гл. II.
Приближенное обобщенное решение будем искать среди допустимых функций вида
uN(x, t)= |
t |
cUt)<f>U*) |
(ШЛО) |
|
i=\ |
|
|
при условии, что удовлетворяются |
соотношения |
|
|
|
|
t> 0 , |
(III. 1 1 ) |
Ои" (х, 0), |
qv) = («о. Ф1) |
(III. 12) |
для |
всех базисных функций <p" (х), ] = 1 , 2 ........s, подпространства |
|
0 . |
о |
систему s |
Рп с= W2(0 , I). Соотношения (III. 11), (III. 1 2 ) определяют |
||
обыкновенных дифференциальных уравнений |
|
|
|
d r N |
(III. 13) |
|
М - & - + KcN = F (t), |
cw (0 = [^ (/), cS(t), . . . , iff(f)]T
с начальным условием
McN(0) = g,
где УИ — матрица масс, такая же, как в гл. II, К — матрица жесткости (симметричная), элементы которой могут зависеть от t (если коэффи циенты k (х, t) и q (х, t) являются функциями f), F = F (i) — вектор, определяемый правой частью уравнения (III.1), g — постоянный s- мерный вектор, определяемый функцией и0 (х).
Заметим, что соотношение (II 1.12) удобнее заменить на
uN(x, 0) = 4(х). |
(III. 14) |
. |
о |
Здесь «о (х) — интерполянт функции и0 (х) из пространства К- |
|
Тогда начальное условие для системы (III.13) будет |
иметь вид |
cN(0) = g, |
(III. 15) |
где компонентами вектора g являются значения функции и0 (х) (и не
которых ее производных) в узлах интерполяции. Например, в случае oh
Pi имеем
|
|
|
N - |
1 |
|
|
ио W |
= £ |
«о (*с) Ф( М . |
|
|
|
1 = 1 |
|
|
g |
= [« o (* i) . |
«о (^*2)> ••• , «0 ( X N —])] • |
|
Порядок |
точности |
приближенного |
решения при такой замене не из |
|
менится |
[1 0 1 ]. |
|
|
|
Для численного решения задачи (III.13), (III.15) при t^ O можно использовать ту или иную устойчивую разностную схему.
Опишем, например, применение схемы Кранка — Николсона в слу чае постоянной матрицы К. (Для удобства опустим значок N в искомом векторе cN (f), так что при дальнейшем изложении cN (f) = с (/).) Рас сматриваемая схема Кранка — Николсона, представленная в симмет
ричной форме, |
|
|
|
М (c«+i - с") + |
К (с"+* + |
с") = - f |
(Fn+l + Fn), |
|
c°= g , |
|
|
имеет по времени второй порядок точности. Здесь |
|||
ср = с(пт), |
п = 0, 1, |
т, |
т = Tim. |
Вычисление сп+ 1 удобно выполнять на основе системы |
уравнений |
|||||||
(м |
+ |
к) Cn + l = |
(м - |
к) сп+ |
( F n+I + F " ), |
|
||
|
|
c° = g, |
п = |
0 , 1 ........... |
т, |
|
|
(III. 16) |
с положительно определенной ленточной матрицей А = ^Л4 + |
у |
|||||||
одинаковой на каждом временном слое п = |
0 , 1 , 2 ........ |
т. Благодаря |
||||||
тому что в системе (II 1.16) меняется только |
правая |
часть |
fn = |
— |
||||
----- Т к) °П |
~Т |
+ * + ^?Л)> п — 0 » 1 ........ |
т> решение |
в данном |
случае целесообразно находить прямым методом, однократно применив метод квадратных корней для разложения А = STS, где S — верхняя треугольная матрица, a ST— транспонированная к ней. Затем на каж дом шаге искомый вектор сл+ 1, п = 0 , 1 , ..., т, вычисляется при ре шении двух треугольных систем
STZ= Г, Scn+l = 2.
Если коэффициенты задачи (III.1) — (II 1.3) зависят от времени, то матрица К тоже будет зависеть от времени К = К (t), следовательно, матрица линейной системы (II 1.16) будет иной на каждом временном слое. При этом для вычисления сл+ 1 можно использовать систему
( м + -j- K n+,/j |
cn+l = (М — Д- K n+Vj |
c n + - Y |
( F n+t -f F n), (III. 17) |
где |
|
|
|
К |
^ = К ((tl -(- V2) !•)) |
n — 0 , 1 , |
. . . , tn. |
Однако применение прямых методов для численного решения систе мы (III.17) может оказаться слишком «дорогим», так как на каждом шаге необходимо строить треугольное разложение новой матрицы. Чтобы обойти эту трудность, ряд авторов [124, 135] предлагают на каж дом временном слое вычислять не точное значение сп+ 1, а некоторое итерационное приближение. (Данный подход справедлив не только для схемы Кранка — Николсона, рассматриваемой здесь в качестве приме ра, но и для многих других, в том числе и схем более высоких поряд ков (см., например, [124]).) При этом для итерационного процесса На каждом временном шаге используется специальное начальное прибли жение, полученное экстраполяцией нескольких ранее вычисленных векторов; например, при вычислении c"+1 в качестве начального при ближения в итерационном процессе можно взять вектор [124]
Со+1 = Зсл — Зс”- 1 + сп~\ 2 < |
п < да. |
В качестве итерационного процесса обычно |
предлагается использо |
вать модифицированный метод сопряженных градиентов как обла дающий достаточно высокой скоростью сходимости и не требующий знания (или оценок) максимального и минимального собственных значений решаемой системы.