книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdf
|
Очевидно, функция V удовлетворяет уравнению |
|
|
||||||||||
|
д2п+1у + |
|
|
|
у + |
_|_ л2п+1/г 2<2п+,У = |
о, |
|
|||||
где |
Ат (т = 1, |
2, |
|
2/г + |
1) — безразмерные постоянные, |
причем |
|||||||
А2п+ 1ф 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая определители в (17.10), имеем |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
U'iw |
|
= |
V > +1/12тдтк. |
|
|
(17.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Wj |
t '<£h*"trv- |
|
зя И,о* |
|
|
|||||
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
(17.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V, |
к € [I, П]. |
|
||
|
|
|
uf |
+" = |
V |
g * + W |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
т = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно равенствам (17.13) |
с учетом (17.11) функции |
0(2ft> из |
(17.3) |
||||||||||
и (17.6) преобразуются к виду |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
е,и - |
| |
d S 'h ^ - 'ir v + ф |
и |
0-, |
|
|
|||||
|
|
|
|
т = О |
|
|
|
ССЫ |
|
|
|
(17.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е12*1= |
S |
Й У " ,_1Д Т , |
ftg II, л], |
|
|
||||||
|
|
|
|
/7 1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
сй*+,\ |
dmk) — постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Моменты 0(2ft>можно |
представить в несколько ином виде, если ис |
|||||||||||
пользовать уравнение (17.11). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Предполагая, |
что Лг/t+i ф 0, |
из (17.11) |
находим |
|
|
|||||||
V = — |
h7 +" |
(A2n"blV + |
А ф -2А2пУ + |
|
+ AtofT^AV). |
(17.15) |
|||||||
|
|
Л 2 п + \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внося теперь (17.15) в (17.14), имеем |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6(0) = 4 |
- S |
a W m+lAm+iV + |
- ^ - и 0; |
|
(17.16) |
||||||
|
|
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
13 |
|
||
|
|
|
em |
_ |
I |
£ |
a'IV ' ' + 'Am+V , |
А £ Ц. л]. |
|
||||
|
|
|
|
|
^ |
ш =0 |
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H« |
= |
- i S r |
[,p' (J)+ii;r^ |
’ |
|
<I7 I 7 > |
|||
где |
|
= (с1а + |
сав) саз — с\з; |
ф (z) — произвольная голоморфная |
функция, штрих обозначает производную по переменной г, а черта сверху — переход к комплексно-:сопряженному значению.
Из (17.16), учитывая обозначения (16.4), получаем такие уравнения:
|
|
|
ди№ |
, |
2л |
_ |
|
|
q |
|
______ |
|
~ |
дг |
+ |
дг |
|
S |
f |
l i W |
V + |
^ [ ( p '( 2 ) - f ( p '( 2 ) ] ; |
(17.18) |
||
|
|
|
т=0 |
|
|
|
1^11 |
|
|
|
||
|
|
|
ди[?к) |
дй&к' |
|
, |
2л Л |
|
А£ [1, Щ. |
|
||
|
|
|
+ |
+ - ^ - = 4 - |
Е «SV+V+V, |
(17.19) |
||||||
|
|
|
дг |
& |
|
* |
rrz=Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2п |
|
|
|
|
|
|
|
«?-/■&■ + |
ClCli |
Ф(*) + £ |
2Л гш+1 |
: |
|
||||
|
|
|
|
02 |
|
т=О |
|
П9 |
(17.20) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ‘ U ^ |
|
+ £ ^ V “ + |
' |
, A S H .n l, |
|
||||
|
|
|
|
|
дг |
|
" о |
|
аг |
|
|
|
где У» (ft = 0, 1, я )— произвольные вещественные функции, выражающие общие решения однородных уравнений (17.18), (17.19).
Функции Ум следует выбрать такими, чтобы удовлетворялись
мнимые части уравнений (16.3). Если внести в (16.3) значения (17.13), (17.14) и (17.20), разделить действительную и мнимую части и проин тегрировать по переменной z, то получим следующую систему урав нений:
|
АУо = — 4/ ftp' (z) — ф' (z)J; |
|
(17.21) |
|||
ЛК" ~ |
<4s + ч № у * = — |
1ф' w - |
Т й и . |
О7-22) |
||
|
|
|
л ]. |
|
|
|
Из (17.21) |
находим |
|
|
|
|
|
|
У0 = |
— i fz<p (z)— z<p (z)J -f |
и1( |
|
(17.23) |
|
где иг — гармоническая |
функция, |
которую |
ниже |
примем |
равной |
i = ф(г); ф (z)— произвольная голоморфная функция.
Рассмотрим систему уравнений (17.22). Частное решение ее имеет вид
у , - ■ |
1<р' (»)— ф'(g)]; ? » = °- A 6t2.nl. |
(17.24) |
о
а общее решение Ум (к — 1,2, ..., п) однородной системы определяется
таким же образом, как и (17.9). Следовательно,
Ум = S b £ V 'n+iД"Х. |
(17.25) |
т= 0
Здесь %т**— постоянные, X — решение уравнения
ДПХ + Л ^ Д ^ Х + « • ё + л > - 2пх = 0. |
(17.26) |
«+ = **Ф (г) — zVW ) — ' Ж + У. |
Й )Л2т+‘ ■д-"У- ; |
ZZo |
62 |
2/1 |
л -1 |
«!? = х > У (г) + |
£ |
aSVm+l |
|
+ |
V |
Й ’Л!”+' i C |
i ; |
|||
|
|
«1=0 |
|
дг |
|
|
~ |
0 |
Й2 |
|
« Р - 2 |
|
|
+ |
J j - A W . i C L , |
* € R n j. |
(17.27) |
||||
т - 0 |
|
6/2 |
/п = 0 |
|
|
* |
|
|
|
|
Согласно (17.17) моменты иТ*+Х) принимают вид |
|
|
||||||||
из" = |
— ЩЬ [ф# (z) + |
ф' (г)] + |
£ |
c\nh2nAmV\ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ma=t0 |
|
|
(17.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« f + l,= |
1 |
й г л л у т |
|
й е н . nJ. |
|
|||||
|
|
ш=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а моменты 0<2,,,) из (17.14) перепишем таким образом: |
|
|
||||||||
0,O = |
n t |
J , (г) + |
_____ |
|
2л |
5№Лг»->д"Ч/. |
|
|||
|
, (г)] + |
£ |
|
|||||||
|
c«6n |
|
|
|
m=0 |
|
|
|
(17.29) |
|
0'“’= |
2« . |
|
|
|
ft?n,n). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
E /tfV ’-'A T |
|
|
|
|||||||
|
m = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c12 -f" fafi/O Сдд — C13 |
V* |
^C13Cn« |
. |
y* — |
4с1Псвл |
|
||||
и* — |
|
|
|
ъг r |
r |
» |
|
I5c1c11t?33 * |
( ,7 -30) |
|
^1^11^33 |
|
|
o c l c l l c 33 |
|
|
Найденное решение состоит из трех типов решений: бигармониче* ского, потенциального и вихревого. Бигармоническое выражается ана литическими функциями <р (z), ф (z), потенциальное и вихревое — соот ветственно функциями V и X.
Представим потенциальное и вихревое решения в виде суммы ре
шений |
соответствующих уравнений Гельмгольца. Пусть /р и |
Л,. — |
|||||
корни |
характеристических уравнений |
|
|
|
|
||
|
^2(2л+1) |
_|_ |
_|_ /±2nl2-j- Лгл+l = 0; |
|
|||
|
%»>+ |
л У " - 2 + |
+ |
л |
и |
/ + л ; = о. |
(17 31) |
Допустим, что все |
корни простые. В |
этом |
случае уравнения |
(17.11) |
|||
и (17.26) могут быть представлены таким образом: |
|
||||||
|
2/1+1 |
# Г 2) Vp = 0; |
|
|
|
llh~2) Х5 = 0. |
|
|
П (А - |
П |
(Д _ |
(17.32) |
|||
|
1 |
|
S=1 |
|
|
|
|
Тогда |
|
2л+1 |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
% |
|
||
|
|
V = V V,; |
X = |
v |
(17.33) |
р=1 |
S=1 |
где Vp и Xs— решения уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
AVp- |
|
t y r 2Vp = 0; |
AXS - |
|
|
= |
0. |
|
(17.34) |
||||
Согласно (17.33), (17.34) решения (17.27) — (17.29) системы (16.3), |
|||||||||||||||
(16.5) |
преобразуются |
к |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
и+ = |
х*ф (г) — гф' (г) — ф (z) + |
ЛаГ — |
; |
|
|
|||||||||
|
в? = |
x jA V (г) + £ |
Ав®- % - + |
( У |
Aftf |
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
р=1 |
|
|
S=1 |
|
|
|
|
||
|
|
2п+1 |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ? 1= |
£ |
|
A e f’ |
|
+ i S |
A b f ^ s - , |
|
А 6 [2, «]; |
(17.35) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
«У* = |
—Л |
|
[ф' (2) + |
ф' (2)] + |
£ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2я+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e f + ,,= |
£ |
сГ +1>Кр, |
А е п .я ]; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в™ - |
|
т ^ - |
If' (г) + ? W |
] + |
x |
Р=1 4 Х : |
|
|
||||||
|
|
|
|
С1С11 |
|
|
|
|
П |
Т |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2л+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е,и, = |
4 |
£ |
| < £ % |
* е п , щ . |
|
|
|
|
|
|||||
Здесь постоянные а?*, Срй+1), d%k) и bfft) определяются равенствами |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2Л |
Vw |
|
л(2Л+ 1)— |
2/1 |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
а р |
— |
V |
fr2k)12nl- |
V |
^A+DfZni. |
|
|||||||
|
|
ZJ |
u m |
>p 9 |
ьр |
— |
ZJ |
Ltn |
l p |
t |
|
||||
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
m=0 |
|
|
|
(17.36) |
||
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
<C Г S Д Г Й Г ; AP = £ « » . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ш—0 |
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
||
Замечание 17.1. Аналогичным способом находим общее решение |
|||||||||||||||
уравнений равновесия пластин при четных значениях |
N, |
т. е. при |
|||||||||||||
N = 2п (п = |
1, |
2, |
...). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание 17.2. Изложенным выше способом можно построить об |
|||||||||||||||
щее решение системы уравнений (16.8), (16.9) (см. [1221). |
|
||||||||||||||
2. |
Частные |
случаи. |
Приведем |
далее |
|
вид построенных решений |
|||||||||
для нескольких |
первых |
приближений. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приближение N = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и?1 = |
к*ф (Z) - гф' (г) - |
ф (г) — |
Д - , |
|
|
|
|
с с 11с ю |
02 |
«Р = |
— K\h [ф' (2) 4- ф' (2)1 4- V, |
|
||
где V — решение уравнения |
|
|
|
|
|
ДУ — Jgft». у — о |
|
||
|
c44fta |
V |
U* |
|
(17.37)
(17.38)
u+ |
= |
и*ф (г) — гф' (z) — а|)(г) — |
2сгзЛ |
dV |
|
2в1ЯА» |
5ДК |
|
|
||||||||||||
5с44 |
:=— h |
15сс3;, |
<}г |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2 |
|
|
||||||||
и<2) __ х *д2ф" до _|_ |
2 <gg4 c33 —54>) /г |
дУ _ |
2сгг/га |
с)АУ' |
|
ih |
ах |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25с44 |
|
дг |
|
7Я)?5с-44.. |
|
дг |
|
+ |
dr ; |
||||
W3° = |
— K\h 1ф' (z) + |
ф' (2)] -f У, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.39) |
||||||||
где К и |
X — решения |
таких |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ДДУ — |
С44“ |
ДУ + |
|
У = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С11Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|5^4 X = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приближение |
N = 3. |
|
|
^св^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
«+ = |
х*Ф |
— 2ф' (г) — i^ i) + |
Й У т+| 5A,”F |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т=О |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
4 ’ = X;/.W )+ 2 |
Й’л!”+| |
|
P-f |
+ |
л |
дх |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m—О |
|
|
|
dz |
|
|
дг |
|
|
(17.41) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ' |
= |
- |
и!л [ф- (г) + 54F)J + |
2 c ' ' W |
V ; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и? = |
|
2 |
сй'л2™д- v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
|
|
|
|
т = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S J= |
2 Юс'13 . |
> |
) |
__ |
S4c13 |
# |
~(0) |
__Г |
2с13с4, |
# |
л |
__ |
CCt l C33 — С13С44 . |
||||||||
|
|
* |
|
1 |
~ |
с.. |
’ |
“2 |
“ |
ССпСзз |
’ |
С2 ~ |
|
С..С... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спсзэ |
||
(2) _ |
|
42с,з (С2С1 3 + |
6 с44) . |
*<2) _ |
6 с44 . |
;<2) _ |
п . |
|
|
|
|
|
|||||||||
О — ------------ — ---------- |
> |
“I |
— |
—г--- • |
02 — и, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
СцС44 |
|
|
|
|
|
сп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) _ |
105 (6сп с33 — с\з) |
в |
^(1) |
|
42сегп г?33 + |
15c44 |
^ |
-^(1) _ |
1в |
|
|||||||||||
О -------------- г:----------- I |
С\ |
— ------------ г—: |
|
|
* |
02 — |
If |
|
|||||||||||||
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
С 1 1 С * 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с?> = |
_ |
- 45“ |
;зз |
. |
*(3) |
= |
3 |
|
+ |
5с1 Яс44) |
в |
ДЗ) — |
|
|
|
|
|
|
|||
|
■1 |
|
W |
---------~ |
|
|
» |
02 |
— v, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
t'll |
|
|
|
|
|
С11Ч4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У и X — решения уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
' |
|
|
Д3У + |
AxfT 2-A2V + |
ЛаА"4ДУ -f- Aah~6V = |
0; |
|
(17.42) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д х — я2л~ 2х = о, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1575сс|з |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'Г_сзз . |
л |
= |
|
|
|
||||||
|
|
‘л* = -!**«-; |
А ,'---- |
__________ , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
-------- |
I |
|
----- |
|
|
S. |
* |
|
» |
|
||||||||
|
|
|
|
^ |
- |
9 |
|
1 |
|
|
С |
|
|
|
|
|
C1\CU |
|
|
||
|
|
|
|
свв |
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
5сс33 (7ссп с33 — 14с,3с44 + |
Зс44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л2 --------------------- —j :
§ 18. ПОСТРОЕНИЕ ОБЩИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБЕ — КРУЧЕНИИ
1. Случай произвольного приближения я. Перейдем к построению общего решения однородной системы уравнений (J6.6), (16.7). Рас
сматривая (16.7) как алгебраическую систему относительно функций 0<2ft+i)} определяем
0(2А-Н) _ |
|
(2Й+2) |
|
(44+3)(с1з+ с,1( |
А («У |
и П - |
|
|
|
||
‘•зя |
i (4s + , ) ^ ' |
* е ю . Я— И: |
|
¥ + ¥ » |
|||
0(2rt+lJ _ |
c^h |
|
(18.1) |
|
|
||
(4я -f- 3) (ffjg -f- С44) |
|
|
|
~ ^ r S ( 4 s + l ) P W M] . |
|||
c*vl |
s=1 |
|
J |
Продифференцируем (16.6) по переменной г и рассмотрим веще
ственную часть полученного таким образом равенства. В результате получим
си Д в|2*+,> + |
4 £ (4 s + 1) |
«Й » Л а р - |
|
|
П к==П |
|
|
- - ТЙ- S (4 s + |
з ) с4«н е|!^ '1 = |
0 . A G [0 , « т . |
( 18 .2) |
пs=0
Подставляя в (18.2) значения функций из (18.1), получаем при k — 0
уравнение
ДД«§” = |
ДДиР - |
|
t |
(4s + |
I) AuS*. |
|
(18.3) |
||||
а при остальных значениях k (k = |
1, 2, |
я) — систему |
уравнений |
||||||||
дд («Г - |
« г * 1) - |
и** |
|
[ 2(4s + |
1) д («4? - “f |
») - |
|||||
|
|
|
|
|
ls=J |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
(4S+ |
0 * * * |
- |
| г |
| , (4s + |
о и в - f } |
= |
0. |
||
|
|
|
|
А €[1, я — 1]; |
|
|
|
|
|||
ДА ( « Г + |
|
|
( |
£ |
|
<*» + |
D [ а * |
+ |
(18.4) |
||
|
|
|
|
||||||||
|
s—l |
|
|
|
11 |
|
|
|
L |
|
|
|
4/ + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
Au fs) |
+ - ^ |
S ( 4 |
S + 1 ) TS'4S, = |
0. |
|||||
C l * C * i |
M |
4/t+ |
3. |
Здесь
k
S ( 4 m - l ) ( 4 1 + I).
|
Да? - |
An?»-- 3сгсаз у |
(Л |
, |
1\ .,<&» |
|
6g(gfa + g|4) vQt |
(18.5) |
|||
|
|
|
|
£ 4 (4 + |
) 3 |
|
|
С« |
|
||
где |
v0 — произвольная |
гармоническая функция. |
|
|
|||||||
Если внести теперь в (18.4) значения АДиз0) |
и Диз° соответственно |
||||||||||
из (18.3) и (18.5), то получим систему уравнений |
|
|
|||||||||
ДД (а ? 1— « f +2>) + -A - S (4s + |
I) |
|
+ |
i |
£ |
(4s + 1) ifiM * = |
|||||
|
|
|
,l“ |
s= l |
|
|
|
n |
S=I |
|
|
|
= |
— 6 (4fc + 3)(<A. + c „)e c „ £ |
(4s + 1)„ |
A € | I , B — 1]; |
|||||||
|
|
|
CilC44n |
S = I |
|
|
|
|
|
(18.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛД ( « Г + |
«?’) + |
-*r |
| |
(4s + |
I) vffA n ?1+ |
|
|||
+ - r r £ |
(4s + |
1) nffu P ' = - |
6 (4" + |
эП с»-П ,,)'*)э. J (4s + |
i) 0f> |
||||||
^ |
s = l |
|
|
|
|
|
6*UC44*1 |
|
|
S=I |
|
где |
через |
|
и г\®к) |
обозначены |
безразмерные |
постоянные. |
|||||
Частное решение этой системы имеет вид |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
- |
- Т Й Г |
“f |
|
' = 0- |
*егз. «|. |
(18.7) |
Для определения общего решения однородной системы (18.6) восполь зуемся, как и в предыдущем параграфе, операторным методом. Пе репишем данную систему в форме
2 £ *т(Д )й р “ = 0. K H . n l , |
(18.8) |
т—\
в которой (£km (Д) — операторы вида
(Д) = Л‘ДД + 5 { v f А!Д + т#1);
(Д) = Л4ДД + (4п + 1) (vgAsA + t© ;
2 . | (Д) = -£Д А<ДД + 5 ( v f ’A'A + n f “); ^44
2„„ (Д) = Л*ДД + (4п + 1) (-С л гД + Tiff),
и введем функцию w при помощи равенств
|
нз2М= (— 1)‘+! Мл (Д) w. |
(18.9) |
Здесь Мм (Д) |
миноры элементов s-й строки операторной |
матрицы |
I %sk (Д) НаХп. |
|
|
Очевидно, функция w должна быть решением уравнения
Д2пш Н- |
2*2я-1 |
+ |
—4п |
|
+ BinhT^w = О, |
где Bmi т £ [1, 2п] — безразмерные постоянные, причем В2п Ф 0.
Раскрывая в (18,9) определители и складывая, их со значениями
(18.7), получаем
2л—1 _ ,
и ? - |
m=0 |
^33 |
|
2л—1 |
(18.11) |
|
|
|
t$ k) = |
v c T h 2mAmw, |
k £ [2, nj. |
|
m=i) |
|
Согласно формулам (18.11) и равенству (18.10) моменты 0<2Л> из (18.1) преобразуются к виду
е - = |
S |
|
|
|
|
|
|
|
д«Г + |
|
|
«V |
|
/71=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9(й+11 _ |
J |
2В»+»А» - ' Л»'Ю> |
/ее 11, „ _ |
I |
(18.12) |
||||||
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в|г"+"= 2лI—1 й,г',+'|Ла"-|Д”ш- |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
(4л |
|
cf3^ |
-}- с44) |
Ли? |
|
|
6с1Я/1 |
|
ил. |
|
|
|
3) (С|3 |
|
|
(4л -f- 3) (с1а -|- с44) |
® |
|
||||||
Если исключить из (18.12) функцию w при помощи равенства |
||||||||||||
w = |
(Д2пау + B f i - ^ - ' w |
|
+ |
+ B2n - itr 4n+2Aw), |
||||||||
|
D2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то моменты (18.12) можно записать таким образом: |
|
|
||||||||||
в1" = 4 - *S' а"Лы+'&Г+'ш - чп -S ^ . '-Ди? + — ^ |
|
|
||||||||||
^ т=0 |
|
2л—1 |
|
3 (С1Я4* C4i) |
(С18 4* С44) |
|
||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
е(2Л+1) = |
2 |
i |
2V m+V |
+ V |
|1, л — 1]; |
(18.13) |
|||||
2л—1 |
|
т=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
W |
|
|
|
(Д«^0) + |
6и0). |
|||
в'“+|,= 4 |
V г;вл+"ла”+'л”'+| |
|
|
|
С-ioft |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ т2Го' |
|
|
|
|
|
(4л + 3) (Cj3-f- С44) |
|
|
|
|||
Отсюда, полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь0 = Г (г) + Р'(г), |
|
|
(18.14) |
где F (z) — произвольная голоморфная функция, и учитывая обозна
чения (16.4), получаем уравнения
Я»<1) |
я»П) |
- + |
+ - % - = |
dz |
ог |
|
, 2п—1 ^
4 - 2 a T k ^ ' ^ w - z m=0
+ -£ fk rlF'M + Ml:
a„(2fr+l> |
|
<да+1> |
. |
2я—1 л |
|
|
— Гг |
+ |
i |
= Т |
a ? 4 !* + 14 " + lB |
A ? [1 , n — l|; |
(is. 15) |
-^1 ^ - + |
|
дг |
|
|
4 |
‘I? |
|
|
|
|
|||
дг |
' |
|
|
|
2 |
rn—O |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
JO) |
|
|
|
|
||
~ 'к . + |
X |
+ |
|
lA“" |
+ |
l 2 'f 'W |
+ |
F f l l ) . |
|||||
Интегрируя |
уравнения |
(18.15), |
находим |
|
|
|
|||||||
.,01 _ |
in—I |
“•(Di.to+1 _ад“® |
|
2c1(A |
a»S* |
||||||||
V |
|
||||||||||||
+ |
- |
2 ,, ч - |
« |
|
|
й |
|
|
з(С„ + Си) |
- * - + |
|||
|
|
m=0 |
|
|
2с„л |
|
|
, |
. . a y , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2п—1 |
+ |
^ |
r |
k |
r f |
|
<*>+'• |
* |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
аУ„ |
|
|
|
||||
« Г " = |
I |
a ^ |
h |
^ |
' ^ |
L |
+ |
|
, |
|
(,8.16) |
||
|
i ^ |
f L |
|
||||||||||
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UB»+I, _ |
2/1—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ци' |
|
V |
j ; ,2„+.1й!»+.| |
|
|
|
|
|
2 /7 ] g fl |
||||||
|
вд=0 |
|
|
|
|
& |
|
|
(4;г -}- 3) [c13-f- c44) fa |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
6cish |
|
|
|
|
ay2n+\ |
|||
|
|
(4n + |
3) (c?|3 + |
£4,5) |
|
f ( z » + ; |
дг |
|
|||||
Здесь У2к+) {k = |
0, |
1, ..., |
n) — произвольные |
вещественные функции |
(решения однородных уравнений (18,15)). Для определения этих функ
ций обратимся к |
уравнениям (16.6). |
Внося в них значения моментов |
|||||||||||
(18,11), |
(18.13), |
(18.14), |
получаем |
при |
k = 0 |
уравнение |
|
||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
2cuc4ifi |
д&и^ |
|
|
|
АУ‘ - |
ттт £ |
|
|
|
|
|
+ |
|||||
дг |
<4 s |
+ |
3 > > " * + ' |
3^66 (*i3 + |
с\д |
дг |
|||||||
|
Чп—1 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
dbT+'w |
, |
^„(CjCnCaa — CisCn) Л^Т^ч __ л |
/ю ,-тч |
||||||||
V |
г»(0)г.2т |
||||||||||||
+ |
J i |
Cm |
k |
^ Г |
~ |
+ |
Cnfiniev + c j |
t |
& |
“ |
<18Л7) |
Проинтегрировав (18.17) по г и разделив действительную и мнимую части, будем иметь такие равенства:
|
2л—1Л |
|
|
____ |
|
АиР = |
S A |
2mAm+1iw — 6 [F (z) + F* (г)]; |
(18.18) |
||
|
/п=О |
|
|
|
|
А^ 1 |
S |
4- 3) Уал+1 — |
|
||
_ _ |
fccff (с13-f- С44) — сцСдд! h |
^ __р7^ )], |
(18.19) |
||
|
|
|
|
|
Свв (С1Э + С4«)
Из |
(18.18) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«1=0 |
|
|
|
|
где |
Ф (г) — произвольная |
голоморфная |
|
функция. |
|
|
|
||||||||||||||
|
При остальных значениях k {k = |
1, 2, .... л) с учетом (18.20) имеем |
|||||||||||||||||||
систему |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д К гж -----Е |
(4s + |
3) ай+ i^ s+ i = |
|
|
|
|
с^** |
б* [^' (2) — F' (г)1 — |
|||||||||||||
|
(% + ^ ,)* S| |
(4s + |
>)[г>(г)- |
гА (г) - |
|-(Ф (г ) - |
Ф(г)]}, |
(18.21) |
||||||||||||||
в |
которой |
64 = 1 |
|
при |
А£ [1, л |
|
1|; |
6п = 1 + |
|4|| + 3)(с* +> с<<)^ . |
||||||||||||
|
Равенство |
|
(18.19) вместе |
с |
(18.21) |
образует |
систему |
уравнений |
|||||||||||||
2 (л + |
1)-го |
порядка. Частное |
решение |
ее |
имеет |
вид |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
_ _ |
4 i (бССцСзз |
|
С13С44) № |
|
|
_ _ р 1 ^2 ) ] |
— |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15с33с44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
_ -d+k: {г7^>_ iF<г)+ т |
[ф (г) - |
|
: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
П |
= - |
|
4/с2спДэ |
IF7 (z)— F' (2)]; |
|
|
(18.22) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35с,44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V^sft+i = |
0. |
|
€ [2, л — 1]; |
|
|
|
|
|||||||
|
* W i = |
|
|
|
|
----- |zF(z) — zF (z) + |
-^-[Ф (z) — Ф (z)]J |
|
|||||||||||||
|
f4/i -f- 3) (c13 -j- c41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Что касается общего решения* однородной системы |
(18.19), |
(18.21), |
|||||||||||||||||||
то оно |
находится |
таким же |
способом, как и (18.11). Следовательно, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ут л = |
I |
A ^ V ^ A " » . |
|
|
|
(18.23) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/71=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где b{m+i) (k =* 0, |
1, ..., |
ц) — постоянные, а а — решение |
уравнения |
||||||||||||||||||
|
|
|
Ап+1в>+ |
ЯГ/Г2Дпсо + |
|
+ |
Я;_н /Г 2('1+1,(о = 0. |
|
(18.24) |
||||||||||||
|
Внося значения |
(18.20), |
(18.22), |
(18.23) |
в |
(18.16), |
имеем |
|
|||||||||||||
|
|
|
“+ = A [ f (г) + |
гК(Г) + v(A!K(F)---- 1- (FF)] + |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
+ |
s |
|
|
|
|
|
|
+ |
г £ |
Й'А2” -1-' ■ад?“’ ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
/71=0 |
i |
|
|
|
|
|
771=0 |
|
|
|
дг |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
v;A»F7i) + |
£ |
|
|
|
|
~ |
- + |
( |
V |
??*»♦« 2S 5 L ; |
(is.25) |
||||||||
|
|
2n—\ |
|
|
|
""0 |
|
|
|
|
* |
|
|
^To |
|
* |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u f +n = |
£ |
n |
^ |
' ’A |
^ 1U p L |
+ |
, £ |
^ |
|
V |
“ +' |
“ S |
. , |
A e [2, Я]. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|