книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек
..pdfЗдесь ф0 (z), *ф0 (2)> (г), Ф0 (г) — голоморфные функции, исчезаю щие на бесконечности; Г, Г' и D, D' — постоянные, определяемые
через усилия, изгибающие и крутящие моменты на бесконечности по формулам
Г + Г = |
I |
(23.6) |
|
||
Г' = |
(7 1 ? > _ г |,Г,+ |
2iTi?); |
D' = 16слпЬР |
|
(23.7) |
(Ми1- M ir1- |
2Ш}?5). |
Замечание 23.1. При рассмотрении второго и третьего приближе
ний приходим к таким же формулам, за исключением постоянных D -f- D', которые определяются равенством
D + D -----4 2 ^ 3 - |
+ ^ Й ’). |
(23.8) |
|
2с,ОЙ |
|
|
|
|
|
Спир. |
|
|
|
|
/71=—00 |
|
|
(23.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-!_< т<?+" = |
S |
|
|
= |
J 8 P \ |
||
|
unn |
|
|
|
|
|
|
|
Введем |
обозначения |
|
ф' (z) = |
Ф (z), я|/ (z) = Y |
(z) и |
представим го |
||
ломорфные |
функции Ф (z), Ч* (z) |
в виде |
|
|
|
|||
|
Ф М = |
Б а д - " ; |
Т ( г ) - |
т=0 |
т |
(23.10) |
||
|
|
/п=0 |
|
|
|
|
||
Очевидно, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
ао + |
«о = |
|
|
|
|
(23.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
*0 = |
4сввЛ (Г ^ ) - 7 '\Т Ч 2 /Г (12)). |
|
Второе равенство (23.2), выражающее однозначность поля перемещений, запишется таким образом:
+ £,==(). |
(23.12) |
Обозначим через щ количество вещественных (положительных) и
через л2 — комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения Д*2"*1»(Iй) = 0 из (17.31), причем л, -f- 2ла = 2л + 1. В со ответствии с этим функции Vp примем в виде
|
v , = |
Б |
СУКЛт.р)*'"*, |
[1. «,]; |
(23.13) |
|
|
т= —оо |
|
|
|
Vp = |
т=S—ооС тВ Д (Ypp) ешФ, Р £ [rtj + 1, пг + |
Л2], |
|||
/? |
, |
л |
Г |
|
|
где Ъ = ~ Т 1» |
Р = |
i f • |
|
|
Характеристическое уравнение Дга(Xй) = о имеет вещественные по ложительные корни. Поэтому функции Xs представим следующим об разом:
Х ,= S Й 5)/СгоК р )е <тф, s^ Il, л], |
(23.14) |
ft
где v, = -£- X,.
Применяя к функциям (23.13) и (23,14) операторы дифференци- рования
V |
^г).(23->5> |
г дер / ’ |
получаем формулы, отличающиеся от (21.5) множителем V2'. Если внести разложения (23.9) и (23.10) — (23.14) в граничные условия (22.12) и учесть равенство dr/ds = ie(v, то получим следующую систему
алгебраических уравнений:
-----+ |
(ур; |
СГ) = |
/1? — i f S ---------- ---- |
( Т ^ + |
7 lf); |
||
|
4 |
К - |
W + |
L-< (v . |
с Г ) - $> _ |
i/s?; |
|
"Ж" + |
Л* (Tpl dT1) — /и — |
(7 я ,) — Г|"’ + |
2Я1?1); |
||||
|
|
|
|
|
бб |
|
' |
|
|
+ ^ - 2 (У'р> |
— t/й , |
m > 3; |
(23.16) |
||
|
|
|
+ * » < v . « И - / Г т) + i f i u |
m > I; |
|||
(Ур\ |
Cm ) — ^m-2 (vsJ C^’) = |
/Ц? — f/gj», |
m > 0, |
|
И(” У - * ч . + д й » |
° |
о |
- |
+ ' А ' - |
|
/п> 1, |
|
п]; |
|
t,-c‘+" (v„; СЙ + |
К: |
ей9) = - /» +11, я > о, *е ^ |
|
где введены обозначения |
4 . |
||
|
U*—2(Vp: О |
- $ ttf2«(v,)cS> + |
|
|
nt+n| |
|
|
+ |
' s i d & w t f + f - i r s & f o j e a . ! ; |
||
|
о=п,Ч-1 |
|
|
|
L & (V . О = ё . т й * ы с ! ? + |
||
|
|
|
0=1 |
|
Я |+ Я | |
|
|
+ |
s |
1 Й 1 2 ( т » ) С Ч ( - 1 Г 'й г гадс!«„]; |
|
|
Р=п,+ * |
|
Ltri—2 (vs; С ?)«* 2 С Л (Vs) c 'f;
s=l
e |
f 2(v,;c'£>) - |
s |
|
|
^3.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
5=1 |
|
|
||
^ " ( w |
о |
= |
!:г 1 Г ,', ы |
с г + |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p=»l |
|
|
|
|
+ "’i |
f |
If f*”’1(VP) CS? + |
( - |
I f |
ST**1(yP)C % )i |
|
||||
Р-П.+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L+"°(vs; 0 |
|
= |
S i i ; B W C ? , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
s=l |
|
|
|
|
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Й,Ы - |
4‘X(T,) + -^T v^?'’zmi2(v1.); |
|
||||||||
|
|
6m±2 (v,) =» ~4дГ |
,vsZ»n±2 (vs)i |
|
||||||
ч Г ” |
(Vp) = |
ж |
|
т Г ’тр lKm+. (Tp) + K „ -, (То)]: |
|
|||||
U “° (VP) =* ж |
т<Р ъ WS!H (VP) — ЯЙ’-1 (Vp)]; |
(23.18) |
||||||||
л Г |
К ) = |
|
|
я Р |
Vs IKm+i (V.) - Km-! (vJl, |
|
||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e m ± 2 (v p ) |
= |
{'Пп»±2 (vp)> |
^»rt±2 (Y p)}> |
|
iaa
em±2(vs) = |
{r$±2 (vs); |
Й ±аК )}; |
Zm±?{Kg) = |
{/<m±2(xfl); |
(23.19) |
Н$±2 {Kg)}\ |
||
«0 = lvP; vs}. |
& = 2k, |
k” = 2 k+ \ . |
Решение системы уравнений (23.16) позволяет определить функции Ф (г), Чг (г) и Vp, х5»а по ним — моменты напряжений (22.9) или,
использовав формулы преобразования (20.5),
„{к')
СГгг
|
"гг |
, |
-(*') _ „Uf) |
| Лк"), |
|
|
"Г |
— Оц |
-j- 022 * |
||
„ { к ’) |
о |
|
_ _ / _ < * ') |
Л к ') |
— 2КТ|2 |
— Офф |
— ZlOnp |
== (CTli — 0*22 |
|||
Лк") |
■Лк") _ ,_<Г> |
• |
(Аг")чЛ<ф |
||
СГ23 — *Oq>3 =(Ц|з |
— 1сГ53 )е , |
„ 2<ф . |
(23.20) |
|
)е |
, |
где kr = 2/г, k" = 2й + 1 — моменты напряжений в полярных коор
динатах.
Определив указанные моменты, по формулам |
|
|
|||||
|
+ Офф = |
-W 2 |
<4А + 1 ) я » (0 (ой* + |
О |
; |
||
'ГГ |
= |
4 |
r | о (4А + |
1) Я » (0 (о®> _ |
og* _ 2ia?;v. |
||
|
|
|
|
|
|
|
(23.21) |
- |
((Тфз = |
Ж jj, <4* + |
3) ftiH-i (0 ( a f + ” - |
( a f +1>); |
|||
|
ff» = -ST |
£ ( « + l ) P « ( 0 < j S f |
|
|
находим компоненты напряжений пластины.
Из приведенной общей задачи рассмотрим некоторые частные слу чаи: а) одноосное растяжение пластины. Допустим, что контур отвер
стия свободный от внешних усилий. |
|
|
fbn — i f f = 0; |
= 0, k£ [0, л], |
(23.22) |
а на «бесконечности» |
пластина растягивается |
постоянным усилием |
||||
Т\Т = р {р = const). |
На рис. 12 представлены кривые изменения ок |
|||||
ружных |
усилий Гфф |
на |
контуре |
отверстия (г — R) |
в точке £ = О, |
|
Ф = -j- |
от параметра |
Rlh |
при g = |
2,6 и е — 1, 2, 3, |
а на рис. 13 — |
|
кривые изменения расщеплений силы S<pз от тех |
же |
параметров Rlh |
и е. Изменение офф по толщине пластины показано на рис. 14. Увели чение параметра е существенно сказывается на повышении нормальных
напряжений а33. Эта |
зависи |
2hff |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
мость представлена на рис. 15 |
П Voi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при значениях g = |
10; Rlh = |
|
|
|
__ $0 |
|
|
|
|
||||||||
= |
1. |
Всестороннее |
растяже |
4 4 |
- F |
~ |
|
|
|
|
|||||||
|
б) |
—J------- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ние |
пластины. Пусть Г||°’ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
Гм1= |
р (р — const). В этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
случае офф = |
2р. |
Коэффици |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ент концентрации |
не |
зависит |
o,2 |
OA |
|
06 |
6,в |
< |
|||||||||
от |
материала |
|
и |
геометриче |
|
|
|
Рис. |
14. |
|
|
||||||
ских размеров |
пластины. Это |
|
|
|
; |
|
n |
|
|
||||||||
подтверждается |
результатами |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
[661, |
полученными асимптоти |
'33\r*#;ip* |
|
|
|
11 |
|
У |
|||||||||
ческим |
методом и 189], |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
рассмотрено лишь первое при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ближение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3. |
|
|
Исследование распреде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ления |
напряжений около кру |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
гового |
отверстия |
в |
пластине |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при изгибе — кручении. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
«бесконечная» пластина, ослаб |
0,5 |
10 |
■1,5 |
|
2,0 |
ZJ5 |
|||||||||||
ленная |
круговым |
отверстием |
|
|
|
Рис. |
15. |
|
|
||||||||
радиуса |
Rt |
центр |
которого |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
в |
поле |
изгибающих |
||||||||||||
совпадает с началом координат, находится |
|||||||||||||||||
Ми03, Mi1?' и |
крутящего |
М \”] |
моментов. Кроме того, будем считать, |
||||||||||||||
|
17 |
|
|
|
|
гJ |
|
|
|
|
|
|
(2/c+l) |
(2&+1) |
(2ft) |
||
что к контуру отверстия приложены моменты огг |
, |
оГ(р |
и ог^з » |
||||||||||||||
которые относительно угловой координаты |
можно представить в виде |
||||||||||||||||
разложений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 - (о£*+1) - |
iaT") = |
|
Е |
№ +,) - |
i№+")*m<f> |
||
*^6fl |
|
|
m= —00 |
|
|
|
|
J - a g 4l= |
S |
|
|
|
- / £ ? ) . |
(23.23) |
|
|
|
|
|
||||
'Cfl |
mass— 00 |
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения F' (z) = |
f (z), |
Ф" (z) = g (z) и |
представим го |
||||
ломорфные функции f (z), g (z) |
в виде |
|
|
|
|||
f{z) = S |
anz m; |
g{z) = |
£ bmz |
m. |
(23.24) |
||
m=0 |
|
|
|
|
m=0 |
|
|
ао + Яо “ |
Л4Г + Л4ЙГ» |
|
4Clcnh* |
|
|
Ь° ~ 8слл№ (М & - |
M ir' - |
(23.25) |
2iM[?X |
а условия однозначности поля перемещений (23.3) приводятся к таким:
flj Н— г — 0: 1ш &2 — 0* |
(23.26) |
Решения wp и со, уравнений (18.31) по аналогии с п. 2 представим
таким образом:
w. = |
S |
СЙ’^ „ (Y,P)e,m». |
p e n . |
"ill |
(23.27) |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
1. я, + я21 |
|
и>, - |
2 СЙВД (YPP)elm , |
р 6 [я, + |
|
|||
/71=—oo |
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
CO. = |
2 |
C £ ,7 U v Jp )e 'm't . |
« е п . я |
+ I ] , |
(23.28) |
|
/7 1 = — OO |
|
|
|
|
|
|
где Yp — ^ kp\ |
Vj — д |
-J- 2ла 2я. |
|
|
||
Необходимо при этом отметить, что |
используемые здесь |
числа |
||||
л® (ос = 1, 2) могут не соответствовать аналогичным числам, |
исполь |
зуемым в формулах (23,13). Сохраняется лишь форма представлений.
Внося разложения (23.23), (23.24) и (23.27), |
(23.28) |
в граничные |
|||||||||
условия (22.24), получаем следующую систему |
уравнений: |
|
|||||||||
|
/?а |
+ |
L% ( t „ ; |
Со'1) - |
й Л |
(v s; С П = |
|
|
|
||
|
= |
/1? - </8 - |
-зт5— |
+ |
M 'S’)-, |
|
|
||||
Т Г ( ^ Г “‘ — |
г |
|
+ L'" (1W С1'"’) - |
|
(v> |
с? 11) - Л ’ - ‘751’; |
|||||
|
5, + Li,'1 (T„; 4 |
M) |
- «Li'1' (v,; & ') |
= |
|
|
|||||
= |
№ - |
ifIS + |
(M S ' - M r ’ - |
2 / M |
? ) ; |
|
|||||
- ^ - ^ + MU(Y,; C{„w) - |
iX™., (v,; Cj”) = /I" - |
i/й, |
m >3: |
||||||||
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
(23.29) |
C|Pfi |
■nt -f |
|
|
v?j- |
Л* |
- |
Ш |
|
h |
Л. |
|
[■ |
|
R* |
|
m |
a,m |
3^+2 |
Om+2 T* |
||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
C ? ) |
= /Й + 'Ч |
^ |
+l>, m > 0 ; k £ U ,n }; |
||
m lm 4-1)Л4 |
л(2*+1>- |
|
|
|
|
|
—----- r-0 |
u* um |
|
|
|
|
|
mh35l2k) „ |
__f — /л, . p<P>^__ |
|
^ € [I, n]; |
|
||
-f+(2fc> |
(Vs* |
,(s) |
(2A) |
|||
■ 2ууЛ+Г~ fln* |
> |
l ,n |
Cm) = /W. |
|||
|
m ^ O ; |
A ^ |0, л]. |
|
|
|
Определив функции / (z), |
|
g (z) |
и i0 „, |
cos и |
моменты напряжений |
||
(22.23) или (23.20) при k' = |
2k + |
1, k |
— 2k, |
согласно формулам |
|||
о,. + « - = ж |
Z |
<4<е + |
3> р“ +' (о |
|
+ в»*+11); |
||
о„ _ а „ _ т ы = ж |
£ ,« * |
+ 3) Р*Ы (0 ( ^ |
+,) - |
0«5+1’- 2to}“ +‘H |
|||
0,3 — *'Офз — “2^* ^ |
( 4 й + 1) P ik (£) ( а ^ |
— (ОфЗ1); |
<% = 4 г £ (4ft + 3) Рм+, К) о&‘+ ‘>
(23.30)
найдем компоненты напряжений пластины. Перейдем к рассмотрению частных случаев.
Цилиндрический изгиб пластины. Допустим, что контур отверстия радиуса г — R свободен от внешних усилий
|
/Й+1’ = /£5+1' = |
S |
= о, |
ft е №. я], |
(23.31) |
|
а на бесконечности задан один |
изгибающий момент Ml“ ’ = М (Л1 = |
|||||
= const) |
Результаты вычислений |
представлены на |
рис. 16— 19. Из |
|||
менение |
окружных |
напряжений о ^ от |
отношения |
R/h изображено |
||
на рис 16 при ц = |
2,6; 10; 20; |
40. |
На рис. 17, 18 дано сравнение с ре |
зультатами, полученными на основе решения задачи в трехмерной пос тановке 1137]. Пунктирные кривые соответствуют точному ре-
шению, а сплошные — при ближенному (с учетом трех приближений). Как видно, для толстых пластин оФЧ, по толщине изменяется нели нейно. При уменьшении относительной толщины оно приближается к линейному распределению. Изменение нормальных напряжений а33 по толщине пластины показано на рис. 19.
Кручение пластины.
Пусть контур отверстия свободен от внешних уси лий, а на бесконечности задан крутящий момент M \ V = H ( H = * const). Ре
зультаты вычислений ок ружных напряжений Офф представлены на рис. 20, 21.
Всесторонний изгиб.
Предположим что имеют
место условия (23.31) и
Mir1= м г = м, м\Т=
= 0. В этом случае отлич ными от нуля будут мо менты
М „ ~ м (1
M „ = / n ( l + - £ - ) ,
(23.32)
что вполне согласуется с результатом прикладной те ории 1941.
Равномерный изгиб плас тины по контуру отверстия. Пусть на контуре отверстия заданы значения напряжения
а„ = |
где А = |
k — коэффициент пропорциональности, Это |
||
равенство |
равносильно такому: |
|
|
|
|
2А |
® |
+ - W P*ю |
(23.33) |
где огг — |
4Л |
|
|
|
g k%t |
Opr = -gjp k%. |
|
|
/ю — <7а> = - г г - ; f S - t f S = -i r - . ocfln
Ограничиваясь случаем приближения N = 3, находим
напряжений
(23.34)
моменты
«С, = - -f - а + -ifessi- [с§Х (Tl) + ср*. (т2)1;
(23.35)
«а, — |
- Ц - » + |
[Уи х (Tl) + |
^ срлг, (vs)it |
|
где Со* и Со1— решения |
системы |
уравнений |
|
|
|
чЗ* (Tl) Cl" + Л |
(v,> с ® = |
: |
Ч?® (Ti) Ci," + rif,a fa) Ср = 0.
Согласно (23.30) напряжение афф определяется равенством
°ФФ = ~2h~ ( ^ 1 |
Ш °ФФ “Ь 7^3 (S) Офф ). |
(23.36) |
||
При v = v' = 0,3, EJE' = 1, £/G' = 2,6 и X = |
1 имеем стфф | Л==д; ^=i= |
|||
= —0,5675/г. Значение афф, |
найденное |
в [4] |
при |
помощи асимп |
тотического метода, равно су^ |
|Г=Л.£=1 = |
—0,591 Ik. |
|