книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов
..pdf
|
|
|
е2г\* |
(11.32) |
А2 (Т)) -------- ^ _ ( ' Г |
В 2 + |
“ Е Г |
|
|
■А'з (л) = |
— 180л2 Во |
|
|
|
B 'i = j |
~ j f w y2idy |
= |
l j 2> 3)- |
|
|
Значения |
0 |
|
, |
вычисленные с |
I |
|
|
|
коэффициентов S i , |
помощью Э В М |
||||||
«Минск-32», |
следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
В\ = 2,5033; |
= |
3,7713; |
В3 = 23,4310. |
(11.33) |
|||
На основании соотношений |
|
(11.31) — (II.33) |
ядро |
F (£, ц) |
||||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
||
|
F (£, л) = -А - [0,4172е3 + |
е5(0,3143т]2 + 0,0314) + |
|
|||||
+ |
е7(0,0046 + 0,0976т!2 + |
0,1627ri4) - |
е3£2(1,2516 + |
0,9428е2л2 + |
||||
+ |
0,4880eV) — е5|4(0,1571 + |
0,4880e2Ti2) - 0,0325£ве7] + |
0 (е8). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.34) |
^ ' Учитывая выражение (11.34), интегральное уравнение (11.28) решаем методом последовательных приближений. Для достиже ния упомянутой точности решения необходимо взять два прибли
жения, выбрав при этом за нулевое приближение ф(10) (£) = 1. Тогда для определения искомой функции фх (£) получим такую приближенную формулу:
ф1 (£) = 1 + е3[0,1690 + 0,0551е2 + 0,0282е4 — I2(0,5073 + + 0,1273е2 + 0,0395е4) — в2£4(0,0637 + 0,0660е2) —
|
— 0,0132е4£6] + 0 ( е 8). |
(11.35) |
||
Соотношения (11.13), (II.30) и (11.35) дают решение уравнений |
||||
(II.9). |
Определение перемещений, напряжений и предельного зна |
|||
3. |
||||
чения внешней нагрузки. В рамках концепций механики хрупкого |
||||
разрушения особый интерес представляют значения нормальных |
||||
перемещений uz (г, 0) и |
растягивающих |
напряжений |
az (г, 0), |
|
действующих в плоскости расположения трещины. Для их вы |
||||
числения |
воспользуемся |
соотношениями (II.8), (11.13), |
(11.15) — |
|
(11.17), (11.22) и (11.35). |
коэффициентов |
Вп из формулы (11.13) |
||
Подставляя значения |
||||
в первое соотношение (II.8), для определения нормальных смеще |
||||
ний точек |
поверхности торца z = 0 полубесконечного |
цилиндра |
получаем формулу:
£ |
2 у |
/р (Xnp) cos (lnt) |
|
(р> 0) = -тг J ф (0 |
|||
|
dt, |
||
п |
L £ |
V o 2 W |
е < р < 1.
Учитывая, что в рассматриваемом цилиндре с внешней коль цевой трещиной нормальные смещения точек перешейка трещины равны нулю, и используя соотношение (11.36), для определения нормальных смещений поверхности трещины можно записать такую формулу:
М г , 0 ) = А, + «(‘>(-2г , О ) , d < 2r < £ , |
(11.37) |
где величина X находится из равенства (11.25).
Выражение в квадратных скобках (11.36) заменим его значени ем по формулам (11.15) — (11.17). В результате этого, а также ис пользуя соотношение (11.25), формулу (11.37) представим в виде
иг (Г, 0) = (1 Р~ + X D J ф dx +
d < 2r < D, |
(11.38) |
где L |x , -— j и g (x) определяются соотношениями (И .17) и (11.25).
На основании соотношений (11.17), (11.25), (11.27) и (II.30) выражение (11.38) преобразуем к такому виду:
, |
Лч |
Р (1 - |
v) |
Р (1 - |
v) |
г ...г |
|
D |
. |
|
Uz (Г) |
~ |
2pd |
|
|
яр£> |
|
J ф1© { |
/ 4г2 -Щ ъ |
+ |
|
+ - 4 1 ~Й £ ) |
[у 1 « ( 4 г |
у) - |
4 |
- sh |
ch ^ |
dy) |
|
|||
|
° |
|
|
d < |
2г < |
D. |
|
|
(11.39) |
Соотношения (11.35), (11.39) и определяют нормальные смещения поверхностей трещины.
Для дальнейших исследований необходимо знать значение пере мещений их (г, 0) на внешнем контуре трещины, т. е. при 2г = D. Это значение найдем следующим образом. Выражение, стоящее в соотношении (11.39) под знаком интеграла с верхним неограни ченным пределом, раскладываем в ряд по степеням £, полагая при
этом 2г = |
D. В результате этого получим |
|
|
|
|||
J 4 м</Г [у /° ^ — |
г sh (ег/) ] ch &еу) dy = S |
с^2' + 0 |
(п -40) |
||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
где |
C0 = D0- B \ - ^ - - B 2 е' |
■в* |
5040 |
|
|||
|
|
|
120 |
|
|
||
|
ci — Dx- |
W |
g4 __ z>’ |
e° . |
|
|
(11.41) |
|
B<1 |
12 |
240 ’ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
C2 = D2^ |
- - B 3- 144 |
c\ = D3 |
720 * |
|
В соотношении (11.41) коэффициенты В\ определяются по фор муле (11.32), а коэффициенты Di — из соотношения
ООD
n .= |
V |
**+* |
(11.42) |
1 |
^ |
/М\292ft |
|
|
£ |
(W)22z |
|
Используя соотношения (11.32), (II.33) и (11.42), коэффициенты Z?i вычисляем с помощью ЭВМ «Минск-32». При этом получим, что
П0= 0,6989; Dx = 1,5047; П2= 15,8619; D3= 404,5680. (11.43)
Подставляя в (11.41) вместо Bi и Di их значения из (II.33) и (11.43), находим, что
ОО |
|
j |
(у)-----L sh (еу)] ch (£еу) dy = 0,6989 - 0,4172еа - |
оL
— 0,0314е4 — 0,0046еб + |2е2(0,7524 — 0,3143е2 - 0,0976е4) +
+ £4е4(0,6609 — ОД627е2) + 0,5619£6е6 + 0 (е8). (11.44)
Для нахождения нормальных смещений на внешнем контуре трещины при 2г = D подставим выражения (11.35) и (11.44) в (11.39) и, производя необходимые вычисления, получаем такую приближенную формулу:
иг (.5 ., о) = |
(! — 0,9198е - 0,0387е3 - |
0,0461еБ+ |
+ |
0,0281ев — 0,0327е7) + 0 (е8). |
(11.45) |
Значение растягивающих напряжений аг (г, 0), |
действующих |
в области 2г <1 d перешейка трещины, будем определять на основа нии соотношения (11.22). Если в соотношение (11.22) подставить выражение (II.30), найдем, что
, |
л, _ |
Pd |
_ d _ |
Г |
у |
Eg>f (£) <4 |
m |
|
z (Г’ |
) |
2n |
rdr |
) |
|
_ 4ra |
( • ) |
|
|
|
|
|
2r/d |
|
|
|
|
Продифференцировав |
(11.46), в правой части получим |
|
||||||
„ /я л, |
2РФ1(1) |
___ 2Р_ |
(* |
Фх (6) ^ |
(11.47) |
|||
|
n d f d * - 4r* |
|
nd |
J |
|
V l 2d * - 4r* ' |
|
|
|
' |
|
|
2r/d |
|
|
||
На основаняи соотношений (11.35) и (11.47) для вычисления рас |
||||||||
тягивающих напряжений az (г, 0) найдем |
|
приближенную формулу |
||||||
az (г, 0) = — |
|
[1 _ |
6,3382es - |
|
0,1359е5 — 0,0904е7 + |
|||
jtdVd2 —4г2 |
|
|
|
|
|
(П.48) |
||
|
|
+ 0 (е8)] + |
0 (1), |
|
|
|
||
где 0 (1) — ограниченная величина при 2г —►d |
|
Предельное значение внешней нагрузки определяем в соответ ствии с расчетной моделью Гриффитса — Ирвина из критериаль ного уравнения (1.1). Коэффициент интенсивности напряжений К г, входящий в уравнение (1.1), находим на основании выраже ний (1.2)'и (11.48). В результате имеем
К г = ] ^ = - (1 — 0,3382е3 — 0,1359е6 — 0,0904е7) + 0(ee). |
(11.49) |
||
Используя соотношение (11.49), а также уравнение (1.1), нахо |
|||
дим предельное значение внешней нагрузки Р = Р*: |
|
||
Р* = |
K ic [1 + 0,3382е3 + 0,1359е8 + 0,1144е« + |
|
|
|
+ 0,0905в7 + |
0 (е8)]. |
(11.50) |
Погрешность результата, получаемого по формуле |
(11.50), |
||
как и в [2,186], увеличивается при е |
1. Для достижения замкну |
того решения, включающего величины е, близкие к единице, поступим следующим образом. Заметим, что в граничном случае рассматриваемой задачи при 8 ->■ 1 из соотношения (11.50 ) долж но следовать предельное значение внешней нагрузки для полу-
плоскости с поверхностной трещиной длины -у (D — d). На осно
вании [105], а также результатов гл. III данной монографии это значение предельной нагрузки для полуплоскости с трещиной в принятых здесь обозначениях можно записать в виде
р* |
OAOUndVdK.. |
ПРИ 8 1. |
(11.51) |
|
— 7— ,, |
7=— |
|||
|
2/2 е |
/ 1 — е |
|
|
Из формулы (11.51) следует, что замкнутое решение для рассмат риваемой задачи можно представить так:
|
/< е )* 1е . ^ |
P V T ^ e , |
(11.52) |
|
/ 1 — 1 |
/(е) |
|
|
|
||
Сравнивая формулы (11.50) и (11.52), устанавливаем, что |
|||
/ (е) = |
[1 — 0,5000е — 0,1250е2 + 0,2757е3 — 0,2082е« + |
||
+ |
0,0663е5 + 0,0048ев — 0,0130е7 + 0 (е8)]. |
(11.53) |
Подставляя выражение (11.53) в первое соотношение (11.52), получаем формулу для определения предельного значения внешней нагрузки Р = P# при 0 < 8 < 1. Эта формула имеет вид
= / У ndf i c |
— 0,5000е — 0,1250е2 + 0,2757е3 — 0,2082е4 + |
*У 2 / 1 —в
+ 0,0663е5 + 0,0048е* — 0,0130е7 + 0 (е8)]. |
(11.54) |
На рис. 6 представлены гра |
(0)------ |
|
тг |
|||
t |
|
|||||
фики (кривые 1 — 5), построен |
|
|
1 |
|||
ные по формулам (11.50), (11.51), |
$ |
|
1! |
|||
(11.54) и |
характеризующие из |
|
|
Ji |
||
менение |
предельного |
значения |
6 |
|
V/ |
|
внешней нагрузки Р = Р% в за |
|
|||||
висимости от безразмерного па |
|
2 |
V |
|||
раметра |
е, где |
|
|
|||
рФ) __ р * |
|
|
\ |
ft— |
||
|
> |
3 )У |
||||
|
|
dVndKic |
|
У/-1 |
||
Кроме того, на этом рисунке в |
|
|
|
|||
виде точек |
нанесены |
значения |
|
|
|
|
предельной |
нагрузки, |
установ |
Рис. 6. Зависимость разрушающего |
|||
ленные в работе [186] по интер |
||||||
поляционной формуле Нейбера |
значения внешней нагрузки от глу |
|||||
бины трещины. |
|
|
||||
[74]. Как |
следует из |
рис. 6, |
|
|
внеш |
|
формула (11.54) позволяет определять предельное значение |
||||||
ней нагрузки Р = P# почти при всех значениях е (0 ^ |
е < |
1). |
3.Обобщенная задача для цилиндра
свнешней кольцевой трещиной
1.Постановка задачи и метод ее решения.
Пусть длинный цилиндр с внешней кольцевой трещиной (см. рис. 5) растягивается усилиями Р , направленными вдоль его оси. Тре буется определить значение внешней нагрузки Р = Р%, при до стижении которого произойдет разрушение цилиндра. При этом предполагается, что разрушение реализуется по квазихрупкому механизму.
Решение задачи осуществляем аналогично расчетной схеме бк-модели (см. параграф 2 гл. I)- В рамках этой модели считаем, что в момент предразрушения тела в окрестности контура тре щины возникает область, где материал тела деформирован за пре дел упругости. В этой области происходит в первую очередь раз рыхление материала микротрещинами, что приводит к раскрытию магистральной трещины в ее тупиковой части (рис. 7, а). Если это
Рис. 7. Схематическое изображение зоны предразру шения в окрестности контура трещины.
раскрытие 2иг достигает некоторой величины бк, то происходит разрушение тела, т. е. условие распространения магистраль ной трещины определяется соотношением (1.5).
Физический механизм появления и взаимодействия микротре щин в зоне предразрушения около контура магистральной трещи ны еще недостаточно изучен. На основании 6к-модели развитие этой области в процессе нагружения тела будем усредненно опи сывать двумя характеристиками xQ и а0, т. е. будем считать, что в области предразрушения (рис. 7, б) на продолжении трещины действуют напряжения
oz (г, 0) = а0 при d1 = d — 2х0< 2г < d, |
(11.55) |
где х0 — длина зоны предразрушения.
Таким образом, на основании изложенного, а также условия симметричности напряженно-деформированного состояния в ци линдре относительно плоскости трещины задача сводится к опре
делению упругого равновесия для полубесконечного |
цилиндра |
|||||||||
со следующими граничными условиями: |
|
|
|
|
||||||
Uz = — X |
при |
0 < |
2r < |
d — 2х0, |
z = 0; |
|
||||
oz = <*0 |
при |
d — 2х0< 2 r<zd, |
z = |
0; |
(11.56) |
|||||
oz = 0 |
при |
d < |
2r < |
D, |
|
z = |
0; |
|||
|
|
|||||||||
Ттъ ~=0 |
при |
0 < |
2г < |
D, |
z > |
z = |
0; - |
(11.57) |
||
ч II |
а |
при |
2г = D, |
0. |
|
|||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина X определяется из условия равновесия |
|
|||||||||
di/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2п ^ |
oz (г, 0) гdr = |
Р — жт0(x0d —х%). |
(11.58) |
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку для рассматриваемого тела радиальные смещения |
||||||||||
на боковой поверхности цилиндра пренебрежимо |
малы по сравне |
|||||||||
нию с осевыми смещениями, можно принять |
следующие гранич |
|||||||||
ные условия на боковой поверхности: |
|
|
|
|
||||||
ит= |
0, |
тгг = 0 |
при |
2г = |
D, |
z > |
0. |
(11.59) |
Это допущение, очевидно, внесет незначительную погрешность при исследовании поставленной здесь задачи.
Так как касательные |
напряжения в плоскости расположения |
|
трещины (z = 0) равны |
нулю, решение упругой задачи можно |
|
представить через одну |
гармоническую функцию X (г, |
z), кото |
рую выберем в виде разложения |
|
|
Х (г’ z) = ~2 (1 - V) 2 lnZBnJо (E„r) e~tn\ |
(Н.60) |
Здесь Вп — неизвестные коэффициенты; v — коэффициенты Пуас сона.
Uz = |
2 (1_v) |
2 |
^п^0(^>пГ) в ^п + 2 ? n BnJ0(gnr) е 71, |
|||
|
|
|
7 1= 1 |
|
7 1= 1 |
|
Ur = |
~2(i —v) |
2 |
|
1(^ r) e~lnZ — |
||
|
|
|
7 1= 1 |
|
|
|
~ |
21(r_2Vv) | |
6»‘а |
д (£„r) e "6»’; |
|
||
|
|
n_1 |
„ |
|
! (П-61) |
|
* |
= |
- T = V ~ \ 2 2 |
(Enr) |
+ |
l7 1= 1
+2 а д ( Ь . г ) е - Ч ;
n=l |
J |
|
Тгг — I ^ v |
2 ^^71*^1 (?71г) e |
. |
|
7 1= 1 |
|
Используя соотношения (11.61) и удовлетворяя граничным условиям (11.59) и (11.56), для определения неизвестных коэффи
циентов Вп получаем парные уравнения |
|
|
|
|
||||
2 |
^7i |
(Чпр) — fi (р)> |
0 ^ р < с; |
|
|
|||
7 1= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(11.62) |
2 |
ВпJо (Т1пр) = |
/2 (р )» |
с<С Р ^ |
1 . |
|
|||
|
|
|||||||
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
2т* |
п |
rvci |
_ |
d |
2jg |
|
|
|
Р = j} » |
= |
|
С |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
—ц — Сто» |
С < |
р < |
е; |
|
U (р) = - - 1 г ; /« (р) = |
|
г' |
|
|
|
|
||
|
0, |
|
б < |
р < |
1. |
|||
|
|
|
|
|
||||
Удовлетворяя равенства (11.59), получаем трансцендентное |
||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jo (Лп) = о, |
|
|
|
(11.63) |
где т)п (п = 1, 2, 3, ...) — положительные корни уравнения (11.63), расположенные в порядке возрастания величины.
Решение парных (рядовых) уравнений (11.62). Неизвестные коэффициенты Вп определим, как и в предыдущем параграфе. Положим
Вп = сп + Ап ( л = 1 , 2, 3 ...), |
(Н.64) |
где коэффициенты А п удовлетворяют уравнениям
2 м м |
= | . , ° ; |
0 < р < "; |
(11.65) |
п=1 |
1/ 2(Р)> |
С < р < 1. |
|
На основании формулы для определения коэффициентов раз ложения Дини, приведенной в работе [15], а также соотношений (11.65) , находим
Ап = -----2(1- Д ° ° [ x j0(ть,*) dx. |
(11.66) |
Коэффициенты cn определим таким образом:
| « Л ( 1 п Р ) |
-------( 0 < Р < ‘ ): |
(П.67) |
Л |
Р |
|
Используя второе уравнение (11.62), соотношения (11.64), (11.65), (11.67), а также формулу для установления коэффициентов разложения Дини [15], для вычисления коэффициентов сп полу чаем такую формулу:
|
|
с |
|
с„ = |
2 |
j Ф (0 cos (r\nt) dt. |
(11.68) |
|
"'О ''Ьг' |
о |
|
Нетрудно проверить, что при выполнении равенств (11.66) и (11.68) значения коэффициентов Вп, определенные по формуле (11.64), будут тождественно удовлетворять второму уравнению (11.62). Подставляя выражение для Вп из (11.64) в первое уравне ние (11.62) и учитывая при этом соотношения (11.66) и (11.68), для нахождения неизвестной функции ф (£) получаем уравнение
jq>W 22 |
Л (лпР)cos ( у ) |
dt = |
___ 2Х_ |
|
||||||
|
V o |
(’In) |
|
|
D + |
|
||||
|
■ 7 1= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
(1 —•v) g0 |
р |
2 V |
J° |
|
KiP) |
dx |
|
||
|
р |
) |
l h |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(0 < p < c ) . |
|
|
|
|
(11.69) |
||
G учетом выражений (11.15) — (11.17) уравнение (11.69) можно |
||||||||||
записать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iV ^ |
- |
' = a)(p)’ |
0<р<с> |
|
|
(iL70) |
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Ф(р) = |
— |
з г + |
{ ф (0 М *. р) * |
+ |
|
|
|||
|
|
е |
г |
оо |
J« ( у ) Л (у>) |
|
|
|
||
+ |
(1 — V) ст„ |
J* 22 |
|
{dx. |
(11.71) |
|||||
|
ц |
CJ ’’ L £ |
|
V o ( ’in) |
|
|
|
а L (г, р) определяется выражением (11.17).
Для решения интегрального уравнения (11.70) используем результаты работы [68]. Аналогично, как и в предыдущем пара графе при решении интегрального уравнения (11.18), получим
t
_2_ |
рФ (р) dp |
(11.72) |
|
ф (t) = Я |
■J Vt* —р2 |
||
|
Подставляя в уравнение (11.72) вместо функции Ф (р) ее выра жение (11.71), задачу сводим к решению следующего интегрального уравнения Фредгольма II рода:
С |
|
Ф (t) = h (t) + F (t) + j ф (и) К (t, u) du, |
(11.73) |
0 |
|
где функция h (£), F (t) и ядро интегрального уравнения К (t, и) определяется так:
4Я
|
|
|
|
|
ziD |
1 |
|
(11.74) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
f |
|
|
F(t) = 4 (1 — v) а0 (* ^ |
|
^ |
|
[" |
^ |
(* |
Р^о (^nP) |
|
|
^ |
c |
n~ 1 |
v » w |
L Л |
J |
|
|
||
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
p£ (и, |
p) tfp |
|
||
|
К (f, |
M) |
2 |
d |
^ |
(11.76) |
|||
|
я |
Л |
.) |
]/ *2 __ p2 |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
На основании соотношения (11.17) ядро интегрального уравне ния К (t, и) можно записать еще в таком виде:
со
К (t, и) = -i- - f |
^ [2/1(г/) — у ch (fy) ch (uy)] dy. (11.77) |
6
В выражении (11.75) можно вычислить внутренний интеграл
Р-Л» (V ) Ф
cos(Л„0 - (11.78)
На основании равенств (11.15), (11.17), (11.78) соотношение (Н.75) приведем к виду
|
е |
1 |
F(t) = |
2 (1 — у) с0 |
|
|
лц |
/ г 2—! 2 |
- 2- 4 j |
[2/i (l/)- |
ych{ty)Io(ху)]dy) dx' (II-79) |
и
*w = -ж+\*(*)(4 -+ 4 -]jrrw[2/i{у) ~
о о
- УсЬ Ш ch Ш |
dy] dx + -2 (1~ V)a° j x {- y j= = r - - |
|
c |
CO |
|
— 2 |
[2/ 1(y)— y ch (ty) / 0 (xy)] dy} dx. (11.80) |
0 |
|
Исходя из соотношений (11.61), (11.64), (11.65) и (11.67), на ходим, что нормальные растягивающие напряжения az (г, 0), действующие в области перешейка трещины (0 < 2r < dx), будут определяться, как и в предыдущем параграфе, формулой (11.22). Подставив выражение (11.22) в уравнение равновесия (II.58)^ найдем
2л \ [ т = т - т г 4 - $ - у ш ё я Г ] ^ г = Р - я а 0( х ^ - ^ .
0 |
2г/п |
(И .8 1 )
Производя необходимые вычисления в левой части соотноше ния (11.81), получаем
~2cT -v) |
J Ф ( * ) * = ■ — ■? + ™r0 (xod— аф- |
(И.82) |
; |
о |
|
На основании соотношений (11.80) и (11.82) искомую величину А, определяем по формуле
■й-= [ 4 v*=*- |
+ -Jr— « -f - т * - |
-(>*-«•)] +
4 (1 - V)ст0 |
, 2 |
а\ |
Г * i (г/) |
Л. , |
4(1 — v) ст0 |
Г |
^ (!/) |
w |
|
л*» |
( Ъ - |
С >) |
~ у |
ау + |
Щ Гс |
|
) |
y 4 t (y) |
Х |
|
|
|
о |
|
г |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X sh (су) [8/! (еу) — cly (су)] dy + Г <р (х) |
|
|
+ |
|
|||||
|
оо |
|
|
|
О |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 ~ j |
[2/ 1М ~ ~Г sh ^ ch (*У)] dy\ dx- (п -83) |