книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов
..pdfгде
2 |
_ |
Ji_ |
2 - 2 v . |
iL |
(1.30) |
c i |
— |
Я |
1 — 2v ’ |
A, |
e |
Уравнение (1.28) является однородным волновым уравнением со скоростью распространения волны с±1 показывающей, что часть перемещения, соответствующая функции фх, переносится со ско ростью с±. Из соотношений (1.26) следует, что в этом случае объем
ное расширение 0 = |
удовлетворяет |
волновому |
урав |
нению с той же скоростью. В сейсмологии эта |
волна называется |
||
первичной волной или волной |
уплотнения — разрежения, |
обус |
ловливающей изменение объема.
Уравнение (1.29) свидетельствует о том, что часть перемещения, соответствующая функции ф1? переносится с меньшей скоростью с2. В сейсмологии эта волна называется вторичной волной или вол ной сдвига, обусловливающей искажение элемента без изменения его объема.
Рассмотрим теперь случай осевой симметрии тела. В цилинд рических координатах г, a, z физические компоненты перемещения
можно |
записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
и -- |
(^f, |
^сс» ^z)» |
|
|
|
|
(1.31) |
|
С учетом условия осевой симметрии напряженно-деформирован |
||||||||||||||
ного состояния |
тела |
уравнение |
движения упругого |
тела (1.24) |
||||||||||
приведем к такой скалярной форме [130.]: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 — V |
д щ . Л- - дщ _ |
А, |
д*иг |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
|||||||
|
|
|
1 — 2v |
дг |
|
dz |
2ц д р ’ |
|
||||||
|
|
1 — V |
д щ |
|
1 д (гсо2) |
|
|
А, |
д*иг |
|
|
|||
|
|
1 — |
2v |
dz |
|
г |
дг |
|
|
2|х |
dt2 |
’ |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
д (ru r) |
- + |
d iiz |
Щ |
|
|
дит |
диг |
|
||
|
’1 |
- |
г |
дг |
dz |
|
|
dz |
|
дг |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение дифференциальных уравнений (1.32) представим так: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ят |
дфг |
# |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
дг |
dz |
’ |
|
|
|
(1.33) |
|
|
|
|
|
|
_ |
дфа |
0 (гфа) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Uz ~ |
dz |
|
|
дг |
|
|
|
|
|
|
ГД0 Фгу |
Фг — искомые |
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя выражения (1.33) в (1.32), получаем |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
^2Фг I |
1 |
Зфа |
| |
д2Фа |
|
\ |
32Ф2 |
I |
|
|
|
|
1ч дг2 |
1 г |
дг |
1 |
dz* |
|
) |
а<2 |
J |
|
|||
- - э |
д - |
|
|
+4 |
афа |
, |
^фа |
|
^2 \ |
02фа |
1 _ |
|||
дг* |
дг |
1 |
dz* |
|
|
г2 |
dt* |
|
|
д |
|
Г 2 ( |
д2фа |
_| |
^Фг |
I _£^Фг_\ |
д2фг |
*[ ■ |
(1.34) |
||
|
dz |
[ 1 |
у |
dr2 |
“Г г |
|
dr |
”Г dz2 j |
дР |
J 'Г |
|
|
1 |
в - |
Г-2 / |
Д*Ч>1 | |
1 |
аФг |
, |
____Фа N |
д2фа |
= 0. |
|||
Т " |
"dT |
[ |
2 ^ |
dr2 _Г |
г |
дт |
_ r |
dz2 |
г2 j |
а<2 |
|
Отсюда непосредственно следует, что частные решения урав нений (1.32) можно получить на основе частных решений урав нений
|
д2фа |
+ |
|
|
+ |
дгфа |
д2фа |
|
0; |
|
|
|
«(■dr2 |
5^2 |
дт |
dz2 |
d/2 |
|
= |
(1.35) |
|||
с2 ( |
<э2ф2 1 |
1 |
, |
^2Фг |
Фа \ _ |
д2фа |
= 0. |
|
|||
С2 ( |
dr2 |
г |
dr |
1 |
|
dz2 |
Г2г2 ) |
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
На основании соотношений (1.15) и (I.i напряжений, действующие в :ПЛОСКОСТЯХ Z = так:
1 |
гг |
--- |
V |
|
^2фг |
| |
02фа |
2р |
U Z --- |
2v) |
с\ |
di2 |
1 |
dz2 |
|
|
|
а - - |
|
|
|
||
|
|
1 . т |
_ |
д2ф2 . |
1 .. |
52Фа |
|
|
|
2р 1 rz |
|
drdz |
|
24 |
5/2 |
d2 (гф2)
+ -Г- drdz
(1.36)
дфг
dz2
Как в случае плоской деформации, так и при осевой симметрии напряженно-деформированного состояния бесконечного однород ного изотропного тела любое возмущение может быть представлено с помощью наложения первичных и вторичных волн. Однако если среда неоднородна или ограничена, возникают другие типы волн. Наиболее важными из них являются поверхностные волны, ко торые могут распространяться в окрестности границы упругого тела.
Г Л А В А
РАСТЯЖЕНИЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА С ВНЕШНЕЙ КОЛЬЦЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
Стандартизация методов определения ха рактеристик К\с и бк трещиностойкости [9, 82, 118, 145] конструк ционных материалов требует подбора простых в эксперименталь ном осуществлении силовых схем разрушения образцов с трещина ми, для которых имеются соответствующие теоретические решения. Одна из таких силовых схем — растяжение цилиндрического об разца с внешней кольцевой трещиной. В отличие от схемы, когда применяют плоские образцы с трещинами, эта силовая схема реа лизует локальное состояние плоской деформации вдоль всего кон тура трещины, что соответствует расчетным моделям. Кроме того, описанная в гл. VI методика простого изготовления цилиндриче ских образцов с внешними кольцевыми трещинами также свиде тельствует в пользу выбора этих образцов в качестве базовых для определения характеристик К\с и 6К.
Настоящая глава посвящена решению задач о распростране нии трещин в хрупких и квазихрупких телах, в частности задач о предельном равновесии цилиндрического образца с внешней коль цевой трещиной. Для этого случая разработан теоретический под ход к определению предельно-равновесного состояния с учетом пластических деформаций в вершине трещины, а также получены уравнения для установления размеров трещины и образца, при которых выполняются условия автомодельности распростра нения трещины в процессе растяжения цилиндрического образца.
1. Обзор работ, посвященных решению упругой задачи
Образцы цилиндрической формы давно при меняли для определения прочностных свойств конструкцион ных материалов. Такие образцы часто ослабляли кольцевым надре зом с определенным радиусом закругления. Теоретические расчеты концентрации напряжений у вершины надреза в процессе растяже ния образца были проведены Нейбером [74] на основании предло женных им формул интерполяции. Если в установленных в [74]
формулах положить радиус закругления у вершины надреза равггым нулю (р = 0), то получим решение для упругого цилиндра с внешней кольцевой трещиной. Такой подход использовал Ирвин [194], который впервые нашел приближенное значение коэффи циента интенсивности напряжений для упругого цилиндра с внеш ней кольцевой трещиной с помощью экстраполяции соответствую щих формул концентрации напряжений около кольцевого надреза. В дальнейшем аналогичную идею при решении упомянутой задачи применяли и другие авторы [168, 225, 259], внося при этом допол нительные уточнения на основании приближенных анализов. Сравнение теоретических результатов [168, 194, 225, 259] и некото рых экспериментальных исследований [208] дано в работе [186]. Ее автор определил также коэффициент интенсивности напряжений в упругом цилиндре с внешней кольцевой трещиной, используя при этом только выражение для коэффициентов концентрации на пряжений в кольцевом надрезе [74] и не проводя дополнительной экстраполяции. Полученная им формула имеет следующий вид:
<и-‘ >
где Кг — коэффициент интенсивности напряжений; Grnet — растя гивающее напряжение в нетто-сечении; е = d/D\ d — диаметр перешейка трещины; D — диаметр цилиндра.
Выражение (II.1), как и интерполяционная формула Нейбера [74], дает наибольшую ошибку при е « 0,7. Аналогичный под ход был использован также в работе [155] при решении рассмат риваемой задачи с учетом возможной эксцентричности и эллиптич ности перешейка трещины. При этом установлена следующая при ближенная формула:
1 |
2 / я аЪ |
^ |
L V |
i + g +• / 1 +0,5625? X |
|
|
|
cos у sin р |
|
sin у cos р |
(П.2) |
|
|
X (- |
+ |
Р |
|
|
|
|
|||
Здесь Р — сила, |
растягивающая |
цилиндрический образец; г0, |
у — полярные координаты точки пересечения оси стержня с плос
костью |
перешейка |
трещины; |
R — радиус |
цилиндра; |
£2 = ab X |
|||||
X (а2 cos2 Р + |
Ь2 sin2 P)““l/l; |
ау |
Ъ— полуоси |
эллиптичности |
||||||
перешейка трещины; |
= |
г0/й; х = |
г, |
р — полярные ко |
||||||
ординаты с |
началом в |
центре |
эллипса; |
g |
= 0,199 |
X |
||||
X V i + х2. |
|
когда |
трещина |
становится |
концентрической |
|||||
В |
частности, |
|||||||||
(а — Ъ= Q, |
г0 = |
0), |
формула (II.2) совпадает с выражением |
|||||||
(II.1). Формулы (II. 1), |
(II.2), |
а также решения, полученные в ра |
ботах [168, 194, 225, 259], являются приближенными, и точность их строго математически не установлена.
В более точной постановке задача об упругом равновесии ци линдра с внешней кольцевой трещиной была рассмотрена в работе [264]. Решение задачи осуществлено численным путем только для отдельных значений е.
Аналитическое решение задачи теории хрупкого разрушения для упругого цилиндра с внешней кольцевой трещиной получено в [83] на основании решения задачи о вдавливании жесткого штам па в торец упругого цилиндра [8]. В результате для коэффициента интенсивности напряжений установлена следующая приближенная
формула; |
|
■[1 — 0,339е3— ОДЗбе5+ 0 (е7)]. |
(Н.З) |
d у nd |
|
Достаточная точность полученного решения обеспечивается при
е< 0,7.
Вработе [187] рассмотрена задача о предельном равновесии растянутого цилиндра с кольцевой трещиной с учетом концепций 6к-модели [82]. С помощью метода конечных элементов найдено решение задачи для некоторых значений е = d/D.
Случай кручения и растяжения упругого цилиндра с внешней кольцевой трещиной исследован в [111], где решение задачи осу ществлено (по аналогии с подходом, который развивается в работе [8]) на основании метода парных рядов и представлено в виде асимптотических разложений по е. Задача исследована в точной
постановке, однако асимптотическое |
разложение |
решения |
по е |
не дает замкнутости в том смысле, что |
погрешность |
решения |
при |
8 -*■ 1 неограниченно возрастает.
В [2] задача о растяжении упруго-го цилиндра с внешней коль цевой трещиной исследована аналогично, как и в работах [8, 83], с помощью метода парных рядов. Установленное решение годится для всех значений в при 0 < е < 1. Кроме того, для указанной задачи рассмотрен случай развития малых пластических деформа ций в окрестности вершины трещины и установлена предельная нагрузка по 6к-критерию [82]. Результаты [2] положены в основу излагаемого в этой главе материала.
2. Предельно-равновесное состояние цилиндра с внешней кольцевой трещиной при условии автомодельности зоны предразрушения
1. Постановка задачи и метод ее решения.
Исследуем длинный упругий цилиндр диаметра D , который ослаб лен внешней кольцевой трещиной с внутренним контуром диамет ра d (рис. 5). Пусть такой цилиндр растягивается усилиями Р, направленными вдоль его оси и приложенными вдали от плоскости расположения трещины. Задача состоит в определении такого
27
минимального значения внешних усилий Р = = Р%, по достижении которого произойдет распространение трещины.
Введем систему цилиндрических коорди нат г, a, z таким образом, чтобы ось Oz была направлена вдоль оси цилиндра, а начало ко ординат совпадало с центром перешейка тре щины. Решение задачи осуществляем на ос новании модели Гриффитса — Ирвина [193], используя критерий локального разрушения (1.1). При этом предполагается, что имеет место условие автомодельности зоны предразрушения в окрестности контура трещины. Это значит, что размеры зоны предразрушения настолько малы по сравнению с размерами образца и трещины, что она соответствует случаю зоны предразрушения возле вер шины полубесконечной трещины в неограни ченном теле при состоянии плоской де формации.
Расчетная схема Ирвина не дает математи ческого описания условия автомодельности зоны предразрушения, что осложняет выбор
размеров образцов и трещины при экспериментальном определе нии характеристики трещиностойкости материала К\с.
Как следует из гл. I данной монографии, решение задачи сво дится к установлению растягивающих напряжений ст2 (г, 0) в об ласти перешейка трещины. Используя условие симметричности напряженно-деформированного состояния в цилиндре относитель но плоскости трещины, задачу сведем к определению упругого равновесия для полубесконечного цилиндра со следующими гра ничными условиями:
и2 = |
— X |
при |
2г < |
d, |
|
2 = 0; |
|
о2 = 0 |
при |
d<z2r<c.D, |
2 = |
0; |
|||
тГ2= |
0 |
при |
0 < |
2г < |
D, |
2 = |
(И.4) |
0; |
|||||||
ог = |
тГ2= 0 |
при |
2г = |
D, |
|
2 ;> 0, |
|
при этом перемещения и |
напряжения на бесконечности равны |
||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
Величина X находится из условия равновесия |
|
||||||
|
|
d/2 |
|
|
|
|
|
|
2л j о2(г, 0) rdr = |
Р . |
|
(И.5) |
о
Поскольку для рассматриваемого тела радиальные смещения на боковой поверхности цилиндра пренебрежимо малы по сравне нию с осевыми смещениями, можно принять следующие граничные
условия на боковой поверхности:
иг = 0; Хгг = 0; 2г = D; |
0. |
(II.6) |
Это допущение, очевидно, внесет незначительную погрешность при исследовании предельного равновесия цилиндра с кольцевой трещиной.
Вследствие равенства нулю касательных напряжений в плос кости z = 0 решение задачи можно представить через одну гармо ническую функцию X (г, z) (см. гл. I, соотношения (1.21), (1.22)), которую выберем в виде разложения
|
1 (г- z) = 2(l — vf 2 |
i n ^ / o (Inг) е~1”г. |
(И.7) |
|
|
|
71=1 |
|
|
Здесь |
Вп'— неизвестные |
коэффициенты; / 0 (£пг) — бесселева |
||
функция |
I рода. |
(И .7) в |
соотношения (1.21) |
и (1.22), |
Подставляя выражение |
для определения перемещений и напряжений получаем такие фор мулы:
= |
2l |
l- l |
v )- |
2 |
Ы о (? » г ) е " 6** + 2 & lB nJ 0 ( U ) е ~ 1пг; | |
|
|
|
|
71=1 |
71=1 |
“ г = |
- J |
;4 -L |
v) |
2 |
5 « 7 i(in r ) е 4 »* - |
----- 2 (Г-\Г |
| |
(£nr) e -^ ‘; |
(II.8) |
(z 2 |
М е-1"1+ 2 а д (5nr) |
. |
|
( |
п=1 |
71=1 |
) |
2 |
Е- а д |
(^ r) e_EnZ- |
|
71=1 |
|
|
|
Удовлетворяя первым двум граничным условиям (II.4) и используя формулы (II.8), приходим к парным рядовым уравне
ниям |
|
|
2Х |
|
|
|
2 |
BnJQ(Япр) = |
|
0 |
р < |
е; |
|
-----, |
||||||
71=1 |
|
|
и |
|
|
(II.9) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
BnJ0 (Хпр) = 0 , |
е < |
р < |
1. |
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
d |
|
n _ J l . . . |
D o . |
® |
(11. 10) |
|||
г |
D ♦ 'Wi |
2 |
о71» |
Z? * |
Удовлетворяя далее условию (11.6), получаем трансцендент ное уравнение
29
где Хп {п = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения (11.11), расположенные в порядке возрастания величины.
2. Решение парных уравнений (II.9). Используя метод, пред ложенный в работе [247], парные уравнения (II.9) будем решать следующим образом. Сделаем такую замену:
во |
8 |
|
|
1 d Г* |
/ф (t) dt |
0 < р < е . (11.12) |
|
2 BnJо (^пР) — |
рГ"5р” J |
У^2__р2 7 |
|
|
р |
|
|
Умножая обе части равенства |
(11.12) на / 0 (А,пр), а затем ин |
тегрируя по р в пределах от нуля до единицы и учитывая при этом второе соотношение (II.9), получаем
|
|
8 |
|
Вп = |
----- |
Г ф (t) cos (Knt) dt (лг = 1, 2, ...) . |
(11.13) |
|
'о (К) |
g |
|
Подставляя выражение для Вп из (II. 13) в первое уравнение (II.9), для определения функции ф (£) находим интегральное урав нение
$ ф (*) |
2 2 |
J0 (кпр) cos (knt) |
О < р < е. (11.14) |
||
L |
п=1 |
^71*^0 W |
Выражение в квадратных скобках можно свести, используя при этом контурное интегрирование и разрывный интеграл Вебера — Шафхейтлина [15], к следующему виду:
2 - |
/ 0 (^ р ) с о з ( М |
= Я ( р - 0 |
(11.15) |
|
& |
Vo(^n) |
V» |
|
|
|
|
|||
где |
|
0, |
р < * ; |
|
|
Н(р = |
(11.16) |
||
|
1, |
P > t ; |
||
|
|
|
||
L (t, p) = |
2 + ^ ^ - ^ |
r [2I1(!/) - y c h ( t y ) I 0(p!/)]d!/. (11.17) |
о
Здесь 1п (у), Кп (у) — функции Бесселя от чисто мнимого аргу мента.
Учитывая выражения (11.15) — (11.17), уравнение (11.14) сво дим к такому виду:
Р |
е |
| - ^ Ш = ^ = = - 4 |
- + |ф(*) £ (*)Ри г , 0 < р < е . (11.18) |
о |
о |
Для решения интегрального уравнения (11.18) используем приемы, развитые в работе [68]. В результате этого получим, что
_2 |
t |
xf (х) dx |
d С |
||
л |
J |
Vt2x2 ’ |
|
0 |
|
/ (*) = |
-----77- + |
J ф (О L (t, х) dt. |
|
|
Если в соотношении |
(11.19) |
О |
значение |
для / (х) и |
подставить |
||||
L (t, х), то |
|
|
|
|
|
г { - - т - + ( * т [ * + т ? - й ® - х |
|||
О |
|
0 |
0 |
|
х (21х (у) — у ch (ty) / 0(ху)) dyj d£j dx. |
(11.20) |
В соотношении (11.20) вычислим интегралы по х. После инте грирования, заменяя справа под интегралом переменную t на х, получаем интегральное уравнение Фредгольма II рода следующего вида:
(p (f) = - w |
+ J |
<p ( * ) * в * ) dx> |
(IL 2 1 ) |
||
где |
|
|
|
|
|
К {(*> *) = I T + |
| ' yl\(y) |
[2/i O') — у ch №0 ch (*»)] dy- |
|
||
|
6 |
|
|
|
|
Используя соотношения (11.8) и (11.12), определяем нормальные |
|||||
растягивающие напряжения az (г, 0) |
через неизвестную функцию |
||||
Ф (<) |
|
|
|
|
|
(г>°) = |
Z)3 |
(0 dt |
( 11. 22) |
||
4г |
И |
]/ /2£2 _ ^2 |
|||
|
2r/D
Для нахождения неизвестной функции ф (t), через которую выражаются сг2 (г, 0) и иг (г, 0), поступим следующим образом. Подставляя соотношение (11.22) в (II.5), находим
d/2 р |
|
Г |
^ ^______ 1гЛг-_Р |
|
|
|
______I |
|
т . 2 3 ) |
||
2л | |
1 — v 4г |
dr |
-lrdr = P. |
(II.2 |
|
J |
V <2Z>2 - 4r2 |
V |
|||
6 |
U |
|
2r/P |
J |
|
После вычисления интеграла по г соотношение (11.23) приве дем к такому виду:
Jl|lP2
(11.24)
Подставив из уравнения (11.21) значение ф (£) в уравнение (11.24) и вычислив необходимые интегралы, для определения ве личины X получим такую формулу:
* ( * ) = 4 - + - 4 - f |
j h S r [2 /i {y) - |
- г sh {ey) ch {xy) dy. |
||||||||
С учетом выражения (11.25) интегральное уравнение (11.21) |
||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (0 |
|
2Р (1 - |
v) |
® |
|
|
(11.26) |
|||
= ----- + |
[ ф ( * ) ^ , |
x)dx. |
|
|||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (*• *) = |
W |
f |
* * у11^){ХУ) |
[sh (еу) — 8J/ Ch |
d y' |
|||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для решения интегрального уравнения (11.26) удобно перейти |
||||||||||
к безразмерным величинам, положив |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t = |
eg; |
х = |
ет]. |
|
(11.27) |
||
Тогда уравнение (11.26) примет вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Ч>1 (0 |
= |
1 |
+ |
J Ч>1 (л) Р (Е. л) * 1 . |
(11.28) |
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (Б. л) = -fir J |
Ki |
|
|
|
[sh ^ |
~ вуch |
dy’ (п,29) |
|||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф1 (0 = |
- |
ф № 2> |
(f - v |
) • |
(I L 3 °) |
Интегральное уравнение (11.28) решаем методом последователь ных приближений с точностью до малых величин 0 (е8). Для этого ядро F (g, г]), определяемое формулой (11.29), раскладываем в ряд по малым величинам eg и ет] и представляем его приближенной формулой
F (5. Л) = 2 -4',Cn) f + 0 (е8). |
(11.31) |
г = 0 |
|
Здесь коэффициенты Ai (ц) определяются так: