книги / Спектральный подход к первичной обработке сигналов аналитических приборов
..pdfД и с п е р с и я |
о ц е н к и |
ам п ли туды |
о п р е д е л я е т с я |
по следующему |
вы |
ражению: G Z — |
< A Z > — /4 д . Д л я |
систем ы СБС с |
у ч ето м ( 2 . 8 ) |
д л я |
|
t - й вы борки п о л у ч а е м |
|
|
|
|
После п р е о б р а з о в а н и я |
э т о г о |
вы раж ения |
с у ч ето м |
|
( Ï . 5 7 ) |
находим |
||||||||||||||||||||
Z |
-- Z . |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
пл «_ й Х ià F d W F Ïk jQ ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" 7 |
|
|
|
где |
A Frf |
|
- |
о с т а т о ч н ы й |
(н еско м п ен си р о ван н ы й ) |
д р ей ф . |
У читывая, |
|||||||||||||||||||
что |
в т о р о й |
ч л е н |
п о |
ср авн ен и ю |
с |
тр етьи м |
им еет |
по |
крайней |
|
м ере |
|||||||||||||||
второй |
п о р я д о к |
м а л о с т и |
и |
п о л а г а я , |
ч то дрейф |
в |
|
п р ед ел ах |
выборки |
|||||||||||||||||
[ К 0 - . p t |
/С0 + я ] |
м е н я е т с я |
н е з н а ч и т е л ь н о , |
д л я |
смещения |
и |
д и сп ер |
|||||||||||||||||||
сии |
оц ен ки |
ам п ли туды |
за п и с ы в а е м : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
^ = p i a ' A / ^ S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 .2 8 а ) |
||||||||
|
|
|
|
0 |
^ = |
f |
' Z( i+ Z A Q&Fd |
S |
F U , b ) G |
- z ) . |
|
|
|
(2 .2 8 6 ) |
||||||||||||
|
Таким |
о б р а з о м , |
|
д и с п е р с и я |
оц ен ки |
амплитуды |
(к а к |
и ее |
сме |
|||||||||||||||||
щение) |
з а в и с и т |
о т |
вел и ч и н ы |
н еск о м п ен си р о ван н о го |
дрейф а |
и |
эн ер |
|||||||||||||||||||
гии |
ч а с т и |
|
с и г н а л а , |
о х в а т ы в а е м о й |
вы боркой |
(т о ч н е е , о т |
отношения |
|||||||||||||||||||
с и гн а л /п о м ех а |
по |
э н е р г и и |
д л я |
д ан н о й |
в ы б о р к и ). Поэтому ж ел ател ь |
|||||||||||||||||||||
но расш и рять |
|
в ы б о р к у |
т а к , |
ч тобы |
о н а |
вклю чала |
в с е |
спектральны е |
||||||||||||||||||
составляю щ ие |
|
к о м п о н е н т а |
|
с и г н а л а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
При |
с о в м е с т н о й |
|
о ц е н к е |
р а д а п ар ам етр о в |
смещение |
и |
д и сп ер |
||||||||||||||||||
сия |
оц ен ки |
та к ж е |
м о г у т |
бы ть оп ределен ы |
последовательны м и |
при |
||||||||||||||||||||
ближениями м ето д о м |
м ал о го |
п а р а м е т р а . |
У равнение |
( 2 .2 1 ) тогда пре |
||||||||||||||||||||||
вращ ается |
в |
с и с т е м у |
|
у р а в н е н и и |
в и д а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
d s i 8 ) + е ( 1 Ш 1 + |
g A f a ( f l ) |
|
й |
2 |
= |
0 , |
|
|
( 2 .2 9 ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â e |
■I |
|
|
|
||||||
|
|
|
д в ,- |
|
|
|
I |
щ |
|
|
|
|
0=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
J = 1 , 2 , |
. . . » |
N N . |
О ц ен ка |
в е к т о р а |
0 |
н а х о д и тс я |
в |
форме, |
|
а н а л о |
||||||||||||||||
гичной |
( 2 . 2 2 ) : |
6 |
= |
0 О + £ ®1 + е 2 0 а + * * • |
) |
г Де |
01— |
, |
01а, . . . |
|||||||||||||||||
лоу}» |
®г= = { 0 г и |
® аа> |
• * • |
» ^ z n n ) |
и |
т *д * |
|
Р а з л а г а я |
|
( 3 .2 9 ) |
||||||||||||||||
в MV-м ерн ы й |
|
р а д |
Т е й л о р а |
в |
о к р е с т н о с т я х |
|
точ ки |
0 О , |
ан ал о ги ч н о |
|||||||||||||||||
одномерному сл у ч аю |
п о л у чи м |
д л я |
смещ ения |
оценки |
при первом при |
|||||||||||||||||||||
ближении: |
|
£ 0 . |
= |
— d A/ s ^ |
• . |
При |
этом ко р р ел яц и о н н ая |
м атри ц а |
оценок имеет вид |
[ 3 2 ]: |
* ,• » ( * ) = 4 / * |
р |
* |
й |
" *, |
г д е |
A jb |
- |
а л ге |
||||||||||||||
браические |
дополнения о п р ед ел и тел я |
|
fî2 порядка. |
N N |
с |
эл ем е н та |
||||||||||||||||||
ми ви д а |
|
|
S ( 8 ) / д бу дВ к ] qq . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Для |
наиболее |
ч асто |
встречаю щ егося |
н а |
п р а к т и к е |
с л у ч а я |
сов |
||||||||||||||||
м естной |
оценки двух |
п арам етров |
{ |
I |
|
ъ |
q ) |
к о р р е л я ц и о н н ы е |
|
функ |
||||||||||||||
ции |
будут иметь |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ З |
( в |
) |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
= |
Ч |
|
Ч |
К |
> Г в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d z S ( 9 ) |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
< |
* / = |
“ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 ZS (9 Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
К(1,<г) |
|
|
|
|
) h > % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- f |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
-а. |
|
г г л в ) |
г г 5 ( б ) |
|
|
|
г е д е > |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г д е |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
этих |
выражений |
оп ределяю тся |
коэффициенты к о р р е л я ц и и |
между |
|||||||||||||||||||
оценками |
|
R ( l , q ) |
— K ( l , q ) ( в ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
При |
оценке |
э н е р ге т и ч е с к о го |
и н е э н е р г е т и ч е с к о г о |
п ар ам етр о в |
|||||||||||||||||||
(наприм ер, |
амплитуды и |
полож ения |
с и г н а л а ) |
оц ен ки б у д у т |
н е к о р - |
|||||||||||||||||||
релированы |
с х ар ак тер и сти к ам и , |
совпадающими с |
о ц ен кам и |
|
одно |
|||||||||||||||||||
мерных |
с л у ч а е в . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если |
сигнальную функцию |
можно |
п р е д с т а в и т ь |
|
в в и д е |
<5 ( |
, |
||||||||||||||||
h y |
4 v |
|
5га ) = = *у |
( 1 ^ " ’ |
|
l ? |
i “ |
f a l ) » |
|
т о оц ен ки |
д в у х |
|
н е - |
|||||||||||
эн ер гети ч еск и х |
п арам етров такж е |
б у д у т н еко р р ел и р о ван н ы м и |
и |
не |
||||||||||||||||||||
смещенными, с |
дисп ерси ям и , |
равными |
д и сп ер си ям |
р а з д е л ь н ы х |
|
оце |
||||||||||||||||||
н о к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим |
погреш ности |
оц ен ок |
м ом ентов |
с и г н а л а |
|
п о |
( 2 . Ï 0 ) , - |
||||||||||||||||
( 2 . И ) . |
|
Смещение |
оценки н у л ево го |
м ом ента |
б у д е т |
з а в и с е т ь |
преж де |
|||||||||||||||||
в с е г о о т |
с о о т в е т с т в и я |
модели |
и |
с и г н а л а , |
а |
такж е |
о т |
|
ч и с л а |
2 р + 1 |
||||||||||||||
сп ектральн ы х составляю щ их, |
которыми |
о г р а н и ч и в а е т с я |
|
с п е к т р |
си |
|||||||||||||||||||
г н а л а при |
вы числении м о м ен та . |
Если |
с ч и т а т ь вк лад ы |
|
э т и х |
ошибок |
||||||||||||||||||
в общую |
ошибку |
оц ен ки |
м ом ента малыми |
( т . е . |
в ы б р ат ь |
|
б о л е е |
а д е к |
||||||||||||||||
ватную |
м одель, и с п о л ь з о в а т ь |
у ч а с т о к |
с п е к т р а ,г а р а н т и р о в а н н о |
со |
||||||||||||||||||||
держащий |
сигнал), |
|
т о в ел и ч и н а |
ошибки |
о п р е д е л и т с я |
т о л ь к о |
о с т а |
|||||||||||||||||
точным |
дрейфом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
К° + Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ьм = < м 0 — м 0 > = |
Е |
|
|
( к ) м 0 ( у ( Ю ) ; |
|
|
||||||||
|
|
м о |
|
|
|
|
к= К 0~р |
|
а |
|
и |
|
|
|
||
дисперсия |
н у л е в о г о |
м о м е н та |
б у д е т : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
- 2 |
_ |
к 0+ р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
^ ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
«О |
* = /у т > |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д ля |
ç ^ - ro |
м о м е н та (п о |
2 .1 0 ) |
смещ ение |
оценки |
будем |
и ск ать |
||||||||
как |
м а т е м а т и ч е с к о е |
ож и дан и е |
отнош ения |
д в у х |
случайны х |
вели ч и н : |
||||||||||
|
|
|
|
|
ь м = |
*■' |
Л - f |
S - |
. * |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< м ; м ? > - м . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
? |
о |
• |
' |
у |
|
|
|
|
|
|
|
К„*р |
|
|
|
|
Кц+р |
|
|
|
|
|
|
|
||
__ |
|
5 L , à гч < * > v * * » |
- * . ? : |
|
* * w v * * n v |
|
( 2 .3 0 ) |
|||||||||
к —Ко~Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Kq+p |
|
|
|
К0 +р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
И |
|
S ( k ) M Q{ y ( k ) ) + |
2 |
Д ^ .( А ) А /П(< р ш ) |
|
|
||||||||
|
|
* = * 0- Р |
|
|
|
* = V * |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
Здесь |
M q |
- |
ч и с л и т е л ь |
вы раж ен и я |
( 2 . 1 0 ) . |
При остаточн ом |
дрейфе, |
|||||||||
не зави сящ ем |
о т |
А |
и м алом |
по сравнению |
с |
си гн ал о м , |
выражение |
|||||||||
( 2 .3 0 ) |
можно |
у п р о с т и т ь : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
„ |
|
( < |
? |
|
|
|
|
|
* , ( * * » |
|
|
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
H |
h S ( k ) M B( < t(n ) |
|
|
|
||||
Для |
д и с п е р с и и |
6 )5 |
п олучи м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г ~ |
( д М „ \ * г |
, ( дМ „ f * |
, |
|
tM q |
. |
|
|
|||||||
|
П о л а г а я |
н а л и ч и е (н аи худш и й |
с л у ч а й ) |
си льн ой |
с та ти с т и ч е с к о й |
|||||||||||
с в я зи |
меж ду |
ч и с л и т е л е м |
и зн а м е н а те л е м |
в |
( 2 . 1 0 ) , |
т . е . |
со |
|
||||||||
= |
\ |
% |
|
> |
п о л учим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
г, |
|
/ 9 /fe . |
|
дМ 9 |
„ |
' а |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
oW 0 |
" о |
|
|
|
|
|
||
|
|
S |
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S j . Y ( k ) M 0 ( 4 l k ) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У средняя |
величину ди сп ерси и в э т о й ф о р м у л е, |
п р и б л и ж ен н о |
найдем |
||||||||||
|
Ч |
“ i f ( ç < t f V * * » + м ч. ? |
Gî Mo |
|
|
|
|
||||||
|
При |
оценивании |
по МНК к о в ар и ац и о н н ая м а т р и ц а |
|
К ( в ) |
в е к т о |
|||||||
р а |
оценок 0 |
при |
произвольном н азн а ч е н и и |
в е с о в ы х |
коэф ф и ц и ен тов |
||||||||
будет иметь вид |
[3 4 ] |
К ( 0 ) = С ^ Ф 7^ |
В W Ф С ~ . |
|
При о п ти м ал ь |
||||||||
ном |
назначении |
весовы х коэф ф ициентов |
по |
( 2 . 1 5 ) |
э т а |
к о в а р и а ц и |
|||||||
онная матрица |
оценок |
за п и с ы в а е тс я к а к К ( 0 ) = С ~ 1 |
|
При н а з н а ч е |
|||||||||
нии |
весовы х |
коэффициентов по ( 2 . Ï 6 ) |
м атр и ц а |
К ( в ) |
|
б у д е т |
вы ра |
||||||
ж аться к а к |
К ( 0 ) = |
С ” *. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В конце |
и тер ати вн о го п р о ц е с с а смещ ение |
о ц е н к и |
Æ g. |
о п р е д е |
||||||||
л я е т с я величиной |
о кон ч ательн ой п оп равки |
(2 Л 4 ) |
и |
з а в и с и т преж |
|||||||||
д е |
в с е г о |
от |
ад ек в атн о сти п ри н ятой м одели |
с и г н а л у |
|
и |
степ ен и |
компенсации д р ей ф а.
Проанализируем влияние |
разли чн ы х ф ак то р о в |
н а т о ч н о с т ь по |
||||||||||||||
лучаемых |
оценок п а р а м е тр о в . При п рочих |
равны х |
у с л о в и я х о н а р ез |
|||||||||||||
ко зави си т от |
к о л и ч ества |
априорной информации |
о |
п а р а м е т р а х . Это |
||||||||||||
наглядно |
показан о |
и ссл ед о ван и ям и , |
проведенны м и |
|
д л я |
в р е м е н н о го |
||||||||||
сп ектр а |
[2 2 1 . Т а к , |
если |
о ц е н и в а е т с я |
один п а р а м е т р |
(н а п р и м е р , |
|||||||||||
площадь |
MQУ г а у с с о в о г о |
п и ка |
при |
априорно |
и зв е с т н ы х |
о с т а л ь н ы х , |
||||||||||
то д л я оценки |
с г ^ |
по в то р о й |
и з |
формул ( 2 . 1 0 ) |
|
п ри |
н е к о р р е л и |
|||||||||
рованности спектральны х |
составляю щ их |
н аходим |
|
|
|
|
||||||||||
r = V 7 M « f ~ _ L f |
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
||||||
М |
|
|
) |
|
à i |
|
|
дМ$ |
} |
|
|
|
2>A i |
u ,V 3 f |
|
|
Откуда |
(TM = 0 ' n i Z A |
i ^ i п . |
П о д став л я я |
зн а ч е н и я |
z = A /< r n |
и р *= |
||||||||||
= jjl/A Ь , |
получаем |
д л я о тн о си тел ьн о й |
ошибки |
bM Q |
вы р аж ен и е |
|||||||||||
|
|
|
дМ 0= Z ~ W 0 , 5 6 / j i * |
|
|
|
|
( 2 . 3 ï a ) |
||||||||
При |
оценке |
в с е х |
т р е х п ар ам етр о в |
(п ло щ ад и , |
п о л о ж е н и я |
и ши |
||||||||||
рины) одиночного |
п и ка |
имеем |
м атрицу |
С |
в в и д е |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
_ |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 j i ^ ‘A éV ïv |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
Mo |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |д Л д $ У 5 Т |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Н |
|
|
|
0 |
|
|
|
3 M f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
и обратную |
м а т р и ц у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
З р ,- д £ У 5 Г |
|
|
|
о |
|
|
b y ï - A t V n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
f = |
|
|
|
|
|
|
|
|
М г |
|
|
|
О |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 f t |
• A t'f iv |
|
|
|
О |
|
у |
. д г у |
^ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,__________ |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Т о г д а |
|
S M Q— |
Z |
1V Ô j 5 / f j ,* |
; |
&jjb = |
|
B l / j t |
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 3 Ï 6 ) |
|
|
|
С р а в н и в а я |
формулы |
( 2 . 3 1 а ) |
и |
( 2 . 3 1 6 ) , |
можно |
ви д еть, ч то уже |
||||||||||||||||
для |
|
о д и н о ч н о го |
к о м п о н е н т а |
с |
у вел и ч ен и ем |
ч и сл а п ар ам етр о в |
по |
|||||||||||||||||
греш ности |
и х о ц е н и в а н и я |
в о з р а с т а ю т . |
Причиной я в л я е т с я к о в ар и а |
|||||||||||||||||||||
ция |
меж ду |
оп р ед ел яем ы м и |
п а р а м е тр а м и : |
при |
си льн ой |
ковари ац и и ни |
||||||||||||||||||
один |
п а р а м е т р |
н е |
м ож ет |
б ы ть |
о п р е д е л е н |
т о ч н о ; и |
о б р а т н о , |
|
апри |
|||||||||||||||
орная |
инф орм ац и я |
о з н а ч е н и и |
о д н о го |
и з п ар ам етр о в |
сущ ественно |
|||||||||||||||||||
улучш ает |
т о ч н о с т ь |
о п р е д е л е н и я |
|
о с тал ьн ы х |
(н ап р и м ер , к а к |
с л е д у е т |
||||||||||||||||||
из |
формул |
( 2 . 3 Î ) , |
з н а н и е |
р , |
ум ен ьш ает |
8М 0 |
в 1 ,2 |
р а з а ) . |
П оэто |
|||||||||||||||
му |
п р о ц е д у р у |
а п п р о к с и м а ц и и |
ц е л е с о о б р а зн о |
н ач и н ать |
с |
модели |
||||||||||||||||||
с п е к тр а |
с |
наименьш им |
ч и сл о м |
п а р а м е т р о в . |
Оценив вели чи н у |
|
о с т а |
|||||||||||||||||
точных |
н е в я з о к |
МНК, |
и н о г д а |
можно |
с у д и т ь |
о |
необходим ости |
услож |
||||||||||||||||
нения |
м о д е л и . |
По |
данны м |
B .G . |
V a n d e g in s te , |
L . d e |
G a le n |
сумма |
||||||||||||||||
( 2 .1 2 ) |
у м е н ь ш а е т с я |
д о с т а т о ч н о |
|
бы стро |
при |
увели чен и и ч и сл а |
ком |
|||||||||||||||||
п он ен тов |
м о д ел и и |
при бли ж ен и и |
|
е г о к |
ч и сл у ком понентов |
си гн ал а |
||||||||||||||||||
и потом |
м е н я е т с я |
м ал о |
[ 2 4 ] . |
П оэтом у |
ж ел ател ьн о |
им еть априорную |
||||||||||||||||||
и н с^м ац и га |
о ч и с л е |
к о м п о н е н то в |
и ли |
о п р ед ел и ть е г о |
по |
сп ектр у |
||||||||||||||||||
|
|
С ущ ествен н о |
в л и я е т |
н а |
п о гр еш н о сть с т е п е н ь |
налож ения |
ком |
|||||||||||||||||
п о н ен то в |
и |
и х |
ч и с л о . |
Д л я |
в р е м е н н о го |
с п е к т р а , е сл и |
число |
|
н ал о |
|||||||||||||||
жившихся |
к о м п о н е н то в |
больш е |
ч е т ы р е х , |
|
н есм о тр я |
н а м алое |
зн а |
|||||||||||||||||
чение |
к в а д р а т а |
суммы |
н е в я з о к |
(м е н е е |
0,1% |
Л т а а .]> |
погреш ность |
|||||||||||||||||
оценки |
площ ади |
и |
ам п ли туды |
мож ет |
быть |
больш е 20% |
(до 3 0 |
$ |
в о д |
|||||||||||||||
ной |
т о ч к е ) ; |
д аж е |
в |
т е х |
с л у ч а я х , |
к о г д а |
полож ение |
|
наложивш ихся |
|||||||||||||||
ком п он ен тов |
с и г н а л а |
то ч н о |
и з в е с т н о |
и |
ф и к с и р у ет с я , |
погреш ность |
||||||||||||||||||
з д е с ь м ож еть |
б ы ть |
больш е |
15% |
[ 2 4 ] . |
Н априм ер, поданны м M .H .R ij- |
sw ic k ум ен ьш ен и е 1 ф и те р и я р а з д е л е н и я R , по ( В .6) с 4 д о ï , 5
приводит к |
у вел и ч ен и ю |
<jMq |
в |
ш есть р а з , |
при |
R = 1 |
и о ц ен ке |
||
то л ько М 0 |
н ал о ж ен и е |
у х у д ш ает |
п о гр еш н о сть |
оценки |
в |
1 ,6 |
р а з а , а |
||
при о ц е н к е |
в с е х п а р а м е т р о в |
- |
в 2 0 р а з [ 2 2 ] . |
При |
R |
< |
1 ,3 * 1 , 5 |
сложный с и г н а л н ё м ож ет бы ть р а з д е л е н |
т о ч н о . |
|
|
||||
|
При |
о ц ен и в ан и и п а р а м е т р о в сложных |
наложивш ихся |
с и гн а л о в |
|||
(с чи сл о м |
к о м п о н е н то в б о л е е т р е х ) |
и п ар ам етр о в д рей ф а |
н ео б х о |
||||
димо |
вк л ю ч и ть в |
аппроксим ируем ы й |
МНК у ч а с т о к |
с п е к т р а |
прилегаю |
||
щие к |
н ем у с л е в а |
и с п р а в а у ч а с т к и |
с п е к т р а , н е |
содержащ ие с и г н а |
л а . Это |
необходимо |
вы полнять, даж е |
е с л и |
о ц е н к е |
п о д л е ж а т |
пара |
||||||||||||||
метры |
не |
в с е х ком понентов. |
Однако в |
э то м |
с л у ч а е |
в о з р а с т а е т чи |
||||||||||||||
сло оцениваемых |
п ар ам етр о в, |
ч то |
|
с н и ж а е т , |
к а к уж е |
у к а з ы в а л о с ь , |
||||||||||||||
точность |
и |
устой чи вость МНК. П оэтому |
п е р е д |
п р о ц е д у р о й |
оценки |
|||||||||||||||
по МНК необходимо |
максимально и с п о л ь з о в а т ь |
в о з м о ж н о с т и СБСи для |
||||||||||||||||||
определения начальных зн ачен и й |
п а р а м е т р о в , |
о к о н ч а т е л ь н ы х |
зна |
|||||||||||||||||
чений |
парам етров положения |
и ч и сл а |
к о щ г а н е н т о в . |
Э то |
п о з в о л я е т , |
|||||||||||||||
кроме |
т о г о , снизить |
р а зм е р н о с ть |
в е к т о р а |
0 , |
а |
з н а ч и т , |
улучшить |
|||||||||||||
при прочих равных |
у сл о ви ях |
сх о д и м о сть МНК. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 . |
Оценки п арам етров с и гн а л о в |
î - r o |
к л а с с а |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рассмотрим |
полученные |
алгоритм ы о ц е н и в а н и я , |
а |
т а к ж е |
опре |
|||||||||||||||
делим |
качество |
оценок, и |
границы |
прим еним ости м е т о д а |
с п е к т р а л ь |
|||||||||||||||
ного |
разложения |
в |
СБС в |
зави си м о сти |
о т |
п а р а м е т р о в |
|
и сх о д н о го |
||||||||||||
(обрабаты ваем ого) |
с и г н а л а . Ввиду слож н ости |
а н а л и т и ч е с к и х |
выра |
|||||||||||||||||
жений погреш ности |
д ля-реш ен и я |
за д а ч и |
был п р и в л е ч е н |
м е т о д |
имит |
|||||||||||||||
тационного м оделирования с |
максимальным |
п риближ ением |
к |
р е а л ь |
||||||||||||||||
ным условиям работы |
и н ф орм ац и он н о -и зм ери тельн ой |
а н а л и т и ч е с к о й |
||||||||||||||||||
системы . В к а ч ес тв е |
осн о вн о го |
был |
вы бран н а и б о л е е |
р а с п р о с т р а |
||||||||||||||||
ненный |
н а |
практике |
случай |
о ц ен и ван и я п а р а м е т р о в |
с и г н а л о в |
1 -го |
||||||||||||||
к л а с с а |
с |
гауссовыми |
полезными |
ком понентами |
н а |
ф оне |
п о м ех |
р а з |
||||||||||||
ного |
т и п а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Оценка одного |
сущ ественного п а р а м е т р а |
г а у о с о в о г о |
ком по |
||||||||||||||||
н ен та н а |
Фоне |
б ело го шума |
с и зв е с т н о й с п е к т р а л ь н о й |
п лотн остью |
||||||||||||||||
O q/Z |
[ 3 9 3 . |
Оценивание |
в е д е т с я |
по |
а л го р и тм у , 'заклю чаю щ ем уся в |
|||||||||||||||
максимизации |
по I |
ф ункционала |
|
( 2 . 9 ) |
в зо н е |
с п е к т р а |
с и г н а л а . |
|||||||||||||
|
В |
этом |
сл учае |
u ( k , t ) |
и з |
( 1 .2 7 ) |
б у д е т |
о п р е д е л я т ь с я ( 1 . 4 9 ) . |
||||||||||||
Спектр |
си гн ал а |
в |
СБС по |
( 1 .5 1 ) |
при |
о т с у т с т в и и |
д р е й ф а |
б у д ет опи |
||||||||||||
с ы в атьс я |
следующим выражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г д е V я = ( V £ 0 ) / 4 0 j J tp V a jc /C f + р 2 ) . |
|
|
А налогично |
с п е к т р м одели б у д ет вы р аж аться |
к а к |
F 0 |
, 8 ) = -Vs 1 ] £ ^ e * p { ~ — |
} ) , |
|
г = < |
• |
где |
= |
( Z / G q ) |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т ак к а к о ц е н и в а е т с я н е э н е р г е т и ч е с к и й п а р а м е т р , |
т о |
( к а к |
||||||||||
у к а зы в а л о с ь |
в р а з д е л е |
3 ) о ц е н к а |
н есм ещ ен н ая с д и с п е р с и е й , |
о п ре |
||||||||
деляем ой |
п о |
( 2 . 2 7 ) , |
г д е |
с |
у ч ет о м |
( ï . 6 3 a ) |
д л я б е л о г о |
шума |
|
|||
|
|
S ( i ) = ' £ i S ( k ) a - z F ( k , e ) . |
|
|
||||||||
Т о г д а |
<7,г = |
( |
У |
^ |
Ш |
- |
Ê |
Ï E i h Æ |
) - ' |
|
( 2 .3 3 ) |
|
|
|
|
v |
v |
° ? |
|
|
а ®2 |
’ |
|
|
|
Учитывая |
формулы |
( Ï . 4 3 ) |
и |
( Ï . 5 2 ) , |
получим |
|
|
|||||
|
|
|
|
£ о |
|
= |
Gp \ r ^ ( k , t ) d t |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
ф |
2 ( 1 |
+ £ г ? |
) |
|
|
а с у ч е т о м ( Г . 4 9 ) -
причем |
н е |
з а в и с и т о т н о м ер а к . П одстави в выражение д л я |
СУ^ в |
( 2 . 3 3 ) , |
н ай д ем |
|
k - i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
( î - r - A l ) z l ( . |
( Î ~ r - A l ) z |
|
|
|
( 2 .3 4 ) |
|||||||
|
|
к г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
♦ f t ' |
|
|
|
Z f ‘ |
J |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
:Н |
" |
|
|
|
|
|
|||||
|
г — 1 |
|
{ - |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З д е с ь |
O'o2 = 2 jx 2/ p 2 - |
д и с п е р с и я |
эф ф ективной оценки |
полож ения |
пи |
|||||||||||
к а в о |
в р е м е н н о й |
о б л а с т и |
|
[ 3 2 ] ; |
р z= Z E s / G Q - |
отнош ение |
с и г н а л / |
|||||||||
/п о м е х а п о |
э н е р г и и |
н а вы ходе |
с о гл а с о в а н н о го |
ф и льтр а |
в о |
врем ен |
||||||||||
ной о б л а с т и , |
п р и ч ем |
э н е р г и я |
с и г н а л а |
£ s = А д |
f t V j t . |
|
|
|
||||||||
|
На р и с .8 |
п о к а з а н а |
за в и с и м о с т ь |
œl /(У д — f |
( A l /j i) |
при |
p |
= î |
||||||||
и . о т н о с и т е л ь н о м |
смещ ении |
и с ти н н о го |
полож ения |
с и г н а л а |
I |
в н у тр и |
||||||||||
ш ага |
к в а н т о в а н и я |
&Z = F |
r a £ { l / à l ) |
= 0 (прям ая 3 |
) |
и |
|
= |
0 , 5 |
|||||||
(к р и в а я 2 ) |
по |
вы б о р кам |
сп ек тр ал ьн ы х |
составляю щ их |
в |
С Б С .Н а это м |
||||||||||
же р и с у н к е п р и в е д е н а а н а л о г и ч н а я за в и с и м о с т ь (к р и в а я / ) |
д л я |
|||||||||||||||
д и с п е р с и и м н о го к а н ал ь н о й |
о б р а б о т к и , |
з а и м с т в о в а н н а я |
|
и з |
работы |
[ 3 2 ] . Сравнение кривых |
п о к азы в ает, |
ч то при |
т о й |
же д и с п е р с и и |
оцен |
||||
ки рассм атриваем ы й |
метод п о зв о л я е т |
у в ел и ч и ть |
ш аг |
к в а н т о в а н и я |
|||||
в Î 0 |
р а з . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для сравнения |
с |
приведенными |
р е з у л ь т а т а м и п о л у ч и м д и с п е р |
|||||
сию |
оценки положения га у с с о в о го с и г н а л а |
по |
н е к о р р ел и р о ван н ы м |
||||||
|
|
|
о тсч етам |
во вр ем ен н о й о б л а с т и , взяты м |
|||||
|
|
|
с |
шагом |
А Ь = A l . В |
это м |
с л у ч а е |
д и с |
|
|
|
|
кретны й |
с п е к т р ( вр ем ен н о й ) с и г н а л а , ? ^ # |
|||||
|
|
|
и |
м одели |
|
с у ч е т о м |
нормирую щ е |
||
|
|
|
го |
множителя A |
l б у д е т |
о п и с ы в а т ь с я |
выражениями |
|
|
U - â i - г / |
5 вр( М ) = А - л г е х р { - |
г . , г |
|
|
|
|
|
|
У |
* , е ) = |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д исперсия |
о т с ч е т о в |
шума |
в ы р а з и т с я |
||||||||
|
|
|
|
|
к а к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<т* |
= |
е-0 / ( г |
- д |
г |
) , |
|
( 2 . 3 5 ) |
||
а д и сп ер си я оценки полож ения |
- к а к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ко+р |
|
|
|
|
|
|
• n - p a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
е х р | - ( к * д £ - î y |
|
|
X |
|
|||||||
|
|
0 |
г - а |
|
|
|
|
} |
|
|||||||
|
|
\к=*0-Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z ( h A l - î ) Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Z |
f |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
г д е |
|
= < r * - 2 - A l f L &/ £ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При м оделировании |
удобно |
п оддерж и вать |
п остоян н ы м |
(У ^ . |
Т о |
||||||||||
щ а |
при |
изм енении А I |
с п е к т р а л ь н а я п л о тн о с ть |
шума |
CrQ и з |
( 2 . 3 5 ) , |
||||||||||
а такж е |
д и сп ер си я |
будут и зм е н я т ь с я |
п р о п о р ц и о н ал ьн о |
А I . Ч то |
||||||||||||
бы |
у ч е с т ь это |
о б с т о я т е л ь с т в о |
при |
изм ен ен и и |
A l , |
нужно |
о б р а т н о |
|||||||||
пропорционально и зм ен я т ь |
<у* . Н етрудно |
у б е д и т ь с я |
в |
т о м , |
ч т о |
|||||||||||
цри |
A l - * 0 |
|
|
З ави си м о сти |
О ^ Вр /< т 0 |
|
п о к а з а н ы |
|
н а |
|||||||
р и с .8 (кривы е |
1 , 5 ) : |
S I |
^ 0 ,5 и |
S |
I - 6 с о о т в е т с т в е н н о . |
|
|
|||||||||
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В лияние |
н е с о в п а д е н и я |
ширины |
с и г н а л а и |
опорной функции |
ил |
|||||||||||
лю стрируется |
р и с . 9 . |
О цениванию по |
вы боркам |
временных о тс ч е то в |
||||||||||||||
соответствую т |
к р и в ы е |
|
1 , |
Z , |
а |
п о |
вы боркам |
сп ектральн ы х |
с о с т а в |
|||||||||
ляющих в |
|
СБС |
- |
к р и вы е |
3 , |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Н аличие |
д р е й ф а , |
|
к а к |
было |
|
|
|
|
|
|
||||||
указано |
в |
р а з д е л е 3 , |
|
п р и в о д и т |
к |
|
|
|
|
|
|
|||||||
смещению |
о ц ен к и |
и у вел и ч ен и ю |
|
е е |
|
|
|
|
|
|
||||||||
д и сп ер си и . Из ( 2 . 2 5 6 ) и ( 2 . 2 6 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
с учетом |
|
( 2 . 2 7 ) |
п олучи м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h |
= |
~ |
|
|
в |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д Ь |
1 ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
AFa |
( l ) |
о п р е д е л я е т с я |
|
ИЗ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
( Ï .6 7 6 ) , |
|
с г ^ |
|
в ы ч и с л я е т с я |
|
по |
|
|
|
|
|
|
||||||
(2 .3 4 ) п ри о т с у т с т в и и д р е й ф а . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Т аким о б р а з о м , |
н а л и ч и е |
уже л и н ей н о го дрейф а |
приводит |
к |
||||||||||||
смещению |
|
о ц е н к и п о л о ж ен и я |
к о м п о н е н т а . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Д и с п е р с и я |
о ц е н к и |
в |
с о о т в е т с т в и и с |
( 2 .2 5 6 ) и |
( 2 .2 6 ) |
увели |
||||||||||
ч и тся |
н а |
|
( d A F ^ ( l ) / d l ) ( J ^ |
|
С л е д о в а те л ьн о , д и сп ер си я |
оценки |
||||||||||||
сильно з а в и с и т |
о т с т е п е н и |
ко м п ен сац и и (и ли |
п о д авл ен и я) |
дрей ф а. |
||||||||||||||
|
|
О ц ен ка ам п л и ту д ы |
с и г н а л а |
п р о и зв о д и т с я |
по алгори тм у |
( 2 .8 ) |
||||||||||||
для |
ф и к с и р о в а н н о й вы б о р ки |
п р и |
и зв естн ы х |
положении |
пика |
и |
ос |
|||||||||||
тальны х |
п а р а м е т р а х . Д л я |
p j' |
получим при |
белом шуме |
|
|
|
|
л |
- г Е |
^ |
/ а |
с |
|
|
p1 |
|
1 S ' |
" о |
|
Зд есь |
£ |
- э н е р г и я |
с и г н а л а |
с |
А |
= Ï . |
мет в |
и д |
 = б H ( Y ( k ) - ^ i (fi))F '(k i e ) , |
|
|
(2 .3 6 ) |
Т о гд а |
выражение |
(2 .8 ) при |
причем |
к о н с та н т |
а |
|
а = |
J - = |
f - |
r f ( - - |
Е |
г ; ) • |
|
Смещение и д и с п е р с и я о ц ен к и |
о п р ед ел яю тся |
по ( 2 . 2 8 ) : |
|||||
|
ь А = а - л г а 1 : г ' ( к , ю * a - â F a M 0 ( f W 0 W - |
||||||
Зд есь |
M0 ( f ) и |
Л/0 (<р) - |
н ул евы е моменты |
м одели |
и б а зи сн о й Функ |
||
ции (а н а л о г и ч н о |
в т о р о й |
и з формул ( 2 . Ï 0 ) ) . |
Т ак |
к а к д л я г а у с с о - |
|||
в о го |
с и г н а л а и |
б е л о г о |
шума |
|
|
|
|
М, \ ( f ) — j W & r c ,
M Q ( и )
Ma ( ? ) = |
('2 .3 7 ) |
|
|
j |
^ n = i ï r |
то о ко н ч ател ьн о , с учетом ( i .5 2 ) и ( 2 . 3 6 ) , |
п о л у чи м |
5 |
|
Из |
( 2 .2 8 6 ) , рассу ж д ая |
а н а л о ги ч н о , |
получим |
д л я |
д и с п е р с и и |
||||
оценки |
амплитуды выражение |
|
|
|
|
|
|
||
|
< = Р 7 г (< + ч |
< |
^ г |
4 |
|
|
( 2 . 3 8 ) |
||
|
|
|
|
||||||
На рис .1 0 |
приведены |
кривые *и зм ен ен и я |
см ещ ения |
h / А , |
|||||
(пунктирные) и |
дисперсии |
оценки |
амплитуды |
O ^ /A q |
(сп л о ш н ы е) в |
||||
|
|
|
|
|
функции |
о т |
к о р н я |
и з |
о тн о ш ен и я |
с и г н а л /п о м е х а р 2 п о |
э н е р г и и в |
||||||
с п е к т р е , о п р ед ел яем о м д л я |
г а у с - |
||||||
с о в о г о |
с и г н а л а |
п р и |
б е л о м |
ш уме, |
|||
кривы е |
найдены |
по |
( 2 . 3 8 ) |
цри |
|||
Д Fd |
= ( 0 , 0 I - + 0 , l ) ^ 0 . |
Е с л и |
AFa = |
||||
- О, |
получим д и сп ерси ю о п ти м а л ь |
||||||
ной |
оц ен ки |
[ 3 2 ] . |
|
|
|
||
|
Таким |
о б р а з о м , |
н е д о к о м п е н - |
||||
с а ц и я д р ей ф а в ы зы в ае т з а м е т н о е |
|||||||
у вел и ч ен и е |
см ещ ения |
и д и с п е р с и и |
|||||
о ц е н к и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О ценка п о гр е ш н о с те й |
о п р е |
||||||
|
|
|
|
|
д е л е н и я |
п олож ения |
и |
ам п л и ту ды |
|||||
с и гн а л а |
в у с л о в и я х , |
приближенных |
к реальн ы м , п р о и з в о д и л а с ь ими |
||||||||||
тационным |
м одели рован и ем 'работы |
а л г о р и т м а . П о м ех о вая |
с о с т а в л я |
||||||||||
ющая была |
п р е д ст а в л е н а белым |
шумом, ограниченны м |
п о |
ч а с т о т е , |
|||||||||
т а к ч т о |
с п е к т р а л ь н а я п л о тн о с ть шума |
— |
<Т2 - 2 - д £ |
{ A t |
- |
ш аг |
|||||||
к в ан то ван и я с и г н а л а |
по в р е м е н и ) . О ценивались |
следую щ ие п а р а м е |
|||||||||||
тры : положение |
I , |
ам п ли туда |
г а у с с о в о г о |
п и к а А ' п р и |
|
A t . |
|||||||
В т а б л .З |
приведены |
р е зу л ь т а т ы |
о п р е д ел е н и я |
п о гр е ш н о с т е й |
э т и х |
||||||||
оц ен ок в |
|
СБС при |
|& = Ï , A t |
= 0 , 2 j t и |
q |
= 8 |
в |
з а в и с и м о с т и |
о т |
||||
смещения |
|
полож ения |
с и г н а л а о тн о с и т ел ь н о у з л о в |
к в а н т о в а н и я |
U |