книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfДифференцируя выражение (11.81) по х , получим по формуле (11.61) горизонтальные напряжения в массиве
j / ^ - e x p ^ ^ + ^ J e r f c ^ ^ + ^ z j .
Выражение для а х примет вид
при D = 0 |
ах = |
v-jz; |
|
при х |
->■ оо |
а х = |
VYZ; |
при х |
= О |
|
|
Решение для напряженного состояния грунта удобнее предста вить в безразмерных координатах.
Введем следующие обозначения
(11.82)
z = пН; х = тН.
Здесь Н — высота подпорной стенки. Получим следующие выражения
°г = Ф |п — я ехр ( - £ ) + Т* ] / ^ e r f c |
+ |
Соответственно напряжения в грунте у подпорной стенки при т = О
" |
^ ] / ^ к [ ! “ |
ехр ( vi £ ) erfc (l/ |
г |
т |
) ] ; |
||
^ |
= -‘H y r f [ |
^ e r f c |
h |
/ |
^ |
1 |
1 |
■(VJ‘ |
T |
) |
- |
||||
|
|
W |
2 /f / L‘ + v ^* ] } ' |
||||
|
|
К* ) " " \ V |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(11.83) |
|
|
Напряжения в грунте вдали от под |
|||||
|
порной стенки стремятся |
к следующим |
|||||
|
величинам |
= |
rz; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
*хг = |
0; |
|
|
||
|
|
° Х |
= |
VKZ * |
|
|
Рис. 11.5. Распределение горизонтального давления грунта на подпорную стен ку от собственного веса грунта в зависимости от коэффициента шероховато сти при коэффициенте бо кового распора грунта v =
= 0,7
На рис. 11.5 показано распределение
по формуле (11.83) при v = 0,7 и раз личных величинах К или коэффициента шероховатости по формуле (11.82).
Определение напряженного состояния грунта от поверхностных нагрузок при засыпке
Пусть на засыпке действует сосредо точенная линейная нагрузка (рис. 11.6). Необходимо решить однородное уравне ние
даZ, _ |
. |
: д*ог |
(11.84) |
дг |
|
дхг |
|
|
|
при краевых условиях (11.63) и (11.65) и начальном условии
аг = Р при х = xly z = 0; о2= 0 при х Ф хъ z = 0.
Эта задача теории теплопроводности сводится к определению влияния мгновенного источника тепла на полуограниченное тело при граничном условии третьего рода.
Приведем конечные результаты в безразмерных координатах. Обозначим
_Р____ 1_
у т 2nil
’ * - - 4 И т ^ ) + ф ’ Ш |
+ |
||
+ A ^ L e x p f2L±l + v ^ - U 1 — ф I |
+ V ’ i ) l ' |
||
H" K"■2 \ К |
2K2)[ |
№ |
2 |
Н 2ri\f v | Ф' \ У v п + |
Рис. 11.6. |
Схема приложения |
линейной |
сосредоточенной на |
||
|
|
грузки на |
засыпку у подпор |
|
|
ной стенки |
+ ф ,( Ш /
Горизонтальное давление на гладкую подпорную стенку
Суммарное горизонтальное давление на стенку
Q = V ^ exp( - 3 -
Рассмотрим действие равномерно распределенной нагрузки (рис. 11.7). Необходимо решить уравнение (11.84) при краевых ус ловиях (11.63) и (11.65), а также начальном условии
о2 = q при 2 = 0.
Путем подстановки (11.71) решается задача охлаждения полуограниченного тела при заданной начальной температуре и гра ничном условии третьего рода.
Решение будет иметь следующий вид
+ д V ~ ехр (— + |
Ф' |
т . |
п У ч \ |
||
У7п + |
К |
||||
4 |
* \ К |
Ж 2) |
|
|
|
|
|
|
e, = |
vo2 + |
9v 0 " ( - ^ L - j |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
I |
о |
п2 |
/ m |
+ |
|
Рис. |
11.7. |
Схема |
приложения |
равно |
+ <?v |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мерно |
распределенной нагрузки |
на за |
|
2/С»Д |
l / v n |
1- |
|
|||||
сыпку |
у подпорной |
стенки |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
i n /У Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
J |
|
|
|
— |
exp (1 |
+ |
Э ф' ( |
m |
+ |
n У V |
|
|
||
|
|
vr> |
|
|
|
|
|
|||||
Выражения для o2, |
и а* при увеличении |
координаты х стре |
||||||||||
мятся |
к следующим величинам |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a2->q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тхг -> 0 |
п р / |
* - > о о . |
|
|
|
||
Для гладкой подпорной стенки (при /С |
|
со) |
выражения |
для |
||||||||
напряжений примут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим далее действие сосредоточенной силы (рис. 11.8). В данном случае необходимо решить систему уравнений для про странственной задачи [60]
='* h . + *h.Y,
|
|
|
|
|
дг |
\д х2 |
ду2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
да2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
дзг |
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
|
|
I |
|
д2аг |
|
|
|
|
ах = vo- + v2z |
2— - ; |
|
|
||||
|
* |
г |
|
|
дх2 |
|
|
|
|
а у = |
vaz + |
V222 d//2 |
’ |
гН |
|
||
|
|
|
2 |
2 д*°г |
|
|
||
|
1Хи = |
|
|
|
||||
|
v 2 ----—. |
|
|
|||||
|
|
у |
|
дхду |
|
|
|
|
Система уравнений должна быть |
|
|
||||||
решена |
при |
краевых |
условиях |
|
|
|||
(11.64) |
и |
(11.65) |
и |
начальном |
|
|
||
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
о2 = Р |
при х = гН\ |
у = z = 0; |
Рис. 11.8. Схема приложения со |
|||||
|
о2 = |
0 |
при |
z = |
0; |
средоточенной силы |
на засыпку |
|
|
х |
гН, |
либо |
у Ф 0. |
у подпорной |
стенки |
||
|
|
|
Приведем окончательное решение для компонент напряжен ного состояния, вводя дополнительное обозначение
|
У= tH\ |
г п г т ® ' |
( т ? г ) + ф ( т & ) ] _ |
£ т ^ ? г ф' ( 3 [ ф' ( т й ) + ф" (т й " )1 +
+ ^ ё Ф' е ) ' - р ( т + - а [ ' - Ф( ш + ,/7 7 = W* + ^ 5 ф' е ) И т ^ ) + Ф1 7 й ^
/т ± Л ,
К
+ ' Й [ ‘ - Ф( т ^ 7 т ) ] +
Я 2 2 К 2 W 2J \ У Т п } Я 2 2Кп [ уп2/ ( V v n J '
Для частного случая гладкой подпорной стенки горизонтальное давление
Р |
1 г2г2 |
____ // |
t2++ г2\г2' |
* ’ Я2 |
™™ П4п* |
г (\ |
2vrt2уп2 ) * |
Суммарная горизонтальная сила, действующая на стенку,
Q = p l / i r exp ( ~ £ ) -
Рассмотрим действие рав номерно распределенной по лосовой нагрузки q шириной ЬН на расстоянии гН от под порной стенки (рис. 11.9).
Приведем решение для гладкой подпорной стенки
Рис. 11.9. Схема приложения равно мерно распределенной полосовой на грузки на засыпку у подпорной стенки
, „ . - ^ 7 [ ф < ( ^ ) - ф . ( = = й = ± ) -
-Ф1Ш) + Ф' ( ' Т 7 Г !^
-ф' Ш + Ф' ( " Т 5 ^ ) '
Горизонтальное давление у подпорной стенки
• • - 4 ф Ш - ф Ш + ф Ш - ф Ш ] -
Аналогично можно определить напряженное состояние грунта от других более сложных нагрузок на поверхности засыпки у под порной стенки.
Сравнение полученного решения с известными решениями
иэкспериментальными данными
Влитературе известны решения задачи об определении напря женного состояния грунта, ограниченного подпорной стенкой, на основе теории упругости лишь для гладкой подпорной стенки.
Для частного случая гладкой подпорной стенки Каротерсом предложен так называемый метод изображений [94]. В этом слу чае горизонтальное давление на неподвижную гладкую подпорную стенку будет равно удвоенному давлению от действия местной нагрузки, определенному для неограниченного массива при отсутст вии подпорной стенки. Такое решение совпадает с эксперименталь ными данными. Как следует из теории теплопроводности, условие (11.64), для гладкой подпорной стенки сводится также к методу изоб ражений, который находит таким образом в настоящей работе допол нительное обоснование и подтверждение.
Следовательно, предложенный Фрелихом и Головенчицом спо соб расчета горизонтального давления приводит к заниженным в два раза результатам.
В Советском Союзе экспериментальное определение горизонталь ного давления на неподвижную подпорную стенку при наличии за грузки за стенкой проводилось Дуброва [24], Лубеновым и др.
Для иллюстрации на рис. 11.10 приведено сравнение горизонталь ного давления грунта на подпорную стенку от действия линейной распределенной нагрузки при различных коэффициентах бокового распора грунта и по теории упругости (по методу Каротерса). Как видно из рис. 11.10, решения, полученные по статистической тео рии, более совпадают с экспериментальными данными, чем решения на основе теории упругости.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что статистическая модель зернистого грунта может быть с большим основанием ис пользована для определения напряженного состояния зернистой среды, ограниченной подпорными стенками и нагруженной поверх ностными нагрузками.
Г л а в а 12
ДЕФОРМАЦИИ ЗЕРНИСТОГО ГРУНТОВОГО ОСНОВАНИЯ
§1. О ПРИРОДЕ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ ГРУНТОВ
Вработе Н. В. Орнатского [67] отмечаются следующие физи ческие причины сжимаемости грунтов:
1.Деформации адсорбционных пленок в местах опирания грун
товых частиц друг на друга.
Рис. 11.10. Распределение горизонтального давления грунта на подпорную стенку от действия линейной распределенной нагрузки Р = 20 кг
а — при нагрузке, приложенной на расстоянии х, |
= 0,27 |
|
Я; б — то же, |
при л:, = 0,54 |
Я; в — то же, |
при х, = |
0.81 Я; г — |
|
то же, при х х = 1,08 Я; 1 — по опытам Г. А. Дуброва; 2 |
— по |
статистической (дискретной) теории при |
•» = 0,4; |
3 — по ста |
||||
тистической (дискретной) |
теории |
при |
v = 0,5; |
4 — по теории |
упругости |
|
|
2.Упругие и остаточные деформации грунтовых зерен.
3.Взаимные перемещения грунтовых зерен.
4.Деформации защемленного газа при изменениях давления.
5.Выходы пузырьков газа в атмосферу при прорывах защем ляющих водяных пленок.
Каждая из этих причин проявляется в большей или меньшей степени в зависимости от свойств грунта и условий его загружения. При деформации сжатия все эти причины будут сказываться на уменьшении пористости материала. Чем меньше пористость мате риала, тем больше площадь контактов между частицами и меньше сжимаемость грунта. Это положение подтверждается многочислен ными испытаниями грунтов. Характер полученных в этих условиях кривых зависимости деформации от нагрузки показывает, что по мере увеличения нагрузки, уменьшается пористость материала и возрастает его сопротивляемость деформированию. Из этого выте кает, что сжимаемость материала внешней нагрузкой (даже состоя щего из совершенно одинаковых зерен) на различных^ уровнях по глубине будет различной в связи с предварительным уплотнением слоев весом грунта, расположенного выше.
Это известное положение играет существенную роль при реше нии вопроса о деформации сжатия, особенно в тех случаях, когда толща сжимаемого слоя является значительной.
При малой толще сжимаемого слоя, когда напряжения от собст венного веса малы, сопротивляемость материала деформированию для всей толщи может быть принята одинаковой.
Кроме деформаций сжатия, в грунтовом массиве могут иметь место сдвиги и выпирания.
Вотличие от деформаций сжатия, развивающихся во всей толще
массива, сдвиги и выпирания происходят в основном в областях приложения нагрузки.
Осадку грунтового массива можно определить как сумму осадок от деформации сжатия и деформации сдвигов, т. е.
|
w = wc -f wn, |
(12.1) |
|
где w — осадка |
поверхности массива; |
(перемещений); |
|
wn — осадка |
поверхности |
массива от сдвигов |
|
wc — осадка |
поверхности |
массива от деформации сжатия. |
Поскольку в данной работе вопросы предельного состояния не рассматриваются, не будем рассматривать вопрос и о деформации сдвигов. Причем деформацию сжатия будем определять как дефор мацию зерен без изменения структуры среды. В общем случае за висимость между нагрузкой и деформацией грунтов является нели нейной, однако вопрос о характере этой зависимости остается пока
нерешенным.
В инженерной практике при расчете осадок оснований широкое применение находит гипотеза линейно-деформируемого тела [17, 27, 88 J.
Известны также решения указанной задачи на основе методов теории вероятностей. Здесь М. Н. Троицкой 183], Г К. Клейном 140 ] на основе идеи Г. И. Покровского [69 ] для описания процессов деформации сжатия получены теоретические решения, подтверж дающиеся экспериментальными данными.
Для расчета деформируемости грунта, расположенного на глу бине, воспользуемся зависимостью, полученной М. Н. Троицкой на основе идеи проф. Г. И. По
<У |
кровского при условии отсут |
|
|
ствия бокового |
сдвига или |
|
выпирания (рис. |
11. 1, а): |
Х= — In Рс + Р , (12.2)
|
|
|
L |
|
Рс |
|
4 |
' |
|
|
где X— относительная дефор |
||||||
|
|
мация |
|
грунта |
под |
|||
|
|
нагрузкой р\ |
|
|||||
|
|
L\ рс — постоянные, |
опреде |
|||||
|
|
ляемые |
по |
данным |
||||
|
|
компрессионной кри |
||||||
|
|
вой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя |
|
выраже |
||||
|
|
ние (12.2), получим |
|
|
|
|||
|
|
dk = ------- . (12.3) |
|
|||||
|
|
|
L |
Рс + |
Р |
|
|
|
|
|
откуда |
тангенс |
угла |
на |
|||
|
|
клона касательной |
к оси де |
|||||
|
|
формаций |
|
|
|
|
|
|
|
|
- f - |
= iO»c + |
P). (12-4) |
||||
|
|
Применительно к |
грунту, |
|||||
Рис. 12.1. Схема к определению дефор |
расположенному |
на глубине, |
||||||
мации сжатия грунта |
величина |
нагрузки |
|
опреде |
||||
а— к определению переменного модуля дефор |
ляется весом |
вышележащих |
||||||
мации; б — к определению |
относительной де |
слоев |
|
|
|
|
|
|
формации элементарного |
объема грунта |
p = |
7z, |
|
(12.5) |
|||
где 7 — объемный вес грунта; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
г— глубина расположения рассматриваемого слоя грунтового массива.
Подставляя выражение (12.5) в формулу (12.4), получим зави симость сопротивляемости грунта внешней нагрузке от глубины расположения рассматриваемого слоя в грунтовом массиве
£ = - ^ - = L(pc + fz). |
(12.6) |