книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfРассмотрим случай, когда площадка на глубине смещена по оси д: и не смещена по оси у по отношению к загруженной площадке на поверхности.
Вертикальные напряжения от нагрузки, равномерно распреде ленной по площади квадрата
(11.46)
Для того чтобы определить давление на некоторую площадку на глубине г, необходимо проинтегрировать выражение (11.46) по этой площадке, т. е.
После интегрирования имеем
Р ,= -£-{(* +2Ь)Ф ( V p ? ) + (* -2 6 )Ф ( т р ? ) -
~МШ |
гУ2<, |
(х + 26)2 |
У7 |
(- 2vz2 |
|
- М - й ] 1 М т 7 7 |
2гУ~Ъ |
|
/ 7 |
( 11.48)
Определим отношение давления на площадку на глубине г к дав лению на штамп, равному
|
|
Ра = 4Ь2р, |
(11.49) |
где р — интенсивность нагрузки; |
|
||
b — половина ширины штампа. |
|
||
Делим выражение |
(11.48) на (11.49). Получим |
|
|
Р_Х_ |
|
+(-М »Й7?)- |
|
Ра |
|
|
|
—2 — Ф |
+ |
* У ъ |
|
ь |
|
ЬУт. |
|
(11.50)
Для горизонтальной площадки, расположенной на глубине г строго под загруженной площадкой, выражение (11.50) примет вид (при х = 0)
z V^2у |
(11.51) |
|
2bY^ [■ |
||
|
Определим величину давления на квадратную площадку на глу бине z при распределении нагрузки на поверхности по площади квадрата на основании параболического закона. Вертикальные на пряжения в этом случае
+ |
|
|
|
|
|
X |
X |
I - |
6* |
Ьг) |
Гф ( у. ±±\ _ |
[ г у т ) |
+ |
|
|
^ [ г У 7 ) |
|
|||
|
г |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.52) |
где рср — среднее давление |
на штамп. |
|
|
|||
Для определения давления на площадку проинтегрируем выра |
||||||
жение (11.52), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
х+Ь |
+ь |
|
|
|
' - s H |
i e - s - a w v f c ) - |
|||||
|
|
х —b |
—Ь |
|
|
|
1~\Гъ,
+
Ч 1- * ы - ч ? т - $ - т 9№ -
+ (’- т ) ехр ( - |
(?) + Ь)* |
dr\. |
|
2vz* |
|||
|
После интегрирования получим следующую формулу для дав ления на площадку:
■- Шт+>Нт+*1+Ш+ *)]фш +
|
+ [1 ( т - ) 3+ ( т - 2)2^ ( т - ' ) ] ф ( ^ ) - |
|
|||||||
- |
т ( ^ |
+ Й |
Ф(Г)М+ ^ w [ [ Jt |
+2) + |
|
|
|||
2zb |
|
|
|
|
, z V Y ; |
|
|
|
|
+ |
;( т + |
2) Ь |
( |
- ^ |
) |
3b yH 1 C - |
2), + |
|
|
|
|
|
|
|
(x —26)2 |
|
|
||
|
+ !;.- + з ( ; |
2)]“ p(- |
2vz2 |
) - |
|
|
|||
|
|
|
|
|
'___ £_\l |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
2VZ2 j j |
|
262\ |
|
X |
|
|
|
|
(zb |
Л |
/ |
|
|
|
|
|
|
Ы |
- 1) |
exp 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4vz3V2v . |
|
|
(11.53) |
||
|
|
|
|
зW Y T, |
J |
|
|
4 |
’ |
Разделим выражение (11.53), определяющее давление на пло щадку, на величину нагрузки на штамп:
Ра = № Рср.
После деления получим формулу, определяющую отношение давления на площадку к нагрузке на штамп, т. е.
% - Ш т + 2Н т + 2)+?(т + ')]»(17?)+
- т ( ^ + | г ) ФШ + ^ [ ( т + 2)' +
+?~3(т+2) М |
- ^ ) + ^ ( т - 2)' + |
2 vZ2 |
(* -2 6)2 j |
+ ^ + 3( i - 2) H ( - |
2vz2 |
При положении площадки под штампом, т. е. если х = О, фор мула (11.54) преобразуется к виду
§15. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПО ОСИ КРУГА, ЗАГРУЖЕННОГО КОНУСООБРАЗНОЙ НАГРУЗКОЙ
Характер распределения нагрузки по кругу (рис. 11.1, VIII) выражается уравнением
/(Г) = Я (1- ^ - ) .
Для решения вопроса о распределении вертикальных напряже ний по оси круга, как и в случае параболической нагрузки, вос пользуемся формулой
о
(11.55)
Параметры и функции этого выражения для рассматриваемого случая имеют следующие значения
/( ? . ') = /(г) = Я ( 1
F (г, а, <р) = R\
/( ? . Я ) - / ( Я ) « 0; /( ? . 0) = /(0) = Р;
?. = 2Р;
д/(Ч>. Ч )____ д_ р I j ____ з _ \ = ____ £_
После подстановки этих значений формула (11.55) примет вид
о |
р_ |
I |
dcp. |
|
2к |
||||
|
|
|||
|
|
О |
|
После интегрирования и подстановки пределов получим
§ 16. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ НАГРУЗОК
Рассмотрим распределение напряжений от сосредоточенной силы. Приведем решение, полученное Р. А. Муллером [62]. По скольку внешняя нагрузка направлена здесь вдоль оси х , то в урав нениях, составленных для вертикальных напряжений, поменяем местами переменные х и z. В результате для напряжения ах в пло ской задаче получим уравнение
д<зх д2ах
(11.56)
дх dz2
Для сосредоточенной горизонтальной силы это уравнение ре шается при следующих граничных условиях:
при х - + 0 1 |
а* ^ ’ Т ' |
|
|
z -> О J |
|
при |
z -> оо |
ах —>0; |
при |
z < 0 |
ох = 0; |
при Z = |
0 ---- -- : |
= 0. |
F |
dz |
|
Решение уравнения (11.56) при указанных граничных условиях
-ехр
У 2ых2 |
У 2vW |
Вертикальные и касательные напряжения в этом случае
Для сосредоточенной нагрузки горизонтальные напряжения
т |
ехр I |
У2+ г2 \ . |
- 271V*2 |
{ |
2v*2 ) ’ |
°г* = ----„2Gx\Xt
vУ2 = -vl c
Для плоской равномерно распределенной горизонтальной на грузки (рис. 11.3)
|
= |
[ Ei (--------- |
2V ------+ |
) - Ei ( |
---------- -----)1; |
2] / 2*v- |
L V |
I 2 v ( * - 6 ) * / J |
|||
, = — - |
Гехр |
(---- ------- |
) — exp (--------- |
-------; |
|
у т ~ L |
\ |
2s ( x + b ) * J |
* 4 |
2 v ( x - 6 ) 2 jJ |
г
Рис. 11.3. Схема к расчету напряжений от горизонтальной равномерно распре деленной полосовой нагрузки
где |
; _ |
^2[ фLt ^ L\ .^. ( с+д 6)\ у/ |
^ ( х — ь))_ |
|
|
т — интенсивность |
горизонтальной |
на |
|
|
|
грузки; |
|
|
- E i (-</) = |
J |
— интегральная |
показательная |
функ |
|
ция. |
|
|
Для произвольной горизонтальной нагрузки в плоской задаче решение для аг можно получить путем интегрирования выражения
- Г , |
exp Г---------*— ] *; |
||
J |
|
L |
2 V (X — € )Ч |
о ,= и , + |
» ¥ ^ |
; |
(11.57) |
|
„ дзх |
|
|
~дг
Для пространственной задачи при направлении усилий вдоль оси х
оX ~ ± |
я е . *.) |
ехр |
/ |
г2+ (у — т;)2\ |
2-v (х — е)2 |
I |
2v (x -e )2 / |
Остальные компоненты напряжения определяются путем диффе ренцирования формул, аналогичных (11.57) и (11.58).
§ 17. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗЕРНИСТОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА У НЕПОДВИЖНОЙ ПОДПОРНОЙ СТЕНКИ i
Напряженное состояние для зернистой среды при принятой си стеме координат (рис. 11.4) может быть получено из следующих
где Т |
^ |
и |
Рис. |
11.4. Схема загружения мас- |
объемный вес грунта. |
сива |
произвольной нагрузкой |
||
Уравнение (11.59) должно быть |
у неподвижной подпорной стенки |
решено при определенных на
чальных и граничных условиях; |
начальным условием является на |
|
грузка на поверхности массива грунта |
|
|
Ч - о |
= *М - |
(И-62) |
Рассмотрим граничные условия для уравнения (11.59). Для не ограниченного массива, когда вертикальная сила в среде может распространяться безгранично, граничным условием является требование о том, чтобы в бесконечно удаленной точке производ ная напряжения стремилась к бесконечно малой величине, т. е.
— ->0 при X—>со. |
(11.63) |
дх |
|
Граничное условие у стенки должно соответствовать тому, что вертикальная сила не может распространяться безгранично. Вер тикальное напряжение у стенки не передается полностью на ни жележащие слои грунта, а частично воспринимается самой стенкой за счет сил трения и сцепления с грунтом из-за шероховатости
* § 17 написан Р. А. Муллером.
подпорной стенки. Если стенка абсолютно гладкая, то вертикаль ная сила полностью передается на нижележащие слои, касательные напряжения между стенкой и грунтом равны нулю, т. е.
— = 0 при х = 0. |
(11.64) |
дх
Если стенка абсолютно шероховатая, то вертикальная сила вос принимается полностью ею и не передается на нижележащие слои, т. е.
о2 = 0 при * = 0. |
(11.65) |
Если стенка обладает конечной шероховатостью, то условия |
|
(11.64) и (11.65) выполняются лишь частично. Тогда |
|
+ D°z = 0 при л: = 0. |
(11.66) |
Коэффициент D характеризует шероховатость стенки и имеет размерность, обратную линейной. Если D = 0, коэффициент шеро ховатости стенки равен нулю, получим условие (11.64).
Если коэффициент шероховатссти безгранично увеличивается, D -> оо, получим условие (11.65).
Отметим, что граничное условие (11.66) для уравнения (11.59) является распространенным. В теории теплопроводности оно выра жает тот факт, что теплообмен между поверхностью тела и окружаю щей средой происходит по закону конвективного теплообмена т. е. пропорционально разности температур тела и среды.
В теории блуждающих частиц и теории диффузии условие (11.66) выражает тот факт, что на границе ряд частиц поглощается экраном, а ряд частиц отражается и т. д.
Таким образом, для определения напряженного состояния грунта необходимо решить уравнение (11.59) при начальном усло вии (11.62), граничных условиях (11.63) и (11.66), а также восполь зоваться выражениями (11.60) и (11.61).
Как известно, решение неоднородного уравнения (11.59) можно представить как сумму решения неоднородного уравнения (11.59) при нулевых начальных условиях и решения однородного уравне ния (11.59) при начальных условиях (11.62), т. е. как сумму напря женных состояний грунта от собственного веса и от поверхностных нагрузок.
Рассмотрим эти задачи раздельно. Определим напряженное со стояние от собственного веса грунта. Нам необходимо решить урав нение (11.59) при граничных условиях (11.63) и (11.66) и началь
ном условии |
|
о2= 0 при г = 0. |
(11.67) |
В теории теплопроводности готового решения этой задачи нет. Задача осложняется тем, что коэффициент в уравнении (11.59) за
висит от координаты г. Схема решения такова. Общее решение не однородного уравнения можно представить как сумму частного ре шения (11.68) и общего решения однородного уравнения при на чальном условии (11.67), краевых условиях (11.64) и (11.66), а также дополнительном граничном условии, вызванном частным решением (11.58)
°21 = |
Г*; |
(11.68) |
|
ах1 = V72. |
|
||
Задача сводится к решению уравнения |
|
||
даг |
д2а2 |
(11.69) |
|
дг |
дх2 |
||
|
|||
при начальном условии аг(х, 0) = |
О |
|
|
и краевых условиях -^ -(0 , г) + |
D [чг — а.(0, z)]= 0; |
(11.70) |
|
дх |
|
|
|
°2 — (°°> |
г) = 0. |
|
Иными словами, задача сводится к решению уравнения тепло проводности (11.69), когда температура среды есть функция времени. Разность результатов решений уравнений (11.68) и (11.69) будет общим решением уравнения (11.59). Уравнение (11.69) при условиях
(11.70) |
непосредственно не |
решается. После подстановки |
|
||||||
|
|
|
|
|
4 |
= т |
|
(11.71) |
|
уравнение (11.69) сводится к каноническому виду |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
дог |
_ |
д2ъг |
|
(11.72) |
|
|
|
|
!h~ ~ V |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
а условие |
(11.70) к виду <з2(х, |
0) = 0; |
|
|
|||||
|
|
|
- ^ ( 0 , |
z) + D [ i Y |
b - c 2(0, z ) ] = 0 ; |
(11.73) |
|||
|
|
|
|
|
а2 (оо, |
х) = 0. |
|
|
|
Уравнение (11.70) при условиях (11.72) имеет известное в теории |
|||||||||
теплопроводности решение |
|
|
|
|
|
||||
|
о 2= |
ч ]/"2 ]/"х exp (---— ) ----*1 erfc — |
— |
|
|||||
|
22 1 у |
у |
н \ w |
у 21/ ; |
2 |
|
|||
- y t ^ |
V |
v |
[erfc |
- |
ехр (v D 4 + D jr)erfc |
+ D |
V ™ )]• |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
erfc = |
—= |
f exp (— x2) dx. |
|
(11.74) |
|
|
|
|
|
|
У я J |
|
|
|
Функция erfcx— табулированная функция (erlcO = 1).
После проведения необходимых выкладок получим выражение для вертикальных напряжений
°* = -rz -rz e x p ( |
- |
£ |
) + I* | / Д |
erfc ( |
^ ) + |
|
|||
|
|
+ У / 2v D Ы С у * , г |
|
|
|
||||
I |
№ |
, |
J |
|
|
|
|
|
(11.75) |
— exp I |
V— |
+ |
Z |
ХУ |
{С{ у Ъ г + 0 г ] / Г |
2 ) ] ’ |
|||
|
|
|
|
|
|||||
При D = О |
|
|
|
|
°2 = V- |
|
|
|
(11.76) |
При D = со |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
1 |
V |
2v |
у Ъг |
(11.77) |
|
|
|
|
|
|||||
Для решения (11.76) |
необходимо |
раскрыть неопределенность |
|||||||
в первой части выражения (11.75). |
|
|
|
(11.78) |
|||||
При х ^ о э |
oz -+4Z. |
|
|
|
|
|
|
||
При х = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аг = Т |
|
_1 |
|
|
|
|
|
|
(11.79) |
|
|
|
|
|
|
|
|
D
Таким образом, вертикальные напряжения в массиве распреде ляются следующим образом. Вертикальное давление грунта у стенки
определяется по формуле (11.79); при z |
оо |
|
|
_1_ |
(11.80) |
|
D |
|
Коэффициент шероховатости D определяет наибольшую вели чину вертикального давления у стенки по формуле (11.80).
Дифференцируя выражение (11.75) по х, получим по формуле (11.60) касательные напряжения в массиве
|
|
|
— erfc |
X |
(11.81) |
|
|
|
V ¥ , z |
||
|
|
|
|
|
|
Выражение для тЛГ2 принимает вид |
|
||||
при |
D = 0 |
%хг = 0; |
|
|
|
при |
х оо |
%Х2 |
0; |
|
|
При X — 0 |
= |
fZ |
ехр Г -т ) erfc |
|