книги / Теория упрочняющегося пластического тела
..pdfSp, поэтому из уравнения виртуальных работ
JFl (и? - |
щ) dV + |
J (и? - |
Ui) dS = |
jаи (4 - |
еи) dV = |
||
v |
|
sp |
|
v |
|
|
|
|
|
|
= $ O u $ - 4 i )d V |
(3-58) |
|||
|
|
|
У |
|
|
|
|
Учитывая |
соотношения |
|
|
|
|
|
|
Cijhk( 4 — *?/) (*Лй — ehk) = Cipikeijehk = Сикк^Ркк' |
|||||||
|
^ij feij |
eij) — Gifiij = |
C{j}ikGijGhki |
|
|
||
|
°ii (eij eij) = C'ij/ik (°iy |
^ii)» |
|
|
|||
из (3.57), |
(3.58) получим |
|
|
|
|
|
|
U — {7° = |
j |
[о?Дк — оцопк — 2ai7- (a^- — ал(с)] dF = |
|||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
= 4 - J Ciihk (a?- - |
ad) (aftfc - ал1с) dF > |
0. |
(3.59) |
||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
Этим завершается |
доказательство |
неравенств |
(3.52). |
||||
|
§ 6. Экстремальные принципы |
|
|
||||
|
для жестко-пластического |
материала |
|
Для жестко-пластического тела имеет место цепочка неравенств (3.36). Доказательство следует из результатов § 4 этой главы, если положить компоненты упругой де формации равными нулю (Cijhh = 0). Отметим, что для кусочно гладких поверхностей из (3.34), (3.35), (1.55) следует
W = 4 S2 Cgh^fdV - |
a*jnjViodS,f |
(3 |
|
v «J |
|
s„ |
|
W = ---- |-J ^ c qh -\ f^ d V + |
f FrfdV + j givUS. |
(3.61) |
|
v q |
V |
sp |
|
Для жестко-пластических тел можно установить также принцип максимальной пластической работы. Согласно принципу максимума Мизеса при фиксированных etj,
имеет место неравенство
(<*ij |
^ij) ®ii 5^* |
(3.62) |
где o*j будем рассматривать как статически допустимые напряжения. Интегрируя соотношение (3.62) по объему и переходя к поверхностным интегралам, получим
j (eu - о*) zi}dV = J( P i - p?) ui0 dS >0. |
(3.63) |
||
v |
su |
|
|
Из (3.63) |
следует |
|
|
|
j* P iU m d S |
j* P iU iod S . |
(3.64) |
Таким образом, работа, совершаемая действительными поверхностными силами на заданных перемещениях, достигает максимально возможного значения среди всех поверхностных сил, соответствующих статически допус тимым напряжениям.
§ 7. Теорема единственности и экстремальные принципы для остаточных напряжений и деформаций
Предположим, что данному упрочняющемуся упру го-пластическому материалу при граничных условиях (3.12) поставлено в соответствие геометрически равное упругое тело при тех же граничных условиях. Это тело назовем «фиктивным». Тензор напряжения в фиктивном
теле обозначим через о$. Это упругое распределение напряжений, очевидно, единственно.
Упругие деформации фиктивного тела определяются соотношениями
4f = cim<#.
Деформации е$ совместны; им соответствуют переме
щения и\е\ связанные с компонентами |
формулами |
Коши |
|
Ле) |
_ 1 |
/7У(е). I |
Щ, i) • |
eij |
— ~2~ |
\ Ui, ] + |
Напряжения в упрочняющемся упруго-пластическом теле могут быть представлены в виде:
+ Pij» |
(3.65) |
где рij — так называемые остаточные напряжения, ос тающиеся в теле после снятия всех нагрузок.
Деформации в упрочняющемся упруго-пластическом теле могут быть представлены в виде:
|
eij = |
eif + |
(3.66) |
где £jj — так |
называемые остаточные деформации, об |
||
разующиеся в теле после снятия всех нагрузок. |
соответ |
||
Остаточные |
деформации |
совместимы; им |
ствуют остаточные перемещения т]г-, связанные с компо нентами формулами Коши
= ~2~('Hi* J“b i)'
Остаточные напряжения pi7самоуравновешены и удов летворяют нулевым граничным условиям на Sp. Ос таточные деформации таковы, что остаточные переме щения т]г- удовлетворяют нулевым условиям на Su•
Отметим разницу между упругими деформациями упру
го-пластического |
тела e\j = etj — efj и |
упругими |
дефор |
мациями фиктивного тела e{f = etj — |
Первые, вооб |
||
ще говоря, несовместны, вторые совместны всегда. |
|||
Разность |
— eVij определяет |
упругие |
остаточ |
ные деформации. Легко видеть, что |
|
|
|
|
Р« = с 1т®\ |
|
(3.67) |
Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и у т в е р ж д а - е т, что при данном распределении пластических деформа
ций е%, нулевых нагрузках и перемещениях на S рас пределение остаточных напряжений единственно. В соот ветствии с теоремой виртуальных работ, имеем
|(р8>- р« И 6 « - $ ))Л' =
- J (р« — Plf) “i (л!1’ — <i“ ) <w. |
( 3 . 68) |
S |
|
Интеграл в правой части (3.68), согласно граничным условиям, равен нулю, а левая часть принимает вид:
|(р8) - р $ ) ( $ * ) - б Г ) « л г = о.
V
Исходя из закона Гука (3.67), получим
(p(i? - |
Р $ ) |
- I T ) = Симс Ш - |
p f) (РЙ - РЙ) > О |
при |
=f= р®. |
Следовательно, piy* = |
р$\ |
Рассмотрим экстремальные принципы. Статически воз можное распределение напряжений можно представить в
виде: |
|
оц = |
+ Ра- |
Очевидно, что тензор |
— один и тот же для всех |
статически возможных напряжений. Тензор р*у удовлет воряет уравнениям равновесия без массовых сил и нуле вым условиям на Sp.
Минимальный принцип для остаточных напряжений формулируется следующим образом: абсолютный мини мум выражения
R* = ~ f Cijhkp\phkdV + |
Г p-.ef.dV, |
(3.69) |
У |
V |
|
определенного для всех заданных пластических деформа ций и для всех распределений статически возможных остаточных напряжений, отвечает действительному рас пределению остаточных напряжений.
Вычтем из (3.69) аналогичное выражение, составлен ное для действительных остаточных напряжений
Я * - R = |
4 - f |
( р ; л , - PiiPwt) d V - [ (Р*; - Pi;) eudV. |
|
|
V |
V |
|
Заметим, |
что |
(3.70) |
|
J(Ру — Ра) h jd V = 0, |
|||
|
|
||
|
|
У |
тогда второй интеграл (3.70) может быть преобразован к
виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
J (Р« - Р «) ^ |
= |
- j |
(Рад - |
Ри) |
= |
|
|
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
— j |
(рад — Pii)PhkdV. |
(3.71) |
||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
Согласно (3.71) |
выражение |
(3.70) |
примет вид: |
|
||||
R |
Л = |
J Сам lPijP*hlt— PijPhfc |
2 (р!?. |
piy) PM ] dK = |
||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
= 4 " |
1 Cijhk (p'a— p«) (PA»_ |
p ^ ) > |
°> |
|
|||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
что |
и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|||
|
Введем кинематически возможное ноле остаточных |
|||||||
деформаций |
|
Кинематически возможное |
поле |
дефор |
||||
маций можно представить в виде: |
|
|
|
|||||
|
|
|
еИ= e\f + 5?у* |
|
|
|
||
|
Очевидно, |
что |
тензор |
удовлетворяет условиям сов |
местности и соответствует нулевым перемещениям на Su. Кинематически возможные остаточные перемещения
обозначим через ц?, тогда
чУ.*)-
Максимальный принцип для остаточных деформаций формулируется следующим образом: абсолютный макси мум выражения
R0 = тJ |
(йн - -eb)d74) + j |
определенного для заданных пластических деформаций
^Р. и для всех распределений кинематически возможных даточны х деформаций, отвечает действительному распре делению остаточных деформаций. Доказательство впол не аналогично доказательству второго неравенства (3.52).
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ПЛАСТИЧЕСКИХ
ИСЛОЖНЫХ СРЕД
А.Т Е О Р И И Т Е Ч Е Н И Я
§1. Теории изотропного и анизотропного упрочнения
Предположим, что функции нагружения упрочняю щегося пластического материала полностью определяют ся компонентами тензоров напряжений и пластических деформаций
/ (ч) (°ij. eij) = 0 . |
(4 .1 ) |
Пусть данный путь нагружения приводит ко вполне определенному деформированному состоянию независимо от ориентации тела относительно некоторой декартовой системы координат xt. Тогда функции нагружения могут зависеть лишь от инвариантов напряженного и деформи рованного состояния. Инвариантами напряженного и деформированного состояния будут инварианты тензоров
Oij, efj, а также совместные инварианты этих тензоров. Число основных, базисных инвариантов, через которое
могут быть выражены все инварианты тензоров cri7, efj (в том числе и совместные), равно девяти. Это обстоятель ство соответствует тому факту, что данное напряженное и деформированное состояние полностью определяется шестью величинами главных компонент напряженного и деформированного состояния, а также тремя независимы ми величинами, характеризующими взаимную ориента
цию главных направлений тензоров оц и е%.
Таким образом, можно записать
/(9) (°{> еи а >Pi Г) = 0) |
(4 .2 ) |
где Oi, ef\ — главные компоненты тензоров напряжений и пластических деформаций; а, |3, у — три величины, на пример эйлеровы углы, характеризующие взаимную ориен
тацию главных |
направлений |
ef. |
|
|
|
|||
В качестве базисных могут быть выбраны любые де |
||||||||
вять |
независимых инвариантов, |
например, |
|
|
||||
о = |
1 |
2 3 = |
1 |
Ърф |
2 3 — |
1 |
Л |
'I |
-з -6” ’ |
- 2 |
3 |
GijGjk^kii |
|
||||
ер — — Л |
Е\ = |
1 |
V V |
Е1 = |
1 |
V V V |
v |
|
~Y eiieih |
“з" eij^jk^ki4 |
|
||||||
П2 == 6ijeij) |
|
1 |
V V |
П21 = : “з-Gij5jkeki- |
|
|||
Пх2 =: ”з“ ^ij^jkekit |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3) |
Очевидно, что если функции нагружения (4.1) зависят только от инвариантов (4.3), то материал является пер воначально изотропным.
Если материал является первоначально анизотропным или становится анизотропным в процессе пластического деформирования таким образом, что данный путь нагру жения приводит к различным деформированным состояни ям в зависимости от ориентации тела в системе координат Xi, то подобная анизотропия материала характеризуется некоторым вполне определенным тензором или тензорами анизотропии (которые могут быть различных порядков), и функции нагружения в этом случае зависят от различ
ных инвариантов тензоров а*;, efj и анизотропии.
а. Изотропное упрочнение. В теории изотропного уп рочнения предполагается, что функции нагружения за висят только от инвариантов тензоров напряжений и тен
зоров пластических деформаций |
|
/ (?) (a, 2 2, 2s, Л E l E l ki) = 0. |
(4.4) |
В этом случае функции нагружения всегда инвариантны относительно преобразования системы координат и тело сохраняет свойства изотродии во дремя процесса пласти ческого деформирования.
В случае, когда пластические свойства материала не зависят от действия гидростатического давления, функ ции нагружения имеют вид:
(2а* |
Яа ,Я 3 ,Ач) = 0, |
(4/5) |
где Si, 2з, Е'ъ, Е'р — соответственно второй и третей инварианты девиаторов напряжений и пластических де формаций.
Простейшие варианты теории изотропного упрочнения определяются следующими видами функций нагружения:
|
|
max» Tmax) — А, |
(4.6) |
|
|
|
/ (2г» Е2) = А. |
(4J) |
|
Рассмотрим, например, функцию нагружения (4.7) в |
||||
случае линейного |
упрочнения: |
|
|
|
= |
А + |
а т У ' , |
а = const. |
(4.8) |
Согласно ассоциированному закону пластического те |
||||
чения |
|
|
|
|
|
|
еу = |
|
(4.9) |
Аналогично могут |
быть рассмотрены соотношения |
е% — аи для других функций нагружения.
б. Анизотропное упрочнение. В теории анизотропного упрочнения ограничимся рассмотрением следующей функ ции нагружения:
f q) (а, 2 „ 2 „ Л E l Е 1 П21 П12) П21, А») = 0. (4.10)
Как уже было сказано, в этом случае данный путь нагру жения приводит к определенному деформированному состоянию независимо от ориентации тела в системе ко ординат Xi.
В случае, когда пластические свойства материалов не зависят от действия гидростатического давления, функ
ции нагружения имеют вид: |
|
/(?) (2;, 2 „ E'i, E'i, 4 4 , / 21, к{) = 0. |
(4.11) |
Рассмотрим один из вариантов теории анизотропного упрочнения. Введем тензор активных напряжений
о?у =*= dij — stj, где stj = aefj. Величина а может зависеть
от инвариантов тензоров ai;-, efy, в простейшем случае она постоянная. Очевидно, что совокупность независимых
инвариантов |
тензора |
о?;- охватывается |
совокупностью |
|
инвариантов |
(4.3). |
что |
функции нагружения имеют вид: |
|
Предположим, |
||||
|
/ в)(с&) = / № (< % -* /) = <>. |
(4.12) |
||
В пространстве |
тензора напряжений |
ог?;- поверхности |
||
напряжений |
= |
0 |
фиксированы, в пространстве дейст |
вительного тензора напряжений аи они испытывают пере нос как жесткого целого на величину компонент . По добные теории носят название трансляционных теорий анизотропного упрочнения.
Рассмотрим частный вид зависимости (4.12), а именно:
(tyj — aefj)(oij — aefj) = A2, a = const. |
(4.13) |
Очевидно, что в данном случае имеет место линейное уп рочнение т = А + ау. Ассоциированный закон течения имеет вид:
ef; = 2ц° (<3 j,- — aefj). |
(4.14) |
Отметим, что соотношения теории анизотропного уп рочнения, использующие функции нагружения в виде:
/ (9)К |
- а ^ . ) = 0, |
(4.15) |
где Sij = ае?•, а = const, |
имеют следующее свойство: за |
кон упрочнения, вообще говоря, меняется с переходом от первоначального пространства напряжений к простран ству меньшего числа измерений (переход от общего про странственного случая к частным случаям плоской задачи, чистого сдвига и т. п.). В частных случаях поверхность нагружения не перемещается по направлению ассоцииро ванного вектора скорости.
В работе [21] предложена модификация закона уп рочнения; для устранения отмеченных особенностей
предлагается принять
dsu = (Gij — Sij) dv, dv > 0. |
(4.16) |
В этом случае закон упрочнения (4.15) не меняется для любого подпространства.
§ 2. Об ограничениях, налагаемых постулатом Драккера на функции нагружения
Условие устойчивости, следующее из постулата Драк
кера, предполагает выполнение неравенства a^efy > 0 для всех путей нагружения. Это условие накладывает ограничение на виды законов упрочнения или, другими словами, на характер изменения функций нагружения при пластическом деформировании.
Для простоты предположим, что функция нагружения
определяется |
значением |
пластических |
деформаций |
||||
f(Oij, el-j, к) = |
0. Тогда для приращений напряженного и |
||||||
деформированного состояния имеет |
место |
равенство |
|||||
|
|
91 d ^ -\ -4 L -d el |
0. |
|
|||
|
|
|
|
К |
|
|
|
Используя соотношения ассоциированного закона те |
|||||||
чения |
= \i°df/dOij, |
получим |
|
|
|
||
|
|
+ (Ю 2 |
г] |
|
= 0- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что, |
согласно |
постулату Драккера, |
||||
Oifiij > |
0, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df |
df |
< 0. |
|
(4.17) |
|
|
|
д5и |
deVj |
|
|
|
Соотношение (4.17) является условием устойчивости для рассматриваемого вида функций нагружения. Рассмот рим выполнение неравенства (4.17) для некоторых моде лей упрочняющегося пластического тела. В случае ва рианта теории изотропного упрочнения, определяемого