книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
.pdfЗадача 7,19 (для самостоятельного |
решения). Построить кав- |
диоиду |
р |
г = 2а (1 -f- cos ср) |
(а > 0). |
Задача 7,20 (для самостоятельного решения). Построить ги перболическую спираль
' = £ ( * > 0).
ВОСЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
С о д е р ж а ние: Составление уравнения кривой по ее геометрическим свой ствам.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Составить уравнение линии на плоскости в выбранной систе ме координат — это значит составить такое уравнение с двумя
переменными, которому удовле |
|
|||
творяют |
координаты любой |
|
||
точки, лежащей на этой линии, |
|
|||
и не удовлетворяют |
координа |
|
||
ты точек, которые на этой ли |
|
|||
нии не лежат (это определение |
|
|||
следует |
-усвоить, |
так |
как оно |
|
неоднократно в дальнейшем ис |
|
|||
пользуется). |
уравнения ли |
|
||
Для |
вывода |
|
||
нии поступают так: |
|
|
||
1. Выбирают |
на |
плоскости |
Фиг. 8,1. |
|
систему координат. |
|
|
2. На линии, уравнение которой выводится, берут произволь ную точку. Координаты этой точки обозначают через х н у , если уравнение линии выводится в прямоугольных координатах, или через г и ср, если оно выводится в полярных координатах. Осно вываясь на заданном свойстве всех точек, лежащих на линии, составляют уравнение, связывающее координаты произвольной точки с некоторыми постоянными величинами, данными в задаче. Найденное уравнение и будет искомым.
Задача 8, 1. Составить уравнение окружности, проходящей через полюс системы координат, центр которой С лежит на по
лярной оси, а радиус равен R (фиг. 8,1), и найти уравнение этой окружности в прямоугольных координатах.
Для вывода уравнения окружности, указанной в задаче, возь
мем на окружности |
произвольную точку А (г, ср) и соединим ее с |
точкой В — концом |
диаметра. Угол ОАВ — прямой, а потому, |
так кад диаметр равен 2R, из прямоугольного треугольника АОВ получаем r = 2R cos <р.
Эго и будет искомое уравнение. Теперь преобразуем это уравне ние к прямоугольным координатам. Используя формулы переход3 (7, 2), будем иметь
± У х 2+ у2 = 2R l y i r f -
Умножая обе части уравнения |
на |
± V x * + уг получим |
х2+ у2 = 2Rx, или |
х2 + |
у2— 2Rx = 0. |
Задача 8, 2 (для самостоятельного решения). Найти уравнение окружности радиуса R, проходящей через полюс, центр которой С лежит на прямой, перпендикулярной полярной оси и проходящей
через полюс (фиг. 8, 2). Найти урав-
r = 2R sin <р.
Уравнение этой окружности в прямоугольных координатах х2-f- у2— 2Ry = 0.
Задача 8, 3 (для самостоятельного решения). Найти уравнение
окружности радиуса а, центр которой находится в |
полюсе. |
На |
|||
писать уравнение этой окружности |
в прямоугольной системе ко |
||||
ординат. |
|
|
|
|
|
О т в ет . г — а\ в прямоугольной |
системе |
координат |
|
||
х2+ |
у2 = а2. |
|
|
|
|
Задача 8,4. Отрезок АВ неизменной длины 21 скользит своими |
|||||
концами по сторонам прямого |
угла. Из вершины |
угла на |
этот |
||
отрезок опущен перпендикуляр |
ОС. Найти |
геометрическое |
место |
оснований таких перпендикуляров. Построить кривую и найти ее уравнение в прямоугольных координатах.
Р е ш е н и е . |
Поместим полюс |
полярной системы |
координат в |
|
вершину прямого угла, а полярную ось направим |
по |
одной из |
||
сторон прямого |
угла — например, |
по стороне ОВ (фиг. |
8,3). |
Пусть |
точка |
С имеет полярные координаты г и <р. Тогда |
||
|
|
|
ВС = л tg <р |
|
|
|
______ А С = |
г ctg ср_____ |
|
|
|
В С + А С = |
г (tg <р+ ctg ср), |
|
НО |
ВС + АС = 21 и |
г (tg <р-J- ctg<р) = 21, |
||
|
||||
а отсюда |
|
|
|
|
f ' |
sin2 у + |
cos2y _ |
2 1 |
|
|
sin у • cos у |
' |
|
|
г--.—-— |
= 21, |
или г = |
/ sin 2®. |
|
— sin 2у |
|
|
|
2
Это и есть искомое уравнение. Значит, наше геометрическое место имеет уравнение
г = I sin 2<р. |
|
Фиг. 8,4. |
|
Кривая— четырехлепестковая |
роза (фиг. |
8,4). |
|
Теперь постройте кривую |
(полярному |
углу у придавать значе |
|
ния от ср = 0 до <р = 2% через |
промежуток а = |
Найдем урав |
нение этой кривой в прямоугольной системе координат. Уравне ние кривой перепишем в виде r = 2isincpcos ср (sin 2ср = 2sin<pX х cos <f). Используя формулы (7,2) для перехода от полярной си стемы координат к прямоугольной, получим
± V x 2+ У* - 2/ ± у хг ± yi • ± у хъ+
а отсюда, возводя в квадрат обе части равенства, будем иметь окончательно
(х2+ у2)3= 412х2у2.
Сравнивая уравнение нашей кривой в прямоугольных крординатах с ее уравнением в полярных координатах
г = / sin 2<р,
мы усматриваем, что последнее значительно проще. Кривая по лучается поворотом на 45° кривой, изображенной на фиг. 7,13.
Задача 8,5. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная а2. Длину АВ считать рав ной 2а.
Р е ш е н и е . Проведем вывод уравнения в прямоугольных ко
ординатах. |
Направим ось Ох по прямой, соединяющей А и В, |
||
как обычно, |
вправо, начало |
координат поместим в средине |
оТт |
резка АВ, ось Оу направим |
вверх по перпендикуляру к оси |
Ох- |
Длина отрезка АВ по условию равна 2а(АВ = 2а); тогда точки А и В будут иметь координаты: А (—а, 0); В (а, ОД Пусть точка М
принадлежит |
кривой. |
Ее |
координаты |
обозначим через х и У |
(фиг. 8, 5). |
задачи |
AM |
ВМ = а2. |
По формуле расстояния |
Из условия |
между двумя точками
AM = У (х + а)2+ у2, ВМ = У (х — а)2 + У2.
|
Значит, |
|
|
|
У (х + а)2+ |
у2х |
|
|
X У ( х ~ а)2 +~У' = |
а2. |
|
|
Возведем обе части этого урав |
||
|
нения в квадрат: |
|
|
|
К* + а? + У*\ [{х — а)2 + |
||
|
+ Уг\ = а \ |
|
|
или |
у2 + а2) + 2ах\ [(х2+ у2 + а2) — 2ах1 = |
|
|
[(х2+ |
а4; |
|
|
|
(х2+ у2 + а2)2 — 4а2х2= а4. |
|
|
Упрощая, |
получаем |
|
|
|
(х2+ г/2)2= 2а2(х2— у2). |
|
|
Это и есть искомое уравнение. |
координатам, |
||
Преобразуем теперь это уравнение к полярным |
|||
поместив полюс полярной системы координат в начале |
прямо |
угольной системы координат, а полярную ось направим по поло
жительной полуоси Ох. |
Подставляя в последнее уравнение зна |
||||
чения х и у |
из |
формул |
перехода |
(7, 1), |
будем иметь |
|
|
г4= |
2a2r2 (cos2<р— sin2<р). |
||
Замечая, |
что |
cos2<р — sin2<р = |
cos 2ср, |
и сокращая на г2, полу |
|
чим окончательно |
г2= 2a2cos 2ср. |
|
|||
|
|
|
|
Кривая, определяемая этим уравнением, называется лемниска той Бернулли. Постройте теперь эту кривую.
Так же, как в задаче 7, 12, составьте таблицу значений г по известным значениям <р, имея в виду, что так как полярный ра диус может принимать только действительные значения, то кривая не может быть расположена в тех секторах, где полярный ра диус имеет мнимые значения.
Это будет |
иметь |
место |
для значений |
<р от 9 = |
-^до<р = — л |
||
и от tp = |
—и до |
— |
а поэтому в этих |
секторах точек |
кри |
||
вой нет. На фиг. |
8, 6 эти секторы заштрихованы, |
а кривая |
изо |
||||
|
|
|
бражена на фиг. 8, 7. |
|
|
||
|
|
•Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
Г |
2* |
Г |
г |
|
Фиг. 8,6. |
|
|
|
Фиг. 8,7. |
|
|
|
ДЕВЯТОЕ |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ |
|
||||
С о д е р ж а н и е : |
Продолжение упражнений |
в составлении уравнений |
|||||
линий. |
|
|
|
|
|
|
|
Это практическое занятие является продолжением предыду щего. Мы будем составлять уравнение линии по извест
ному свойству, общему всем ее точкам. Задача 9 ,1. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух
данных точек.
Решение. Возьмем прямоуголь ную систему координат и пусть две данные точки В и С лежат на оси абсцисс и имеют координаты (хъ 0) и (хъ 0) (фиг. 9, 1). Пусть точка А при
надлежит |
искомому |
геометрическому |
|
|
||
месту. Обозначим ее координаты через |
|
|
||||
х и у: А (х, |
у). |
|
|
|
Фиг. 9,1. |
|
На основании формулы для определения |
расстояния |
между |
||||
двумя точками |
|
|
|
|
|
|
АВ = У (*-*!)* + if, АС = V ( x - x t f + y\ |
|
|||||
и значит, так как по условию |
ЛВ = ЛС, мы |
можем написать, |
||||
что |
К(ЗГГI t f + |
P |
= J/ { х - х 2)* + у \ |
|
||
|
|
|||||
Это и есть |
уравнение |
искомого |
геометрического места. |
будем |
||
Возводя |
в квадрат обе |
части последнего |
равенства, |
|||
иметь |
|
|
|
|
|
|
(х ~ х х)2 + У2 = (х — x tf + у \
После очевидных упрощений получим
2х (х2— *i) = (х2— хг) (х2+ X,);
сокращая на х2— х2 (х2— хх =?£=()), |
имеем |
|
|
|
|||||
или |
|
2х — xt + |
хй, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*1 +2* 2 |
' |
|
|
|
|
Это уравнение прямой, |
перпендикулярной |
оси |
Ох |
и прохо |
|||||
дящей через середину отрезка ВС. |
местом является |
прямая, пер |
|||||||
Итак, искомым |
геометрическим |
||||||||
пендикулярная к |
отрезку |
ВС, |
соединяющему |
данные точки, и |
|||||
проходящая через |
его средину. |
|
|
|
|
|
|
||
З а м е ч а н и е . |
При решении задачи нам пришлось уничтожить |
||||||||
радикалы в уравнении искомого геометрического места |
|
||||||||
V {х — *i)2+ У2 = У (х — х2)24- г/2, |
|
(Л) |
|||||||
в результате чего было получено |
уравнение |
|
|
|
|||||
|
|
v _ |
*1+ *2 |
|
|
(fi) |
|||
|
|
л |
“ |
2 |
* |
|
|
||
Из алгебры известно, |
что |
возведение обеих |
частей |
уравнения |
в квадрат может привести к уравнению, которое не равносильно (не эквивалентно) исходному. Это значит, что уравнение, полу ченное от возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения, может иметь решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, т. е. иметь так называемые «посторонние» корни. Поэтому всегда
в тех случаях, когда обе части уравнения |
приходится |
возводить |
|||||
в квадрат, следует ставить вопрос об |
эквивалентности |
получен |
|||||
ного и исходного уравнений. |
|
|
|
|
|
||
В интересующем нас случае вопрос |
ставится так: |
не |
содер |
||||
жит ли линия (В) точек, которых нет |
на линии (Л), т. е. таких, |
||||||
координаты которых |
не удовлетворяют |
уравнению- (Л) и таким |
|||||
образом не удовлетворяют исходному условию АВ = АС. |
|
||||||
Чтобы убедиться |
в том, |
что линия |
(В) |
не |
содержит |
точек, |
|
которых нет в линии |
(Л), |
надо показать, что |
уравнение |
(В) мо |
жет быть преобразовано в уравнение (Л).
Произведя в обратном порядке операции, с помощью которых
было получено уравнение (В), |
мы придем к уравнению |
|
||
|
{х — * i)2 + уй= |
(х — х2)2 + у2, |
|
|
откуда следует, |
что |
|
|
|
у |
{X — x j 2+ у2= |
± V {х — х2)2+ у 2. |
(С) |
|
т. е. что АВ — ± АС; отсюда |
видно, что или АВ — АС = 0, |
или |
||
А В + А С = 0. |
|
|
|
|
Но |
Л В > О |
и ЛС> 0, а следовательно, |
ЛВ + ЛС=£0, так |
|||||
Как сумма двух |
положительных |
величин |
не |
может быть |
равна |
|||
нулю, |
а |
потому остается |
только |
одно |
равенство |
АВ — |
||
•— АС = 0, |
т. е. АВ = АС, и знак минус перед корнем |
в правой |
||||||
части |
уравнения (С) должен быть отброшен. Поскольку |
из |
урав |
|||||
нения |
(Л) |
получается уравнение (В) и |
обратно — из уравнения |
(В) следует уравнение (Л), то эти уравнения равносильны (экви валентны). Таким образом, поставленный нами вопрос решен: линия (В) не содержит таких точек, которых нет на линии (Л).
Фиг. 9,2. |
|
Фиг. 9,3. |
|
При решении следующих задач этого практического |
занятия |
||
нам придется часто обе части |
исходного |
уравнения возводить |
|
в квадрат. Учащийся должен |
знать, что |
всякий раз |
в таком |
случае перед ним должен возникать вопрос об эквивалентности полученного и исходного уравнений. Однако мы во всех по следующих задачах этим заниматься не будем, а заметим только, что эквивалентность исходного и окончательного уравнений в этих задачах действительно имеет место.
Задача 9, 2 (для самостоятельного решения). Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала
координат и от точки Л (—3, 4) |
(фиг. |
9 ,2). |
|
|
||
О т в е т . 6х — 8 у + 2 5 = 0. |
|
|
отрезку АО и |
|||
Проверьте, что эта прямая перпендикулярна |
||||||
проходит через |
его |
середину. |
|
решения). |
Найти |
геомет |
Задача 9,3 |
(для |
самостоятельного |
||||
рическое место точек, одинаково |
удаленных от |
прямой |
х = —4 |
иточки Л (6, 0).
Ук а з а н и е . Пусть точка В (х, у) принадлежит искомому геомет
рическому месту (фиг. 9, 3). По условию расстояния от точки В до прямой х = —4 и до точки А (6, 0) между собою равны, т. е.
Л В = ВС. По формуле для определения расстояния между двумя
точками |
__________ |
|
|
АВ = У (х — 6)2+ |
у2, а ВС = х + 4 |
и |
V (x — 6)2+ |
«/2= х + 4. |
О т в ет . */2= |
20(лс— 1). Эскиз кривой |
показан |
на |
фиг. |
9,4* |
||||
Как увидим в дальнейшем, это •*—уравнение |
параболы и зна |
||||||||
чит, искомым геометрическим местом является |
парабола. |
|
|||||||
Задача 9,4 (для самостоятельного решения). |
Определить тра |
||||||||
екторию точки, |
которая движется так, что |
ее расстояние от точки |
|||||||
(2,3) равно ее расстоянию |
до прямой Зл: + 4у — 5 = |
0. |
|
|
|||||
У к а з а н и е . Пусть точка В (х, у) принадлежит искомому геомет |
|||||||||
рическому месту |
(фиг. 9, 5). По условию |
ВС = АВ. Расстояние |
|||||||
ВС от точки В (*, |
у) до |
прямой |
Зх + |
4г/— 5 = 0 |
найти по |
||||
правилу определения |
расстояния от |
точки до прямой (см. за |
|||||||
|
|
|
дачу |
5,2). |
Получим — |
~~-5= |
Это и есть уравнение искомого геометрического места. Воз водя в квадрат обе части уравнения*, освобождаясь от дробей и перенося все члены уравнения в его правую часть, получим окончательно
16л2 — 24ху 4- 9уг — 70л: — 1 Юу + 300 = 0.
Геометрическое место, уравнение которого мы нашли, есть парабола.
Следует запомнить, что геометрическим, местом точек, равно удаленных от данной точки и от данной прямой, является парабола.
Задача 9,5 (для самостоятельного решения). Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой х-\- у—
— 2 = 0 и точки (1, —1). |
У2+ |
8у = 0. |
|
|
О т в е т . Парабола х2— 2ху + |
уравнение |
|||
Задача 9, 6 (для самостоятельного |
решения). Найти |
|||
траектории точки А, которая движется |
так, что ее |
расстояние |
||
от точки С (—5, 2) всегда равно |
7 (фиг. |
9,6). |
|
*По иоводу возведения в квадрат обеих частей уравнения, см. замечание
кзадаче 9,1.
Ответ. Траектория — окружность хг -f у1-f ю* — 4t/ — 20= О
с центром в точке С (—5, 2) и радиус ее |
R — 1. |
||
Задача 9,7. Найти траекторию точки |
А, |
которая движется |
|
Так, что ее расстояние до точки В (2, 4) |
в |
два |
раза меньше,, чем |
до точки |
С (—6, 2). |
У к а з а н и е . |
Обозначить координаты точки А, как всегда, |
|
через х н у |
(фиг. 9, 7). По условию АС = 2АВ. |
|
АС = К (* + 6)2+ ( « / - 2 ) 2; AB = V ( x - 2 y + ( y - A ) \ |
||
Значит, из |
АС = |
2АВ получаем, |
что |
6)2+ 0/ - 2)2= |
|
/ ( * + |
||
= 2 ]/ (* — 2)2+ (г/ — 4)2. |
||
О т в е т . |
Траекторией является |
|
окружность |
З*2+ 3у2— 28* — |
— 28у + 40 = 0 с центром в точке
(т* т)’ а ее РадиУс г~ 5»5-
Задача 9, 8 (для самостоятель |
|
||||
ного решения). |
Точка |
А |
дви |
Фиг. 9,8. |
|
жется так, что отношение ее рас |
|||||
|
|||||
стояния до точки |
В (2, |
3) |
к ее |
|
расстоянию до |
прямой * + 2«/ — 4 = 0 равно у . Найти уравнение |
|||||||
траектории |
точки. |
|
координаты точки |
А |
через |
х н у |
||
У к а з а н и е . Обозначить |
||||||||
(фиг. 9,8). |
Расстояние |
точки |
А (х, у) до |
точки |
В (2,3) |
А В = |
||
= У (х — 2)2+ |
(f/ — З)2, |
а ее расстояние АС |
до |
прямой * + 2у — |
||||
:—4 = 0 будет равно |
»г |
|*-ф‘2у— 41 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
АВ |
1 |
|
Г" У Ъ ~ Г |
|
|
|
|
П О условию |
|
|
|
|
|
|
||
|
= у . |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
Г (х -2 )» + (у -3 )« |
2 е |
|
х 4- 2у — 4 |
/ 5
Ответ . Уравнение траектории 19л;2 — 4ху + 16у2— 72х — 104у + 244 = 0.
Задача 9, 9 (для самостоятельного решения). Найти уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых от точек
F1(2, 3) и F2(4, 5) |
есть |
величина |
постоянная, |
равная |
10 |
||||||||
(фиг. 9,9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О тв е т . 24х2 — 2ху+2Ау2— 136л;— 18 6 */ + 1= 0 |
(э л л и п с ). |
|
|||||||||||
Задача 9,10 |
(для самостоятельного решения). Найти уравнение |
||||||||||||
геометрического |
места |
точек, |
расстояние каждой |
из |
которых |
от |
|||||||
|
|
|
|
данной прямой АВ в два раза |
мень |
||||||||
|
|
|
|
ше расстояния от данной точки |
С, |
не |
|||||||
|
|
|
|
лежащей |
на этой |
прямой. |
|
Ох по |
|||||
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Направить ось |
|||||||
|
|
|
|
данной прямой АВ , а ось |
Оу по пер |
||||||||
|
|
|
|
пендикуляру к оси Ох, проходящему |
|||||||||
|
|
|
|
через данную точку С. Координаты точ |
|||||||||
|
|
|
|
ки |
С пусть |
будут (0, Ь) |
(Ь Ф 0). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ответ, |
л;2— 3у2— 2by + Ъ2= 0 (ги |
|||||||
|
|
|
|
пербола). |
|
иметь в виду, что уравнение |
|||||||
|
|
|
|
|
Следует |
||||||||
|
|
|
|
геометрического места в выбранной систе |
|||||||||
|
|
|
|
ме координат может оказаться более или |
|||||||||
менее сложным |
в зависимости от расположения координатных осей |
||||||||||||
в выбранной системе координат. В данном |
случае, |
если |
бы мы |
||||||||||
направили ось Оу не через |
точку |
С, |
то абсцисса точки |
С уже |
|||||||||
была бы равна |
не нулю, |
а |
скажем, а, и уравнение геометри |
||||||||||
ческого |
места оказалось |
бы |
более |
сложным. |
Следует, |
однако, |
|||||||
помнить, |
что в |
зависимости от того |
или иного |
расположения ко |
|||||||||
ординатных осей может измениться |
только |
уравнение линии, |
но |
||||||||||
не сама |
линия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9,11 |
(для самостоятельного решения). Найти |
геоме |
|||||||||||
трическое место оснований перпендикуляров, |
опущенных из |
на |
|||||||||||
чала координат |
на прямые, |
проходящие через |
точку (а, |
6), |
|
||||||||
О тв ет . Окружность |
х2+ у2— ах — by = 0. |
|
|
|
|
ДЕСЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
С о д е р ж а н и е : Кривые второго порядка: окружность, эллипс.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.
Уравнение окружности имеет вид (х — а)2+ (у — Ь)2 = г2, (10,1)