книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
.pdfЗадача 18,1. Найти углы, которые прямая
|
|
|
|
х — 5 _у |
1 __ г — 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
~ |
|
~~“ |
|
““ |
6 “ |
|
|
|
|
|
|
||
составляет с |
координатными |
осями. |
|
|
в них т — 2, п = 3 , |
||||||||||||
Р е ш е н и е . По формулам |
(18,2), полагая |
||||||||||||||||
р = б, |
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos а = |
± . |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
cos а = |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ 3a + |
|
= |
± |
- 7= |
, |
И Л И |
± |
-у- ; |
|
||||||
|
|
] / > |
6а |
|
|
У 49 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
^ |
3 |
cosf = |
, 6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
cosp = |
± y ; |
± y . |
|
|
|
|
|
|||||||
Проверьте, что |
cos® а + |
cos2р + |
cos27 = 1. |
|
• |
|
осями, |
||||||||||
Острые углы, составляемые |
прямой с |
координатными |
|||||||||||||||
равны: а = 73°24'; |
р = 64°37'; |
7 = ЗГ1' |
(эти значения определены |
||||||||||||||
по таблицам тригонометрических функций). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 18, 2. Общие уравнения |
прямой |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
х + Зу — 42 + 5 = 01 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2х— |
у + |
2— 4 = 0 ) |
|
|
|
|
|
(Л) |
|||||
преобразовать к каноническому виду (18,1). |
|
|
|
(А) |
исклю |
||||||||||||
Наметим такой |
план решения |
задачи: |
из системы |
||||||||||||||
чим сначала у и выразим z через х, потом исключим |
х |
и выра |
|||||||||||||||
зим z теперь уже через у. |
|
из системы |
(Л) |
исключить |
у, |
умножим |
|||||||||||
1) |
Для того, |
чтобы |
|||||||||||||||
второе |
из уравнений |
системы (Л) |
на 3 и сложим его почленно |
||||||||||||||
с первым. Получим, что 1х — z — 7 = 0, откуда z = 7х — 7, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
= |
X— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
Умножая |
первое |
уравнение |
из (Л) |
на |
—2 и складывая |
|||||||||||
почленно со |
вторым, |
получим, |
исключая |
х |
из |
системы |
(Л), |
||||||||||
откуда |
|
|
|
—7у + 9г — 14 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
9г = 7у+ 14; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
^ |
.7.СУ + |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
У± |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
9_ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая найденные значения |
г, получаем |
уравнения прямой |
|||||||||||||||
в каноническом виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
г = |
JC— 1 |
у + 2 |
f_ |
|
х — \ |
|
у + |
2 |
г — 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
или |
|
I |
|
9 |
|
1 |
• |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая теперь все знаменатели на 7, окончательно получи^
|
|
|
|
*— i _ у + 2 |
|
z— 0 |
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
1 |
9 |
|
|
7 |
• |
|
|
|
|
В учебнике |
Привалова |
указан |
и другой |
способ преобразова |
||||||||||
ния |
общих |
уравнений |
прямой |
(18,5) |
к каноническому виду |
|||||||||
(стр. |
250). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендуем внимательно изучить этот способ. В связи с тем, |
||||||||||||||
что в учебнике не указаны |
окончательные результаты, |
приведем |
||||||||||||
их здесь. |
|
|
|
прямой |
записываются |
в виде |
(18,5) |
|||||||
Если общие уравнения |
||||||||||||||
|
|
|
|
А±х + |
Вгу -f- Cxz + |
|
= |
0 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А2х |
В2У4“ C2z |
|
D2 = |
0J * |
|
|
|
|||
то уравнения |
прямой с направляющими |
коэффициентами |
имеют |
|||||||||||
вид |
|
|
|
х — х0 _ у — у0 __ г — z0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( 18, 11) |
|||||||
|
|
|
|
IfiiCil |
IС1А1 \~ |
\A1B1 \J |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
j ^2^2I |
|^2^2| |
|
J>4 |
2^2I |
|
|
|
|
||
где х0, |
у0 и z0— координаты одной из |
точек, |
через которую про |
|||||||||||
ходит |
прямая |
(18, 5). |
|
|
|
|
что направляющие |
коэф |
||||||
Из |
уравнений (18,11) усматриваем, |
|||||||||||||
фициенты прямой т, п и р определяются по формулам |
|
|
||||||||||||
|
т = |
Вг |
Сг |
п -- |
Сг Аг |
• t; |
р = |
Аг |
Вг |
U (18,12) |
||||
|
В2 |
С2 • tу |
Сг Л2 |
л 2 |
в г |
в которых можно положить t = 1 (на основании указаний в учеб нике эти формулы рекомендуется получить самостоятельно).
Решим нашу задачу по этому способу. Определим одну из то чек, через которую проходит данная прямая (Д). Дадим коорди нате г значение нуль (г = 0). Для определения абсциссы х и ординаты у этой точки получим систему уравнений
* + |
3# + 5 = 01 |
|
2х — |
у — 4 = 0 ] ’ |
|
или |
|
|
х -J- Зу = |
—5 | |
|
2х— у — |
4 J ’ |
|
из которой х — 1; у — —2. Итак, |
одна из точек, через которую |
проходит прямая, известна. Ее координаты (1, —2, 0). Чтобы определить направляющие коэффициенты прямой по формулам
(18,12), |
в которых |
взято t = |
1, составляем матрицу из коэффи |
циентов |
уравнений |
системы |
(Л): |
и получаем
|
|
|
т = |
|
3 |
— 4 |
|
|
1— 4 1 |
. Р = |
|
1 |
з |
|
|||||
|
|
|
— 1 |
1 ’ п ~ 1 |
|
1 2 |
|
2 — 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
т = — 1; п = — 9; р = — 7. |
|
|
|
||||||||||
У равнения прямой (Л) в каноническом |
виде |
с |
учетом того, что |
||||||||||||||||
прямая |
проходит |
через точку |
( 1 , |
|
— 2 , |
0 ), примут вид |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х —\ __ у + 2 |
2 — о |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
— 1 |
|
|
—9 |
—7 |
’ |
|
|
|
|
|
||
У м нож ая все |
знаменатели |
на |
— 1 , |
получим |
окончательно |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
дг—1_ г/ + 2 |
г —0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 ~~ 9 — 7 * |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Задача 18,3 (для самостоятельного решения). Уравнения |
||||||||||||||||||
прямой |
|
|
|
|
x — 4y + 5z — l = |
01 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2х -j- 3у -f- z |
9 = 0 { |
|
|
|
|
|
||||||
преобразовать |
к |
каноническому |
виду |
и определить |
углы, |
обра |
|||||||||||||
зуемые этой прямой с координатными осями. |
|
|
указанным в |
||||||||||||||||
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться |
|
вторым |
способом, |
||||||||||||||
предыдущей задаче. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1. |
О пределите одну из точек, |
принадлежащ ую данной прямой. |
||||||||||||||||
Координате |
z |
этой точки дайте произвольное значение, например, |
|||||||||||||||||
z == 0. |
Д ля |
определения координат |
х и |
у |
получите |
систему урав |
|||||||||||||
нений |
|
|
|
|
|
х — 4 у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда х = |
|
|
у = |
2х + |
3у = |
— 9 Г |
|
|
|
|
|
|
|||||||
— 3; |
— 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Итак, |
определена |
точка |
(— 3, |
— 1 , |
0), |
через |
которую |
прохо |
||||||||||
дит |
прямая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п и р формулами |
|
|||||||
|
Воспользовавш ись для определения т , |
(18, 12) |
|||||||||||||||||
при |
t = |
1 , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
т = — 19; |
|
п = |
9; |
р = 11.. |
|
|
|
|
|||||
Искомое |
уравнение в виде |
(18, 1 ) |
|
запишется |
так: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
* + 3 _ у |
|
1 |
2 --- 0 |
|
|
|
|
ХА) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
— 19 |
|
|
9 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
Углы, |
образованные |
этой |
прямой |
|
с координатными |
осями, |
опре |
||||||||||||
деляем |
по |
формулам |
(18, 2 ), |
в |
которых т , |
п и р |
имеют |
только |
|||||||||||
что |
найденные |
значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
* |
|
± °’801- |
С0$Р |
! ± А |
г |
± 0 '379; |
11
COSY :
К о н т р о л ь : cos2ос-f cos2p+ cos2у = 1. По известным коси нусам углов находим углы а = 143°14'; р'= 67°44'; у = 62°2Г (при определении углов из двух возможных знаков и косинусов выб ран верхний знак).
Уравнения прямой получились бы в другом виде, если бы вместо точки (—3, —1, 0) на прямой взяли какую-либо другую точку. Числители дробей в (А) изменились бы, но знаменатели остались теми же. Если же решать эту задачу по способу пер вому, указанному в предыдущем номере, то в знаменателях могли бы получиться числа, пропорциональные тем, которые стоят в знаменателях дробей (А).
Задача 18,4 (для самостоятельного решения). Привести к ка ноническому виду общие уравнения прямой
|
|
|
х — 2у + 32 — 4 = 0, |
||||||
|
|
2х -f- 3у — 4z -{- 5 = 0. |
|||||||
О т в е т . |
Один из |
возможных |
видов канонических уравнений |
||||||
прямой |
|
|
2 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
* |
- Т |
У + Т |
2 - о |
|
|||
|
|
|
— 1* |
“ |
10 |
|
7 |
• |
|
Задача |
18,5 (для |
самостоятельного |
решения). Преобразовать |
||||||
к каноническому |
виду |
уравнения прямой |
|
||||||
|
|
2* + Зу + |
2г + |
8 = |
01 |
||||
|
|
х — у — z — 9 = 0{’ |
|||||||
Ответ. |
Один из возможных |
видов канонических уравнений |
|||||||
прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л* — 4 _£/ + 6 |
2 — 1 |
|||||
|
|
|
— 1 |
~ |
4 |
“ |
— 5 |
е |
|
Задача |
18,6 |
(для |
самостоятельного |
|
решения). Найти углы, |
||||
которые прямая |
5л; + 3у — 4г + 2 = 0 |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
Х + |
У + |
|
2 — |
1 = |
0 |
(Л) |
|
|
|
|
|
|||||
образует с |
координатными |
осями. |
|
|
|
||||
О т в ет . |
c o s a = ± |
0,60470; |
|
cosр = |
У 0,77747; |
||||
cos у = ± 0,17277. |
|
|
|
cos2у = |
1. |
||||
К о н т р о л ь : |
cos2a + cos2р + |
||||||||
Задача 18,7. Найти уравнения плоскостей, проектирующих |
|||||||||
прямую |
|
Зх — 4у + 52 + |
7 = 01 |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
х -f- 2у -{- 32 + 11 = 0 } |
||||||
на координатные |
плоскости. |
|
|
|
|
|
(Л) |
Чтобы найти |
уравнение плоскости, |
проектирующей |
прямую |
||||
на |
плоскость |
хОу, надо из системы |
(А) исключить |
коорди |
||||
нату z. |
Умножая |
первое |
уравнение этой системы |
на —3, а вто |
||||
рое |
на |
5 и |
складывая |
полученные уравнения, |
будем |
иметь |
||
—Ах + |
22у + |
34 = 0, а сокращая на —2, |
получим искомое урав |
нение в виде 2х — 11у — 17 = 0.
Уравнение плоскости, проектирующей прямую (А) на плос кость хОг, получим, исключая из системы (А) координату у. Умножая второе уравнение в системе (А) на 2 и складывая с первым, получим искомое уравнение в виде
5х 4- 11г + 29 = 0.
Уравнение плоскости, проектирующей прямую (А) на плоскость уОг, получим, исключая из системы {А) координату х. Умножая второе уравнение в системе (А) на —3 и складывая с первым, получим искомое уравнение в виде
Ъу 4- 2г 4- 13 = 0.
Задача 18, 8 (для самостоятельного решения). Найти уравнения плоскостей, проектирующих прямую
х — 2у — г — 1 = 0]
Зх — у + z — 2 = 0/
на координатные плоскости.
О т в е т . Уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость уОг,
Ьу 4- 4г 4- 1 = 0.
Уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость
хОг,
5х 4- Зг — 3 = 0.
Уравнение плоскости, проектирующей прямую на плоскость
хОу,
Ах — 3у — 3 = 0. |
|
Задача 18,9. Определить следы прямой |
|
5х 4- Зу — 4г 4- 8= 0 1 |
|
х — г / 4 - г 4 - 5 = 0) |
^ |
на координатных плоскостях (следом прямой на плоскости назы вается точка пересечения прямой с плоскостью).
Р е ш е н и е . Уравнение плоскости |
хОу: z = 0. Положив в си |
стеме (А) 2= 0, получим систему из двух уравнений |
|
5х 4- Зу 4-8 = |
01 |
х — у 4- 5 = |
0J* |
Решая |
эту |
систему, найдем х |
и у: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
23 |
|
|
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 ; |
|
У ~ 8 . |
|
|
|
|
|
|||
и |
след |
прямой |
(А) |
на |
плоскости |
хОу имеет координате |
||||||||||||
|
2з |
17 |
|
\ |
Следы |
пРям°й на |
плоскостях yOz и хОг найдите |
|||||||||||
( — ТГ* |
Т ’ |
г |
||||||||||||||||
самостоятельно. |
следа |
прямой на |
плоскости yOz будут (0, 28, |
23). |
||||||||||||||
|
Координаты |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
17\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-- -д- »0, --- -g-J. |
|
|
Задача 18, 10 (для самостоятельного решения). Найти коорди |
|||||||||||||||||
наты следов прямой |
дг — 2 |
у + |
3 ___ 2 — 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
“ |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
на |
координатных |
плоскостях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
О т в е т . |
(1, |
- 5 , 0); ( 1 , |
0, |
ю); |
(0, |
- 7 , - 4 ) . |
|
||||||||||
|
Задача |
18,11. |
Найти острый угол между двумя прямыми |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х — 2 |
|
у — 1 |
|
z — 3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
~ 3 |
|
~^Л |
|
2 |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — 1 _ у + 2 _ z+ 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
—2 * |
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
Угол |
<р между |
двумя прямыми |
|
определяется по |
||||||||||||
формуле |
(18, 9), |
в |
которой |
надо |
взять |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
т = 3; п = —1; р = 2 ; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
т, = 2 ; |
п, = |
|
4; |
|
= |
—2. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
COS ср = |
± |
3 |
. 2 + ( — 0 |
-4 + 2 |
v |
•(—2) |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
~ г \ > -----Т |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
J+j2 + |
(_ i ) 2 + |
22 |
/ 22 + |
42 + |
(—2)2 |
|
||||||
|
|
сочср = |
± |
—2 |
; |
cos <р= + |
г т т = = |
|
Т 0,1091. |
|
||||||||
|
|
-7= ^ _ _ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
У 14 • / 2 4 ’ |
|
|
|
|
2 / 2 7 |
|
|
|
||||
|
Так как нас по условию интересует острый угол между этими |
|||||||||||||||||
прямыми, |
мы должны |
cos <р |
взять |
положительным: cos <р = 0, 1091. |
||||||||||||||
Теперь, |
пользуясь таблицами тригонометрических функций, |
на |
||||||||||||||||
ходим, |
что |
<р= |
88°44'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача |
18,12. |
Найти острый угол между прямыми |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2х + 3у — 4z + 5 = 0 \ |
|
|
|
|
0 ) |
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
х — у + |
2 = |
0/ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
х — у + 2z — 4 = 0 \ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2х + у — г — 5 = 0 / |
|
|
|
|
Ре ше ни е . Чтобы воспользоваться формулой (18,9) приведем заданные уравнения прямых к каноническому виду (18, 1) и по лучим
|
х + I _ д + 1 _ г — О |
|
|
|
( Л ) |
|||||
|
1 |
6 |
|
5 |
’ |
|
|
|
||
|
х — 3 _ (/ + 1 |
__ |
|
г —О |
|
|
|
|||
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
( В ) |
Пользуясь этими уравнениями прямых, по формуле (18,9) |
||||||||||
определим, что |
cosep = 0,9445, а |
ср == |
19°11'. |
|
|
|
||||
Задача 18, 13. Через точку |
Л (3, |
— 1, |
4) |
привести прямую, |
||||||
параллельную оси Oz. |
оси |
Oz можно записать |
в виде |
|||||||
Р е ш е н и е . |
Уравнения |
|||||||||
|
х — 0 _у — 0 __ z — О |
|
|
|
|
|||||
|
|
~~б |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(ось Oz проходит через начало координат, |
а |
ее |
направляющие |
|||||||
косинусы равны cosa = 0, |
cos(3 = |
0; |
c o s y ^ l) . |
Так |
как прямая |
|||||
проходит через |
точку Л (3, |
— 1, |
4), то |
ее |
уравнения |
запишутся |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — 3 _ у + 1 __ 2 — 4
т~ п ~~ р
Числа т , п и р в этих уравнениях из условия (18, 7) параллель ности двух прямых должны быть пропорциональны числам 0,0 и 1 в уравнениях оси Oz. Заменяя поэтому в последних урав нениях числа т , п и р им пропорциональными, получим иско мые уравнения в виде
* — 3 |
г/ + 1 _ |
г — 4* |
“ о |
о ~ “ |
1 * |
Из этих уравнений следует, что
х — 3 = 0\ y + l = 0 j
и искомая прямая может быть определена и этими уравнениями. Задача 18, 14. Через точку Л (1, — 1, 2) провести прямую,
параллельную прямой
х — 2 _у — 3 _ г + 1
1 |
“ 3 |
2 е |
Р е ш е н и е . Напишем |
уравнение |
прямой, проходящей через |
точку Л: |
|
|
X— 1 __ у + 1 _ 2 — 2 |
||
т |
п |
р |
* |
Эту запись, содержащую нули в знаменателях, |
понимают |
условно, |
так, как это указано в учебнике Привалова (см. § 13 гл. |
11, а также |
разъяс |
|
нения |
на стр. 247). |
|
|
Из условия (18, 7) параллельности двух прямых т, п и р в этих уравнениях должны быть пропорциональны направляющим коэф фициентам 1, 3 и 2 данной прямой. Заменяя т , п и р числами им пропорциональными, получим уравнения прямой в виде
|
|
|
|
х — 1 |
|
|
у + |
1 |
2 — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
~~ |
|
|
Н |
е |
|
|
|
|
задача |
18, 15 |
(для самостоятельного |
решения). |
Через |
точку |
||||||||
(2, — 1, |
3) |
провести прямую, |
параллельную оси Ох. |
|
|
||||||||
О т в ет . |
У + 1 = 0 1 |
|
х — 2 _ _ у + \ |
2 — 3 |
|
|
|||||||
г — 3 = 0/ или |
|
0 |
|
0 |
0 |
‘ |
|
|
|||||
Задача |
18, 16. |
Найти уравнения |
прямой, |
проходящей |
через |
||||||||
точки А( 1, |
2, |
— 1) и В(0, |
|
3, |
—4). |
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
Согласно (18,10) |
имеем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
х — 1 _у — 2 _ z + 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
~~ ~Г~ ~ |
-=3"' |
|
|
|
|||||
или, умножая |
все знаменатели на — 1, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
X— 1 _у — 2 __ z -f- I |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
— ~Т~ |
“Т ^ - |
|
|
|
||||
Задача |
18, |
17 |
(для самостоятельного |
решения). |
Найти |
урав |
|||||||
нения |
прямой, |
проходящей |
через |
точки |
А (3, 0, |
4) и |
|||||||
В (—1, |
- 2, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т . |
* —3 _ */ —0 |
2 — 4 |
• |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
ДЕВЯТНАДЦАТОЕ |
|
ПРАКТИЧЕСКОЕ |
ЗАНЯТИЕ |
|
||||||||
С о д е р ж а н и е : |
Задачи на |
прямую и плоскость. |
|
|
|
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Это практическое занятие содержит упражнения по разделу «плоскость и прямая». Приводим основные формулы.
1. Острый угол между прямой
х— а _у — Ъ__ 2 — с
т п р
И П Л О С К О С Т Ь Ю
Ах + |
By + Cz + D = 0 |
|
определяется по формуле |
|
|
sin ? = ! |
Ат -}- Вп + Ср |
(19,1) |
V А 2 + В2+ С2 • Vт~ + п* + |
Р2 |
2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид
|
|
|
А т + Вп + Ср = 0. |
|
(19,2) |
|||
3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид |
||||||||
|
|
|
|
£ = |
# = £ • |
|
09,3) |
|
4. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную |
||||||||
прямую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ах + Ву + Cz-{- D = 0 1 |
|
||||
имеет вид |
|
|
AiX + &iУ+ |
Cxz + Di = 0J * |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л* + |
|
+ |
Сг + Z? + |
|
|
+ CiZ + D J ~ 0, |
(19,4) |
|
где X— любое действительное |
число. |
|
|
|
||||
Задача |
19, 1. Найти острый угол |
между |
прямой |
|
||||
|
|
|
х — 1 _у -f- 2 |
г — 1 |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
и плоскостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2х + У— г + 4 = 0. |
|
|
|||
У к а з а н и е . |
Задача |
решается с помощью формулы |
(19,1) |
|||||
в которой надо положить |
А =2; В — 1; С = |
— 1; т = 2; |
п==1; |
|||||
р = 2 . |
|
|
<р= 24°5\ |
|
|
|
|
|
О т в е т . |
У го л |
|
|
|
|
|||
Задача |
19, 2. |
Найти острый угол |
между |
прямой |
|
|||
|
|
|
х + У+ |
z — 4 = 01 |
|
(А) |
||
|
|
|
2 х — у + 4г + 5>= о} |
|
||||
и плоскостью |
х + |
г/ + 3? — 1 = |
0. |
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
Уравнения |
прямой нет надобности преобразовы |
вать к каноническому виду. Достаточно определить направляющие
коэффициенты |
т, |
п и р этой прямой (см. задачу |
(18, 2)). Состав |
||||||||
ляем матрицу |
из коэффициентов |
уравнений (Л) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(J |
-1 |
4/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 ) |
|
|
|
|
и, полагая t = 1 |
в формулах (18, 12), получаем |
|
|
||||||||
/я = |
1 1 |
II о |
3 II |
И 1 |
= — 2; |
р = |
1 |
1 |
|
||
— 1 4 |
ю |
2 — 1 = — 3. |
|||||||||
Из уравнения |
плоскости |
заключаем, |
что А = |
1, 5 = |
1, С = 3 |
||||||
и тогда |
для определения острого угла |
ср между |
прямой |
и плос |
|||||||
костью по формуле (19, 1) |
получаем |
|
|
|
|
||||||
|
sin ср = |
К п - К з в |
к?18 |
0,2935: |
<Р==17°4'. |
|
|||||
|
|
|
|
Задача |
19, 3. Найти |
уравнение плоскости, проходящей через |
||||
точку Р ( 1, |
2, |
— 1) перпендикулярно прямой |
|
|||
|
|
х — 3 _ |
у — 2 __ г+ 1 |
|
||
|
|
1 |
“ |
—3 |
4 ■ |
|
Р е ш е н и е . |
Уравнение плоскости, проходящей через точку |
|||||
Р(1, 2, — 1), |
напишем на |
основании уравнения (17, 18) |
в виде |
|||
|
А ( х - 1 ) + В ( у - 2 ) + С(г+1) = 0. |
|
||||
Пользуясь |
условием |
(19, 3) |
перпендикулярности прямой и |
|||
плоскости |
заменив в последнем |
уравнении величины А, |
В к С |
им пропорциональными величинами т , п и р из уравнений пря мой, т. е. числами 1, —3 и 4, и получим
у 1 (х — 1) — 3(у — 2) + 4 (z -f-1) = О,
а после упрощений будем иметь
х — Зу + 4г + 9 = 0.
Задача 19, 4 (для самостоятельного решения). Найти уравне ние плоскости, проходящей через точку Р(2, —4, —2) перпен дикулярно прямой
|
|
|
х — 4# + |
5г — 1 = 0\ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2х+ |
у |
|
+ 3 = 0)* |
|
|
|
|
||
О т в е т . 5х — 10gr — 9г — 68= |
0. |
|
|
|
|
|
||||||
Задача 19, 5. Через точку (2, 1, 6) провести прямую, перпен |
||||||||||||
дикулярную |
плоскости |
х — 4t/-j-5z = 0, |
и |
определить |
направ |
|||||||
ляющие косинусы этой прямой. |
|
всего |
уравнения |
прямой, про |
||||||||
Р е ш е н и е . |
Напишем |
прежде |
||||||||||
ходящей через |
данную точку: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X— 2 |
у — 1 |
2— 6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
т ~ |
п |
|
р ~ * |
|
|
|
|
||
На основании формул |
(19, 3) числа т, п и р пропорциональны |
|||||||||||
числам А, В |
и С |
из уравнения |
плоскости, |
а |
потому, |
заменяя |
||||||
в последнем |
уравнении |
т, |
п |
и |
р соответственно числами 1, |
|||||||
—4, 5, получим искомые уравнения в виде |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
X— 2 |
у — 1 |
2 — 6 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
”1 |
|
—4 |
Г - * |
|
|
|
|
||
Направляющие косинусы этой прямой определим |
по |
форму |
||||||||||
лам (18, 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
____ |
1 |
_ |
. ; cos а = |
. |
1 |
1 |
|
||
cos а ± |
|
± |
—r = |
|
||||||||
|
|
-1- Y I2+ |
( - 4)2+ |
5* |
|
|
|
|
|
|
cosр= qz-ф= ; cos7 = ± ^ = ,
/42*