книги / Механическая усталость в статистическом аспекте
..pdfМЕТОДИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПОРОГА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ
А. Ф. СЕЛИХОВ, И. Г. ХЛЕБНИКОВА
Для правильной оценки безопасного срока службы конструкций по ус ловиям выносливости необходимо знать вероятностный закон распреде ления усталостной долговечности, особенно для очень малых вероятно стей разрушения. С точки зрения характера зависимости вероятности
разрушения от долговечности при |
очень малых значения Рразр (Гразр—^ |
—> 0) предложенные различными |
авторами аналитические выражения |
законов распределения можно разделить на две группы. Первая характе ризуется тем, что вероятность разрушения не равна нулю при любом, как
угодно |
малом, числе циклов дейст-,; |
|
||||
вия переменных нагрузок (А). Вторая |
|
|||||
группа |
отличается |
существованием^ |
|
|||
такого |
числа |
циклов А0, |
что при |
|
||
N |
Ао вероятность разрушения кон-* |
|
||||
струкции (образца) равна нулю, а' |
|
|||||
при N > А 0 |
вероятность |
разруше |
|
|||
ния отлична от нуля. Схематически |
|
|||||
оба вида закона распределения пред |
|
|||||
ставлены на рис. 1. |
^ |
|
||||
|
Величину |
А 0 |
обычно |
принято |
|
|
называть порогом |
чувствительности |
|
||||
по циклам [1]. Существование поро |
|
|||||
га |
чувствительности особенно замет |
Рис. 1. Распределение усталостной дол |
||||
но при небольших уровнях перемен |
говечности: / — неограниченное, II — |
|||||
ных напряжений, т. е. при большом |
ограниченное |
|||||
|
числе циклов нагружения. В этих условиях знание величины А 0 особен но важно, так как вследствие большого рассеяния усталостной долго вечности оценка срока службы в предположении А0 = 0 может дать за нижение допустимой долговечности в десятки раз.
К сожалению, в настоящее время количество экспериментальных дан ных о величине порога чувствительности явно недостаточно. Основным обстоятельством, сдерживающим развитие исследований в данном направ лении, является необходимость для подобных экспериментов большого числа образцов. Это усугубляется также и недостаточным уровнем разра ботки методики оценки величины порога чувствительности по результа там усталостных испытаний.
Для определения порога чувствительности разработано несколько спо собов, в том числе графический, метод наименьших квадратов [2], метод квантилей [3]. Эти методы позволяют сравнительно просто оценить ве личину А0, они успешно применяются на практике. Однако до сих пор не решен вопрос об эффективности этих методов, так как при определении N 1) по результатам усталостных испытаний вследствие случайного рассе яния чисел циклов до разрушения возникают ошибки. Эти ошибки опре деляются не только количеством образцов при испытаниях, они сущест венно зависят также от способа определения А 0. Для некоторых методов погрешности могут быть настолько значительными, что эти методы,
несмотря на простоту, оказываются практически неприемлемыми. Знание этих ошибок необходимо также для определения числа образцов, пот ребных для обеспечения заданной точности эксперимента.
Настоящая работа имеет целью нахождение достаточно эффективного метода оценки порога чувствительности по результатам усталостного экспе римента и исследование возможных ошибок в определении величины N о, обусловленных статистическим характером экспериментальных дан ных. Рассматривается также определение доверительного интервала для порога чувствительности.
Поставленные задачи решаются при следующих допущениях. В соот ветствии с работой [4] закон распределения усталостной долговеч ности будем считать логарифмически-нормальным для разности усталост ной долговечности и порога чувствительности, т. е. для величины N —
Я о,
1п ( N - N 0) _ (Ь-аТ-
|
= |
$ * " ” |
* • |
<*> |
|
г |
—оо |
|
|
где |
а — математическое |
ожидание; |
о — среднеквадратическое |
отклоне |
ние |
величины %= 1п (№ — Л^). |
|
|
Натуральные логарифмы вместо обычно применяемых десятичных использованы для облегчения дальнейших выкладок и упрощения полу
ченных формул. |
|
|
(1), показан на рис. 2 |
|
Закон распределения, описываемый формулой |
||||
(для сплава В-95 |
[2]). Величины Р ра3р = |
Р (Ю отложены по оси орди |
||
нат в |
нормальном |
вероятностном масштабе, в котором нормальное (Гаус |
||
сово) |
распределение изображается в виде |
прямой |
линии. |
В предположении закона распределения по формуле (1) задача по оцен ке порога чувствительности сводится к определению неизвестных парамет ров а, а, ТУо по известным результатам усталостных испытаний, т. е. по заданным Л ь..., 1Уп числам циклов до разрушения п испытанных образ цов.
Как уже указывалось, целью данного исследования являются:
1) разработка способа определения величины по известным Л 1,...
2)определение возможных отклонений экспериментального значе
ния N о от его истинной величины; 3) разработка способа построения так называемого доверительного интервала для величины порога чувстви тельности.
Оценка величины порога чувствительности
Одним из возможных способов статистической оценки неизвестных па раметров по опытным данным является метод наибольшего правдопо добия. В большом числе случаев этот метод дает наилучшие в статисти ческом смысле оценки, т. е. такие экспериментальные значения искомого параметра, которые обладают наименьшим рассеянием относительно его истинного значения.
Как известно [5], по принципу наибольшего правдоподобия искомые значения параметров определяются из условия обращения в максимум вероятности появления имеющихся результатов опыта. В нашем случае вероятность Р* того, что число циклов до разрушения г-го образца будет
находиться в |
диапазоне |
— (ТУ* |
+ сИУ^), может быть определена |
сле |
|
дующим |
образом: |
|
[1а (N^-N^--аУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р .= |
[А1 - \ |
|
угп -о |
20= |
(2) |
1 |
|
|
Nг-ЛГ0 |
Вероятность Р е того, что результаты испытаний каждого образца бу дут находиться в соответствующем интервале, равна произведению ве роятностей для каждого образца
Р е |
1 |
п [1п №-]У0)-а]= |
(Ш{ |
|
Н с --------- ^ |
3 |
|||
|
(2л)п/2оп |
- N 0 |
( ) |
|
|
1=1 |
|
|
В соответствии с принципом наибольшего правдоподобия будем ис кать такие значения параметров а, а и N 0, которые соответствуют макси муму вероятности Р е при фиксированных значениях N1,...,
Поскольку 1п Р е является монотонной функцией вероятности Р е, для упрощения выкладок условие максимума величины Р е заменяют ус
ловием максимума 1п Р е (в нашем |
случае величины д,Мь для простоты |
||
полагаем равными единице) |
|
||
|
|
11 |
|
1п Р а = — -2 - 1п 2я — п 1п а — ^ |
2 (1п М — м о) — «]* — 2 1п |
||
|
1=1 |
||
|
максимума величины |
(4) |
|
У с л о в и я |
1п Р а |
||
З П п / у |
п . |
(5 .1 ) |
|
ЭЛГ0 |
’ |
||
|
|||
|
п . |
(5 .2 ) |
|
да |
~ и ' |
||
|
|||
3 [Ш Р Е] |
|
(5 .3 ) |
|
да |
|
||
|
|
являются уравнениями для определения экспериментальных значений
ТУо, а, а искомых параметров Л^0, а, а.
С помощью несложных преобразований, используя выражение (4), уравнения наибольшего правдоподобия (5) можно привести к следующей
окончательной форме: |
|
|
|
^ п ^ - З ) = - _ 5 2 |
|
1 |
|
{=1 |
Л'г-Ло |
|
( 6. 1> |
Л'г-Л'о |
|||
« = ^ - 2 Ь ( Л Г {-Л Г 0), |
|
( 6.2) |
|
|
1=1 |
|
|
|
п |
|
(6.3)- |
°2 = |
4 - 2 [1 п ( ^ - ^ о) — «]*. |
||
В этих уравнениях величины |
представляют собой числа циклов до |
||
разрушения при усталостных |
испытаниях, п — общее число образцов, |
а 7У0, а и а — экспериментальные значения (оценки) искомых параметров
7У0, а ж а. |
|
|
__ |
|
|
||
Подставляя |
выражения а и а из уравнений |
(6.2) и (6.3) в уравнение |
|||||
(6.1), |
получаем одно уравнение с одним неизвестным N 0, которое может |
||||||
быть решено |
в |
первую очередь. Это уравнение имеет вид |
|||||
* м |
= |
г=1 |
Л^-Л'о |
- 4 - { 2 1 » < л г .- л г „ ) - |
2 |
1п(ЛГ* — ЛГо) — |
|
|
|
11 Ц=1 |
{=1 |
т
Наиболее наглядным методом решения уравнения (7) является графи ческий способ, заключающийся в построении зависимости у = Д (уУ 0).
Искомый корень определяется точкой пересечения получаемой кри вой с осью абсцисс.
С целью облегчения счета уравнение (7) целесообразно решать на_ЭВЦМ.
Программа счета на ЭВЦМ М-20 для получения оценок .У0, а и а по ре зультатам испытаний составлена и отлажена.
Возможная величина рассеяния оценки порога чувствительности
Оценка -У0, определенная из уравнения (7), представляет собой экс1периментальное значение искомого параметра. Поскольку каждый исход
ный результат опыта «У* является случайной величиной, то и У 0 как функ ция случайных величин будет также величиной случайной. В соответствии с
теорией математической статистики рассеяние оценки N 0 зависит как от объема выборки, т. е. от числа образцов при усталостных испытаниях (п)у так и от способа определения искомого параметра по эксперимен тальным данным.
При этом среднеквадратическое отклонение оценки неизвестного па раметра1 не может быть меньше некоторого значения, которое определя ется только объемом выборки (числом образцов) и не зависит от способа оценки. Известно также, что рассеяние оценки по методу наибольшего правдоподобия при увеличении объема испытаний в большом числе слу чаев приближается к этой нижней границе.
Нижние границы рассеяния оценок У 0, а жо можно определить, ис пользуя данные о так называемом эллипсоиде рассеяния [5]. В нашем
1 Рассматривается класс несмещенных оценок, т. е. оценок, не имеющих система тических погрешностей.
случае подлежат определению три |
параметра: |
0^ = |
И 0; 02 = |
Оз = а* |
-Экспериментальные значения этих |
параметров |
(0Х= |
-/У0; 02 = |
а и 03 = |
= а) являются случайными величинами, совместное рассеяние которых
прежде всего |
характеризуется |
вторыми моментами |
этих |
величин, |
||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
Щ = |
М {(0 « - |
0 0 (0 , - 0 0 } = |
5 |
(0 * - |
0 0 (0 * - 0 .) Ф в |
(ё«, 0 0 |
^ 0 Д - . |
( 8 ) |
|
|
|
—со |
|
|
|
|
|
где |
(0Ь 07) — совместная |
плотность |
вероятности |
оценок 0{ и |
0;. |
Основной величиной, определяющей рассеяние одной случайной ве
личины, например, 0* является, как известно, ее среднеквадратическое отклонение, квадрат которого равен соответствующему второму момен
ту: сг^. = |
М*:. Нижней границей величин |
М# являются коэффициенты |
|||
матрицы, |
обратной по отношению к матрице | | | | коэффициентов квад |
||||
ратической формы эллипсоида |
рассеяния |
|
|||
ь |
|
|
0,) = К + |
|
|
2 «« (ё|- |
0*) (01 - |
2, |
(9) |
||
где К — число оцениваемых параметров; |
в нашем случае К — 3. |
||||
Коэффициенты а,ц определяются следующим образом: |
|||||
тде |
|
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
ЛЮ |
|
д1пф |
д]п ф |
|
|
|
“5йГ ’ |
фШ Я , |
|
||
|
|
|
|
|
|
ф (?) = |
^ ; |
Б = |
1п (л г -л го). |
|
|
Функция распределения Р определяется по формуле (1).
Произведя необходимые вычисления, получим, что матрица коэффи циентов ац имеет следующий вид:
« 1 + 1 е - Н 0 - * К |
А . е - ( а - з 5/2) ; |
А е - ( а - о 7 2 ) . |
||
|
|
|
а |
1 |
4 е - ( а - 3’/2); |
1 |
0; |
|
|
О2 * |
|
|||
О2 |
* |
2 . |
|
|
— |
е ~ (а -о 8/2) • |
0; |
|
|
о 2 |
|
|||
С |
1 |
|
|
Обращение матрицы (11) дает матрицу нижних границ вторых момен тов \\Мц\\.
В частности,_ для нижних границ среднеквадратических отклонений •оценок ЛГ0, а и а получим следующие выражения:
(12)
(13)
(14)
Рис. 3. Закон распределения оценки порога чувствительности усталостной долговечности (при а = 1 п а = 0)
Число образцов п: 1—100; 2—50; 3—20
Коэффициенты К г, К2 и К 3 определяются по формулам
ТУ- |
_ |
|
_о |
|
|
|
С |
|
(15) |
||
А1 — -----------Т------------------ 1$ |
|||||
|
|
б2 + 1 — .1 |
(4а4 + |
а2 + 2) е |
|
^ 2 |
_ |
______ б2 + |
1 — 2б2е~°~_______ |
(16) |
|
|
|
о2 + 1 — |
(4б‘1 + |
б2 -Ь 2) е- °г |
|
|
|
|
|||
*1 = |
----------- * 1 |
+ 1 |
^ ----------- |
(17) |
|
|
|
о» + 1 - 1 |
(4а4 + |
а3 + 2) е_°2 |
|
и |
|
при возрастании а от ОД изменяются в диапазоне 0*8—1,5, асим |
|||
птотически приближаясь к 1 и достигая максимума при а = |
1. К3 в этом |
||||
диапазоне монотонно убывает при том же асимптотическом |
стремлении. |
Полученные результаты позволяют определить нижнюю границу
возможных отклонений |
оценки Л^0, полученной с помощью метода наи |
|
большего правдоподобия, |
от истинного значения |
Как известно, при |
достаточно больших п распределение оценок наибольшего правдоподо бия в большом числе случаев оказывается достаточно близким к нормаль ному закону с математическим ожиданием, равным истинному значению искомого параметра.
Среднеквадратические отклонения таких оценок при увеличении п стремятся к нижним границам, определенным выражениями (12) — (14).
Для проверки справедливости этих положений в рассматриваемом случае были проведены расчеты истинного распределения оценки АГ0.
Расчеты проводили путем моделирования случайных величин |
с требу |
емым законом распределения (1) на ЭВЦМ-20. |
|
Расчеты показали, что при числе испытанных образцов п^> 20 в диа пазоне значений 0,5 ^ б ^ 1,5 метод наибольшего правдоподобия дает удовлетворительные результаты применительно к оценке порога чувст вительности усталостной долговечности. Закон распределения оценки ока-
|
Рис. 5. |
Смещение оценки |
|
наибольшего правдоподобия |
|
пей границей |
при а = |
О |
Обозначения те |
||
Обозначения тс ж |
рис. 3 |
|
рис. 3 |
|
|
зывается близким к нормальному (рис. 3). Среднеквадратическое откло
нение оценки |
И 0 |
близко к |
минимальным значениям, определенным |
по формуле (12), что видно на рис. 4. |
|||
Расчеты и |
анализ |
формулы |
(12) показывают, что среднеквадратиче |
ское отклонение оценки порога чувствительности а#0не зависит от абсо лютной величины ])10, увеличивается с ростом среднего значения а и резко уменьшается с увеличением средпеквадратического отклонения сг.
Расчеты показали также, что при сравнительно небольшом количест ве образцов (п ^ 20), особенно при больших значениях о (о > 2), мето дика не всегда дает возможность определить величину порога чувстви тельности.
Кроме перечисленных особенностей, выявленных при моделирова нии испытаний на ЭВЦМ, следует отметить также некоторое смещение оцен
ки Й 0 относительно истинного значения N 0 . Величина этого смещения для случая а = 0 показана на рис. 5, который дает представление о возмож ных систематических ошибках метода.
Определение доверительного интервала порога чувствительности
Результаты, полученные в предыдущем разделе, позволяют определить возможные погрешности при оценке порога чувствительности в случае, когда истинные значения параметров а и а могут считаться известными.
Точность статистической оценки неизвестного параметра обычно ха рактеризуется шириной доверительного интервала, т. е. такого интерва ла, который накрывает истинное значение искомого параметра с задан ной вероятностью Р довВеличина Рдов называется доверительной ве роятностью.
Если значения а и а можно считать известными, то величина довери тельного интервала порога чувствительности может быть легко определе
на в предположении нормальности распределения оценки N 0 и ее статис-
тнческой несмещенности1 и эффективности2. В этом случае доверитель ный интервал определяется неравенством
N 0 — М1<з#п< < Й0 — и2в^ , |
(18) |
где ак0 определяется по формуле (12), а и±и и2 — квантили нормального распределения, соответствующие вероятностям Рг = (1 + Рдов) /2 и
Р ъ = (1 — Р дов )/2 .
На практике, к сожалению, не всегда можно с достаточной точностью
задать значения а жа для определения В нашем случае необходимо применить другой, более точный способ построения доверительного ин тервала. Наиболее строгим является построение доверительных областей одновременно для всех трех оцениваемых параметров. Этот путь, одна ко, очень сложен, громоздок и не дает практически приемлемого решения.
Рпс. 6. К определению доверительного интер вала порога чувствительности
Мы воспользуемся другим способом: попытаемся подобрать такую ста тистику, которая содержала бы всю информацию относительно порога чувствительности и в то же время ее распределение не зависело бы от искомых параметров.
Для того чтобы представить себе, какой вид должна иметь искомая статистика, полезно рассмотреть выражение (12). В первом приближе
нии величина рассеяния оценки ЛГ0 зависит от величины еа"°*. Поэтому
можно |
надеяться, что распределение отношения |
„ _ |
ТУ0 —ТУо |
не будет зависеть от величины а и будет слабо зависеть от величины а. Расчеты с помощью метода математического моделирования подтвер
ждают это.
Как показали расчеты, статистикой % можно пользоваться для пост роения доверительных интервалов параметра ЛГ0 в диапазоне 0,5 ^ а ^ 1,5. В этом случае доверительный интервал определится неравенством
N 0 — |
<А^0< Й0— |
(20) |
|
Величины |
и щ соответствуют, как и для неравенства (18), вероят |
||
ностям |
Р± = |
(1 + Р д0В) /2 |
и Р2 = (1 — РДов) /2 (рис. 6). |
3 Для несмещенных оценок математическое ожидание равно величине искомого |
|||
параметра, т. |
е. М (ТУ0) = ТУ0. |
|
|
2 |
Среднеквадратическое отклонение эффективной оценки минимально! т. е. для |
||
эффективной оценки неравенство |
(12) превращается в равенство. |
Рис. 7. Распределение статистики у. при а = 0,5 |
1,5; а = 0 ч- 18 |
Обозначения те же, что и на штс. 3
Рис. 8. Результаты усталостных испытаний силава В-95 (а = 22,8 кПмм2)
Рис. 9. Результаты усталостных испытаний силава АД-33 (а = 7 кГ1мм3)
Сводный график усредненных зависимостей Г (х) для объемов выбор
ки при и, равном 20, 50 и 100, приведен на рис. |
7. |
|
Для доверительной вероятности |
= 90% |
были построены дове |
рительные интервалы для* порогов чувствительности, оценки которых подсчитаны по результатам усталостных испытаний, приведенным на рис. 2, 8 и 9. Границы доверительных интервалов оказались равными [2]:
для 22 образцов сплава В-95 при апер = + 22,8 кГ/мм2
2>6 .1 0 5 < ^ о < 6 ,М 0 5
при значении N 1) = 5,8 *10б;
для 21 образца сплава В-95 при аПСр = + 20,4 кГ/мм2
1 ,М 0 5< # о < 2 ,3 .1 0 *
при значении оценки N 0 = 2,2 105;
для 100 образцов из сплава АД-33 при сгпер = + 7 кГ/мм2
1,4.106<ЛГ0< 1 ,2 .Ю б
при значении ЛГ0 = 1,1 -106.
Доверительные интервалы для порогов чувствительности, оценки ко торых подсчитаны по малому числу образцов, часто оказываются довольно
// |
широкими, |
а левая |
граница иногда |
||
даже уходит за нуль. Ширина довери |
|||||
|
тельного |
интервала |
зависит также |
||
|
и от среднеквадратического |
отклоне |
|||
|
ния величины ^ = 1п (А^— ЛГ0) и от |
||||
|
отношения |
долговечности, |
соответ |
||
|
ствующей 50%-ной вероятности раз |
||||
|
рушения, к |
порогу |
чувствительно |
||
|
сти (Або%/Ао)« Так, для порога чув |
||||
|
ствительности, оценка которого под |
||||
|
считана по 100 образцам, довери |
||||
|
тельный интервал оказался довольно |
||||
|
широким (см. рис. 9). |
|
|||
|
Умение |
строить |
доверительный |
||
|
интервал для оценки порога позво |
||||
|
ляет определить число образцов, ко |
||||
|
торые необходимо испытать, чтобы |
||||
|
оценить величину порога с данной |
||||
|
точностью. |
|
|
|
|
|
Для |
ширины доверительного ин |
|||
|
тервала, |
не превышающей 30% N 0, |
|||
|
на рис. 10 приведены зависимости чис'- |
||||
|
ла образцов п от |
при |
заданных |
||
значениях величины |
ТУбоУо/ ^ о* Величина отношения N 50 %/^о рассматри |
вается в диапазоне 1,5—9. Из графика видно, что для того, чтобы довери
тельный интервал для порогов чувствительности не превышал 30% N о, нужно было испытать около 370 образцов вместо 100, порядка 50 вместо 22 и около 60 вместо 21. Для средних значений о и отношения N 5 о%/Ао число образцов, необходимых для определения доверительного интерва ла с заданной точностью, колеблется от 25 до 700.