книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций
..pdfМинистерство высшего и среднего специальной обрм е ДВИЯ РСФСР
НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ШШЕНЕРНО-СТГОИШЬНЫЙ ИНСТИТУТ им.В.В.КУЙБШЕВА
В.Г.Себешев, И.А.Чаплинский. Ю.И.Канышев
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ СЛОЖНЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
У ч е б н о е |
п о с о б и е |
НОВОСИБИРСК
1080
УДК 624.04
Сэбелев В .Г ., Чаплинский И.А., Канышев Ю.И. Метод конечных вдементов в расчетах сложных строительных конструкций: Учебное пособие. - Новосибирск: НИСИ, 1989. - 92 с.
В учебной пособии дано систематическое и логически последо вательное изложение теории метода конечных элементов применитель но к задачам расчета линейно деформируемых систем. С позиций об щей теории освещается особенности расчета систем с одномерными (стержневыми) и двумерными (пластинчато-оболочечными) конечными элементами. Особое внимание уделено способам и методике построе ния матриц жесткости элементов. Приведены примеры расчета различ ных, в том числе комбинированных пластинчато-стержневых, строи тельных конструкций. Показаны возможности использования суперэле ментов для расчета сложных систем.
Пособие предназначено для студентов строительных специально стей вузов, включая САПР и ЦИПС, а также для слушателей ШК.
Рецензенты: кафедра строительной механики Новосибирского ордена Трудового Красного Знамени института инженеров железнодорожного транспорта, зав . кафедрой заслуженный деятель науки и
техники FC4CP лауреат Государственной премии д .т .н . профессор 11.Х.Ахметаянов
зав . кафедрой теоретической механики и сопротив ления материалов Новосибирского ордена Трудового Красного Знамени электротехнического института заслуженный деятель науки.и техники РСФСР лауреат Ленинской премии д .т .н . профессор Г.С.Мигиренко
Новосибирский ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительный институт им. Б.В.Куйбышева, *980.
В В Е Д Е Н И Е
Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время приобрел ста тус одного из наиболее разработанных и мощных средств решения раз личных линейных и нелинейных задач статики, динамики и устойчивос ти инженерных конструкций [1-4 и д р .]. Более того, зародившись первоначально как метод расчета напряженно-деформированного состо яния упругих тел, впоследствии МКЭ был осмыслен и развит как мате магический метод численного решения краевых задач в теории диффе ренциальных уравнений. Эта историческая особенность отражается в том, что в математической литературе по теории метода для иллюстра ции основных понятий и положений используются примеры и терминоло
гия механики |
деформируемых тел [ 5 ] . Общий математический аспект |
|
||||
МКЭ упомянут |
здесь |
для того, |
чтобы подчеркнуть фундаментальный |
ха |
||
рактер и |
возможности метода, |
и в данном пособии не рассматривается |
||||
Что |
касается |
МКЭ как инструмента расчета сложных |
инженерных |
|||
сооружений (ю |
том |
числе строительных конструкций), то |
он удачно |
я |
плодотворно соединяет в себе идеи классических методов строитель ной механики стержневых систем (то есть систем, дискретных по сво ей природе, состоящих из соединенных друг с другом элементов ко нечных размеров) с математическим аппаратом и методами механики деформируемого твердого тела. Рассчитываемое сооружение предвари тельно подвергается условному разделению на части, имеющие, как правило, простую форму и конечные размеры, после.чего для совокуп ности конечных элементов составляются уравнения, аналогичные по смыслу каноническим уравнениям классических методов - сил, переме щений или смешанного - в зависимости от избранного варианта реше ния. При этом напряженно-деформированное состояние конечных эле ментов исследуется методами теории упругости, а з более общей пос тановке - по уравнениям теории пластичности и ползучести.
Возможности метода конечных элементов могут быть реализованы в полной мере только при использовании ЭВМ [б , 7J . На его основе создан ряд универсальных программных комплексов (ЛИРА, СПРИНТ, РИ-
ПАК |
и д р .), |
позволяющих выполнять полностью автоматизированные рас |
|
четы |
конструкций. |
|
|
|
В обширной современной литературе по .МКЭ рассматриваются раз |
||
нообразные |
и сложные вопросы теории инженерных сооружений. Отра |
||
з и т ь |
эсе последние достижения в ограниченных рамках учебного посо |
||
бия, естественно, невоэмодно - такая цель и не ставилась-Поэтому |
|||
вопросы устойчивости и нелинейности ке затрагиваются. |
Более |
того, |
насыщение пособия |
сложным материалом монографического |
харак |
||
тера |
не |
способствовало |
|
бы восприятию сущности метода теш , |
кто |
впервые |
знакомится |
с |
проблемой. С учетом накопленного на |
кафед |
ре строительной механики НИСИ опыта преподавания данного раздела курса теории сооружений студентам строительных специальностей и слушателям <ШК, авторы сделали акцент на возможно более последова
тельном изложении теории МКЭ, придерживаясь принципа "от общего - |
||
к частному", и вводя |
новые понятия и определения по мере |
того, как |
в них возникает логическая необходимость. |
|
|
•Порядок и форма |
изложения выбраны такими, чтобы у |
читателя |
возникали ассоциации |
с уже известными ещу методами расчета диск |
ретных (стержневых) систем, особенно с методом перемещений. Так, в начале дается вывод основных уравнений, затем подробно рассмат
риваются способы определения коэффициентов и свободных' членов урав нений, далее освещаются вопросы определения искомых усилий и напря жений в рассчитываемой системе и, наконец, приводятся некоторые сведения по учету особенностей расчета сложных строительных конст рукций* и другие данные, направленные на углубление представлений о методе КЭ.
Из приводимых примеров часть относится к построению матриц жесткости ряда наиболее распространенных типов КЭ, а другие пред назначены для иллюстрации всего процесса расчета конструкции мето дом КЭ q применением ЭВМ. В первой группе примеров особое внимание уделено технике формирования матриц жесткости КЭ различными спосо бами, с подробным объяснением тех этапов решения, которые, как по казывает практика, представляют наибольшие трудности для впервые изучающих ШЭ. Во второй группе примеров рассмотрены такие задачи, где, с одной стороны, наглядно проявляются достоинства и возмож ности МКЭ, например, в расчетах комбинированных пластинчато-стерж невых систем , а с другой стороны, выбраны не слишком громоздкие системы, чтобы сугубо технические вопросы,.такие, как операции над матрицами высоких порядков, не становились препятствием для пони мания сущности решаемой задачи.
I . ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Поскольку любую инженерную конструкцию можно рассматривать как частный случай деформируемого континуума, то в этой главе все теоретические положения и выводы строятся для трехмерной (простран ственной модели линейно деформируемого тела (ЛДГ). Испольэуе-
мое в дальнейшей понятие "тело" относится к любому объекту (систе ме в целой или ее части), обладающему физической, геометрической и конструктивной линейностями [ 8 ] . Предполагается, что читателю известны основные свойства ЛДТ (малость перемещений, применимость Принципа суперпозиции и д р .), а также энергетические теоремы и ва риационные принципы механики в приложении к ЛДТ ^9, 10J
I . I . Задача определения напряженно-деформированного состояния теле и ее решение в конечномерной постановке
Имеется линейно деформируемое тело с заданными размерами и
физическими |
характеристиками материала |
(р и с .1 Л ) . |
На некоторой его |
||||||||
части |
заданы кинематические граничные условия, а |
на |
части |
|
|||||||
статические |
условия |
(описаны объемные силы и условия на |
поверхнос |
||||||||
ти, включая |
распределенные и сосредоточенные |
нагрузки). |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Требуется |
определить |
|||||
|
|
|
|
напряженно-деформированное |
|||||||
|
|
|
|
состояние тела, то есть найти |
|||||||
|
|
|
|
перемещения, деформации |
и |
||||||
|
|
|
|
напряжения по всему его объ |
|||||||
|
|
|
|
ему. Эти величины |
являются |
||||||
|
|
|
|
функциями координат |
х |
, у |
|||||
|
|
|
|
и |
Z |
произвольной |
точки те |
||||
|
|
|
|
ла. Всего этих функций пят |
|||||||
|
|
|
|
надцать: шесть компонентов |
|||||||
|
|
|
|
напряжений |
()£ , |
6^ , |
6^ , |
||||
|
|
|
|
f t y, “ty j , *tZ I , |
шесть |
дефор |
|||||
|
|
|
|
маций |
Ej , |
£у t |
I |
|
, ^и| |
||
|
|
|
|
|
и три |
составляющих |
пе |
||||
ремещения |
U , tT , |
UT |
Для их отыскания необходимо |
использовать |
полную систему дифференциальных уравнений механики сплошной среды (статических, совместности деформаций и физических) либо разреша ющие уравнения Ламе (решение в перемещениях) или Бельтрамн - Мит челла (решение в напряжениях) . Получение точных (замкнутых) решений путем интегрирования дифференциальных уравнений с учетом статических и кинематических граничных условий возможно лишь в простейших случаях. В расчетах реальных конструкций приходится вво дить некоторые упрощения, рабочие гипотезы, например, гипотезы плоских сечений для стержней или Кирхгоффа-Дяга для пластин и обо дочек, и применять различные численные методы.
b
Ввиду невозможности (в общем едучае) |
точного .решения поставлен |
||||||||
ной вш е задачи йеменки ее; |
вместо |
определения функций, |
описывав |
||||||
ших поля перемещений и напряжений, |
будем отыскивать |
их значения в |
|||||||
конечном числе заранее назначенных точек внутри и на поверхности |
|||||||||
седа. Эти точки называются |
у з д а м и |
тела |
(системы), |
их коли |
|||||
чество равно а ^ Расположение и порядок |
нумерации узлов не |
имеют |
|||||||
принципиального значения, но практически узлы назначаются обычно |
|||||||||
о соблюдением некоторой регулярности. |
Предположим, |
что |
все |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
объемные и поверхностные сич- |
|||||||
|
|
лы |
(нагрузки) |
заменены сосре |
|||||
|
|
доточенными силами, приложен.- |
|||||||
|
|
ними в узлах, |
причем |
в каж |
|||||
|
|
дом узле определяются три |
|||||||
|
|
составляющие |
, |
Fyi |
, |
FI L |
|||
|
|
(здесь |
i - |
номер узла), |
па |
||||
|
|
раллельные |
общим (глобальным) |
||||||
|
|
координатным оелм |
X |
, |
у |
||||
|
|
и |
2 - |
будем называть |
их |
||||
|
|
р а с ч е т н ы м и |
у з |
||||||
|
|
л о в ы м и н а г р у з к а * ’ |
|||||||
|
|
м и. На рис. 1.2 условно |
по |
казаны нагрузки лишь в одном
i-OM узла.
Переход от заданных нагрузок к расчетным возможен двумя спо собами:
1) статически эквивалентным преобразованием нагрузок на участ ка* между узлами;
2 ) расчетом по формулам, подученным из условия энергетической еквивадентности заданных воздействий и расчетных узловых нагрузок.
В ряде случаев, например, при правильной сетке узлов, оба споррба могут давать одинаковые результаты. Первый способ более пррстой, а рторой - более универсальный» позволяющий учитывать не толь ко е&даныые силовые воздействия, но также изменения температуры, смещения свлвеЙ, неточности изготовления и начальные напряжения. Подробное описание методики определения расчетных узловых нврруерк дано в главе 3.
Нагрузки и перемещения для t -го узла характеризуются некто*
(здесь (Ц , |
tTj, I Ш|, |
- компоненты перемещений |
|
{ -го |
узла по нап |
||||
равлениям, |
параллельным координатным осям х |
, |
IJ я |
г |
соотавтст- |
||||
венно), а для |
системы |
в целом - |
векторами |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а л ) |
Количество компонентов |
вектора 6> называется |
ч |
и о л о и |
||||||
с т е п е н е й |
с в о б о д ы |
у з л а |
5 |
|
|
|
|||
Заметим, |
что нагрузки |
F |
и перемещения |
являются соответ |
ствующими друг другу обобщенными внешними силами и перемещениями, Размерности векторов F и {Г одинаковые. В случае необходимости кроме линейных перемещений узла могут определяться такие и углы, йо-
ворота, тогда |
|
|
|
Ч -[«ч ч |
4L |
Чи v ч*Зт - |
а -э) |
число степеней свободы Становится равным 6, При этом в |
вектор ^ |
||
должны быть включены узловые моменты: |
|
||
|
|
|
(1 .4) |
При известном векторе |
F |
требуется найти числовой' вектор 0 |
а затем определить деформации и напряжения в теле. Число искомых
компонентов |
перемещений |
конечное, |
зависящее |
от назначенного ко |
||||||||||
личества узлов, следовательно, преобразованная |
в новой постановке |
|||||||||||||
задача стала |
к о н е ч н о м е р н о й |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Так |
как |
рассматриваемое |
тело, |
по условию, |
лкнейио дефорыкру |
|||||||
емое, |
то |
между нагрузками и перемещениями существует |
однозначная |
|||||||||||
зависимость |
(если |
не |
происходит потери устойчивости): |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 .5 ) |
где |
|
Ф |
- квадратная |
невырожденная ( |
D et( Ф |
) Ф 0) матрица. |
||||||||
|
|
Соотношение |
(1 .5 ) можно представить в иной форме: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T f.frsF |
|
|
|
|
(1 .6) |
||
г&■ |
к = г |
1. |
|
|
* * |
Fl |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Квадратная матрица |
DC , |
осуществляющая линейное |
преобразова |
|||||||||
ние |
вектора перемещений узлов |
& |
в вектор узловых сил |
F такой же |
||||||||||
размерности, |
называется, |
как |
известно £.9^ , м а т р и ц е й |
|||||||||||
ж е с т к о с т и |
|
т е л а |
( с и с т е м ы ) , |
а |
точнее |
- матрицей |
||||||||
внешней жесткости |
теле по отношению к перемещениям |
5 |
Структура |
|||||||||||
матрицы |
ЗС ^определяется |
топологией, |
геометрией |
и распределением |
упругих свойств тела, а также расположением и порядком нумерации узлов и структурой векторов F и f (количеством и последователь-
?
костью записи их компонентов).
Матричное уравнение ( 1 .6) представляет собой запись системы
неоднородных линейных |
алгебраических уравнений, |
в которых неизвест |
|
ными являются искомые |
перемещения узлов ft , а |
свободными членами |
|
узловые нагрузки F |
Получив решение системы в виде (1 .5 ), можно |
||
затем по соотношениям |
Коши вычислить деформации, а |
по деформациям |
|
напряжения, используя |
физические соотношения (закон |
Гука, закон |
температурного линейного расширения материала). Основной трудностью в переходе от перемещений узлов к деформациям является то, что при менить дифференциальные ‘зависимости Коши можно лишь тогда, когда известно, по какому закону изменяются перемещения а , !Г и UT меж ду узлами. Но для этого нужно иметь точное решение, от подучения которого мы отказались, изменив постановку задачи. Выход из поло жения состоит в использовании приближенного описания (аппроксима ции) распределения перемещений между узлами. Выбор удачных аппрок симаций перемещений составллёт одну из главных проблем метода ко нечных элементов, о чем будет сказано ниже.
Когда некоторое описание межуэловых перемещений выбрано, опре деление деформаций и напряжений выполняется достаточно просто.
Все вышеизложенное представляет собой принципиальную схему ре шения задачи в перемещениях. Теоретически возможны иные варианты решения - в напряжениях и смешанный. Но наиболее приспособленным для полностью’ автоматизированного расчета конструкций с применени ем ЭВМ является решение в перемещениях, которое в дальнейшем и рас сматривается.
|
Отметим, что |
в |
литературе по МКЭ для |
матриц |
и ff |
использу |
|||
ются |
обозначения |
[К] |
и |
{б*} , |
а также традиционные для классическо |
||||
го метода перемещений |
симполы |
Г и |
Z |
В этом разделе |
и далее |
||||
везде |
в пособии используется |
общее |
обозначение £ . . . ] |
для развер |
нутой поэлементной записи матриц любого вида, как это принято в ос
новных учебниках £93 |
и |
[ЮЗ |
Это позволяет, |
в частности, тракто |
||||
вать |
(1 .2 ) |
- (1 .4) не |
как |
векторы, а как прямоугольные матрицы в |
||||
том |
случае, |
когда |
нужно |
выполнить расчет не для |
одного, а для нес-' |
|||
кольких вариантов |
заданных |
воздействий - число |
столбцов матриц F |
|||||
и 5 |
будет |
при этом равно |
количеству вариантов. |
|
1 .2 . Уравнения метода конечных элементов в перемещениях
Для получения уравнений используем один из основных энергети ческих принципов механики деформируемого тела - вариационный прии-
цип Лагранжа, предусматривающий варьирование перемещений - имение тех величин, которые приняты за искомые неизвестные в рассматривав емой постановке задачи.
Согласно принципу Лагранжа, из всех кинематически возможных полей перемещений (удовлетворяющих условиям совместности деформа ций и кинематическим граничным условиям ) действительному состоя нию равновесия при заданных нагрузках отвечает то поле, для кото рого полная потенциальная энергия тела стационарна
Полная потенциальная энергия П. равна сумме потенциальной
энергии упругой деформации |
тела U. и потенциала внешних сил |
|
П |
U +' Wp . |
(1 .7) |
Упругий потенциал определяется через |
обобщенные внешние силы |
и соответствующие им обобщенные перемещения по теореме Клапейрона:
U. = -^& TF |
(1 .8) |
|
или, с учетом ( I .6), |
|
|
U =-jrl)TX j . |
(1 |
.9 ) |
Потенциал внешних сил равен их возможной работе |
на |
ус |
ловном перемещении тела из деформированного состояния в исходное недеформированное:
|
|
|
|
W ^ - F X |
|
|
(1.10) |
|
|
Полная |
потенциальная |
энергия |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
pTf> |
|
C I.II) |
|
является функцией конечного числа компонентов перемещений: |
||||||||
|
n = n ( 6') = n ( u i ,iri>uri , . . . i U.t ,iri ,uTl , . . . , U tl,trfVfuru ) . |
(I .I2 ) |
||||||
|
Условие |
минимума этой |
функции |
(1П г 0, |
выражающее принцип |
|||
Лагранжа, дает |
систему уравнений |
|
|
|
||||
|
0ff |
= Д |
(it +Wp)-• 0 |
или -^=щ(и.+\Х/р)=0, t-1,n, ( I . I 3 ) |
||||
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
где |
JL - |
№Ч |
- оператор дифференцирования |
по компо |
||||
|
а л ч |
|||||||
|
|
|
з /Н |
нентам |
вектора |
5 ^ . |
|
Общее Число уравнений (I .I3 ) равно числу искомых перемещений.
о ..................... ................... ■— .....................................
к)
Для устойчивого равновесия - |
минимальна (по теорема Дирихле). |
с |
|
Представив |
(1,13) в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ж |
|
Ж |
иди |
Ж |
- _ |
М |
|
1>*идь, |
(IЛ 4 ) |
||
|
|
35 |
|
36 |
|
|
|
8 Ц “ |
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*<• |
uui |
|
|
|
рассмотрим |
отдельно |
левую и правую части |
(1.14).: |
|
|||||||||
|
Ж |
s a /3 a l |
|
|
|
|
a W p /a ^ |
|
|
||||
|
аи/аи- |
|
|
|
№ |
|
Щ /ап |
(1 .15) |
|||||
|
|
|
|
щ |
|
||||||||
|
|
|
au/aw i |
|
|
|
|
awF/au;t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, |
что |
WF = - |
FTff = - f j ( F ^ ) , |
причем |
= |
||||||||
* F3 A |
+ F j,.i4 |
+ Fi fi 4 |
’ |
находии* ^ то |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ж |
|
|
г |
„прпя |
8% |
|
( I .16) |
||
|
|
|
|
а ^ ~ |
Ft |
тогда Ж |
" |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Лодробнее |
преобразуем |
выражение |
3 U /8 6 . Вычислим производ |
||||||||||
ную U по одному из |
перемещений |
t-r.o |
узла, дифференцируя U кай про |
||||||||||
изведение |
матриц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
- |
f |
|
|
■ |
|
т { € ™ + |
|
- |
|
|||
|
4 ( [ 0 0 ...0 1 0 ...0 ]З С ^ 6 ТК [0 0 ...0 1 0 ...0 ]) = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
позиция |
31-2 |
|
|
позиция 31-2 |
|
||||
= i ([^3K 1 |
''' ^П-2,Зц] ^ + ^ |
[ Ц.31-2 ^ 2>3i_2• • • Цп,з1-2 ] |
) • |
||||||||||
Компоненты матрицы X |
можно понимать |
как реакции некоторых ус |
|||||||||||
ловных связей от их единичных смещений, |
(доказательство |
приводится |
|||||||||||
ниже), |
тогда по теореме |
Рэлея |
о |
взаимности |
реакций fc3L_2 j =^ j 3i-e |
||||||||
(матрица жесткости X симметрична относительно главной диагонали). |
|||||||||||||
Учитывая это, второе слагаемое в скобках |
последней формулы преоб |
||||||||||||
разуем |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 4 W |
|
- |
|
= ^ |
|
|
|
|
••• |
з Л |
Л К 1 - Ц и , ,„]& • |
||
Окончательно производная величины И по перемещению |
, явля |
||||||||||||
ющемуся |
(31-2)-ыы компонентом вектора 5 , выражается через строку |
||||||||||||
матрицы |
X |
о тем яз номером 31-2: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
811 |
г - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|