книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии
..pdfПри этом необходимо отметить, что соотношения (111.5) и (III.6) описывают кинетику роста усталостной трещины в материале с однородными механическими свойствами. Кроме того, поскольку о и R — неинвари антные переменные, дифференциальные уравнения типа (111.5) пригодны только для описания кинетики усталост ной трещины в материале при одной какой-то силовой схеме (установленные константы Cj для одной схемы нагружения, вообще говоря, не могут быть применены к другой). Иными словами, константы Cj, входящие в дифференциальное уравнение (III.5), характеризуют не усталостное разрушение материала, а усталостное раз рушение определенной конструкции (например, испы тываемых образцов, на основании которых они установ лены). Достаточно полный обзор исследований, посвя щенных установлению зависимостей типа (III.5), приво дится в работах [17, 74].
Функциональная зависимость (III.6) отличается большей универсальностью и это объясняется следую щим, Процессы, происходящие в окрестности контура трещины и развивающиеся в условиях циклического на гружения, будут в некоторой степени адекватны анало гичным процессам при статическом растяжении, если частота наложения циклического напряжения не слиш ком высокая, т. е. когда еще не сказываются процессы, обусловленные задержкой пластического течения. Поэто му при усталостном распространении макротрещины в малой окрестности ее контура формируется зона предразрушеИНя, механическое состояние которой при сим метричном относительно плоскости трещины нагружении описывается коэффициентом интенсивности напряже ний Кь
Поскольку скорость v распространения усталостной макротреДщнЫ в основном определяется процессами, происходящими в зоне предразрушения, механическое состояние которой описывается коэффициентом интен сивности Напряжений /Ci, вполне логично предположить, что межДУ величинами v и K i существует функциональ ная зависимость. Действительно, экспериментальные ис следования [17, 38, 61, 63, 65, 66, 74, 75] подтверждают это, вернее функциональную зависимость между ско ростью распространения ТреЩИНЫ V И Klmax, Klmln, т. е. подтверждают структуру равенства (III.6).
установлены в указанном направлении зависимости уни версального характера, которые эффективно учитывали бы многообразие силовых, геометрических, металлурги ческих и физико-химических параметров, ответственных за рост усталостных трещин. Для осуществления этой задачи необходимы дальнейшие аналитические и экс периментальные исследования закономерностей роста усталостных трещин.
2.Определение долговечности тела
стрещиной, подвергнутого циклическому нагружению
Постановка задачи. Рассмотрим трехмерное квазихрупкое тело, ослабленное макротрещиной S0 вдоль некото рой поверхности и подвергнутое циклическому нагруже нию. Задача состоит в установлении времени (числа циклов W =W *), по истечении которого трещина подра стет до критического размера и тело разрушится.
Выберем в теле сферическую систему координат р, ф, а (рис. И ). Поверхность распространения усталостной трещины может быть задана уравнениями в параметри ческой форме, т. е. _£)=Р(^, ос), ф=ф(М, а), или в век
торной форме, т. е. r = r (N , а). Уравнения начальной по верхности S0 усталостной трещины и ее контура зада дим в векторной форме:
*о=*о(ф>а)'> г(0,а) = ^0(а) (III.9)
(углы а и ф указаны на рис. И ).
Кинетику распространения усталостной трещины бу дем определять, полагая выполнение следующих усло вий [8, 10, 37, 38].
1. Рассматриваемая трещина является макроскопиче ской, т. е. около ее вершины реализуется условие авто модельности напряженно-деформированного состояния (уровень напряженно-деформированного состояния обус ловливается только коэффициентами интенсивности на пряжений Кь Kih Кт и значением регулярных частей компонентов напряжений в зоне предразрушения (см. гл. I)).
Рассмотрим поверхность усталостной трещины (см. рис. 11). При изменении параметров а или N на этой поверхности образуются соответственно осили Af-линии. Линии yV=const будут составлять кинетическое много образие контуров трещины, а линии oc = const описывают кинетику продвижения точек подвижного контура тре щины в определенном направлении. Поэтому вектор ка сательной вдоль линии a = con st будет описывать ско рость роста усталостной трещины в точке подвижного контура в направлении угла ос, т. е.
v = ■дг |
(ШЛО) |
dN |
|
Из третьего условия следует, что распространение усталостной трещины происходит в нормальной к по движному контуру плоскости, т. е. вектор скорости тре-
дг |
-» |
щины -Qpj |
и вектор нормали па к подвижному контуру |
(JV^const) будут находиться в этой плоскости под не которым углом р друг к другу. Математически это усло вие можно еще записать так:
|
|
4 |
= |
з т р , |
|
(iii .il) |
|
где пь — вектор бинормали |
к линии N = |
const, |
|||||
|
|
|
*» |
|
•» |
|
|
|
** |
___ |
дг |
|
д2г |
|
|
|
Пъ~ ~да |
Х |
“ асе5 * |
|
|||
Подставляя значение пь в соотношение (III.11), полу |
|||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
-> |
-> |
дТ |
|
|
|
|
|
дг |
дг д*т |
|
дг |
У |
д°г |
sinр = 0. (III. 12) |
|
dN '' |
да * да2 |
dN |
|
||||
|
да |
л |
да? |
|
Вместе с тем на основании третьего условия можно заключить, что угол Р определяет максимальное значе ние деформации растяжения на площадках, проходящих через касательную к подвижному контуру трещины. По этому угол р будет вычисляться через коэффициенты ин тенсивности напряжений Ki и Ки (см. гл. II, соотношение
(II.5)), как и для случая состояния плоской деформации (трехмерное тело) или для случая плоского напряжен ного состояния (тонкие пластины) по формуле
В
_д_ |
/ (a*) cos4 "2 |
(/С, cos |
— 3/СП sin у ) 2 = 0. |
|
1 — т] sin а* |
||||
|
||||
|
|
|
(III.13) |
На основании сформулированного выше утверждения и третьего условия для установления скорости распро странения усталостной трещины имеем такое равенство:
ц = ф->(Ь), |
(III. 14) |
|
где Ф (А )— характеристическая функция |
усталостного |
|
разрушения, устанавливаемая |
экспериментально; |
|
X = l — |
г\С |
(III.15) |
V |
|
efc — величина деформации растяжения в зоне предразрушения, при достижении которой усталостный рост тре щины переходит в спонтанное разрушение; эта величина для случая сложного напряженного состояния опреде ляется аналогично (1.12).
Предполагая, что величина деформации растяжения вшах вычисляется через коэффициент Кг интенсивности растягивающих напряжений, действующих на площадке Вшах, как и в случае симметричного растяжения (см. па раграф 2 гл. I), а также пользуясь соотношениями (1.4), (1.8), (1.12) и (1.14), выражение для безразмерного па
раметра К можно записать еще в таком |
виде: |
||
где |
величины а», |
т], /(а*) определены |
в параграфе 2 |
гл. |
I. |
|
|
|
Коэффициент |
интенсивности Кг растягивающих на |
пряжений на площадке с полярным углом р вычисляет
ся на основании формулы (II.2) |
при 0 = 0 следующим |
образом: |
ЗКиsin 4 )• (П1.17) |
Кг = cos2 4 ( к, cos 1 - |
Используя соотношения (ШЛО) — (III.17), для опи сания кинетики распространения усталостной трещины
(нахождения функций p(N, |
а) |
|
|
|||
и ф (N, а ) ) в дополнение к урав |
|
|
||||
нениям теории упругости, опре |
|
|
||||
деляющих |
коэффициенты |
ин |
|
|
||
тенсивности Кт и /Си, получаем |
|
|
||||
следующую |
систему |
диффе |
|
|
||
ренциальных уравнений: |
|
|
|
|||
Ф(Ь) |
’ |
(III.18) |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
•> |
|
д * sin Р = |
|
дг |
t дг |
д2г |
дг |
дг |
О, |
|
dN |
да |
да2 |
dN |
да |
Л да* |
|
где величина р вычисляется из |
соотношения |
(III.13). |
||||
Если в |
процессе усталостного |
разрушения |
внешнее |
нагружение не изменяется по направлению или величине
амплитуды, направление скорости усталостной трещины |
|
*> |
•> |
v будет совпадать с направлением нормали па к подвиж
ному контуру трещины |
(nj/v, Р = 0 ). В этом случае вто |
рое уравнение (III.18) |
упрощается к такому виду: |
дг дг д2г ___л W да * да2 ~ U ;
к п Й = о.
Из результатов экспериментальных исследований и логических соображений следует, что характеристиче ская функция Ф(К) будет монотонно возрастающей и представляется графически S-образной кривой в коор динатах Ф ~Х (рис. 12). При этом величина Хо соответ ствует пороговому значению коэффициента интенсив ности Ки ниже которого трещина не распространяется.
Полный диапазон изменения функции Ф(А,) описы вается соотношением
®М~*[(т£тГ- 1 (III.19)
При малых значениях к эту функцию достаточно точ но можно аппроксимировать полиномом т-й степени:
т
Ф ( М = 2 ^ " - |
(II 1.20) |
/1=1
пересчитана для каждого конкретного вида элемента конструкции в величину долговечности (живучести) это го элемента. При этом следует отметить удобство в по строении подобных диаграмм. Каждая диаграмма начи нается из нулевой точки и, монотонно возрастая, уходит в область многоцикловой усталости (см. рис. 12), измеменяясь в промежутке O^A,5g:A,o< 1. Построение таких диаграмм облегчает сравнительный анализ опытных дан ных для различных материалов и условий испытаний. Вместе с тем аппроксимация функции Ф(А,) в виде (III.19), (III.20), в отличие от других подходов [17, 38, 74], дает возможность эффективно аналитически иссле довать кинетику распространения усталостной трещины для различных видов циклического нагружения.
Для определения долговечности N = N * элементов
конструкций, кроме кинетики распространения трещины, |
||
необходимо |
еще знать и ее |
■> |
критический размер г* = |
||
= r (N it1 а), |
при достижении |
которого наступит предель |
но равновесное состояние тела. На основании соотноше
ния (II.3) при 0= 0 для определения г* получим урав нение
р
/(a*) cos4 ^
/о (Ло) 0 — Лsin 2а*) (К иcos -|- — 3KUt sin -|-)2= 0,2222
(II 1.23)
где Ки и /Си* — коэффициенты интенсивности напряже ний Ki и /Си для тела с трещиной, чей контур описывает
ся радиусом-вектором г*.
Соотношение (III.23) описывает целое семейство кон туров трещин, из которого надо выбирать контур, удов летворяющий уравнениям кинетики распространения усталостной трещины (III.17).
Таким образом, совокупность уравнений (III.18) и (III.23) при начальных условиях (III.9) вместе с урав нениями теории упругости и дает решение задачи об определении долговечности элементов конструкции с де фектами типа трещин, если из эксперимента установле ны величины Л, т , Х0, Ап для соотношений (III.19) и (III.20).
Распространение усталостной трещины в пластинах.
В этом случае трещина будет двигаться вдоль некоторой