книги / Основы теории цепей. Ч. 2
.pdf4.2.6.2. Подключение RС-цепи к источнику постоянного напряжения
1. Запишем правило коммутации для цепи на рис. 4.9:
uC (0− ) = uC (0+ ) = 0 .
2. Получим дифференциальное уравнение цепи:
|
R |
|
+ |
E |
uC |
iC |
C |
Рис. 4.9 |
|
uR +uC = E ,
iC R +uC = E , iC = C duC , dt
CuC′ R +uC = E .
Характеристическое уравнение цепи
pCR + 1 = 0 ,
корень которого
p = − 1 .
RC
Постоянная времени τ = 1 = RC . p
3. Запишем полное решение:
− 1 t
uC (t) = uCпр +uCсв = E + Ae RC .
Здесь свободная составляющая так же включает только одну экспоненту, поскольку цепь имеет первый порядок.
4. Подставив в полное решение t = 0+, определим постоянную интегрирования на основании правил коммутации A = −E .
Таким образом, окончательный результат имеет вид
|
|
− |
1 |
t |
uC |
(t) = E 1 |
−e RC . |
||
|
|
|
|
|
151
Ток в цепи |
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 t |
= |
E |
− 1 t |
iC (t ) = CuC′ = −E − |
Ce RC |
R |
e RC . |
||
|
RC |
|
|
|
|
Графики изменения uC (t) и iC (t) представлены на рис. 4.10. |
|||||
Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, макси- |
|||||
uC , iC |
мально в начальный момент време- |
||||
ни, |
когда |
оно |
скачком достигает |
||
E |
значения |
E R , и все напряжение |
|||
uC(t) |
|||||
E R |
источника приложено к резистору. |
||||
iC(t) |
По мере зарядки конденсатора на- |
||||
t |
пряжение на нем повышается, что |
||||
Рис. 4.10 |
ведет к соответственному умень- |
||||
|
шению тока вцепи. |
||||
4.2.6.3. Подключение R L -цепи к источнику |
|||||
постоянного напряжения |
|
|
1. Запишем правило коммутации для цепи, изображенной на рис. 4.11:
|
|
i (0− ) = i (0+ ) = 0 . |
|
|
||
|
|
L |
L |
|
|
|
2. Получим дифференциальное уравнение цепи: |
|
|||||
|
|
|
RiL +uL = E , |
|
|
|
|
|
|
RiL + LiL′ = E , |
|
|
|
|
|
|
характеристическое уравнение |
|||
|
R |
|
Lp + R = 0 . |
|||
E |
iL |
L |
Корень характеристического урав- |
|||
нения и постоянная времени соответ- |
||||||
|
||||||
|
|
|
ственно имеют вид |
|
||
|
Рис. 4.11 |
|
p = − |
R |
L |
|
|
|
|
, τ = |
. |
L R
152
3. Полноерешениеимеетвид |
|
E |
uL, iL |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= E + Ae− |
R |
|
|
|
|
|
||
i (t) = i |
+i |
L t . |
E R |
|
|
|
|||||
L |
Lпр |
Lсв |
R |
|
|
|
|
|
|
iL(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Подставив в iL(t) t = 0+, на |
|
|
|
uL(t) |
|||||||
основании |
правила |
коммутации |
|
|
|
t |
|||||
определим |
постоянную интегри- |
|
|
|
|||||||
|
|
Рис. 4.12 |
|
||||||||
рования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = − E . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
iL (t) = |
E |
|
− R t |
|
|
|||
|
|
|
|
1 −e L |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
Напряжение на индуктивности |
|
|
|
|
|||||||
|
|
uL (t ) |
|
|
− |
E |
R |
− R t |
− R t |
|
|
|
|
= Lil′ = L |
|
− |
e L |
= Ee L . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
R |
L |
|
|
|
|
Графики изменения uL(t), iL(t) приведены на рис. 4.12. |
|
||||||||||
|
4.2.6.4. Подключение RC-цепи к источнику |
|
|||||||||
|
|
гармонического напряжения |
|
||||||||
Рассмотрим случай, когда в цепи (рис. 4.13) действует источ- |
|||||||||||
ник синусоидальной ЭДС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e(t) = Em sin(ωt + ψe ) . |
|
|
||||||
Здесь ψe – |
фаза включения, |
т.к. |
она |
|
|
R |
|
||||
определяется моментом срабатывания |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
коммутатора. |
Интуитивно |
следует |
e(t) |
|
C |
||||||
ожидать влияние ψe |
на качественную |
i(t) |
|||||||||
и количественную картину протека- |
|
|
|
|
|||||||
ния переходного процесса. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.13 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
153 |
Порядок расчета переходных процессов, описанный выше, не претерпевает никаких изменений.
1. Запишем правило коммутации:
uC (0− ) =uC (0+ ) = 0 .
2. Дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение имеют вид:
uC +uR = e(t),
uC +CuC′ R = e(t), 1 + RpC = 0 .
Корень характеристического уравнения
|
|
|
|
|
|
p = − |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Полное решение для рассматриваемой цепи первого порядка: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=i + Ae− |
1 |
t . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i(t) =i +i =i + Ae pt |
RC |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
пр |
св |
|
|
пр |
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. Расчет принужденной составляющей произведем символи- |
||||||||||||||||||||||||||||
ческим методом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
E |
|
|
|
Em e |
jψe |
|
|
|
|
|
|
|
|
Em |
|
|
|
|
|
Ψe |
+arctg |
1 |
|
|||||
I&m = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
e |
ωCR ; |
||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
||
|
1 |
|
|
R2 + |
|
|
2 |
e |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
R2 + |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
R − j ωC |
|
|
|
|
|
|
|
ωCR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− jarctg |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
& |
|
= − j |
1 |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
UC |
ωC |
I ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iпp (t) = |
|
|
Em |
||
|
2 |
|
1 2 |
||
|
|
||||
|
R |
|
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ωC |
|
ωt +ψe |
+arctg |
1 |
|
sin |
|
; |
||
|
||||
|
|
|
ωCR |
154
uCпp (t) = |
|
|
Em |
|
|
|
1 |
|
ωt +ψe |
+arctg |
1 |
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
1 2 |
ωC |
|
|
|
ωCR 2 |
|||||
|
R |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим Im = |
|
|
Em |
||
|
2 |
|
1 2 |
||
|
|
||||
|
R |
|
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ωC |
мулуприведения
, ϕ= arctg |
1 |
и применим фор- |
|
||
|
ωCR |
uCпp (t) = −ωIm cos (ωt +ψe −ϕ) .
C
5. Для расчета постоянной интегрирования запишем полное решение для момента t = 0+ :
|
(t ) =u |
(t ) + Ae− |
1 |
t ; |
|||
u |
RC |
||||||
C |
|
Cпр |
|
|
|
||
uC (0+ ) = − |
Im |
|
cos (ψe −ϕ) + A . |
||||
ωC |
|||||||
|
|
|
|
|
В соответствии с правилом коммутации
A = Im cos(ψ −ϕ) .
ωC e
Таким образом,
u (t) = I |
|
1 |
|
−cos (ωt +ψ −ϕ) +cos (ψ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
C |
m |
|
ωC |
e |
|
e |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
обозначим X C = |
|
1 |
|
, тогда |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
ωC |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(ωt +ψe |
−ϕ) +cos (ψe |
||
uC (t) = Im X C −cos |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
t |
−ϕ)e |
RC |
, |
|
|
|
− |
1 |
t |
−ϕ)e |
RC |
. |
|
|
|
155
Определим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
CI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 |
t |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
iC |
(t) =CuC′ |
= |
|
ωsin (ωt +ψe −ϕ) +cos(ψe −ϕ) |
− |
|
e |
|
RC ; |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
iC |
(t) = Im |
sin (ωt + ψe |
−ϕ) − |
|
e RC cos (ψe |
−ϕ) ; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ωRC |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X C |
|
|
|
− |
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
iC |
(t) = Im |
sin (ωt + ψe |
−ϕ) − |
cos (ψe −ϕ)e |
RC . |
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оба выражения для uC и iC в общем случае имеют периодическую принужденную и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов – начальной фазы напряжения источника в момент включе-
ния ψe и соотношения параметров цепи X C |
и R. |
|||||||
Исследуем ожидаемое влияние фазы включения ψe источни- |
||||||||
ка на переходный режим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Пусть ψe = ϕ, тогда ψe |
−ϕ = 0 . Поскольку cos 0 = 1, получим |
|||||||
|
|
− |
1 |
t |
||||
|
|
|||||||
uC (t) = Im X C −cos ωt + e |
|
RC |
; |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
X C |
|
1 |
t |
|
|
|
i(t) = Im sin ωt − |
e RC |
; |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
R |
|
|
а) исследование кривой напряжения (рис. 4.14) наглядно показывает, что максимальное напряжение в переходном режиме ограничено UCmax < 2UCmпр ;
б) исследование кривой тока (рис. 4.15) показывает, что максимальное значение тока в переходном режиме зависит от соотношения X C и R и может превышать Imпр в несколько раз. Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным.
156
uC
UCmax
ImXC |
|
|
uC(t) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
uCсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
uCпр |
|
|
|
|
|
|
|
-ImXC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.14 |
|
||||
|
Im |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
-Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X c |
> R |
X c >> R |
|
− I m |
X C |
iсв |
i(t) |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iсв |
|
Рис. 4.15 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
2) В случае, если ψe |
− ϕ = π , поскольку cos π = 0 , получим: |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
π |
|
|
= Im X C sin ωt; |
uC (t) = Im X C − cos ωt |
2 |
|
+ 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iC |
|
|
ωt + |
π |
|
|
|
|
|
(t) = Im sin |
|
|
+ 0 = Im cos ωt. |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
157
Таким образом, в данном случае в цепи переходный процесс не наблюдается.
4.2.7. Переходные процессы в цепях II порядка
Одна из классических задач в теории переходных процессов – анализ разряда конденсатора с емкостью C на цепь, обладающую активным сопротивлением R и индуктивностью L.
|
4.2.7.1. Разряд емкости на цепь RL |
|
|
|
||
|
R |
1. Независимые начальные условия для |
||||
|
рассматриваемой цепи (рис. 4.16): |
|
||||
|
|
|
||||
|
L |
u (0− ) = u (0+ ) =U |
0 |
; |
|
|
C |
C |
C |
|
|
||
i |
iL (0− ) = iL (0+ ) = 0. |
|
|
|
||
|
uC |
2. Дифференциальное уравнение |
цепи |
|||
Рис. 4.16 |
и корни характеристического уравнения: |
|
uR +uL +uC = 0; iR R + LiL′ +uC = 0;
iC = iL = iR = i = CuC′ ;
LCuC′′ + RCuC′ +uC = 0 .
Характеристическое уравнение
|
LCp2 + RCp +1 = 0 |
или p2 + |
R |
p + |
1 |
|
= 0 . |
(4.12) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
LC |
|
|
|
|
||||
Корни характеристического уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
− |
4 |
|
|
R |
|
|
|
|
R |
2 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= − |
± |
|
L |
|
|
= − |
|
± |
− |
|
|
||||||||||||
p1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (4.13) |
|||||||
2L |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
2L |
|
LC |
158
3. Полное решение uC |
(t) = uCпр + ∑ Ai e pi t = uCсв (t) . Вид свобод- |
|
{ i =1,2 |
|
0 |
ной составляющей и характер переходного процесса будут определяться тем, какими числами будут корни характеристического уравнения. Это зависит от соотношения между параметрами цепи, в частности, от подкоренного выражения в уравнении (4.12). Здесь возможны три варианта:
|
|
R 2 |
> |
1 |
R > 2 |
L |
= 2ρ , где ρ – |
волновое сопротивле- |
|
1) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
2L |
|
LC |
|
C |
|
|
|
ние контура, т.е. для низкодобротных контуров Q < 0,5. При этом |
|||||||||
корни p1 и p2 – |
вещественные отрицательные разные; |
||||||||
2) |
R = 2ρ или Q = 0,5: корни p1 = p2 – |
вещественные отрица- |
|||||||
тельные равные; |
|
|
|
|
|
3) R < 2ρ илиQ > 0,5: корниp1 иp2 – комплексныесопряженные.
В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер (напряжение на емкости uC монотонно затухает до нуля, не меняя своей полярности); в третьем случае процесс разряда – колебательный.
5. Найдем постоянные интегрирования А1 и А2, для чего возь-
мем производную uC′ (t) : |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
u′ |
(t) = A p e p1t |
+ A p e p2t . |
||
|
|
|
|
C |
|
1 1 |
2 |
2 |
4.2.7.2. Апериодический разряд емкости на цепь RL |
||||||||
Рассмотрим случай, когда p1,2 – |
действительные и отрицатель- |
|||||||
ные, т.е. |
R |
> |
1 |
. В этом случае переходный процесс называется |
||||
|
|
|||||||
|
2L |
LC |
|
|
|
|
||
апериодическим и вид полного решения следующий: |
||||||||
|
|
|
|
uCпр |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
u (t) = u |
(t) = A e p1t |
+ A e p2t . |
||
|
|
|
|
C |
C св |
|
1 |
2 |
159
Рассмотрим функции uC (t) и uC′ (t) в момент времени t = 0+ :
u (0+) = A + A = ? |
|||
|
C |
1 |
2 |
|
|
(0+) = A p + A p = ? |
|
u′ |
|||
|
C |
1 1 |
2 2 |
Определим правые части приведенных выше уравнений:
u (0+ ) = u (0− ) =U |
0 |
; |
|
|
|
|
||||
C |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = i = Cu′ |
; |
u′ |
= |
iL |
u′ |
(0+) = |
iL (0+) |
= 0. |
||
|
|
|||||||||
C L |
C |
|
C |
|
C |
C |
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
Тогда система уравнений для определения постоянных интегрирования А1 и А2 принимает следующий вид:
uC (0+ ) = A1 + A2 = uC (0− ) =U0 ,
uC′ (0+ ) = A1 p1 + A2 p2 = 0.
Решим полученную систему уравнений.
A1 + A2 =U0 |
, |
|
− |
A p |
=U0 , |
|||||
A1 |
|
1 1 |
||||||||
|
p2 |
|||||||||
|
|
A1 p1 |
|
|
|
|
|
|
||
A2 |
= − |
|
|
( p2 |
− p1 ) |
|
||||
|
|
A1 |
=U0 . |
|||||||
|
||||||||||
|
|
p2 |
|
|
|
|
p2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 = − |
|
U0 p2 |
|
; аналогично: |
A2 |
= |
U0 p1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p − p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
− p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, искомое uC (t) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
−p |
|
|
p t |
p |
p t |
|
|
|
U |
0 |
|
|
p t |
|
p t |
|
|
|||||||
u |
(t) =U |
|
|
|
|
2 |
|
|
e 1 + |
1 |
e 2 |
|
= − |
|
|
|
p e 1 |
− p e |
2 |
|
. (4.14) |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
C |
|
− p2 |
p1 − p2 |
|
|
|
|
p1 − p2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Получим функцию изменения тока в цепи: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
i = iR = iL = iC = CuC′ |
= −CU0 |
|
p p |
|
P t |
− |
p p |
|
P t |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 1 |
|
p1e 1 |
1 2 |
e 2 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
− p2 |
p1 − p2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
160