книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfраметров L, т), (/= 1 , 2, 3, |
N— 1) в виде |
|||
|
|
N —1 |
|
|
i ^ » |
= con+ |
2 c*»(Tl > - 1l/-') |
( « = 0 , 1 , 2 , . . , N - I). |
|
|
|
7_l |
|
(5.40) |
Определив из (5.40) значения L и |
и подставив их в соот |
|||
ношение |
(5.34), |
получим |
значения его |
в зависимости от длины |
трещины /0, величины внешней нагрузки ру длины концевой зо ны dyпоскольку d = N b .
С другой стороны, если известно значение оо, из соотношений (5.34), (5.40) можно определить величину d.
Если оператор 71* имеет вид |
|
T J = a (f)f (t) + ^ R ( t ,x ) f (т) dx, |
(5.41> |
о |
|
то, исходя из критерия (5.21) и соотношения (5.35), получим уравнение для определения момента страгивания трещины
(полагается, что нагрузка приложена |
при t= 0 ) |
в форме |
U |
|
о |
а (/) F (/0, L, rtf + j R (/*, х) F (/„ |
L, г)г) |
. (5.42> |
о |
|
|
Следует, однако, отметить, что определение параметров рас смотренной модели в общем случае затруднительно, поэтому7 представляет интерес исследование более простых моделей, для которых характеристики разрушения можно представить в удоб ной для дальнейшего анализа форме.
Одна из этих моделей предложена в работе [125]. Эта мо дель есть упрощенный вариант изложенной выше модели. Крат ко рассмотрим ее суть. В общем случае локальную интенсивность сил сцепления в концевой областц можно записать так:
g (.х, t) = п0а (х , t), |
(5.43) |
где о(х, t) — напряжения в тяжах; п0— плотность распределе
ния связей.
Будем приближенно заменять функцию о(х, t) ее средним
значением по длине концевой области
* |
|
а (о = -j- j ° (х>0 dx- |
(5-44Х |
I |
|
б(/) = Л(0. |
(5.45) |
Здесь среднее нормальное расширение берегов трещины и сред нее удлинение связей на участках [—/, —L] и [/, L] определя
ются соответственно по формулам
L |
^ |
L |
|
6(Q = i - $ 6 (x,t)dx, |
~A(t) = |
± . U ( x ,f) d x , |
(5.46) |
l |
|
l |
|
где A (x, t) — удлинения связей.
Как и в предыдущей модели, считаем что напряжения на кон* цах трещины конечны, а критерием разрушения служит крите
рий КРТ. |
|
Отметим, что эта модель включает бк-модель, |
когда a(t) = |
= const. Физически это соответствует идеальному |
пластическо |
му течению материала связей, соединяющих берега трещины.
В общем*случае рассмотренная модель допускает описание процесса длительного разрушения полимерного материала, ког да реологические свойства тяжей и материала пластины вне тре щины различны. Если же эти свойства тождественны, то, как следует из работ [54, 125], размер концевой области определя ется лишь физическими константами материала и не зависит от времени.
Г л а в а |
I I |
РАЗРУШЕНИЕ ВЯЗКО-УПРУГИХ ТЕЛ С ТРЕЩИНАМИ
§ 6. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Изучение вязко-упругих свойств твердых тел, связа но, в основном, с широким применением в технике полимеров, а также других материалов (металлов) при экстремальных усло виях (повышенная температура, большие давления).
Разрушение этих материалов имеет свои специфические осо бенности, которые затрудняют моделирование сложного процес са трещинообразования и кинетики роста трещин в таких мате риалах.
Дело в том, что механическое поведение сильно деформиро ванного материала вблизи конца трещины недостаточно хорошо исследовано. Как отмечается в некоторых работах [7— 10, 170], вблизи вершины трещины, где процесс разрушения идет в ло кальной зоне предельно высоких напряжений, в материале мо гут образовываться пустоты, субмикротрещины, которые растут и сливаются. Этот распадающийся материал, как отмечается в статье [68], обладает усредненными определяющими характе ристиками, которые невозможно измерить в опытах на сплош ных образцах; они могут появиться только в кончике трещины и зависят от характеристик материала, окружающего эту (локаль ную) зону разрушения. На рис. 28, взятом из работы [182], по казана концевая зона трещины в ракетном твердом топливе.
Недостаток знаний о характере разрушения в концевой зо не трещины заменяется разумным моделированием структуры края трещины, согласующимся с опытными данными. Краткая характеристика некоторых моделей трещин изложена в § 5.
Так, отправным пунктом моделирования края сквозной тре щины в тонкой пластине послужил тот опытный факт, что вбли зи концов трещины в полимерном материале или металле из-за высокой концентрации образуются узкие клиновидные области,
Как отмечалось в работах [69, 162], условие a= con st реа лизуется при исследовании роста трещин в некоторых конструк ционных вязко-упругих материалах, а характеристики процесса разрушения (скорость трещины, долговечность), полученные с помощью указанного условия, хорошо согласуются с экспери ментальными данными.
Напротив, при разрушении линейных полимеров, таких как полиметилметакрилат (ПММА), напряжения в концевой облас ти существенно меняются с ростом трещины [9, 10, 17, 196], од нако размер концевой зоны меняется при этом незначительно, а в довольно широком диапазоне скоростей роста трещины прак тически постоянен.
Более того, как следует из экспериментов [9, 17, 194], и фор ма концевой области для трещины, растущей в ПММА, не зави сит от длины трещины, т. е. имеет место автономность.
Основываясь на этих фактах, будем исследовать развитие трещины в вязко-упругом теле, следуя бк-модели (см. § 5), в рамках следующих концепций.
1. Во время роста трещины cr=const, а размер концевой об ласти изменяется со временем и определяется из условия (5.20).
2. При развитии трещины размер концевой области d оста
ется постоянным (d = const), а напряжение а изменяется с рос том трещины и определяется из условия (5.20).
Как следует из обзора работ в этом направлении (§ 1), боль шинство исследований посвящено концепции о = const. Концеп
ция d= con st разработана значительно меньше. Отметим, что концепции d =con st и a = con st получаются как предельные слу чаи при моделировании концевой зоны трещины (типа «трещи ны серебра») разрезом, берега которого связаны тонкими нитя ми-тяжами *, что соответствует экспериментальным данным для линейных полимеров.
Согласно бк-модели параметры d и о связаны соотношением
(5.20), из которого следует, что если один из этих параметров положить постоянным, то другой обязательно должен зависеть от длины трещины Z(Y), а следовательно, неявно и от времени. Так, к примеру, в случае одноосного растяжения (аналог задачи
Гриффитса), полагая d=const, получаем |
из (5.20) |
выражение |
о в виде |
|
|
°(0 = -f-[arccos 7 ( ^ |
3-]_1 |
(6-1) |
Отсюда следует, что с ростом длины трещины напряжения в концевой области растут. Аналогичная тенденция наблюдается при разрушении полиметилметакрилата [194].1
1 Эта модель изложена в § 5.
Если одновременно полагать, что d и а не зависят от време
ни, то в этом случае не будет выполняться условие плавности смыкания берегов трещины на концах, следовательно, напряже ния в тупиковой части могут быть бесконечно большими, что противоречит основным положениям бк-модели.
Отметим, что в общем случае (без введения указанных кон цепций) определить зависимость а и d от времени можно лишь
из решения задачи сопряжения концевой зоны со всей остальной областью. Получить такое решение для общего случае в насто ящее время весьма затруднительно [69, 141], поскольку экспе риментальные исследования деформирования материала в кон цевой зоне только начинаются и еще не получены уравнения со стояния для зоны, вязко-упругое деформирование которой про ходит при чрезвычайно высоких напряжениях.
Как отмечается в работах [19, 102], многие вязко-упругие материалы (полимеры, стеклопластики и др.) при достаточно высоком уровне напряжений (вплоть до 0,7—0,8 ав) сохраняют свойство линейности, и их деформирование можно описывать соотношениями линейной теории вязкоупругости.
Поскольку в рамках 6к-модели область повышенных напря жений исключена из рассмотрения, то в дальнейшем будем по лагать, что всюду в области деформации малы и их можно опи сывать линейными соотношениями наследственной теории упру гости. Предполагаем также, исходя из указанных опытных дан ных, что вязко-упругие деформации в массиве вне трещины за время ее роста пренебрежимо малы по сравнению с деформаци ями в концевой зоне.
В качестве критерия разрушения в дальнейшем будем рас сматривать критерий критического раскрытия трещины (КРТ) [85, 193], причем будем полагать, что этот критерий справедлив в каждый момент времени для растущей трещины. В этом слу чае условие (5.21) преобразуется к виду
6 (*. OU(0 = V |
(6-2) |
Отметим, что это один из немногих критериев, который опи сывает рост трещин с немалой концевой областью. Для трещин с малыми концевыми областями в настоящее время предложено несколько критериев (см. § 1). Наиболее распространенным кри терием (кроме КРТ), который применяют при исследовании рос та трещин в вязко-упругих телах, является локальный энерге тический критерий [165, 199], основанный на постоянстве энер гии разрушения. Согласно работе [165], результаты исследова ния, выполненные для модели Дагдейла, на основе этого кри терия и критерия КРТ совпадают.
Отметим, что энергетические критерии не всегда пригодны для исследования разрушения вязко-упругих тел, поскольку для некоторых полимерных материалов, таких, как ПММА, энергия разрушения может существенно изменяться с ростом скорости трещины [190].
В настоящее время проводятся интенсивные эксперименталь ные исследования по установлению области применимости кри терия КРТ к исследованию длительного разрушения полимер
ных материалов |
(ПММА, полиуретан Solithane 50/50) [194, 165]. |
В работах [174, |
191], появившихся сравнительно недавно, отме |
чается, что применение критерия КРТ дает хорошее описание докритического роста трещин при ползучести некоторых типов сталей.
В заключение отметим, что обобщение бь-модели на разру шение вязко-упругих тел приводит к новой кинетической моде ли разрушения, которая отлична от обычной (статической) мо дели [105], описывающей предельное равновесие хрупких тел с трещинами. При этом такое отличие определяется не только характером параметров модели (две концепции), но и характе ром самого процесса разрушения.
В качестве примера можно рассмотреть характер развития неустойчивой трещины при постоянной нагрузке. Начало раз рушения в обоих случаях происходит, когда выполнены усло вия (5.21) и (6.2). Однако если в первом случае это будет ус коренное динамическое развитие, то во втором (вязко-упругом случае) — медленное квазистатическое.
Развитие трещин в вязко-упругих телах в отличие от упру гих имеет несколько характерных этапов, рассмотренных в по следующих параграфах настоящей главы.
§ 7. О ПРИМЕНИМОСТИ ПРИНЦИПА ВОЛЬТЕРРА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН В ВЯЗКО-УПРУГИХ ТЕЛАХ
При решении многих краевых задач линейной теории вязкоупругости применяют принцип Вольтерра, состоящий в том, что решение таких задач получают из соответствующих упру гих решений заменой упругих постоянных временными операто рами (операторами наследственной упругости). Принцип Воль терра является в настоящее время (особенно в нашей стране) одним из основных методов в решении задач квазистатической теории вязкоупругости.
Параллельно ему (в основном за рубежом) развивался метод решения этого класса задач, основанный на использовании пре образования Лапласа, который получил название «принцип
соответствия». Принцип Вольтерра является более общим мето дом, чем принцип соответствия, поскольку принцип соответствия справедлив только для интегральных операторов наследствен ной упругости с ядрами разностного типа.
Известно, что основанием для применения принципа Вольтер ра служит независимость операций по координатам и по вре мени в основной системе уравнений квазистатической теории вяз коупругости. Вследствие этого задача разделяется на решение соответствующей упругой граничной задачи и расшифровку опе раторных функций. Однако само по себе разделение пространст венных и временных операций в уравнениях вязкоупругости не является достаточным критерием применимости принципа Воль терра уже хотя бы потому, что не учитываются граничные ус ловия.
Поэтому для ряда краевых задач теории вязкоупругости не обходимо уточнение области применимости принципа Вольтерра и его обоснование.
Начало исследованиям по изучению применимости принци па Вольтерра к контактным задачам вязкоупругости было по ложено в работах [30, 40, 41]. Позднее эти исследования были перенесены на задачи о распространении трещин в вязко-упру гих телах (см. § 1).
Исследуем область применимости принципа Вольтерра при исследовании роста трещины в вязко-упругой пластине в рам ках изложенной выше модели разрушения вязко-упругих тел.
Рассмотрим изотропную вязко-упругую пластину, ослаблен ную прямолинейным разрезом (трещиной) длиною 2L(t)y вбли зи концов которой на отрезках длиною d(t) приложены самоуравновешенные сжимающие напряжения о(х, t). Пластина под
вержена действию растягивающих напряжений, нормальных плоскости расположения трещины. Согласно работам [141, 180], эту задачу можно свести к случаю, когда область вне трещины будет незагружена, а на контуре трещины приложена некоторая эквивалентная система сил, нормальная плоскости расположе ния трещины (см. рис. 29), которую можно записать так:
q{x,t) = \ 0, |
а ( /) < 1 * |< /( 0 . |
(7Л> |
1 - о ( * .0 . |
l ( t ) < \ x \^ L ( t ) . |
|
Здесь L(t) = l(t)+d(t). |
основные соотношения |
плоской |
Следуя [146], считаем, что |
теории вязкоупругости получаются из соответствующих выра жений теории упругости заменой упругих постоянных операто рами наследственной упругости и имеют вид (3.9) и (3.13).
Полагаем, что операторы последственной упругости есть не коммутативные линейные операторы Вольтерра II рода вида (2.7).
Решение этой задачи без применения принципа Вольтерра получено в § 3. Раскрытие берегов трещины для произвольного
закона изменения длины трещины L(t) определяется формулой
(3.20).
Подставляя функцию (7.1) в соотношение (3.20), получим
—ДО |
|
[а (|, t) Г0 (L (t), х, 5)] d| — |
|
|||
v (х, 0, t) = |
f |
|
|
|||
—Ш |
|
|
|
|
||
L{t) |
|
|
а(0 |
|
|
|
- [ T t [ o & t ) T 0(L(f),x,l)](%+ [ |
T*[q0(l,t)T0(L,x,t)]<%. |
|||||
ДО |
|
|
-а(0 |
|
|
|
Делая замену переменной |
s = | £ | —l(t) в первых двух интегра |
|||||
лах, получим |
|
|
|
|
|
|
v (х, 0, t) = |
vd (х, 0, t) -f |
va (х, 0, t). |
(7.2) |
|||
Здесь |
d{f) |
|
|
|
||
vd (х, 0, t) = |
Tm{a (s, f) Q0 (L (/), s)} ds, |
(7.3) |
||||
- |
J |
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
®. (x, 0, t) = |
a(0 |
T* [q0<g, t) Г0 (L, x, D] ds, |
(7.4) |
|||
- |
f |
|||||
|
-o(0 |
|
|
|||
Ц ,(L (0, *, s) = |
Г0 (L(t), x,s + |
l) + T0(L(0, x , - s - l ) . |
|
Пусть dmaxTO — наибольший размер концевой зоны при измене нии х (переменной интегрирования оператора (2.7) в интерва ле [0, /]). Ввиду того что напряжение а(£, t) по предположению равно нулю вне [0, d(t) ], формулу (7.3) можно представить так:
|
|
d(t) |
|
|
Vd (X, 0 , t ) = — |
{[ |
Tt {a (s, t)Q0 (L (t), x, s)} ds= |
|
|
|
dmaxd) |
|
|
|
= — |
^ T* {a (s, t) Q0 (L (t), x, s)} ds = |
|
||
= |
- T * |
J |
a(s,t)Q0(L(f),x,s)ds. |
(7.5) |
|
|
0 |
|
|
В случае, если концевая зона монотонно растет со временем (ли
бо постоянна), dmaxO) =d(t) |
и выражение (7.5) можно предста |
|
вить в виде |
|
|
d(0 |
|
|
vd (x, О, = |
a(s,t)Q0(L(t),x,s)ds. |
(7.6) |
О
Таким образом, операции действия оператора Г* и интегрирова ния по длине концевой зоны коммутативны только при монотон ном росте концевой зоны трещины (либо ее постоянстве).
Рассмотрим теперь вопрос о применимости принципа Вольтерра для обеих рассматриваемых концепций. Будем полагать
<T(S, t) =a(t).
Концепция d= const. В этом случае справедливо представ
ление (7.6).
Отметим, что характер изменения a(t), в основном, бывает
трех типов:
a (t) = а = const, a(t) = L(f), a(t)=^l(t).
Jb первом случае операции действия оцераторд. Х+ илштегрдро-
вания по длине концевой области коммутативны и, следователь но,
f |
Т* [<70 & t) Г0 (L, х,®}<%= Tt J q0(1, t) Г0 (L, *, S) d§. |
(7.7) |
—a |
—a |
|
В этом случае нормальное перемещение берегов трещнцы_олределится так:
v(x, 0, /) = r N,|j' (a (t) [Г0 (L, x,s + Г) — Г0 (L, x , — s — /)] ds —
- f q0(£, t) Г0(L, *,g)di| |
(7.8) |