книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfЗдесь |
|
|
|
|
F (rt = |
Ca (ps) (K 1 - |
s + |
!n |
) <fe. |
|
0 |
|
|
|
/о — начальная длина трещины; |
/* — критическая длина трещи |
|||
ны, при которой начинается ее спонтанное развитие. |
||||
В качестве |
примеров исследованы задачи о росте трещин |
|||
в материалах, |
описываемых |
моделями |
Максвелла, Фойгта и |
Кельвина (стандартное линейное тело). В заключение рассмот ренная задача обобщается на пространственный случай. Ука зывается, что из полученных результатов легко найти решение задачи о росте дискообразной трещины в вязко-упругом масси ве (вязко-упругий аналог задачи Зака). В случае вязко-упруго го аналога задачи Гриффитса для тела Максвелла получена простая формула 1
** |
24а2 (Уо + т) |
-Ро |
ш4 ). |
(1.3) |
|
я2Ро |
|||||
|
Ро |
Ро / |
|
||
определяющая долговечность Z* |
вязко-упругого тела |
с трещи |
ной, где о — напряжения в концевой области; у0, т — реологи
ческие параметры; р0— интенсивность внешних нагрузок; р* — критическая нагрузка Гриффитса. Внук [199], исходя из модели терщины Дагдейла и энергетического критерия, представил уравнение, описывающее докритический рост трещины в вязкоупругом теле, в следующем виде:
м (р ,1 ,- $ ’-} + о(Р,1 ) = а с/ у \ ± у |
(1.4) |
Здесь М — интегро-дифференциальный оператор, описывающий медленный рост трещины; Y — функция ползучести; G — поток
энергии в вершину трещины, отнесенный к единице площади трещины; Gc — критическое значение величины G; р — -параметр внешнего нагружения; Д — размер концевой зоны; I — длина
трещины; / — скорость роста трещины. |
пластической зоны |
|
Операторы М и G для плоской модели |
||
у конца трещины представляются так: |
|
|
dp |
~ег j v (*,Гр’ |
dx> |
М = 2 о dl |
||
|
l |
(1.5) |
|
а |
|
G= сгб* + |
о -Jp ^ v (х, р, 1) dx. |
1 В формуле (1.3) исправлена незначительная погрешность, допущенная в [75].
Здесь а=1+А; 6* — критическое раскрытие трещины в вершине.
Для случая, когда все вязко-упругие свойства тела сосредо точены в малой концевой зоне, Внук [199, 200] пренебрегает оператором М и рассматривает упрощенное уравнение
¥(A//)G (cf,Z)=G c. |
(1.6) |
Во многих своих работах для упрощения сложной структуры уравнения, описывающего медленный рост трещины в вязко-уп ругом теле. Внук применял следующую аппроксимацию [199]1:
|
v(x, |
|
(1.7) |
Здесь |
v (x ,l) — нормальное перемещение |
берегов |
трещины; |
v °(x ,l)— перемещения, соответствующие |
упругому |
решению; |
|
0 . А |
— время пересечения концом трещины некоторой конце- |
||
&t=-r |
|||
X |
|
|
|
вой зоны постоянной длины А. |
|
аппрокси |
|
Отметим, что аппроксимация (1.7) тождественна |
мации (15.1), приведенной в главе III, где показано, что для -случаев, рассматриваемых в работах Внука (материалы Макс велла, Фойгта, линейное стандартное тело), эта аппроксимация дает существенную погрешность. Так, приближенное значение (1.7) отличается от точного в три раза.
Уравнение медленного роста макроскопической трещины, по
лученное из соотношения |
(1.6), имеет вид [199, 200] |
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
|
|
я к? |
|
я к* |
|
|
|
||
|
|
|
Rc = |
|
|
(1.9) |
|||
|
Я (0 = |
-gjr |
8аа |
|
|
||||
Решение уравнения |
(1.8) |
для линейного стандартного тела [11] |
|||||||
в случае одноосного растяжения плоскости с трещиной |
(аналог |
||||||||
задачи Гриффитса) |
имеет вид |
[200] |
|
|
|
|
|||
t — t*— |
V |
I*ln |
(1+pfx — п |
+ |
1 + р X |
|
|||
х in |
|
|
|
|
ln — -j - |
n ] • |
|
(1л°) |
|
Здесь t* — начальный |
момент |
движения |
трещины; |
/0 — начальная |
|||||
длина трещины; *в— время релаксации материала; |
j}= |
(Ех и |
1 Уравнения (1.4) и (1.6) получены также с помощью аппроксимации
Еъ— параметры линейного |
стандартного тела); |
р*—кри- |
|||||||
тическая нагрузка |
Гриффитса; х = -j- . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
‘о |
|
|
Долговечность пластины с трещиной А/. определится из |
|||||||||
(1.10) |
в виде |
[199, 200] |
|
|
|
||||
М |
_ |
4 |
4 |
_ |
Т2п |
f 1 |
|
+ -^ 1 п |
1 + р — п |
— *** |
I* — д |
1 н- р In- ___ §«_ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + р - |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. 11) |
где |
tf** — время, соответствующее началу быстрого динамичес |
||||||||
кого роста трещины. |
|
|
|
|
|||||
В |
работе Внука |
[200] |
проводится |
сравнение |
зависимостей |
||||
(1.10) |
и |
(1.11) с |
экспериментальными |
данными, |
полученными |
для вязко-упругого материала Solithane 50/50. Как следует из этого сравнения, модель Внука не может описать долговечность пластин с трещинами при малых нагрузках, хотя эксперимен тальные данные для таких нарузок имеются. Более подробный анализ этих результатов приведен в § 18 настоящей монографии.
В работах Внука [201] предлагается для исследования мед ленного роста трещины критерий «завершающего натяжения». Согласно этому критерию приращение нормального перемеще ния v в некоторой точке Р перед концом трещины сохраняется
постоянным в течение медленной стадии роста трещины. Как видно, этот критерий близок критерию Мак-Клинтона [172], однако он отличается от критерия предельного раскрытия тре щины, так как в нем ограничение накладывается не на смеще ние, а на разность смещений.
Этот критерий записывается так: |
|
v (х^, t ) — v (хр, t — St) = s c = const. |
(1.12) |
Уравнение докритического роста трещины на основе критерия (1.12) запишется в виде
R(t) + \ ¥ ( / — *) К Я (т)(Я (г)
, |
/Я Г О + / Я Г О - М dx — R |
( Ы З ) |
|
Х |
/Я Г О - /Я Г О - Ь I |
|
|
где /?(т) — длина |
пластической зоны в момент |
времени |
т; |
£ = Ш )—/(т); t0— момент времени, в который разрушается |
ма |
териальный элемент в точке р. Отметим, что R и Rc определя
ются соотношениями (1.9).
В том случае, если /?//<< 1 и значения R не изменяется в ин тервале времени [t, £0], уравнение (1.13) преобразуется в урав
нение (1.8).
Предложенная Внуком модель разрушения является более сложной, чем обычная бк-модель и ее обобщение на случай дли тельного разрушения вязко-упругих тел. Если при применении бк-модели нам необходимо знать две константы материала бк и а, то в модели Внука их три: кроме бк и а входит еще неко
торый параметр структуры материала А, который в общем слу
чае не совпадает с |
размером пластической зоны R (t). Как бу |
|
дет показано ниже |
(см. §18), общее уравнение роста трещины |
|
в вязко-упругой среде |
(10.5), основанное на бк-модели, преоб |
|
разуется в уравнение |
(1.8), если в нем одновременно положить |
|
<y=const, с?= Д= const |
(d — размер концевой пластической зо |
ны) и применить аппроксимацию (1.7), т. е. по существу урав1* неиие (1.8) соответствует двухпараметрической модели типа Г. И. Баренблатта [3]. Однако для исследования разрушения вязко-упругих тел такая модель непригодна (см. §6), поскольку одновременное требование постоянства параметров d и а при
водит к невыполнению условия конечности напряжений на краю концевой зоны 1 при х = /+ А во время роста трещины.
Внук и Кнаусс [202] исследовали начальный период разви тия пространственной дискообразной трещины с вырожденной кольцевой пластической зоной в вязко-упругом массиве. В ос нову исследования положена модифицированная модель Леоно ва—Панасюка—Дагдейла, когда напряжения в концевой зоне трещины a=a(t) полагаются зависящими от истории нагруже
ния и определяются следующей закономерностью: |
|
а(#) = Л + Вехр(— Ос), |
(1.14) |
где Л, В, С — константы материала; % — функция деформиро
ванного состояния
* “ [(* « + «& )(•«+ «?/)]* |
(Ы 5) |
Индексы v и е обозначают соответственно вязко-упругие и уп
ругие компоненты деформации.
Выбранный закон деформирования материала в концевой зоне трещины приводит к тому, что с ростом ползучести мате риала увеличивается функция %и вызывает соответствующую релаксацию напряжений в концевой зоне трещины, что в свою очередь приводит к росту пластической зоны у края трещины.
1 Концевая зона представляется разрезом на продолжении линии трещи ны, на берегах которого приложены самоуравновешенные напряжения о0.
Ввиду трудностей математического характера авторам ра боты [202] не удалось в рамках указанной постановки точно исследовать даже 'начальный этап (инкубационный период) развития трещины. Путем значительных упрощений для прос тейшего случая (вязко-упругое тело Максвелла) ими было по лучено уравнение для определения времени инициирования тре щины.
Следует также отметить, что неясно, каким образом можно определить константы Л, В, С, входящие в соотношение (1.14).
Как отмечают авторы многих работ [69, 141], физическое состояние материала в концевой зоне таково, что его трудно воспроизвести в экспериментах на обычных образцах.
Кнаусс [164] исследовал вязко-упругий аналог задачи Гриф фитса, исходя из модели типа Леонова—Панасюка и энергети ческого критерия следующего вида:
а
X J аш& °> 0 о ( I - «. 0, f) d£= Г/. |
(1.16) |
О
Здесь оу, v — нормальные напряжения и перемещения соответ ственно (рис. 1); а — размер концевой зоны; Г — интенсивность
поверхностной энергии.
Полагая, что напряжения в концевой зоне распределены по закону
_i_
M l, о, 0 = - 0- - ? 12 . |
(1.17) |
(21)2
Кнаусс получил из критерия (1.16) нелинейное дифференциаль ное уравнение, описывающее рост трещины в вязко-упругом теле. Это уравнение имеет вид
где D (t) — функция податливости.
Вработе [164] дано численное решение уравнения (1.18) и приведено сравнение с результатами экспериментов на дли тельное разрушение полимерных образцов с трещинами.
Впоследующей работе [165] Кнаусс рассмотрел устойчивый рост трещины в вязко-упругой полосе под действием постоянно го смещения краев полосы. В качестве модели трещины выбра на двухфазная модель типа Леонова—Панасюка с малой кон цевой зоной, когда напряжения в концевой зоне меняются пр
некоторому закону (на одной части концевой зоны они постоян ны, а на другой изменяются по линейному закону). Полагается, что материал несжимаем. Рассматривается только движение трещины с постоянной скоростью. В качестве критериев разру шения используются локальный энергетический критерий типа Черепанова — Райса [138, 179] и КРТ [85, 193]. Рассматри ваются две концепции, когда напряжения в концевой зоне не меняются со временем и когда размер концевой зоны остается постоянным во время роста тре щины. В результате исследова ния были определены зависимо сти коэффициента интенсивности напряжений от скорости роста трещины. В этой работе также описан эксперимент по разруше нию вязко-упругой полосы из прозрачного полиуретана и про ведено сравнение с теоретически ми расчетами. Согласно этому сравнению наилучшее соответст вие экспериментальным данным достигается для обоих критериев
в случае постоянства напряжений в концевой зоне. Расчеты также показали, что отклонение распределения напряжений в концевой зоне от равномерного вносит незначительные измене ния в окончательные результаты, и поэтому можно пользовать ся наиболее простым случаем, когда напряжения распределены равномерно по концевой зоне.
Отметим, что работа [165] имеет серьезные недостатки. Во-первых, несжимаемость материала, которая полагается в работе, не обосновывается. Неясно, обладает ли этим свой
ством рассматриваемый материал. В то же время, согласно работе [135], введение условия несжимаемости может привести к большим погрешностям.
Во-вторых, коэффициент интенсивности напряжений, фигури рующий в работе, как показано в [80], определен неверно. В результате желаемое совпадение с экспериментом достига ется лишь при чрезвычайно малых значениях длины концевой зоны, которая может на несколько порядков отличаться от истинной.
В работах Шепери [182— 184] исследуется кинетика роста трещины нормального разрыва с очень малой концевой облас тью в вязко-упругом теле, деформирование которой описывает ся интегральными операторами с разностными степенными яд-
рами вида |
|
c(f — т )= с„ + са(/ — т)т, |
(1.19) |
где с0, с2, т — положительные .величины, не зависящие от вре мени.
Изучается случай плоской деформации, когда деформирова ние вязко-упругого тела зависит от двух интегральных операто ров £* v*. Однако конкретные примеры рассмотрены при упро щающем предположении, что v * = v = co n st (v — коэффициент Пуассона). Исследование ведется для модели трещины, подоб ной моделям Г. И. Баренблатта [3] и М. Я. Леонова, В. В. Панасюка [85] при неравномерном распределении напряжений по длине концевой зоны, однако при этом полагается, что нап ряжения в концевой зоне не меняются со временем.
В качестве критерия разрушения применяется локальный энергетический критерий Черепанова — Райса [138, 179], кото рый в рассматриваемом случае имеет вид
( 1.20)
о
где v — нормальное перемещение берегов трещины; vm — его критическое значение (2vm — критическое раскрытие трещины);
Г — удельная энергия разрушения; о ( о ) — напряжения в кон цевой зоне трещины.
При исследовании используется предположение, что вторая производная логарифма функции податливости мала относитель но логарифма времени. В такой упрощенной постановке вычис лена скорость роста трещины нормального разрыва в вязкоупругом теле вида (1.19), которая определяется следующим со отношением:
Здесь Кг — коэффициент интенсивности напряжений; |
|
— его кри |
|||||
тическое значение; |
ат— максимум |
напряжений |
в |
концевой |
зоне |
||
трещины; Хт— параметр, |
зависящий только от т , |
причем |
— |
1 |
|||
« |
-д -; |
||||||
Ix = j [/ (arj)/Tj2 ] dr], |
где |
a — размер |
концевой зоны, |
f (*) = |
. |
о6 |
т |
На основе уравнения (1.21) Шепери исследовал несколько конкретных задач механики длительного разрушения вязко-уп ругих материалов.
Относительно учета неравномерности распределения напря жений в концевой зоне отметим следующее. В рассмотренной выше работе Кнаусса [165] показано, что эта неравномерность' (для малых концевых зон) несущественна при исследовании кинетики роста трещины. К тому же выводу для упругого слу чая ранее пришла Л. В. Онышко [103], которая показала, что для малых концевых областей неравномерность распределения напряжений не влияет на характеристики разрушения.
Маккартни [171] в рамках модели Дагдейла рассмотрел развитие трещины в линейном вязко-упругом теле под действи ем постоянной или монотонно возрастающей нагрузки. В этой
работе используется как |
локальный |
энергетический критерий |
в форме, предложенной |
Кнауссом |
[165], так и глобальный |
энергетический критерий. Отмечается, что рост трещины в -вяз ко-упругом теле Мак-свелла можно описать с помощью упомя нутых выше критериев, если учитывать диссипацию энергии в концевой зоне. Показано, что локальный энергетический крите рий позволяет описывать закономерности роста трещин в вяз ко-упругих телах более общей реологической структуры. Так, скорость трещины нормального разрыва в вязко-упругом теле, деформирование которого описывается интегральными опера торами разностного типа, в случае постоянных внешних нагру зок определяется формулой
1 = |
jyJO)---------------М *------------ |
(1.22) |
||
|
24о*/ (0) |
2Г |
К?(0 |
|
|
|
..(1 — v=) /(0) |
|
|
где I — скорость конца трещины; о = const — |
напряжение в |
концевой зоне (см. рис. 23); Ki(t) — коэффициент интенсивности
напряжений; Г — энергия разрушения; v — коэффициент Пуас сона; j(t) — функция ползучести; точка над буквой обозначает
производную по времени.
Из соотношения (1.22) легко определить время до разруше ния tf вязко-упругого тела с трещиной
= |
( U 3 > |
где |
2Г |
а = = |
я (1 — V*) j (0) о*с, |
При этом, как и в работах [74, 75], предполагается, что
концевой области в ПММА не зависит от длины трещин, • т. е. имеет место автономность. Аналогичный факт отмечается в ра боте [10], где экспериментально показано, что интерференци онная картина впереди трещины разрыва перемещается, не ви доизменяясь.
На рис. 3, взятом из работы [170], приведены эксперимен тальные данные, полученные при длительном разрушении ПММА на четырех типах различных образцов. Эти и многочис-
Г
И00Кс,н/мМ
ленные экспериментальные данные для других полимерных ма териалов (см. работы [1, 16, 89, 162]) подтверждают тот факт, что существует универсальная зависимость между Кс и скорос
тью роста трещины, которая не зависит от геометрий области
ивида напряженного состояния.
Вработе [162] экспериментально исследовался медленный рост трещины в поликарбонате. Установлено, что теория Вну ка— Кнаусса [164, 201], основанная на концепции постоянства напряжений в концевой зоне, лучше других микроструктурных теорий описывает кинетику роста трещин в поликарбонате. На рис. 4, взятом из [162], приведена зависимость длины трещины, растущей в поликарбонате, от времени при внешней нагрузке
2,38 кг/мм2, а на рис. 5 зависимость Кс растущей трещины от скорости ее развития v (кружки — экспериментальные данные,
сплошная линия — теоретическая кривая на основе работы Кна усса [164]).
В работах [151, 152] исследовалась кинетика роста трещин в образцах из резины и проводилось сравнение с результатами теоретических исследований Внука [199]. Показано, что в этом материале величина инкубационного периода весьма значитель на и ее необходимо учитывать при определении долговечности образцов с трещинами.