книги / Основы биомеханики
..pdfТаким образом, мы видим, что материалы с памятью формы обнаруживают широкий спектр свойств.
Эти материалы широко используются в медицине для фиксации костей и растяжения, связи костных фрагментов, лечения сколиоза, при болезнях кровеносных сосудов (например, для расширения сужения сосуда) и т.д.
В заключение укажем, что реализованный эффект памяти формы может быть использован для конструирования различных приспособлений для создания перемещений.
Пусть имеем деформацию возврата от 5 % до 10 % при температурном диапазоне Af − As = 30 °C . Здесь изменение температуры
только на 1 °C может вызвать относительную деформацию около
2 10−3 , которая эквивалентна температурному расширению при нагреве около 100 °C . Это позволяет создать термочувствительные эле-
менты с очень высокой точностью. Необходимо иметь в виду, что температурное расширение происходит только в форме удлинения и сжатия в элементах тела. В то же время в случае эффекта памяти формы может быть создана любая деформация (кручение, изгиб и др.).
10.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что такое память формы?
2.Что такое мартенситный переход?
3.Можно ли создать требуемое усилие, применяя материал
спамятью формы?
4.Приведите примеры применения материалов с памятью формы в медицине.
181
ГЛАВА 11. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ОПИСЫВАЮЩИХ ДЕФОРМИРОВАНИЕ МАТЕРИАЛОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ
В этой главе рассматриваются решения нескольких задач о превращениях в однородном стержне постоянного сечения, изготовленного из материала с эффектом памяти формы.
11.1. ЗАДАЧА 1
Пусть стержень защемлен на левом конце и имеет длину l0. На рис. 11.1 показана декартова система координат Охy, связанная со стержнем, находящимся в аустенитном состоянии в отсутствии нагрузки. Также показана сила F , приложенная к правому концу при столь высокой температуре, чтобы не вызвать прямой мартенситный переход в изотермических условиях за счёт изменения температуры M S от действия напряжений.
Рис. 11.1. Стержень в декартовой системе координат
Далее стержень переводится в полностью мартенситное состояние за счёт охлаждения через интервал прямого мартенситного превращения, причем сила F в процессе перехода остаётся неизменной. После этого стержень нагревается до исходной температуры. Требуется определить деформации фазовых превращений и полную деформацию стержня как функцию от температуры.
182
Выпишем полную систему уравнений теории упругости. Уравнение равновесия
σxx, x |
= 0 , 0 ≤ x ≤ l0 . |
(11.1) |
Закон упругости для линейно упругого тела |
|
|
σxx |
= E(εxx −εxxp ) , |
(11.2) |
где εxxp – деформация от фазовых превращений.
Выражение компоненты деформации через перемещение имеет вид
εxx |
= |
1 |
( |
∂ux + ∂ux ) = |
∂ux . |
(11.3) |
||||||
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
∂x |
∂x |
∂x |
|
|||||
Граничные условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ux |
|
x=0 = 0 , |
|
(11.4) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
σx |
|
x=l0 |
= − |
F |
, |
|
(11.5) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
где A – площадь поперечного сечения стержня.
11.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1
При решении задачи для простоты пренебрегаем объемным эффектом реакции мартенситного превращения и температурной деформацией. Используем одномерный вариант определяющих соотношений, предложенный А.А. Мовчаном [25].
В данной теории принимается, что тензор малых деформаций состоит из упругой εije , фазовой εijp и температурной составляющих
εTij . Упругая и температурная составляющие деформации находятся по соотношениям термоупругости
εe ' = |
σ′ij |
, εe |
= |
1 |
σ |
|
, εT |
= α(T −T ) , |
(11.6) |
ij |
2G |
kk |
|
K |
kk |
kk |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183
где G, К – модули сдвига и объёмного расширения соответственно, α – коэффициент линейного температурного расширения, Т, Т0 – температура в исследуемый момент времени и отсчетная температура в состоянии, где все компоненты напряжений и деформаций равны нулю, штрихом обозначаются компоненты девиаторов соответствующих тензоров, повторяющийся индекс означает суммирование.
В рассматриваемой задаче мы используем одномерный вариант теории, пренебрегая температурными деформациями. Поэтому получим
ε = εe + ε p . |
(11.7) |
При прямом превращении (содержание мартенсита q |
увели- |
чивается, dq > 0 ) обработка экспериментальных данных приводит
к соотношениям
dε p = (2c σ / 3 + a ε p )dq, |
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
π |
T − M f |
|
|
q = cos |
|
|
, |
||
M S − M f |
|||||
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
dq > 0,
dq > 0,
(11.8)
(11.9)
где c0 и a0 – постоянные параметры, |
|
σ – напряжение, |
||||||||
доля мартенсита при прямом превращении. |
||||||||||
При обратном превращении ( dq < 0 ) |
||||||||||
|
a ε(0) |
|
|
|
|
|
|
|
||
dε p = |
0 |
|
|
|
|
+ a0ε p dq, dq < 0, |
||||
|
|
|
|
1) |
||||||
(exp (a0 ) − |
|
|
|
|
||||||
|
|
π |
T − A |
|
|
|||||
q = cos |
|
|
|
|
|
S |
|
, dq < 0, |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
A |
|
− A |
|
|
|||
|
f |
|||||||||
|
|
|
|
S |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 – объемная
(11.10)
(11.11)
где q2 – объемная доля мартенсита при обратном превращении.
В формулах (11.9) и (11.11) M S , M f , AS , Af – температуры
начала и завершения прямого и обратного мартенситных превращений соответственно.
184
Экспериментально показано, что значение модуля Юнга в процессе фазового превращения описывается следующей формулой:
1 |
= |
q |
+ |
1 − q |
, |
(11.12) |
E(q) |
|
|
||||
|
EM |
|
EA |
|
где ЕM, ЕA – значения модуля Юнга для мартенситного и аустенитного состояния.
Найдем значение фазовой деформации путем интегрирования (11.8) при нулевых начальных условиях.
ε |
p |
dεp |
q |
|
|
||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ dq , |
|
|||
|
|
|
|
|
σ + a |
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
(2c |
εp ) |
|
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2c0 |
σ |
+ a0ε |
p |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= q, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2c0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εp |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a q |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
+ |
0 |
|
|
= e |
0 |
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
2c |
|
σ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, выражение для фазовой деформации будет |
|||||||||||||||||||||
иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εp = |
2c0σ |
(exp(a q) −1) . |
(11.13) |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3a0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В соотношении (11.10) для случая обратного превращения из |
|||||||||||||||||||||
полностью мартенситного |
|
состояния |
|
|
ε(0) – фазовая |
деформация |
в точке начала обратного превращения. Если предварительная фазовая деформация ε(0) для случая обратного превращения создана путем прямого превращения под действием постоянного напряжения σ0 , то определяющее соотношение (11.10) этот эффект учитывает.
185
Выражение для фазовой деформации в точке начала обратного превращения с учетом (11.13) при q = 1 и σ = σ0 = const примет вид
ε(0) = 2c0σ0 (exp(a0 ) −1) /(3a0 ) ,
т.е. в этом случае соотношение (11.13) может быть записано в виде
dεp = (2c σ |
0 |
/ 3 + a εp )dq . |
(11.14) |
0 |
0 |
|
Следовательно, определяющие соотношения для прямого (11.8) и обратного (11.14) превращений различаются лишь тем, что в уравнении для прямого превращения присутствует напряжение, действующее в процессе прямого превращения, а в уравнении для обратного превращения – постоянное напряжение, действовавшее в течение предварительного прямого превращения.
Зависимость εp (q) при обратном переходе находится аналогично случаю прямого превращения, при этом в формуле (11.13) величину σ надо заменить величиной σ0 . В результате для обратного превращения получим
εp = 2c σ |
[exp (a q) −1]/ 3a . |
(11.15) |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Подставим выражение (11.13) в (11.2). С учётом (11.5) получим выражение для полной деформации стержня в процессе прямого фазового перехода
ε = |
σ |
+ |
2c0σ |
[exp (a q) −1] . |
(11.16) |
|
|
||||
|
E(q) |
0 |
|
||
|
|
3a0 |
|
Подстановка зависимости объемной доли мартенсита от температуры (11.9) в выражение (11.16) позволяет определить полную деформацию стержня как функцию температуры.
ε(T ) = |
σ |
+ |
2c0σ |
[exp (a q (T )) −1]. |
(11.17) |
|
|
|
|||||
|
E(q1 (T )) |
0 |
1 |
|
||
|
|
3a0 |
|
|
186
Для обратного превращения с учётом (11.11) выражение (11.16) примет вид
ε(T ) = |
σ0 |
+ |
2c0σ0 |
[exp (a q (T )) −1] . |
(11.18) |
|
|
|
|||||
|
E(q2 (T )) |
0 |
2 |
|
||
|
|
3a0 |
|
|
Результаты вычислений по формулам (11.17) и (11.18) с использованием зависимости (11.9) и (11.11) показаны на рис. 11.2.
Рис. 11.2. Деформация стержня с эффектом памяти формы
впроцессе прямого и обратного мартенситных переходов
сучетом соотношений (11.9) и (11.11)
Врассмотренном примере кинетика фазовых переходов существенно зависит от выбора аппроксимаций (11.9) и (11.11). В некоторых задачах вводятся иные аппроксимации:
|
|
|
T − M |
f |
|
|
|
|
||
q1 |
= 0,5 cos(π |
|
|
|
|
) +1 , |
dq > 0 , |
(11.19) |
||
|
|
− M f |
||||||||
|
|
M S |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T − AS |
|
|
|
|
|||
q2 |
= 0,5cos (π |
) +1 , dq < 0 . |
(11.20) |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
Af |
− AS |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187
Результаты вычислений с учетом формул (11.19) и (11.20) показаны на рис. 11.3.
Рис. 11.3. Деформация стержня с эффектом памяти формы
впроцессе прямого и обратного мартенситных переходов
сучетом соотношений (11.19) и (11.20)
11.3. ЗАДАЧА 2
В условиях задачи 1 (рис. 11.1) в стержне, находящемся под действием силы F , произошло прямое мартенситное превращение. Затем правый конец стержня был защемлен и стержень был нагрет до температуры T > Af , при этом произошло обратное мартенситное
превращение. Найти связь между возникшей реакцией в стержне и приложенной силой F (рис. 11.4).
Рис. 11.4. Стержень, защемленный после прямого мартенситного перехода, а затем нагретый до температуры T > Af
188
11.4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2
В результате прямого мартенситного превращения в стержне возникает фазовая деформация ε1p , которую можно вычислить по фор-
муле (11.13) при q =1 , σ = − F .
A
εp = − |
2c0 F (exp(a0 ) −1) |
. |
(11.21) |
|
|||
1 |
3a0 A |
|
|
|
|
Учтем, что в любой момент времени имеет место соотношение
ε = εe + εp = |
σ |
+ εp . |
(11.22) |
|
|||
|
E(q) |
|
После снятия нагрузки εe = σ = 0 , и поэтому полная дефор-
EM
мация ε равна фазовой деформации прямого мартенситного превращения
ε = εp = − |
2c0 F (exp(a0 ) −1) |
. |
(11.23) |
|
|||
1 |
3a0 A |
|
|
|
|
После обратного мартенситного превращения суммарная фазовая деформация равна нулю,
εp = ε1p + ε2p = 0 ,
где ε1p и ε2p – фазовые деформации прямого и обратного превращений
соответственно. Значит,
ε = εp = εe = |
σ |
= − |
2c0 F (exp(a0 ) −1) |
, |
(11.24) |
|
|
||||
1 |
EA |
|
3a0 A |
|
|
|
|
|
в итоге
189
R |
|
= R |
= R = −σA = |
2c0 F EA (exp(a0 ) −1) |
, |
(11.25) |
||||
A |
|
|
||||||||
|
B |
|
|
|
|
3a0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
|
|
3a0 R |
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
(11.26) |
|||
|
|
|
2c E |
A |
(exp(a ) −1) |
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
11.5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Вывестиформулу(11.15) непосредственноизформулы(11.14).
2.Какова должна быть приложена сила F1 , чтобы в условиях
задачи 1 создать в стержне заданную фазовую деформацию ε* ?
3.Почему при решении задачи 2 не обсуждается вопрос о выборе аппроксимации для объемной доли мартенсита?
4.Какова должна быть сила F1 , чтобы в условиях задачи 2 соз-
дать заданную реакцию R* ?
190