книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
.pdfРазрешив данное уравнение относительно y , получим:
y = 2x + 4 – уравнение с угловым коэффициентом ( y = kx + b ).
Отсюда следует, что k = 12 . Угловой коэффициент k равен
тангенсу угла наклона прямой к оси Ox . Следовательно, tg ϕ = 12 .
Ответ: 0,5.
Задача № 3.2.6
Прямая 2x + By + 8 = 0 наклонена к оси Ox под углом 135 , ес-
ли B равно...
Решение
Данное уравнение 2x + By + 8 = 0 является общим уравнением
прямой.
Выразим y в явном виде, т.е. перейдем к уравнению прямой с угловым коэффициентом y = kx + b .
By = −2x − 8, y = − B2 y − B8 .
Таким образом, k = − B2 = tg ϕ , где ϕ – угол наклона прямой
к оси Ox .
По условию ϕ = 135° .
Следовательно, − B2 = tg135° ;
− B2 = −1;
Отсюда B = 2.
Ответ: 2.
71
Задача № 3.2.7
Если прямая 2x + 3y − C = 0 отсекает на отрицательной полуоси Oy отрезок длины 3 , то значение C равно...
Решение 1-й способ
Прямая отсекает на отрицательной полуоси Oy отрезок длины 3. Иными словами, прямая проходит через точку (0; − 3) . Подставляя в уравнение x = 0 и y = −3 , получим 0 + 3(−3) − C = 0 . От-
сюда C = −9 .
2-й способ
Приведем общее уравнение прямой к уравнению прямой в от-
резках |
|
x |
|
+ |
y |
= 1 . 2x + 3y = C ; |
|||
|
a |
b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
+ |
|
y |
|
= 1 |
||
|
C |
|
|
C |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
3 |
|
. |
По условию b = −3. Следовательно, C3 = −3 .
Отсюда C = −9.
Ответ: –9.
Задача № 3.2.8 |
|
|
проходит через середину отрезка AB , где |
|||||||||||
Прямая |
|
|
y = kx + 5 |
|
|
|||||||||
A(5;3) , B(−1;1) , если k равно... |
||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
O – середины отрезка AB определим по |
|||||||
Координаты точки |
||||||||||||||
формулам x |
|
= |
xA + xB |
|
, |
y |
0 |
= |
yA + yB |
. |
||||
0 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = |
5 + (−1) |
= 2, y |
|
= 3 + 1 = 2. |
|
|||||||||
|
0 |
|
||||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая y = kx + 5 проходит через точку O(2;2) , т.е. координаты точки O удовлетворяют уравнению y = kx + 5 .
Тогда 2 = k 2 + 5, следовательно, k = −1,5 .
Ответ: –1,5.
Задача № 3.2.9
Если прямая проходит через точки A(2;3) и B(8;−6) , то пло-
щадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, равна...
Решение
Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A и B .
x |
− 2 |
= |
y − 3 |
; |
|
8 |
− 2 |
−6 − 3 |
|||
|
|
−9(x − 2) = 6( y − 3); 3(x − 2) = −2( y − 3);
3x + 2 y − 12 = 0 – общее уравнение прямой AB .
Перейдем от общего уравнения прямой AB к уравнению прямой в отрезках
ax + by = 1; 3x + 2 y = 12;
4x + 6y = 1 – уравнение прямой AB в отрезках, где a = 4 – вели-
чина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox , b = 6 – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy (рис. 3.15).
73
Рис. 3.15
Таким образом, прямая отсекает от координатного угла прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4 и 6. Площадь полу-
ченного треугольника S = 12 4 6 = 12 .
Ответ: 12.
Задача 3.2.10
Острый угол, образованный прямыми, 3x + y − 7 = 0 и 2x − y + 1 = 0 , равен…
1)π2 ,
2)arctg 23 ,
3)0,
4)π4 .
Решение 1-й способ
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициен-
том: |
y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , то угол θ между ними определяется |
||||||||
по формуле: |
|
tg θ = |
k2 − k1 |
. |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + k k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Если |
|
определяют |
|
острый угол между прямыми, то |
|||||
tg θ = |
|
k2 − k1 |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1+ k k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Приведем общие уравнения прямых к уравнениям с угловым коэффициентом:
3x + y − 7 = 0; y = −3x + 7.
Отсюда k1 = −3.
74
2x − y + 1 = 0;
y = 2x + 1. Отсюда k2 = 2.
tg θ = |
|
2 − (−3) |
|
= |
|
5 |
|
= 1 . Следовательно, θ = |
π |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 . |
|||
1 + (−3)(2) |
−5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-й способ
Найдем косинус угла между прямыми, как модуль косинуса угла между нормальными векторами этих прямых.
|
l |
l |
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
1n2 |
|
= |
||||
cos |
|
= |
cos |
= |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 2 + 1 |
(−1) |
|
|
= |
5 |
= |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
32 + 12 22 + (−1)2 |
5 2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
Отсюда угол между прямыми равен π4 .
Верный ответ № 4.
Задача 3.2.11
Прямые x + 2 y + 3 = 0 и x − 2 y − 1 = 0 пересекаются в точке…
1)(1;−1),
2)(1;1),
3)(3;−3),
4)(−1;−1).
Решение
Для нахождения координат точки пересечения прямых нужно решить систему уравнений:
x + 2 y + 3 = 0,x − 2 y − 1 = 0.
При почленном сложении уравнений получим 2x + 2 = 0, x = −1. Тогда y = −1.
75
Прямые пересекаются в точке (−1; −1) .
Верный ответ № 4.
Задача 3.2.12
Расстояниеот точки M (−5;5) допрямой 3x − 4 y + 5 = 0 равно...
Решение 1-й способ
Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 есть
длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую
(рис. 3.16).
М0
Рис. 3.16
Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой можно вычислить по формуле:
d = Ax0 + By0 + C . A2 + B2
В данном случае d = |
|
3 (−5) − 4 (5) + 5 |
|
= |
|
|
−15 − 20 + 5 |
|
|
= 6 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
9 + 16 |
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2-й способ
Перейдем от общего уравнения прямой 3x − 4 y + 5 = 0 к нормальному. Для этого умножим обе части уравнения на нормирую-
щий множитель: μ = ± |
1 |
= ± |
1 |
= ± |
1 . |
|
32 + (−4)2 |
||||
|
A2 + B2 |
|
|
5 |
В данном случае свободный член в общем уравнении положителен, поэтому нормирующий множительимеет знак минус: μ = − 15 .
76
Получим нормальное уравнение: − 53 x + 54 y − 1 = 0 .
Отклонение δ точки M0 от прямой l равно левой части нормального уравнения прямой l , где вместо x и y подставлены координаты точки M0 , т.е.
δ = − 53 (−5) + 54 5 − 1 = 6.
Расстояние от точки M0 до прямой l равно модулю отклонения d = δ = 6 .
Ответ: 6.
Задача 3.2.13
Прямая kx − 14 y + 7 = 0 параллельна прямой 2x + 7 y − 5 = 0
при k, равном...
Решение 1-й способ
Прямые заданы общими уравнениями. Для решения задачи будем использовать условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом. Если прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , то они параллельны тогда и только
тогда, когда k1 = k2 , b1 ≠ b2 . Перейдем от общих уравнений прямых к уравнениям с угловым коэффициентом. Для этого выразим y
в явном виде. Получим: y = |
k |
x + |
1 , y = − |
2 x + |
5 |
– уравнения пря- |
||||||||||||
|
7 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
||
мых с угловым коэффициентом. |
Таким образом, |
k = |
k |
, |
b = 1 , |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
14 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k |
2 |
= − 2 |
, b |
= 5 . Используя условие параллельности прямых, полу- |
||||||||||||||
|
7 |
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чаем |
k |
= − |
2 и b ≠ b . Отсюда k = −4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
14 |
|
7 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-й способ
77
Две прямые, заданные общими уравнениями A1x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 , параллельны, если нормальные векторы этих
прямых коллинеарны (рис. 3.17), т.е. имеют пропорциональные координаты, при этом свободные члены уравнений этой пропорции не подчиняются.
Рис. 3.17
|
Таким образом, условие параллельности прямых принимает |
||||||||||
вид: |
|
A1 |
= |
B1 |
≠ C1 |
. Для заданных прямых имеем |
k |
= − 14 |
≠ − 7 . От- |
||
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
B |
C |
2 |
|
2 |
7 |
5 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
сюда k = −4 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: –4. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Задача 3.2.14 |
|
|
|
|
||||||
|
Прямая |
|
|
kx − 14 y + 7 = 0 |
перпендикулярна |
прямой |
2x + 7 y − 5 = 0 при k, равном...
Решение 1-й способ
Прямые заданы общими уравнениями. Для решения задачи будем использовать условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом. Если прямые заданы
уравнениями y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , то они перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1k2 = −1 . Перейдем от общих уравнений прямых к уравнениям с угловым коэффициентом. Для этого выразим y
78
в явном виде. Получим: y = 14k x + 12 , y = − 72 x + 75 – уравнения прямых с угловым коэффициентом. Таким образом, k1 = 14k , k2 = − 72 .
Для перпендикулярности прямых достаточно потребовать, чтобы k1k2 = −1 . Для заданных прямых это условие принимает вид:
k − 2 = −1 . Отсюда k = 49. 14 7
2-й способ
Рис. 3.18
Две прямые, заданные общими уравнениями A1x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 , перпендикулярны тогда и только тогда, когда
нормальные векторы этих прямых перпендикулярны (рис. 3.18). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно
нулю. Так как n1 = { A1; B1} , n2 = { A2 ; B2} , то условие перпендикулярности прямых принимает вид A1 A2 + B1B2 = 0 . Для данных прямых
имеем 2k −14 7 = 0 . Следовательно, k = 49.
Ответ: 49.
Задача 3.2.15
Расстояние между параллельными прямыми 3x + 4 y − 1 = 0 и 3x + 4 y + 6 = 0 равно...
Решение 1-й способ
79
Прямые заданы общими уравнениями: A1x + B1 y + C1 = 0 и
A2 x + B2 y + C2 = 0 .
Если A1 = B1 ≠ C1 , то прямые параллельны.
A2 B2 C2
В данном случае 33 = 44 ≠ −61 , т.е. прямые параллельны.
Рис. 3.19
Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой x = −1. Ее ордината y = 1.
Итак, на первой прямой выбрана точка M0 (−1;1) . Найдем теперь расстояние от этой точки до второй прямой по формуле
d = |
|
A2 x0 + B2 y0 + C2 |
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|||||
|
A 2 |
|
|
|
||
|
|
+ B 2 |
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
d = |
|
|
3 (−1) + 4 |
(1) + 6 |
|
|
= |
7 |
= 1,4. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
32 + |
42 |
|
|
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
2-й способ
Расстояние между параллельными прямыми найдем как расстояние от какой-либо точки первой прямой до второй прямой.
80