![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
.pdf![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI31x1.jpg)
Вопрос 2.1.7
Проекция вектора a на вектор b равна…
1)aab ,
2)abb ,
3)a × b , a
4)a a× b .
Решение
Проекция вектора a на вектор b :
прb a = a cos ϕ , где ϕ – уголмежду векторами a и b (рис. 2.9).
Рис. 2.9
Из формулы скалярного произведения имеем: cos ϕ = aa bb .
Отсюда
пр a = |
|
a |
|
|
a |
b |
= a |
|
|
|
b |
. |
|||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Верный ответ № 2.
31
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI32x1.jpg)
Вопрос 2.1.8
Укажите верные утверждения.
Рис. 2.10
1)Sпар−ма = a × b ,
2)Sпар−ма = 12 a × b ,
3)Sпар−ма = a × b ,
4)Sпар− ма = c .
Решение
Векторным произведением вектора a на вектор b называют
такой вектор с (рис. 2.10), модуль которого равен:
a × b = a b sin ϕ , где ϕ – угол между векторами a и b , т.е.
Sпар−ма = a × b = c .
Верными являются ответы № 1 и № 4.
По формуле 12 a × b определяем площадь треугольника, по-
строенного на векторах a и b , как на сторонах, поэтому второй ответ неверен. Ошибочен и третий ответ, так как результатом векторного произведения является вектор, а площадь параллелограмма – это число.
32
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI33x1.jpg)
Вопрос 2.1.9
Выберите верные утверждения.
1)Если смешанное произведение трех векторов abc = 0 , то векторы a , b , c компланарны.
2)Если три вектора a , b , c образуют правую тройку, то смешанное произведение этих векторов отрицательно.
3)Смешанное произведение не изменится при перемене мест любых двух векторов – сомножителей.
4)Смешанное произведение не изменится при круговой перестановке векторов.
5)Смешанное произведение трех векторов равно объему треугольной пирамиды, построенной на этих векторах.
Решение
Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное векторному произведению a × b , умноженному скалярно на вектор c .
abc = (a × b) c = a × b c cos ϕ , где ϕ − угол между векторами
(a × b) и c .
Рис. 2.11
Если смешанное произведение трех векторов abc = 0 , то вектор (a × b) перпендикулярен вектору c , т.е. ϕ = 90°.
33
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI34x1.jpg)
Следовательно, вектор c лежит в плоскости векторов a и b , т.е. векторы a, b, c − компланарны (рис. 2.11).
Первое утверждение верно.
Знак смешанного произведения отвечает за ориентацию тройки векторов. Если тройка правая, то abc > 0 , а если тройка левая, то
abc < 0 . Поэтому второе утверждение неверно.
Для оценки верности третьего и четвертого высказываний используем представление смешанного произведения в координатной форме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abc = |
|
bx |
|
by |
bz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в определителе переставить местами две строки, то знак |
|||||||||||||||||||||||
определителя изменится на противоположный: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ax |
ay |
|
az |
|
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
by |
|
bz |
|
= − |
|
ax |
ay |
az |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|||
abc = |
bx |
|
bac. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
cx |
cy |
|
cz |
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Третье утверждение не верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Применяя ранее доказанное утверждение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
abc = −bac дважды, |
получим abc = −bac = bca .
Таким образом, четвертое утверждение верно.
Пятое утверждение ошибочно, так как модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах, как на трех пересекающихся ребрах.
34
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI35x1.jpg)
§2.2. Задачи
Задача 2.2.1
Даны координаты трех точек: А(1;2), В(2;3) , С(4;5) . Длина вектора AB + 3BC равна ...
1)7 2,
2)7 3,
3)3 2,
4)2 2.
Решение
Найдем координаты векторов AB и BC :
AB = { xA − xB ; yA − yB } = {1;1} ,
аналогично
BC = {2;2} .
Тогда 3BC = {6;6} ,
AB + 3BC = {7;7} .
Длина вектора равна арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его координат.
Следовательно, AB + 3BC = 72 + 72 = 7 2 .
Верный ответ № 1.
Задача 2.2.2
Даны координаты трёх вершин параллелограмма АВСD:
А(11;12) , В(13;14) , С(8;10) . Вершина D имеет координаты ...
1)(1;13),
2)(6;8),
35
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI36x1.jpg)
3)(8;14),
4)(14;8).
Решение
Рис. 2.12
Поскольку ABCD − параллелограмм, то векторы BC и AD равны. Найдем координаты векторов BC и AD . BC = {−5; −4} , AD = { xD − 11; yD − 12} . Приравнивая соответствующие координаты, получим систему:
xD − 11 = −5 . Отсюда D(6;8) .
yD − 12 = −4
Верный ответ № 2.
Задача 2.2.3
Если m длина медианы CK , проведённой в треугольнике ABC , где A(1;0;3) , B(1;4;1) , C (0;2;3) , то выражение 2m равно ...
Решение
Рис. 2.13
Найдем векторы CB, BA, BK .
|
= {1; 2; −2} , |
|
= {0;−4;2} , |
|
= |
1 |
|
= {0;−2;1}. |
CB |
BA |
BK |
BA |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
36
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI37x1.jpg)
Вектор CK = CB + BK = {1;0; −1}.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 + 02 + (−1)2 |
|
|
|
2 . Значение выражения 2m рав- |
|||||||||||||||||||||||||
m = |
CK |
|
= |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Задача 2.2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Если вектор |
|
|
= λ |
|
, λ > 0 , |
|
|
= {3;2;6} и |
|
|
|
|
= 1 , то его координа- |
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
b |
|
b |
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ты равны ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
|
|
|
3 |
; |
2 |
; |
6 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
|
|
|
2 |
; |
3 |
; |
6 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) {2;6;3} , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
3 |
; |
− |
2 |
; |
|
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
− |
7 |
7 |
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
По условию |
|
= λ |
|
. Тогда |
|
|
= {3λ; 2λ;6λ} . Найдем такое λ , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при котором длина вектора |
|
равна единице: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= (3λ )2 + (2λ )2 + (6λ )2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
49λ2 = 7 |
|
λ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Отсюда λ = 1 , λ |
2 |
= − 1 |
– посторонний корень, так как по ус- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ловию λ > 0 .
Тогда вектор a = 3 ; 2 ; 6 .
7 7 7
Верный ответ № 1.
37
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI38x1.jpg)
Задача 2.2.5
Проекция вектора a на вектор b , где a = {1; −1;2} , b = {2;1;2} , равна ...
1)53 ,
2)56 ,
3)76 ,
4)73 .
Решение
Рис. 2.14
|
|
a = |
a |
|
|
= |
axbx + ayby + azbz |
= |
1 2 + (−1) 1+ 2 2 |
= 5 |
|||||||
пр |
|
b |
|||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b |
|
bx2 + by2 + bz2 |
22 + 12 + 22 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Верный ответ № 1. |
|
|
|||||||||||||||
Задача 2.2.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Векторы |
|
= {15; m;1} и |
|
= {18;12;1, 2} |
линейно зависимы, при |
||||||||||||
a |
b |
||||||||||||||||
значении параметра m , равном ... |
|
|
|||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Справедлива теорема: векторы a и |
|
|
линейно зависимы тогда |
||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||
и только тогда, когда они коллинеарны. |
|
|
|||||||||||||||
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI39x1.jpg)
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны, т.е.
a |
x |
= |
|
ay |
= |
|
a |
z . |
|
|
|
|
|
||
b |
|
b |
y |
|
b |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Для данных векторов это условие принимает вид: |
||||||||||||
|
|
|
15 |
= |
m |
= |
|
1 |
. Отсюда m = 10. |
||||||
|
|
|
18 |
|
1, 2 |
||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Ответ: 10. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Задача 2.2.7 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Если вектор |
|
|
составляет с координатными осями Ox и Oy |
|||||||||
|
|
|
a |
углы α = 30° и β = 60° , то косинус угла между вектором a и осью
Oz равен...
Решение
Обозначим γ – угол между вектором a и осью Oz . Сумма
квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора a равна единице:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
По условию α = 30° и β = 60°.
|
3 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
. Отсюда cos γ = 0 . |
|||||||
Тогда |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ cos |
|
γ = 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 2.2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Векторы |
|
= 3i + 2 |
|
+ α |
|
|
и |
|
= 9i + β |
|
+ 12 |
|
коллинеарны, если |
||||||||
a |
j |
k |
|
b |
j |
k |
сумма параметров α и β равна ...
Решение
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда координаты векторов пропорциональны, т.е. 93 = β2 = 12α . Отсюда α = 4 ,
β = 6 . Тогда сумма α + β = 10 .
Ответ:10.
39
![](/html/65386/197/html_CkWhJ9TYoF.UoQU/htmlconvd-476FbI40x1.jpg)
Задача 2.2.9
Скалярное произведение векторов a = {7;3;4} и b = {−1;1;1}
равно ...
Решение
Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат
этих векторов, т.е. ab = axbx + ayby + azbz = 7 (−1) + 3 1 + 4 1 = 0 .
Ответ: 0.
Задача 2.2.10
Косинусугламеждувекторами a = {8;2;3} и b = {−2;8;0} равен...
Решение
Из определения скалярного произведения следует, что
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
axbx |
+ ayby + azbz |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos a |
|
b |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
ax |
2 + ay 2 + az 2 bx2 + by2 |
+ bz 2 |
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
8 (−2) + 2 8 + |
3 0 |
= 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
82 + 22 + 32 (−2)2 |
+ 82 + 02 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если скалярное |
произведение |
векторов |
|
|
= {9;m;5} и |
|||||||||||||||||
a |
b = {−1;1;4} равно 12, то параметр m равен...
Решение
Найдем скалярное произведение двух векторов a и b : ab = axbx + ayby + azbz .
По условию ab = 12.
Тогда 9(−1) + m 1+ 5 4 = 12.
Отсюда m =1.
Ответ: 1.
40